5 - Arranjos metálicos

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GRUPO DE ESTUDOS SOBRE FRATURA DE MATERIAIS 
DEMET/EM/UFOP 
ARQUITETURA CRISTALINA
ESTRUTURA DE MATERIAIS
 Tipos de estruturas
 Definições importantes
 Os reticulados de Bravais
 Estruturas metálicas
 Polimorfismo
 Direções e planos cristalográficos
 Projeção estereográfica
 Monocristal, policristal e anisotropia
ARQUITETURA CRISTALINA
Tipos de 
Estruturas
Cristal
Gás
Amorfo
Líquido
A palavra estrutura vem do latim structura, derivada do verbo struere, construir.
No sentido mais geral, ela significa organização das partes ou dos elementos que
formam um todo.
A suspeita de que as formas externas de um cristal poderiam estar relacionadas
com sua ordem interna é relativamente antiga.
Robert Hooke (1635-1703), no seu livro Micrographia publicado em 1665, foi um
dos primeiros a estabelecer relações entre a forma externa de um cristal e sua
estrutura interna.
Em 1784, o francês René Just Haüy (1743-1822) deu um passo além e propôs, no
seu livro Essai d’une théorie sur la structure des cristaux, que os cristais poderiam
ser entendidos como um empacotamento de unidades romboédricas que ele
denominou “molécules intégrantes”.
A evidência experimental inequívoca da existência de estrutura cristalina nos
cristais só aconteceu em 1912 com a difração de raios-X.
Considerações Preliminares
Um cristal é geralmente definido como um sólido com seus átomos arranjados em
um reticulado periódico tridimensional.
Idealmente, o arranjo mais estável dos átomos em um cristal será aquele que
minimiza a energia livre por unidade de volume ou, em outras palavras, aquele que:
a) Preserva a neutralidade elétrica;
b) Satisfaz o caráter direcional ou não das ligações;
c) Minimiza as repulsões íon-íon;
d) Agrupa os átomos o mais compactamente possível.
A grande maioria dos sólidos é cristalina. Os cristais encontrados na natureza
tiveram um crescimento muito lento ao longo dos processos geológicos e são
geralmente muito maiores que os produzidos sinteticamente.
Por outro lado, nem todos os sólidos são cristalinos. Alguns, como os vidros e as
resinas termorígidas são totalmente amorfos. Outros, como muitos termoplásticos
apresentam regiões cristalinas em uma matriz amorfa.
Do ponto de vista estrutural, não existem diferenças significativas entre um sólido
amorfo e um líquido. Por convenção, a viscosidade é utilizada para distinguir um
vidro de um líquido. Acima de 1015 poises, a substância é considerada amorfa.
Os gases e a grande maioria dos líquidos não apresentam periodicidade nos seus
arranjos atômicos. Alguns líquidos, denominados cristais líquidos, apresentam
moléculas longas e pouco espessas que podem estar alinhadas paralelamente como
em um cristal.
As substâncias cristalinas exibem anisotropia de várias propriedades tais como,
constantes elásticas, constantes ópticas, condutividade elétrica, condutividade
térmica, dilatação térmica e até a reatividade química de suas superfícies depende
da orientação cristalina.
As substâncias amorfas são habitualmente isotrópicas.
Estado gasoso:
a)Em constante movimento, os átomos ou
moléculas não estão em contato.
b)O número de partículas por unidade de
volume e sua velocidade dependem da
temperatura e da pressão.
c) Desordem completa.
Probabilidade de encontrar o centro de uma partícula
(átomo ou molécula) de gás, a partir do centro de uma
outra partícula situada a uma distância d.
livre caminho médio
Estado líquido:
a)Os átomos ou moléculas estão em contato,
mas em constante movimento.
b)O número de partículas por unidade de
volume varia pouco em função da
temperatura e da pressão.
c) Ordem a curta distância.
Probabilidade de encontrar o centro de um átomo
situado a uma distância d de um átomo onde o centro
é colocado como origem, em um líquido ou em um
sólido amorfo.
agitação térmica
dist. média entre dois vizinhos
Estado sólido cristalino:
a)Os átomos ou moléculas estão em
contato, vibrando ao redor de sua
posição de equilíbrio.
b)O número de partículas por unidade de
volume varia pouco em função da
temperatura e da pressão.
c) Posição de equilíbrio fixa e perfeitamente
definida no espaço.
d)Ordem a longa distância.
e)Estrutura típica de metais, de muitos
cerâmicos e raramente de polímeros.
