Aula 10 Estatística

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Estatística p / AFRFB 2015 
Teoria e exercícios comentados 
Prof. Jeronymo Marcondes - Simulado
Aula - Simulado
SUMÁRIO PÁGINA
Simulado 3
Lista de Exercícios resolvidos 71
Gabarito 104
Bem vindos à última aula de nosso curso! Está acabando, força aí! 
A aula de hoje é um simulado, para que vocês possam treinar o que já aprenderam. 
Antes de qualquer coisa! Alguns detalhes:
1 - pessoal, conforme avisei no mural de recados, em breve, vocês terão todo 
um conjunto de NOVAS VÍDEO-AULAS! Estarei gravando estas aulas semana 
que vem, assim acho que até Dezembro elas já estarão disponíveis.
2 - Esta aula terá um simulado voltado para questões ESAF e “tipo ESAF”. 
Isso porque não há muitas questões RECENTES da ESAF que podemos 
utilizar (poucos concursos da ESAF cobram Estatística).
$
Dica final de um concurseiro!
Pronto! Acabamos. E agora, José? Agora é a hora de rever os principais pontos 
que destacamos ao longo do curso, bem como treinar aqueles que você não 
compreendeu tão bem. Mas, o que eu quero destacar é: não desista! Lembre-se: 
concurso público não é para os fracos, mas para os determinados e que sabem o 
que querem.
-"E se eu não passar nesta prova, professor”?
Você vai passar e pronto!
-"E se eu não passar”?
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Se isso acontecer, lembre-se de que há vários outros concursos excelentes! Só não 
desista. Ponha este objetivo na sua cabeça e vá em frente, pode ter certeza, você
vai conseguir.
Antes de começarmos o simulado, gostaria de acrescentar mais um tópico 
importante na análise de regressão, ensinada na aula anterior: as consequências 
da autocorrelação e da heterocedasticidade.
É importante que você se recorde que, se algum destes problemas aparecerem, o 
estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) não será mais o melhor 
estimador linear não viesado (BLUE), pois as hipóteses do Teorema de Gauss 
Markov não serão mais satisfeitas. Portanto, o estimador não é mais eficiente.
Mas, além disso, há consequências relativas ao teste de hipóteses sobre os 
parâmetros estimados.
Então, em suma, como tais problemas afetam o estimador MQO? É o seguinte:
Sob Heterocedasticidade e autocorrelação, o 
estimador MQO deixa de ser BLUE. Entretanto, 
isso não causa viés no mesmo.
Mais uma coisa. Pense comigo, se a variância não é mais constante em um 
modelo com heterocedasticidade e/ou autocorrelação, o teste de hipótese também 
será afetado, já que ele depende da variância dos estimadores! Portanto, não 
confie nos testes de hipóteses também!
Vamos treinar!
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Simulado 
Exercício 1
(AFT - 2009/ESAF) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, 
sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calça 
jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça jeans 
que homens com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que 
mulheres com óculos, e iii) metade dos homens de calça jeans estão usando 
óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão 
usando óculos mas não estão usando calça jeans?
a) 5%.
b) 10%.
c) 12%.
d) 20%.
e) 18%.
Resolução
Questão complicada de longa. Vamos encontrar primeiro a proporção de pessoas 
com óculos.
Veja, se há três vezes mais homens com óculos do que mulheres, se chamarmos a 
quantidade de mulheres com óculos de “M” e homens de “H”:
Mas, você sabe que:
Se você substituir isso na primeira equação:
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M,oculos + Hoculos
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Moculos T 3 x Mocuios 2 0
Assim:
4 X Mocuíos — 2 0 ^ Mgculos — ^
Assim:
H,oculos 3 x Mocuios — 3 x 5 — 15
Agora, vamos encontrar como e divide o uso do jeans. O jeito de encontrar é muito 
semelhante ao anterior:
Mjeans 4 Hjeans — 3 6
Mas, se chamarmos a quantidade de homens com jeans de 100%:
8 0 % X Hjeans — 0, 8 X Hjeans — Mjgans
Substituindo:
Hjeans + 0,8 XHjeans — 1, 8 x Hjeans — 3 6
Hjeans ~ 2 0
Portanto:
Como metade dos homens que usam calça jeans usam óculos, então há 10 homens 
nesta condição. Portanto, temos que há 1 5 - 1 0 = 5 homens que usam óculos, mas
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não usam jeans. Portanto, o quanto estas pessoas representam do total de pessoas 
é:
Alternativa (b).
Exercício 2
(DEGASE - CEPERJ/2012) Em uma turma há 20 homens e 10 mulheres. Para 
os homens, o percentual de aprovação foi de 80%, enquanto para as mulheres 
o percentual de aprovação foi de 90%. Se selecionarmos um aluno ao acaso 
dentre o conjunto de alunos aprovados, a probabilidade de este aluno ser do 
sexo masculino será de:
a) 0,48
b) 0,60
c) 0,64
d) 0,89
e) 0,90
Resolução
Vamos fazer uma questão de probabilidade para treinar um pouco.
Se dos 20 homens 20% foram aprovados:
Assim, a probabilidade, dentre os aprovados, de selecionarmos um homem é de:
5
Porcentagem = = 1 0 %
Aprovados = 20 x 80% = 1 6
Já das mulheres:
Aprovadas = 1 0 x 9 0 % = 9
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Alternativa (c).
Exercício 3
(DNIT - ESAF/2012) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, 
e os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da 
soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a:
a) 35%
b) 20%
c) 30%
d) 15%
e) 25%
Resolução
Bom o total de combinações possíveis é dada pelo total de possibilidade no primeiro 
dado multiplicado pelo número de possibilidades no segundo dado:
6>k 6 = 3 6
Este é o total. Agora vamos encontrar as possibilidades desejadas.
Quantas combinações que somam menos do que 5 são possíveis?
E as combinações que somam 10?
