prova1_20071

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – CCEN – ÁREA II
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – 1º SEMESTRE DE 2007
1º Exercício de Geometria Analítica, realizado no dia 31 de maio de 2007
Soluções das questões
Nas questões desta prova, considere o paralelepípedo, cujos vértices são
os pontos O, A, B, C, D, E, F e G, dados na figura abaixo.
1. Determine o cosseno do ângulo que a diagonal OF do paralelepípedo
forma com a aresta OA. Este ângulo é agudo ou obtuso? (peso 2,0)
Solução:
A partir da diagonal OF e da aresta AO, podemos definir os vetores:
 , ,OF 1 4 2 e  , ,OA 2 0 0 . Seja o ângulo entre esses vetores.
De cos
  OF OA OF OA , deduz-se que: cos

OF OA
OF OA
. Como,
 OF OA 2,

OF 21 e

OA 2 , concluímos que cos 

2 1
21 2 21
.
Daí, cos0 . Portanto é um ângulo agudo.
2. Determine as coordenadas de um vetor w

, de módulo 2, ortogonal à
face BCGF. (peso 2,0)
Solução:
O vetor w

pode ser determinado a partir dos vetores  , ,CB 2 0 0 e
 , ,CG 11 2 , como segue.
Um vetor ortogonal à face BCGF é:
 , ,
i j k
i k
  
  
     

CB CG 2 0 0 4 2 0 4 2
1 1 2
,
(Lembre que

CB CG , é um vetor, simultaneamente, ortogonal a

CB e a

CG ,
contidos no plano que contém a face BCGF.)
Assim, w

é colinear com o vetor

CB CG . Isto é, w
   CB CG , para
algum  número real. Como 2w

 ,

 CB CG 2 5 e w


 
 CB CG ,
concluímos que: 2 2 5 . Portanto, vamos ter dois valores para :  1
5
e1
5
.
Portanto, são respostas para este problema: w

 , , , ,    
1 4 2
0 4 2 0
5 5 5
ou
w

 , , , ,      
1 4 2
0 4 2 0
5 5 5
.
3. Determine as coordenadas do ponto H, projeção ortogonal do ponto E
sobre a diagonal AC da face OABC. (peso 2,0)
Solução:
A aresta AE e a diagonal da face AC, definem os vetores  , ,AE 11 2 e
 , ,AC 2 3 0 . Dessa forma, o ponto H é obtido a partir da seguinte igualdade
de vetores:



 AEACAH proj .
Calculando o vetor projeção.
 , , , ,




       
AE
AC
AE AC 5 10 15
proj AC 2 3 0 0
13 13 13AC AC
.
Considere  H x,y,z . Então  AH x-2,y,z .
Daí,



 AEACAH proj , implica que   , ,
    
10 15x-2,y,z 0
13 13
.
Portanto, 16x
13
, 15y
13
e z 0 .
Conclusão: , ,   
16 15
H 0
13 13
.
OBSERVAÇÃO: Há outras maneiras de resolver essa questão!
4. Determine a área do paralelogramo ACGE. (peso 2,0)
Solução:
O modo mais rápido de se calcular a área do paralelogramo ACGE é tomarmos
os vetores  , ,

AC 2 3 0 e  , ,

AE 11 2 e calcular o módulo do produto
vetorial desses vetores.
Temos,  , ,
i j k
i j k
  
  
     

AC AE 2 3 0 6 4 6 4 1
1 1 2
.
Daí,     .u a Área ACGE 6,4,1 53
OBSERVAÇÃO: Há outras maneiras de resolver essa questão!
5. Determine o volume do paralelepípedo OABCDEFG (peso 2,0)
Solução:
O volume do paralelepípedo pode ser determinado pelos vetores  , ,OA 2 0 0 ,
 , ,OC 0 3 0 e  , ,OD 11 2 . Sabe-se que o módulo do produto misto desses
vetores é numericamente igual ao volume do paralelepípedo. Assim,
  . .u v  

2 0 0
Volume OABCDEFG 0 3 0 2 3 2 12
1 1 2