Probabilidade de encontrar o centro de um átomo
situado a uma distância d de um átomo onde o centro
é colocado como origem, em um cristal cúbico simples
(a é o parâmetro da rede).
Estado sólido amorfo ou vítreo:
a)Os átomos ou moléculas estão em
contato, vibrando ao redor de sua
posição de equilíbrio.
b)O número de partículas por unidade de
volume varia pouco em função da
temperatura e da pressão.
c) Posições de equilíbrio dispostas de
maneira irregular no espaço.
d)Ordem a curta distância.
e)Estrutura típica de vidros, de alguns
cerâmicos e da grande maioria de
polímeros.
Exemplo: SiO2
SiO2 cristalino SiO2 amorfo
Isotropia: uma propriedade do sólido
será isotrópica se o seu valor for
independente da direção de medição.
Exemplos:
a) Índice de refração do vidro
b) Módulo de Young do vidro
Anisotropia: uma propriedade do
sólido será anisotrópica se o seu valor
for dependente da direção de
medição.
Exemplos:
a) Birrefringência de certos cristais
transparentes
b) Módulo de Young de monocristais
A
m
o
rf
o
C
ri
st
al
in
o
A anisotropia geralmente desaparece
na escala do policristal.
Definições
Importantes
Retículo
Estrutura
Cristal
Célula unitária
Parâmetro da rede
Direção e plano cristalográfico
Direções e planos mais densos
Distância interatômica mínima
Número de átomos por célula
Número de coordenação
Fator de empacotamento
Retículo: empilhamento de pontos.
Estrutura: empilhamento de átomos.
Cristal: arranjo ordenado de átomos no espaço.
Célula unitária: menor grupo de átomos portadores da simetria do cristal, e que quando repetida em
todas as direções desenvolve a rede cristalina (empilhamento dos átomos). A célula define o tipo de
rede.
Parâmetro da rede: é a distância entre as posições médias dos centros dos átomos. A estrutura cristalina
é definida por este parâmetro e pelo tipo da rede.
Direção cristalográfica: definida por toda reta que liga dois nós (locais onde se situam os átomos).
Plano cristalográfico: definido por três nós da rede.
Direções e planos de maior densidade atômica: direções e planos em que o espaço deixado entre os
átomos é mínimo. Nestas direções e planos é que a deformação plástica do cristal é favorecida.
Distância interatômica mínima: menor distância entre dois átomos de uma determinada rede.
Número de átomos por célula: número de átomos que participa em cada célula. É calculado contando-se
o número de átomos de cada célula, e vendo em que proporção cada átomo participa daquela célula.
Número de coordenação: número de vizinhos que circunda um determinado átomo no cristal. Para os
elementos à direita na Tabela Periódica, NC = 8-N, onde N é o número de elétrons de valência.
Fator de empilhamento atômico: volume ocupado pelos átomos em relação ao volume total da rede.
Célula Unitária
Ordem Perfeita
(a) Representação esquemática de um cristal formado a partir de um empilhamento de cubos.
(b) O mesmo cristal, onde átomos estão colocados nos nós do empilhamento. O conjunto de 
átomos de cor azul forma a célula unitária do sistema cúbico simples.
O cristal real pode se apresentar sob a
forma de um poliedro, onde a sua forma
e os ângulos entre as faces bem
definidas dependem das características
da célula unitária.
Um retículo espacial é um arranjo infinito, tridimensional, de
pontos e no qual todo ponto tem a mesma vizinhança e se
chama ponto do reticulado.
É importante destacar que a cada ponto do reticulado pode
estar associado mais de um átomo.
Em 1835 Moritz Frankenheim descreveu os reticulados
espaciais, e propôs a existência de 15 reticulados.
Em 1848 Auguste Bravais mostrou que Frankenheim havia
contado duplamente dois reticulados cristalograficamenteequivalentes.
Os reticulados de Bravais
Segundo Bravais, os pontos
do reticulado podem estar
arranjados de 14 maneiras
diferentes – reticulados de
Bravais, envolvendo 7
sistemas diferentes –
sistemas de Bravais.
Parâmetros lineares: a ,b , c
Parâmetros angulares: , , 
Os diferentes tamanhos e formas dos reticulados podem ser
descritos em termos dos parâmetros lineares e dos parâmetros
angulares.