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( 4,6); ( 5, 5); ( 6,4)
Assim, a probabilidade desejada é de 9 combinações de um total de 36:
9
PÇdesejada) = = 0,2 5 = 2 5%
Alternativa (e).
Exercício 4
(DNIT - ESAF/2012) Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de 
seus quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros 
distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, 
sendo que os quadrosde um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, o 
número de possibilidades distintas de montar essa exposição é igual a:
a) 5
b) 12
c) 24
d) 6
e) 15
Resolução
Hora de treinar um pouco de análise combinatória.
Veja, o que vocês têm de fazer é uma permutação tal que:
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Porém, isso pode ser feito de duas formas, pois os quadros do Batista podem vir 
antes do Antônio. Assim:
2 x ( 6 -2 ) = 2 4 possibilidades
Alternativa (c).
Exercício 5
(ANA - ESAF/2009) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 
2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?
a) 11,53%
b) 4,24%
c) 4,50%
d) 5,15%
e) 3,96%
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Resolução
Bom, para encontrarmos o total de possibilidades precisamos realizar uma 
combinação:
Bom, as possibilidades de tirarmos três bolas iguais exclui a cor verde. Assim, para 
encontrarmos a quantidade de possibilidades temos de encontrar quantas 
combinações são possíveis para as bolas azuis, vermelhas e amarelas:
5! 5 -4
Possibilidadesazul = C53 = = - = 1 0
Assim:
1 0 + 4 + 4
P(desejada) = s 3,9 6
Alternativa (e).
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Exercício 6
(ANA - ESAF/2009) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade 
de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso 
três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de 
exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?
a) 0,98%
b) 1%
c) 2,94%
d) 1,30%
e) 3,96%
Resolução
Questão fácil.
A probabilidade de obtermos um caso que ocorre em 1% da população e 2 que 
ocorrem em 99% é de:
P(desejada) = 0, 0 1 • 0,99 • 0,99 = 0,0098 = 0,98%
Mas, há três jeitos que isso pode ocorrer, pois:
(tem variação genética, não tem, não tem); ( não tem, tem variação genética, não tem);
( não tem, não tem, tem variação genética)
Assim:
P(desejada) = 3 ■ 0,9 8 %o = 2,9 4 %
Alternativa (c).
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Exercício 7
(ATRFB - ESAF/2009) Obtenha o valor mais próximo da variância amostrai da 
seguinte distribuição de frequências, onde xi representa o i-ésimo valor 
observado e fi a respectiva frequência. 
xi = 5 6 7 8 9 
fi = 2 6 6 4 3
a) 1,429.
b) 1,225.
c) 1,5.
d ) 1,39.
e) 1, 4.
Resolução
A fórmula da variância amostra você já sabe:
Variância = S2
- x )2 
n — 1
Bom, para encontrarmos a média nada muda, pois, como vimos, a média aritmética 
é um estimador não viesado da média S opulacional.
Assim:
Agora, basta mudarmos "um pouquinho” nossa fórmula de variância:
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Variància = W i • ( X j - X ) 2] 
I / í - l
Vamos lá:
Variància =
2 • (5 — 7)2 + 6 • (6 — 7)2 + 6 • (7 — 7)2 + 4 • (8 — 7)2 + 3 ■ (9 — 7)
20
Alternativa (c).
Exercício 8
(ATRFB - ESAF/2009) Três amigas participam de um campeonato de arco e 
flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar 
o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a 
terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das 
amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a 
probabilidade de pelo menos dois dos três tiros acertarem o alvo?
a) 90/100
b) 50/100
c) 71/100
d) 71/90
e) 60/90
Resolução
Bom, para encontramos tal probabilidade, temos dois casos:
P (3 acertos) 
P(2 acertos)
Como os eventos são independentes:
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3 5 2 30
P( 3 acertos) = ■ ■ = ■
v ' S 6 3 90
A chance de dois acertarem é:
P (2 acertos) 
P(2 acertos) 
P(2 acertos)
3 S 1 _ 1 S
S ■ 6 ■ 3 _ 90
3 1 2 _ 6
S ■ 6 ■ 3 _ 90
2 S 2 _ 2 0
S ■ 6 ■ 3 _ 90
Agora vamos encontrar a probabilidade de tudo ocorrer ao mesmo tempo. Como 
não pode haver intersecção entre estes eventos, isso é, quando um ocorre o outro 
não, basta somarmos as probabilidades:
30 15 6 20
P(3 ou 2 acertos) = + + + =
v J 90 90 90 90
71
90
Alternativa (d).
Exercício 9
(ATRFB - ESAF/2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de 
determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três 
letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que 
as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 
letras. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na 
tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, 
assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla 
que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais 
próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das 
cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha?
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a) 0,001.
b) 0,0001.
c) 0,000125.
d) 0,005.
e) 0,008.
Resolução
Questão fácil! Você tem de apertar três teclas de cinco que aparecem na tela e 
acertar as cinco vezes. Ora, os eventos são independentes por definição, pois a 
chance de acertar em alguma vez não afeta a chance em outra. Portanto:
Alternativa (e).
(TRT 19 região - FCC\2014 - modificada) Julgue as afirmativas 
Exercício 10
Multiplicando todos os elementos da população por K2, sendo K > 0, o novo 
desvio padrão é igual ao anterior multiplicado por K.
Resolução
Lembre-se de que:
Ao multiplicar (dividir) todas as observações de uma série por um determinado valor 
fixo, tal como x, a variância resultante ficará multiplicada (dividida) por x2, enquanto 
que o desvio padrão resultante ficará multiplicado (dividido) por x.
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1 1 1 1
P(acertar 3 vezes) =■
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Alternativa errada, pois o desvio padrão resultante será igual ao anterior multiplicado 
por K2.
Exercício 11
Somando o valor K, sendo K > 0, em todos elementos da população, a nova 
variância obtida é igual à anterior acrescida de K2.
