gabarito_20092

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - 2009.2
GABARITO DO 1◦ EXERCI´CIO DE GEOMETRIA ANALI´TICA
1. Seja ~w o vetor determinado pela diagonal AC. Pela regra do paralelogramo
para soma de vetores temos que
~w = ~AC = ~AB + ~AD = ~u + ~v,
isto e´,
~w =
 √32 , 12 , 0
 +  √32 , 12 , √3
 = (√3, 1, √3) .
Para verificar se AC e´ bissetriz do aˆngulo B̂AD, basta comparar os aˆngulos
entre os vetores ~u, ~v e ~w. Se α e´ o aˆngulo entre ~u e ~w, enta˜o
cosα =
~u · ~w
‖~u‖ · ‖~w‖
=
( √
3
2 ,
1
2 , 0
)
·
(√
3, 1,
√
3
)∥∥∥∥( √32 , 12 , 0)∥∥∥∥ · ∥∥∥∥(√3, 1, √3)∥∥∥∥ =
2√
7
E se β e´ o aˆngulo entre ~w e ~v, enta˜o
cos β =
~w · ~v
‖~w‖ · ‖~v‖
=
(√
3, 1,
√
3
)
·
( √
3
2 ,
1
2 ,
√
3
)∥∥∥∥(√3, 1, √3)∥∥∥∥ · ∥∥∥∥( √32 , 12 , √3)∥∥∥∥ =
5
2
√
7
Como cosα , cos β, concluı´mos que α , β, isto e´, AC na˜o e´ bissetriz.
2
2. (Uma Resoluc¸a˜o) Item (a)
Devemos analisar a combinac¸a˜o linear
x ~w1 + y ~w2 + z ~w3 = ~0
e verificar que existe uma soluc¸a˜o (x, y, z, ) , (0, 0, 0). Mas a equac¸a˜o acima
se escreve como
x(1, 0,−2) + y(−1, 1, 0) + z(3,−1,−4) = (0, 0, 0),
que e´ equivalente ao sistema

x − y + 3z = 0
y − z = 0
−2x − 4z = 0
De onde concluı´mos que (−2z, z, z) e´ soluc¸a˜o do sistema, para cada valor de
z real. Logo ( ~w1, ~w2, ~w3) e´ LD.
Em particular
−2z ~w1 + z ~w2 + z ~w3 = ~0⇒ z ~w3 = 2z ~w1 − z ~w2.
Tomando z = 1 :
~w3 = 2 ~w1 − ~w2.
3
Item (b)
Sabemos que ‖ ~w1 ∧ ~w2‖ = A´rea do paralelogramo determinado por eles.
Assim, a a´rea A, do triaˆngulo gerado por estes vetores e´
A =
1
2
· ‖ ~w1 ∧ ~w2‖.
Mas
~w1 ∧ ~w2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 −2
−1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2~i + 2~j + ~k,
Assim,
A =
1
2
‖(2, 2, 1)‖
=
1
2
√
22 + 22 + 12 =
3
2
4
3. O volume do so´lido representado e´ igual a metade do volume do parale-
lepı´pedo abaixo
Mas o volume deste e´ igual ao produto misto (em mo´dulo) dos vetores ~PQ,
~PU e ~PS . Assim,
2 · Volume = |[ ~PQ, ~PU, ~PS ]|
=
∥∥∥∥∥∥∥∥
2 1 −1
1 −1 −1
1 0 1
∥∥∥∥∥∥∥∥
= | − 2 − 2 − 1| = 5
Portanto o volume do so´lido vale 5/2.
5
4. Item (a)
Dizer que ~v3 e ~v2 teˆm mesma direc¸a˜o e´ o mesmo que dizer que existe uma
constante k tal que ~v3 = k · ~v2. Mas a informac¸a˜o adicional de que os vetores
sa˜o de sentidos opostos acrescenta que k e´ negativo.
Como ‖~v3‖ = 2, segue que
‖k · ~v2‖ = 2⇒ |k| · ‖~v2‖ = 2
⇒ |k| = 2‖~v2‖ =
2√
22 + 22 + 12
=
2
3
,
portanto k = −2
3
.
Segue que
~v3 = −23 · ~v2 = −
2
3
· (2, 1,−2) =
(
−4
3
,−2
3
,
4
3
)
.
Item (b)
Pro j~v1
~v2
=
(
~v1 · ~v2
‖~v2‖2
)
~v2
=
(
(0, 3, 0) · (2, 1,−2)
‖(2, 1,−2)‖2
)
(2, 1,−2)
=
3
9
· (2, 1,−2)
=
(
2
3
,
1
3
,−2
3
)