Parâmetros lineares e parâmetros angulares dos 7 sistemas de Bravais.
Arranjo de átomos em uma célula unitária
Estruturas cúbicas de faces centradas: (a) do cobre; (b) do NaCl; (c)
da cristobalita SiO2.
• Tendem a ser densamente empilhadas.
• Razões para o empilhamento denso:
- Tipicamente, somente um elemento está presente, então todos os
raios atômicos são idênticos.
- A ligação metálica não é direcional.
- As distâncias dos vizinhos mais próximos tendem a ser pequenas, 
para minimizar a energia de ligação.
- A núvem de elétrons faz uma blindagem entre os núcleos.
• Possuem as estruturas cristalinas mais simples.
Estruturas Cristalinas Metálicas
CFC 
CCC 
HC
CFC CCC HC
• É rara, devido à baixa densidade de empilhamento (somente o Po 
possui esta estrutura)
• As direções mais densas são as arestas do cubo.
• # coordenação = 6
(# vizinhos mais próximos)
Estrutura cúbica simples (CS)
• APF de uma estrutura cúbica simples = 0.52
APF = 
a3
4
3
(0.5a) 31
atoms
unit cell
atom
volume
unit cell
volume
Fator de empilhamento atômico (APF)
APF = 
Volume de átomos na célula*
Volume da célula unitária
*assumir esferas rígidas
close-packed directions
a
R=0.5a
contains 8 x 1/8 = 
1 atom/unit cell
• # coordenação = 8
• Átomos se tocam ao longo das diagonais do cubo.
--Nota: Todos os átomos são idênticos; o átomo central foi 
colorido de forma diferente somente para facilidade de 
visualização.
Estrutura cúbica de corpo centrado (CCC)
ex: Cr, W, Fe ( ), Ta, Mo
2 atoms/unit cell: 1 center + 8 corners x 1/8
Fator de empilhamento atômico (APF) : CCC
a
APF = 
4
3
( 3a/4 )32
atoms
unit cell atom
volume
a3
unit cell
volume
length = 4R =
Close-packed directions:
3 a
• APF para a estrutura cúbica de corpo centrado = 0.68
a
R
a2
a3
Sítios intersticiais
Sítios intersticiais da estrutura CCC: (a) octaédricos; (b) tetraédricos.
• # coordenação = 12
• Átomos se tocam ao longo das diagonais das faces.
ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag
4 atoms/unit cell: 6 face x 1/2 + 8 corners x 1/8
Estrutura cúbica de faces centradas (CFC)
--Nota: Todos os átomos são idênticos; o átomo central foi 
colorido de forma diferente somente para facilidade de 
visualização.
• APF para a estrutura cúbica de faces centradas = 0.74
maximum achievable APF
APF = 
4
3
( 2a/4 )34
atoms
unit cell atom
volume
a3
unit cell
volume
Close-packed directions: 
length = 4R = 2 a
Unit cell contains:
6 x1/2 + 8 x 1/8 
= 4 atoms/unit cella
2 a
Fator de empilhamento atômico (APF) : CFC
Sítios intersticiais
Sítios intersticiais da estrutura CFC: (a) octaédricos; (b) tetraédricos.
• # coordenação = 12
• ABAB... Sequência de empilhamento
• APF = 0.74
• Projeção 3D • Projeção 2D
6 atoms/unit cell
ex: Cd, Mg, Ti, Zn
• c/a = 1.633
c
a
A sites
B sites
A sites Bottom layer
Middle layer
Top layer
Estrutura hexagonal compacta (HC)
Características das células unitárias
CCC CFC HC
d a 3/2 a 2/2 a
R a 3/4 a 2/4 a/2
N 2 4 6
NC 8 12 12
APF 68% 74% 74%
a: parâmetro da rede
d: distância interatômica mínima
R: raio atômico
N: número de átomos por célula
NC: número de coordenação
APF: fator de empilhamento atômico
Exemplos de estruturas cristalinas
Densidade teórica, ρ
onde n = número de átomos/célula unitária
A = peso atômico 
VC = volume da célula unitária = a
3 para cubo
NA = número de Avogadro
= 6.023 x 1023 atomos/mol
Densidade = =
VCNA
n A
=
CellUnitofVolumeTotal
CellUnitinAtomsofMass
• Ex: Cr (CCC) 
A = 52.00 g/mol
R = 0.125 nm
n = 2
teórica
a = 4R/ 3 = 0.2887 nm
real
a
R
= 
a3
52.002
atoms
unit cell
mol
g
unit cell
volume atoms
mol
6.023x1023
= 7.18 g/cm3
= 7.19 g/cm3
Densidade teórica, ρ
Classes de Densidade de Materiais
metais> cerâmicos> polímeros
Por que?