Resolução
Novamente, vamos nos lembrar de que:
Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para cálculo da 
variância (Var) ou de seu respectivo desvio padrão (DP), o resultado ficará 
inalterado.
Portanto, o resultado não se altera. Alternativa falsa.
Exercício 12
Retirando da população dois elementos de valores iguais à média aritmética 
da população, a nova média aritmética obtida é igual à anterior.
Resolução
Pense comigo, vamos fazer um teste. Calcule a média para uma série dada por:
A = { 2, 5, 1 1}
Ora, a média é dada por:
2 + 5 + 1 1
Média =
3
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Vamos somar um número 6 nesta série:
Isso vale sempre! Perceba que nós provamos que se você somar um valor igual á 
média em uma série, a média não muda. Isso vale no sentido inverso também! Isso 
é, se a série original tivesse o número 6 e nós o tirássemos, a média continuaria 
igual a 6.
Alternativa verdadeira.
Exercício 13
(TRT 19ã região - FCC\2014 - modificada) Sejam duas variáveis X e Y 
representando os salários dos empregados nas empresas Alfa e Beta, 
respectivamente, com 100 empregados cada uma. Em um censo realizado nas 
duas empresas apurou-se que a média, em milhares de reais, de X foi igual a 
2,5 e a média de Y foi igual a 3,2. A soma dos valores dos quadrados, em (R$ 
1.000,00)2, de todos os valores de X foi igual a 650 e de todos os valores de Y 
foi igual a 1.047,04. Assim, o coeficiente de variação de:
a) X é igual a 10% e o de Y igual a 20%.
b) X é igual a 20% e o de Y igual a 15%.
c) X é igual ao coeficiente de variação de Y.
d) Y é igual à metade do coeficiente de variação de X.
e) Y não é menor que o coeficiente de variação de X.
Resolução
Bom, o coeficiente de variação (cv) tem a seguinte fórmula:
desvio padrão a
cv = =media X
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A média nós já temos, portanto temos que calcular a variância com base na 
seguinte fórmula:
Assim, os coeficientes de variação são:
Esta última conta é meio complicada, mas não tem jeito! A melhor forma de 
encontrar a resposta é utilizar jo ,25. Como os números são bem próximos, você 
consegue perceber que o coeficiente de variação de Y será menor do que o de X, 
eliminando a maior parte das alternativas. A alternativa (d), também não seria 
possível, pois cv(Y) não chegaria a ser metade do de X.
Alternativa (b).
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Variância = média dos quadrados — quadrado da média
Vamos encontrar a variância para X e Y:
Variancia X =X = 1ÕÕ “ ( 2' 5)2 = 6' 5 - 6' 2 5 = 0,25
Variancia Y =
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Exercício 14
(IMESC - VUNESP\2013) Num grupo de 45 pessoas, a idade média das 20 
mulheres é 25 anos e a idade média dos homens é 34 anos. A idade média do 
grupo, em anos, é
a) 27.
b) 28.
c) 30.
d) 31.
e) 32
Resolução
Isso é mais Raciocínio lógico do que estatística, mas vamos lá. De cara, 
percebemos que há 25 homens no grupo, pois, dos 45, 20 são mulheres. Portanto, 
há 25 (45-20) homens.
No caso das mulheres:
E, no caso dos homens:
. Assim:
Média total = + 'Zyi 
45
500 + 850
Alternativa (c).
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Vale a pena você acompanhar comigo primeiro!
(ANPEC - 2011) Julgue as afirmativas.
Exercício 15
Três eventos são independentes se e somente se PÇA n fin C ) = PÇA) x P(B) x
P{C).
Resolução
Pense comigo. A independência entre três eventos não é só no seu "conjunto” , mas 
"dois a dois”. Assim, para que a alternativa fosse verdadeira falta definir:
P(AnB) = PÇA) x P(B) 
PÇA nC) = P(A) x P(C) 
P(CnB) = P(C) x P(B)
Assim, decorem isso! A im dependência entre três eventos deve existir 
entre os três conjuntamente e em grupos de dois a dois.
Alternativa falsa.
Exercício 16
Se PÇA) = 0,4, P(B) = 0,8 e PÇA\B) = 0,2, então P(B\A) = 0,4
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Resolução
Pense comigo na probabilidade de A condicionado a B:
Assim:
Agora, vamos calcular a probabilidade de B condicionado a A:
Alternativa verdadeira.
Exercício 17
Se P(A) = 0, então A = 0 .
Resolução
Não necessariamente. O fato de um evento ter probabilidade igual a zero não 
significa que ele seja vazio. Isso só significa que a chance destes ocorrerem é nula.
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Exercício 18
(Ministério das cidades - CETRO/2013) Analise o histograma abaixo e, em 
seguida, assinale a alternativa que apresenta o valor da amplitude de classe.
a) 30.
b) 6.
c) 24.
d) 5.
e) 3.
Resolução
Questão muito fácil A amplitude é a diferença entre o intervalo superior e inferior de 
cada classe. Por exemplo, a primeira classe vai de 0 a 5, portanto a amplitude é de 
5.
Alternativa (d).
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Exercício 19
(Ministério das cidades - CETRO/2013) É correto afirmar que se considera 
uma distribuição simétrica aquela que possui os mesmos valores para
a) média moda e mediana.
b) desvio-padrão e variância.
c) covariância e mediana.
d) moda e desvio-padrão.
e) covariância e variância.
Resolução
Lembre-se de nossas aulas anteriores:
Esta é uma distribuição simétrica. 
Alternativa (a).
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Exercício 20
(Ministério das cidades - CETRO/2013) Em uma distribuição cujos valores são 
iguais, o valor do desvio-padrão é:
a) 1.
b) 0.
c) negativo.
d) 0,5.
e) 0,25.
Resolução
Ora, se todos os valores são iguais não há qualquer desvio, portanto o desvio 
padrão é igual a zero.
Alternativa (b).
Exercício 21
(UNIRIO - UNIRIO/2011) Seja Y uma variável aleatória que assume os valores 
2, 3 e 5 com probabilidades 0,1; 0,2 e 0,3, respectivamente. Determine o valor 
esperado e a variância de Y.
a) 10 e 100, respectivamente.
b) 2,3 e 4,4, respectivamente.
c) 5,66 e 0,21, respectivamente.
d) 5 e 4,4, respectivamente.
e) 2,3 e 9,7, respectivamente.
Resolução
Bom, para encontrarmos a esperança de Y, basta fazer:
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E(Y) = 2-0, 1 + 3-0, 2 + 5-0, 3 = 0, 2 + 0, 6 + 1, 5 = 2,3 
Para encontrarmos a variância vamos nos basear na nossa amiga:
variância = média dos quadrados — quadrado da média = E(Y2) — (E(Y) ) 2 
Assim, vamos encontrar:
E{Y2) = 2 2 - 0, 1 + 32 - 0,2 + 52 - 0, 3 = 0,4 + 1,8 + 7, 5 = 9, 7
Com efeito:
variância = E(Y2) — ( ^ (T ) )2 = 9, 7 — ( 2,3 ) 2 = 4, 4 1
Alternativa (b).
(ANPEC - 2010) Julgue as afirmativas.
Exercício 22
P{A\B) _ P(A)
P{B\A) ~ P{B)
Resolução
Isso é verdade. Quer ver?
ÍP{AeB)\
P(A\B) l P(B) ) P(A) 
P(B\A) P(A e B) P(B) 
\ P{A) )
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Alternativa correta.
Exercício 23
Probabilidade é uma função que relaciona elementos do espaço de eventos a 
valores no intervalo fechado entre zero e um.
Resolução
Decore isso! Essa é a definição mais formal de probabilidade. Alternativa correta.
Exercício 24
(SEPLAG\RJ - CEPERJ\2013)
Considere a tabela abaixo, que é um extrato da tabela da função 
de distribuição normal padrão, F(z) = P(Z < z), para os pontos z 
indicados na primeira linha, e responda à próxima questão.
As vendas de um determinado produto apresentam distribuição normal com 
uma média mensal de 1.200 unidades e desvio padrão de 80 unidades/mês. 
Em certo mês, a empresa decide fabricar 1.400 unidades desse produto. A 
probabilidade de não poder atender a todos os pedidos naquele mês, por estar 
com a produção completa, será igual a:
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a) 0,62%
b) 1,96%
c) 2,28%
d) 2,50%
e) 4,01%
Resolução
Veja o que a questão está te mostrando: uma tabela que indica a probabilidade de 
que o valor real seja igual ou menor do que um determinado z calculado.
Assim, vamos calcular a versão padronizada da variável:
1400 - 12 00 
z = = 2 , 5
80
Olhando a tabela, percebemos que a probabilidade de que um valor seja menor ou 
igual a este valor padronizado é de 99,38%. Assim, a probabilidade de um valor 
maior é de (100% - 99,38% = 0,62%). Alternativa (a).
(FINEP - CESPE\2009)
h o m en s m u lh eres to ta l
fu ui antes 6 9 .0 0 0 3 4 .0 0 0 1 0 3 .0 0 0
n ão fu m a n te s 1 6 1 .0 0 0 136 .000 2 9 7 .0 0 0
totaJ 2 3 0 .0 0 0 170 .000 4 0 0 .0 0 0
A tabela de contingência apresentada acima resulta de um estudo estatístico a 
respeito do hábito de fumar em determinada cidade. A tabela divide a 
população dessa cidade hipotética nos quatro seguintes estratos:
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EHF: homens fumantes 
EHN: homens não fumantes 
EMF: mulheres fumantes E 
MN: mulheres não fumantes
A partir dessas informações e da tabela apresentada, julgue as afirmativas.
Exercício 25
Se o erro amostral tolerável é de 5%, uma amostra aleatória simples deve 
conter 300 pessoas.
Resolução
Pessoal, hora de usar aquela regrinha de bolso:
1
Então, se o erro for de 5% (0,05):
1
A amostra ideal seria de 400 pessoas. Alternativa errada.
(AFT - CESPE/2013) Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a 
respeito de seguranca no trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de 
jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam colocados 
sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma 
pilha, julgue os itens que se seguem.
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Exercício 26
Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira 
aleatória. Nesse caso, a probabilidade de o processo que esta na parte 
superior tratar de assunto relativo a FGTS será superior a 0,3.
Resolução
Neste caso, temos 20 possibilidades no total e queremos saber qual a probabilidade 
de que um processo escolhido ao acaso, que esteja no topo da pilha, seja de FGTS.
Assim:
Alternativa correta.
Exercício 27
Se os processos relativos a FGTS ficarem sempre na parte superior da pilha, 
então uma pilha com essa característica poderá ser formada de 13! x 7! 
maneiras distintas.
Resolução
Se isso acontecer, nós temos que reorganizar 13 processos (20 - 7), pois os outros 
7 estão no topo da pilha. Assim, as possibilidades que temos são:
P(FGTS) =
nq de processos de FGTS 7
nQ de processos totais
13!
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Mas, além dessa reorganização, nós também podemos trocar os 7 processos de 
FGTS de lugar, de forma a mantê-los no topo da pilha. Assim, os processos de 
FGTS podem ser reorganizados de ( 7!) formas diferentes.
Portanto, o total de formas que podemos organizar a pilha é:
7! x 13!
Alternativa correta.
(SEFAZ\ES - CESPE\2013) Com base na tabela que demonstra o tempo, em 
minutos, para avaliação de 6 balanços contábeis por parte de auditores, julgue 
as afirmativas:
Auditoria (balanços) 1 2 3 4 5 6
Tempo 60 90 30 40 50 90
Exercício 28
O desvio padrão amostral foi inferior a 30 minutos
Resolução
Perfeito! Vamos calcular o desvio padrão amostral:
Dp(x) =
(6 0 - 6 O)2 + (9 0 - 6 O)2 + (3 0 - 6 O)2 + (4 0 - 6 O)2 + (5 0 - 6 O)2 + (9 0 - 6 O)23200
Assim:
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3200
d p (x ) = — = 2 5 , 3
5
Alternativa correta.