(g
/c
m
 
)3
Graphite/ 
Ceramics/ 
Semicond
Metals/ 
Alloys
Composites/ 
fibers
Polymers
1
2
20
30
*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass,
Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced
Epoxy composites (values based on
60% volume fraction of aligned fibers
in an epoxy matrix).10
3
4
5
0.3
0.4
0.5
Magnesium
Aluminum
Steels
Titanium
Cu,Ni
Tin, Zinc
Silver, Mo
Tantalum
Gold, W
Platinum
Graphite
Silicon
Glass -soda
Concrete
Si nitride
Diamond
Al oxide
Zirconia
HDPE, PS
PP, LDPE
PC
PTFE
PET
PVC
Silicone
Wood
AFRE *
CFRE *
GFRE*
Glass fibers
Carbon fibers
Aramid fibers
Metais têm...
• empilhamento denso
(ligação metálica)
• em geral alto peso atômico
Cerâmicos têm...
• empilhamento menos denso
• em geral elementos mais leves
Polímeros têm...
• baixa densidade de empilhamento
(em geral amorfos)
• elementos leves (C,H,O)
Compósitos têm...
• valores intermediários
Em geral
Empilhamento de planos 
compactos para as estruturas 
CFC e HC
Existem duas 
possibilidades de 
construção do 
empilhamento 
Estrutura Ordem de 
empilhamento
Compacidade
HC ...ABABAB... 74%
CFC ...ABCABC... 74%
Empilhamento HC
Empilhamento CFC
Modos de empilhamento compacto. Os planos compactos 
são planos {111}.
(a) Empilhamento ABAB, hexagonal compacto. 
(b) Empilhamento ABCABC, cúbico de faces centradas. 
Dois cristais são ditos polimorfos (alotrópicos) quando, embora
apresentem a mesma composição química, possuem estruturas
diferentes, em função da temperatura.
Exemplo: ferro.
CCC
CFC
CCC
1538ºC
1394ºC
912ºC
-Fe
-Fe
-Fe
líquido
Polimorfismo
Alguns metais alotrópicos.
Alotropia do estanho: estanho branco
e estanho cinza.
Com esta transformação a 13,20C,
ocorre aumento de volume (27%) e
diminuição da densidade do estanho.
Consequentemente, o estanho branco
se desintegra em partículas.
Estruturas do diamante e da grafite, duas formas alotrópicas diferentes do elemento químico
carbono. A alotropia decorre ou da atomicidade ou da “arrumação” dos átomos no espaço.
Em 1985, os cientistas H.W.Kroto e R.E.Smalley descobriram uma nova forma alotrópica do
carbono, formada por estruturas ocas, em forma de bola de futebol, com 60 vértices e 32
faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos regulares. Essa estrutura esférica recebeu a
sigla C60 e o nome fulereno-60. Novos fulerenos foram depois descobertos, com 32, 44, 50,
... 540 e 960 átomos de carbono. Sendo assim, pode-se dizer que o carbono tem muitas
formas alotrópicas.
Ainda com respeito ao carbono, pesquisas recentes levaram à produção dos chamados
nanotubos. A estrutura mais simples de um nanotubo pode ser imaginada como resultado da
própria estrutura da grafite (que é plana) “enrolada” de modo a formar um tubo extremamente
pequeno. Os cientistas já estão imaginando várias aplicações para os nanotubos – desde
fibras de alta resistência mecânica até como substitutos dos atuais chips de silício usados em
computadores.
Alotropia do fósforo: fósforo branco e
fósforo vermelho.
Moléculas distintas do fósforo.
Moléculas distintas do enxofre.
Preparação das duas formas 
alotrópicas do enxofre.
Ao estudar os arranjos cristalinos, é freqüentemente necessário
especificar determinadas direções e determinados planos. Para esta
finalidade, é utilizado um sistema de indexação proposto por
W.H.Miller (1801-1880) em 1839 (anteriormente aos reticulados de
Bravais).