Exercício 29
O desvio médio absoluto em torno da media amostrai foi superior a 25 
minutos.
Resolução
Lembram-se da fórmula do desvio médio? O numerador é o mesmo da expressão 
acima, a diferença é que não elevaremos os membros ao quadrado, mas tão 
somente tiraremos a diferença absoluta entre dois números no parêntese. Por 
exemplo, para a expressão (3 0 - 60) = 30. Assim:
0 + 30 + 30 + 20 + 10 + 30 
Var(x) = = 2 4
Exercício 30
A variância amostrai desse conjunto de dados foi inferior a 600 minutos2
Resolução
Com base no que calculamos acima:
3200
Var(x) = = 640
Alternativa errada.
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Exercício 31
(MPU - ESAF/2004) A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada 
na análise de distribuições de renda porque as distribuições de renda
a) têm intervalos de classe distintos.
b) sempre são normais.
c) tipicamente são do tipo uniforme.
d) geralmente se mostram bastante assimétricas.
e) sempre são bimodais.
Resolução
A ideia do uso da mediana na análise de distribuição de renda é interessante porque 
as mesmas costumam ser muito assimétricas e, portanto, muito afetadas por 
valores extremos. A fim de evitar tal problema, a mediana mostra-se como boa 
opção, pois a mesma não é afetada por valores extremos, tal como a média.
Alternativa (d).
Exercício 32
(SEFAZ\SC - FEPESE\2010) Sejam dois eventos, A e B, mutuamente 
exclusivos. A probabilidade de ocorrência de A vale 0,2. A probabilidade de 
ocorrência de B vale 0,4. Quanto vale a probabilidade de ocorrência do evento 
A união B?
a) 0,08
b) 0,4
c) 0,48
d) 0,52
e) 0,6
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Resolução
A questão é bem simples e se baseia na definição de eventos mutuamente 
exclusivos. Como ambos os eventos são mutuamente exclusivos:
P(A U B )= P{A) + P{B) = 0, 2 + 0,4 = 0,6
Alternativa (e).
Exercício 33
(SEFAZ\SC - FEPESE\2010) Uma amostra aleatória de 100 elementos de uma 
população resultou em um erro padrão igual a 10 para uma variável X. Admite- 
se que a média amostral de X siga uma distribuição normal. Com base nas 
informações anteriores, calcule o erro amostral de um intervalo bilateral de 
95% de confiança para a média de X.
a) 1,645
b) 1,96
c) 10
d) 16,45
e) 19,6
Resolução
Tal como vimos anteriormente, o erro padrão (e) é dado por:
desvio padrão a
e = = = 1 0
V tamanho da amostra V n
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O erro amostrai para um intervalo bilateral de 95% de confiança para a média será 
dado por:
Bom, vamos por partes.
A primeira coisa é que seria necessário consultar a tabela para encontrar o valor de 
95% de confiança (bilateral) para z. Isso significa que o valor de 1,96 para a variável 
normal padronizada indica que 95% dos valores estarão dentro do intervalo 
desejado.
Em segundo lugar, o objetivo do exercício é encontrar é calcular o erro padrão para 
um intervalo de 95% de confiança para a média. Quando isso é pedido significa que 
o objetivo é encontrar em quanto a média amostrai pode divergir do seu valor "real”. 
Ou seja:
Este "pauzinho” em volta dos valores significa que estamos avaliando esta diferença 
em termos absolutos! Ou seja, o valor encontrado para ‘x’ pode ser menor ou maior 
do que a média amostral, podendo resultar em valor negativo ou positivo.
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Assim, o valor que estamos procurando é:
\x-x\ = e x 1,96 = 10 x 1,96 = 19,6
Alternativa (e).
Exercício 34
(SEFAZ\SC - FEPESE\2010) Sejam as seguintes hipóteses estatísticas sobre a 
média de uma variável X em uma população:
Hipótese nula: média = 100
Hipótese alternativa: média í 100
Para testar as hipóteses coletou-se uma amostra
aleatória de 16 elementos da população citada, registrando os valores de X, 
resultando em: 
média amostral = 110; 
erro padrão = 4.
Admite-se que X tem distribuição normal na população. Deseja-se que o teste 
tenha Significância de 1%, acarretando em um valor crítico para a estatística 
de teste t, com 15 graus de liberdade, aproximadamente igual a 3. Com base 
nas informações existentes, o valor da estatística de teste e a decisão do teste 
serão:
a) -2,5; aceitar a hipótese nula.
b) 2,5; aceitar a hipótese nula.
c) 2,5; rejeitar a hipótese nula.
d) 10; aceitar a hipótese nula.
e) 10; rejeitar a hipótese nula
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Resolução
Calculando a estatística de teste t de Student para o problema em comento:
| x - x | 1 1 0 - 1 0 0 1 0
t = = = = 2 ,5e 4 4
Como estamos tratando com o teste t de Student, o número de graus de liberdade é 
igual ao tamanho da mostra menos 1:
n - 1 = 1 5
Neste nível, o valor crítico para o teste é de 3, conforme enunciado.
Como o valor da estatística calculada é inferior ao valor crítico, aceita-se a hipótese 
nula.
Alternativa (b).
Exercício 35
(SEFAZ\SC - FEPESE\2010) Um modelo linear (reta) de regressão apresenta 
inclinação igual a 1,5 e intercepção igual a 10. Qual é o valor da variável 
dependente de acordo com o modelo de reta quando a variável independente 
vale 20?
a) 40
b) 55
c) 201,5
d) 300
e) 2001,5
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Resolução
O que o exercício está falando é que a reta de regressão estimada é:
y = 1 0 + 1, 5 x
Portanto, ao substituir o valor de x = 2 0, obtem-se:
y = 10 + 1, 5( 2 0) = 40
Alternativa (a).
Resolução 36
(AFRFB - ESAF/2012) O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem 
há muito tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do 
restaurante de sua filha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da 
semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma 
distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio- padrão igual a R$
10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, 
com média R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito 
bem os princípios básicos da estatística, ele sabe que, se uma variável Z 
seguir uma distribuição normalpadrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele 
também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no
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intervalo entre 0 < Z < 2 - ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão — é, 
aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de 
seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia verificar a probabilidade 
de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamente 
ficar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. 
Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em 
termos percentuais, iguais a
a) 2,28; 95,44.
b) 52,28; 95,44.
c) 2,28; 98,69.
d) 98,69; 95,44.
e) 98,65; 2,28.
Resolução
Primeiro vamos calcular a probabilidade de que o custo seja maior do que R$ 520.
Com base no exercício, sabe-se que a probabilidade de que variável esteja no 
intervalo entre 0 e 2 é de 0,4772 (47,72%). Portanto, a probabilidade de o valor ser 
maior do que 520 é de:
\x — x\ 52 0 — 500
10
0, 5 - 0,4772 = 0,02 28 = 2,28%
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Já a probabilidade de o intervalo estar entre 760 e 840 deve ser calculada da
seguinte forma:
\x — x\ 840 — 800
| x - x | 760 - 800
Portanto, o que estamos procurando é:
P(-2 < z < 2 ) = P (-2 < z < 0) + P( 0 < z < 2 )
Com base no exercício nós sabemos que:
P ( - 2 < z < 0 ) + P ( 0 < z < 2) = 0,4772 + 0,4772 = 0,9 544 = 95,44%
Alternativa (a).
Vamos fazer alguns exercícios mais difíceis para treinar?
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(ANPEC 2012 - alterada) Julgue as afirmativas.
Exercício 37
O erro tipo I é definido como o evento em que se rejeita a hipótese nula 
quando a hipótese nula é verdadeira.
Resolução
O erro tipo I é o erro decorrente de se rejeitar a hipótese nula quando a mesma é 
verdadeira. Alternativa verdadeira.
Exercício 38
O erro tipo II é definido como o evento em que se rejeita a hipótese nula 
quando a hipótese nula é verdadeira.
Resolução
O erro tipo II é o erro decorrente de se aceitar a hipótese nula quando a mesma é 
falsa. Alternativa falsa.
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Exercício 39
Se o p-valor de um teste é maior do que o nível de significância adotado, 
rejeita-se a hipótese nula.
Resolução
Se o p-valor de um teste é superior ao nível de significância adotado, não é possível 
rejeitar a hipótese nula. Item incorreto.
Exercício 40
O nível de significância de um teste é a probabilidade de ocorrência do erro 
tipo I.
Resolução
Item correto, por definição.
(ANPEC - 2004) Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados 
seccionais:
yt = b0 + b1xll + - + b2x2i + ut
é correto afirmar que:
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Exercício 41
Para que os estimadores de Mínimos Quadrados sejam lineares não 
tendenciosos de menor variância (BLUE) é necessário que os erros sejam 
homocedásticos.
Resolução
Verdadeiro. Esta é uma das hipóteses necessárias para o Teorema de Gauss 
Markov, que garante que o estimador de mínimos quadrados seja BLUE.
Exercício 42
As estatísticas t e F continuam válidas mesmo que os erros da regressão 
sejam heterocedásticos.
Resolução
Incorreto. Quando há heterocedásticidade, os testes de hipóteses deixam de ser 
válidos.
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Exercício 43
(ESTATÍSTICO - MPE/2006) No modelo de regressão múltipla
Y = p x + u
onde o termo erro aleatório é heterocedástico, é correto afirmar que:
a) O estimador de MQO de p é viciado
b) O estimador de MQO de p tem variância mínima
c) Para o estimador de MQO de p, os testes de hipóteses sobre os parâmetros, 
baseados na estatística t de Student, não são válidos.
d) Não é possível detectar heterocedasticidade através da análise dos 
resíduos
e) O melhor teste para detectar heterocedasticidade é o de Glejser.
Resolução
Bom gente, já falamos sobre isso, sob heterocedasticidade, o estimador não é 
viesado, mas não é mais BLUE, bem como não podemos confiar nos testes de 
hipóteses sobre estes. Ah, os teste mais comuns são os que eu te mostrei, esquece 
o Glesjer!
Alternativa (c).
Exercício 44
(PETROBRAS - ECONOMISTA/2005) Heterocedasticidade refere-se à situação 
onde a variância dos erros é:
a) constante e igual a 1
b) constante
c) variável
d) variável entre 0 e 1
e) infinita sempre
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Resolução
Bem fácil hein pessoal? Nem pense, letra (c).
(BNDES - CESGRANRIO/2008) Um pesquisador de mobilidade social tem 
acesso a um grande banco de dados com informações, num certo ano, sobre 
a escolaridade do filho (a) do pai, da mãe e sobre o sexo de seu filho (a). 
Decide estimar uma regressão linear na qual a variável dependente é a 
escolaridade do filho (a), as demais sendo as variáveis independentes. A 
respeito desta regressão, ju lgue as afirmativas:
Exercício 45
A variável sexo do filho é binária 
Resolução
Nós já estudamos isso. Sexo é um tipo de característica qualitativa. Assim, só pode 
ser captada por uma variável dummy (binária).
Exercício 46
Ainda que o R2 possua um valor baixo, as variáveis independentes podem ter 
influência significativa sobre a variável dependente.
Resolução
Claro, o R2 nada tem a ver com o teste t aplicado aos coeficientes individualmente.