Notação cristalográfica:
Para uma direção: [ uvw ]
Para uma família de direções: < uvw >
Para um plano: ( hkl )
Para uma família de planos: { hkl }
Direções e Planos Cristalográficos
Coordenadas
puntuais
Coordenadas puntuais
Coordenadas puntuais para o 
centro da célula unitária são:
a/2,b/2, c/2 ½½½
Coordenadas puntuais para um 
vértice da célula unitária são: 
111
Translação: múltiplos inteiros dos 
parâmetros da célula 
posições idênticas em outra 
célula unitária.
z
x
y
a b
c
000
111
y
z 2c
b
b
Índices de Miller: direções cristalográficas
1. Vetor reposicionado (se necessário) para 
passar na origem. 
2. Leitura das projeções do vetor em cada um 
dos três eixos, medidas em termos dos 
parâmetros a, b e c da célula unitária. 
3. Ajustes para redução aos menores números 
inteiros. 
4. Apresentação dos três índices dentro de 
colchetes, sem separação por vírgulas: [uvw]
ex: 1, 0, ½ => 2, 0, 1 => [ 201 ]
-1, 1, 1
Famílias de direções: < uvw >
z
x
Algoritmo:
onde a barra superior representa um índice 
negativo
[111]=>
y
Observações relevantes:
a) Os índices negativos são representados por uma barra superior.
b) A troca de sinal de todos os índices inverte o sentido do vetor.
c) Para algumas estruturas, várias direções não paralelas e com
índices diferentes apresentam arranjos atômicos idênticos. Estas
direções são denominadas equivalentes. Por exemplo, no sistema
cúbico, as direções [100], [100], [010], [010], [001] e [001] são
equivalentes. Já no sistema tetragonal as direções [100] e [010]
são equivalentes mas as direções [100] e [001] não são
equivalentes.
d) Uma família de direções é representada por: < uvw >.
ex: linear density of Al in [110] 
direction
a = 0.405 nm
Densidade Linear
• Linear Density of Atoms LD =
a
[110]
Unit length of direction vector
Number of atoms 
# atoms
length
13.5 nm
a2
2
LD
Algoritmo:
1. Determina-se os interceptos dos planos com os eixos em termos
dos parâmetros a, b e c da célula unitária. Caso o plano passe
pela origem, é necessária uma translação ou a fixação de uma
nova origem.
2. Tomam-se os recíprocos dos interceptos. Caso o plano seja
paralelo ao eixo (ou aos eixos), considera-se o intercepto infinito.
Neste caso, o recíproco é zero.
3. Estes números são multiplicados (e não divididos) por fatores 
comuns obtendo-se números inteiros (e não necessariamente 
mínimos).
4. Os três índices (números inteiros) são apresentados dentro de 
parênteses e não são separados por vírgulas, por exemplo (h k l ).
Índices de Miller: planos cristalográficos
Planos cristalográficos
Planos cristalográficos
z
x
y
a b
c
4. Miller Indices (110)
example a b c
z
x
y
a b
c
4. Miller Indices (100)
1. Intercepts 1 1 
2. Reciprocals 1/1 1/1 1/
1 1 0
3. Reduction 1 1 0
1. Intercepts 1/2 
2. Reciprocals 1/½ 1/ 1/
2 0 0
3. Reduction 2 0 0
example a b c
Planos cristalográficos
z
x
y
a b
c
4. Miller Indices (634)
example
1. Intercepts 1/2 1 3/4
a b c
2. Reciprocals 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3
3. Reduction 6 3 4
(001)(010),
Family of Planes {hkl}
(100), (010),(001),Ex: {100} = (100),
Observações relevantes:
a) Índices negativos são representados por uma barra superior, por exemplo
(012).
b) Planos paralelos são equivalentes e têm índices idênticos ou múltiplos.
c) No sistema cúbico, planos e direções de mesmo índice são perpendiculares.
d) Uma família de planos, por exemplo (111), (111), (111), (111), (111), (111),
(111) e (111), é representada por {111}.
e) Planos de uma zona são planos não paralelos contendo uma reta comum,
denominada eixo da zona. Se o eixo da zona tem índices [uvw], o plano (hkl)
pertencente a esta zona deve satisfazer a relação: hu + kv + lw = 0.
f) Se dois planos, (h1 k1 l1) e (h2 k2 l2), pertencem à uma zona de eixo [uvw],
então valem as relações: u = k1l2 − k2l1; v = l1h2 − l2h1 e w = h1k2 − h2k1.