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Exercício 47
(CGU - 2008\ESAF)
A probabilidade de sucesso em um experimento 
aleatório è p. Seja X o número de experimentos 
independentes realizados até se obter o primeiro 
sucesso. Quala probabilidade de X = k, onde 
k=1,2,3,....
a) {1-p)k_1.
b) p{1-p)k*1.
c) k pk_1(1 -p).
d) pk_1{1-p).
e ) k(1-p)k-i p.
Resolução
Pessoal, esta é uma questão sobre distribuição geométrica! Essa distribuição não é 
tão cobrada em provas de concursos, mas está aí uma possibilidade. Puramente 
teórica, basta se lembrar da aula 04:
Suponha que realizemos um experimento de Bernoulli “X” vezes até obtermos 
“sucesso”. Neste caso, “X” é uma variável com distribuição geométrica. Por 
exemplo, “X” pode indicar o número de vezes em que temos de lançar uma moeda 
até obtermos a primeira cara.
Neste exemplo, a chance de obtermos a primeira cara na k-ésima jogada é de: 
P (su ces so n a k — ésim a j o g a d a ) = (1 — p)fc_1 x p
Alternativa (b).
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Exercício 48
(CGU - 2008\ESAF)
A e B são eventos independentes se
a) P(A H B) = P{A) + P(B).
b ) P(An B) = P{A)/ P(B).
c) P(A n B) = P(A) - P(B).
d ) P(Afl B) = P{A) + P(B/A).
e) P(A H B) = P{A) P(B).
Resolução
Nós aprendemos na aula 03, a independência de dois eventos, A e B, ocorre se a 
probabilidade de ocorrência de A, dado B, é igual à probabilidade de ocorrência de 
A:
P(A\B) = P(A)
E vice versa. Portanto, com base no nosso conhecimento de probabildiade 
condicional, é fácil ver que:
P(A\B) = P(A) =
P(A n )
P(B)
-» P01) • P(B) = P(A fl B)
Alternativa (e).
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Exercício 49
(CGU - 2008\ESAF)
Construa um intervalo de 95% de confiança para a 
média de uma população normal a partir dos dados 
de uma amostra aleatória simples de tamanho 64 
desta população, que forneceu uma média de 48 e 
um desvio-padrão amostrai de 16, considerando que 
0(1,96} = 0,975, onde <D{z) é a função de distribuição 
de uma variável aleatória normal padrão Z.
a) 44,08 a 51,92.
b) 41,78 a 54,22.
c) 38,2 a 57,8.
d) 35,67 a 60,43.
e) 32,15 a 63,85.
Resolução
Questão simples, pois basta normalizarmos a variável e encontrar seu respectivo 
intervalo de confiança. Veja:
\X-p\ |48 - m I
a _í§_
V64
Com base nos dados do exercício, queremos encontrar um intervalo de confiança 
de 95%, ou seja, será necessário acumular 97,5% de cada lado da distribuição. 
Portanto, o valor z será de 1,96, tal como o exercício forneceu. Colega, perceba 
que neste exercício, o enunciado só te deu uma escolha, portanto, mesmo que
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Estratégia
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você não soubesse usar a tabela, você poderia supor que este é o valor que 
você procura!
Alternativa (a).
Exercício 50 
(CGU - 2008\ESAF)
Seja X uma variável aleatória com média 1 e variân 
cia 2. Qual a variância da variável Y = 2X +4.
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e ) 1 2
Resolução
Para responder esta questão, é necessário que você recorde as propriedades da 
média e variância. Lembre-se do uso dos "operadores” de variância! Vamos aplicar:
= 1,9 6 ^ 148-^1 = 1,9 6 x
O
V64
148-^1 = 3,9 2
P -superíor = 48 + 3, 92 = 51,92 
P -ín ferío r = 48 — 3, 92 = 44, 08
Variância(Y) = Var{ 2X + 4)
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Lembrem-se das propriedades da variância:
1) Ao som ar (dim inuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para 
cálculo da variância (Var) ou de seu respectivo desvio padrão [DP), o 
resultado ficará inalterado.
2) Ao m u ltip lica r (d ivid ir) todas as observações de uma série por um 
determ inado valor fixo, tal como x, a variância resultante ficará 
m ultip licada (divid ida) por x2, enquanto que o desvio padrão resultante 
ficará m u ltip licado (d ivid ido) por x.
Ora, a variável X está sendo multiplicada e somada em 4 unidades:
Var(2 X + 4) = Var(2 X) = 4 x Var(X) = 4 x 2 = 8
Alternativa (d).
Exercício 51 
(CGU - 2008\ESAF)
Sendo X uma variável aleatória uniforme mente dis­
tribuída no intervalo [0,1], determine sua variância.
a) 1/2.
b) 1/3.
S R ]
d) 1/6.
e) 1/12.
Resolução
Na aula 05, nós aprendemos uma fórmula para encontrar a variância de uma 
distribuição uniforme com limite superior p e inferior a:
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Variància(X)
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Çg ~ « )2
12
Assim, basta substituir:
Kar(X) = ( i - o ) 2 
12
1
12
Alternativa (e).
Exercício 52
(MTUR - ESAF\2014) Sejam duas distribuições de probabilidade fortemente 
assimétricas: A e B. A distribuição A apresenta moda > mediana > média. A 
distribuição B apresenta média > mediana > moda. Com essas afirmações 
pode-se, corretamente, afirmar que:
a) a distribuição A é negativamente assimétrica.
b) a distribuição B é negativamente assimétrica.
c) a distribuição A é positivamente assimétrica.
d) as distribuições A e B são positivamente assimétricas positivas.
e) os valores das medidas de tendência central da distribuição A são maiores 
do que os de B.
Resolução
Bom, no caso de uma distribuição assimétrica à esquerda, ou negativamente 
assimétrica:
Moda > Mediana > Média
No caso de uma distribuição assimétrica à direita, ou positivamente assimétrica:
Média > Mediana > Moda
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Assim, a única alternativa que cabe é a letra (a).