Densidade planar do ferro (100)
Solution: At T < 912 C iron has the BCC structure.
(100)
Radius of iron R = 0.1241 nm
R
3
34
a
2D repeat unit
= Planar Density =
a 2
1
atoms
2D repeat unit
= 
nm2
atoms
12.1
m2
atoms
= 1.2 x 1019
1
2
R
3
34area
2D repeat unit
Solution (cont): (111) plane 1 atom in plane/ unit surface cell
33
3
2
2
R
3
16
R
3
42
a3ah2area
atoms in plane
atoms above plane
atoms below plane
ah
2
3
a2
1
= = 
nm2
atoms
7.0
m2
atoms
0.70 x 1019
3
2R
3
16
Planar Density =
atoms
2D repeat unit
area
2D repeat unit
Densidade planar do ferro (111)
Índices de Miller-Bravais: direções cristalográficas
No sistema hexagonal, algumas direções cristalográficas
equivalentes não têm os mesmos índices de Miller. Este problema é
contornado utilizando-se um sistema de quatro eixos, denominado
sistema de Miller-Bravais.
Neste sistema, três eixos (a1, a2 e a3) estão contidos no plano basal e
fazem ângulos de 120° entre si. O quarto eixo (z ou c) é
perpendicular ao plano basal.
Sistema de coordenadas para cristais
hexagonais, segundo Miller-Bravais.
Uma determinada direção cristalográfica representada pelos índices
de Miller [u′ v′ w′] pode ser convertida para o sistema de Miller
Bravais com índices [u v t w] com auxílio das seguintes equações:
onde n é número inteiro.
Por exemplo: os índices de Miller [010] são convertidos em índices
de Miller-Bravais [1210].
Alguns exemplos de conversão de índices de Miller em
índices de Miller-Bravais.
Índices de Miller-Bravais: planos cristalográficos
A utilização do sistema de Miller-Bravais também faz com que
planos equivalentes tenham os mesmos índices. Os índices de Miller-
Bravais de um plano são representados por (hkil). Estes índices são
os recíprocos dos interceptos sobre os eixos a1, a2, a3 e z,
respectivamente.
Como apenas três eixos não coplanares são necessários para
especificar um plano no espaço, os quatro índices não podem ser
independentes.
A conversão dos índices de Miller (hkl) em índices de Miller-Bravais
(hkil) é muito mais simples do que no caso de direções
cristalográficas:
i = −(h + k)
Na estrutura hexagonal existem alguns planos que recebem
denominação especial:
• Plano basal, {0001};
• Plano prismático do tipo I, {1010};
• Plano prismático do tipo II, {1120};
• Plano piramidal do tipo I, {1011};
• Plano piramidal do tipo II, {1121}.
Exemplos de planos no sistema de
Miller-Bravais.
Distância entre planos.
Ângulo entre planos.
Direções e planos mais densos.
(para baixas temperaturas, i.e. T < Tmelt/3)
Deformação Plástica (Permanente)
• Ensaio de tração simples:
tensão de engenharia, 
deformação de engenharia, 
elástico+plástico 
para elevadas tensões
permanente (plástico) 
após remoção da carga
p
deformação plástica
elástico
inicialmente
Escorregamento 
de planos mais 
densos em 
direções mais 
densas.
A projeção estereográfica é uma figura geométrica plana, onde
estão representadas direções e planos cristalográficos.
Construção da projeção estereográfica:
a) Projeção geográfica;
b) Projeção esférica;
c) Projeção estereográfica.
Projeção Estereográfica
Representação das direções
cristalográficas e dos polos
(normais aos planos) para a
estrutura cúbica.
Projeção estereográfica [100] para 
o sistema cúbico.
Na projeção estereográfica a simetria cristalina pode ser vista claramente.
Assim, no sistema cúbico, um triângulo [001], [011] e [111] é suficiente para
designar uma orientação cristalográfica.
Projeção estereográfica padrão [001]
dividida em 24 triângulos e triângulo
padrão para o sistema cúbico.
Monocristal e Policristal
Diagramas esquemáticos mostrando a
solidificação de um policristal.
Fotografia de uma granada
monocristalina, encontrada em Tongbei,
Província de Fujian, China.
Anisotropia