Exercício 53
(MTUR - ESAF\2014) Considere a seguinte amostra de uma variável de média 
e variância desconhecidas:
3, 1, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 2, 4, 6, 11.
Assim, o valor da estimativa não tendenciosa da variância populacional é igual
a:
a) 7,09
b) 8,06
c) 4,6
d) 4,65
e) 5,25
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Resolução
Perceba, meu caro concurseiro, neste caso temos uma amostra, portanto, 
precisamos calcular a variância com base na sua estimativa não viesada, a saber:
_ 2(xj - x)2 
Variância = = n —
Então, vamos calcular a média:
+ 1 + 5 + 2 + 3 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 6 + 
Média = --------------------------------------------------------------
Agora, a variância:
Variância
_ ( 3 - 1)2 + ( 1 - 4)2 + ( 5 - 4)2 + ( 2 - 4)2 + ( 3 - 4)2 + (4 - 4)2 + ( 5 - 4)2 + ( 2 - 4)2 + (2 - 4)2 + (4 - 4)2 + ( 6 - 4)2 + ( 1 1 - 4)2
Variância = 7,09
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Alternativa (a).
Exercício 54
(MTUR - ESAF\2014) O coeficiente de correlação linear entre as variáveis 
aleatórias x e y é igual a 0,99. A partir disso pode-se, corretamente, afirmar 
que:
a) a probabilidade de x e y serem iguais é 99%.
b) x explica y em 99% das ocorrências de y.
c) se o valor de x diminuir, em média, o valor de y aumenta.
d) se o valor de y diminuir, em média, o valor de x diminui.
e) a covariância entre x e y é exatamente igual a 0,01.
Resolução
Ótimo exercício! Você tem de lembrar que correlação linear não explica 
causalidade! O coeficiente de correlação somente indica uma tendência linear 
conjunta entre as variáveis, ou seja, se o mesmo é positivo e muito elevado, isso 
significa que, dado um aumento em uma das variáveis, a outra tende a acompanha- 
la e de forma muito próxima!
Como, no exercício, o coeficiente é positivo, se y diminuir, em média, o valor de x 
também diminuirá! Essa é a única coisa que podemos afirmar com certeza.
Alternativa (d).
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Exercício 55
(MI CENAD - ESAF\2012)
■Determine a reta de regressão de Y em X, 
considerando que uma amostra aleatória simples 
(Xr Y1), (X2„Y2 (X^.Y^) forneceu as seguintes 
estatísticas: médias amostrais X= 4,8 e Y= 15,3, 
variâncias amostrais si = 8 e s§ = 40 e covariância 
amostrai S„v = 12.
a) Y = 8,1 + 0,3 X
b) Y =8,1 + 1,5 X,
c) Y = 15,3 + 1,5X,
d) y = 15,3 +0.3 X
e) Y = 15,3 +2.25 X
Resolução
Vamos nos lembrar de como encontrar os valores da regressão, com base no 
enunciado e na aula 09:
Portanto:
b =
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Para encontrar o intercepto, basta tirarmos a média da regressão:
Y = a + 1, 5X ^ 1 5, 3 = a + 1,5 x 4, 8 
a = 1 5, 3 — 7, 2 = 8, 1
Assim, a reta de regressão será:
Y = 8,1 + 1,5X
Alternativa (b).
^ S S a t e n t o !
Este exercício é melhor que você veja como eu resolvo primeiro, ok?
Exercício 56
(MI CENAD - ESAF\2012) Calcule o coeficiente de determinação R2 da reta de 
regressão ajustada na Questão 55.
a) 0,45
b) 0,56
c) 0,64
d) 0,72
e) 0,75
Resolução
Olha, tente fazer a seguinte operação:
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Dado que Sy é a variância de y e 5 | a variância de x, isso é a mesma coisa que:
Cancelando n, que é o número de graus de liberdade:
Ora, este é o coeficiente de determinação! Então, vamos substituir os dados do 
exercício na fórmula original da página anterior:
Alternativa (a).
Exercício 57
(MI CENAD - ESAF\2012) Considerando que o modelo de regressão ordinária
55, use os dados dessa questão para determinar o valor mais próximo da 
estatística F que testa a hipótese nula p = 0.
a) 8,2
b) 10,6
c) 13,2
d) 14,6
e) 16,4
(b2 x ^ X j - x ) 2 ) ò2I x t2
l ( y i - y ) 2 1 9 ?
b2 x 1 ,52 x 8 1 8
linear simples
Y = a + BX + £i ■ i i1 sendo aplicado aos dados da Questão
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Resolução
Nós já vimos isso algumas vezes. Lembre-se de que o valor F é encontrado por 
meio de:
N - k - 1
Sendo k o número de variáveis explicativas e N o número de observações.
O número de observações é 22! Como eu sei isso? Olhe o enunciado do 55, o vetor 
de observações vai de (X1 ,Y1) até (X22,Y22). Ou seja, há 22 observações e o R2 é 
de 045 (exercício anterior):
Alternativa (e).
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Exercício 58
(ENAP - ESAF\2006) Em uma distribuição positivamente assimétrica, tem-se 
que
a) a média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana.
b) a moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média.
c) a moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana.
d) a mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que média.
e) a média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda.
Resolução
Viu como isso cai? Veja o exercício 52:
Bom, no caso de uma distribuição assimétrica à esquerda, ou negativamente 
assimétrica:
Moda > Mediana > Média
No caso de uma distribuição assimétrica à direita, ou positivamente assimétrica:
Média > Mediana > Moda
Alternativa (e).
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Exercício 59
(ENAP - ESAF\2006) Um experimento binomial é um experimento que 
comporta um número fixo de provas independentes, n. Cada prova tem os 
resultados classificados em apenas duas categorias, a saber: sucesso ou 
fracasso. Muito embora essa classificação seja arbitrária, costuma-se denotar 
a probabilidade de sucesso por p, e a probabilidade de fracasso por q. Desse 
modo, realizando-se 50 provas, a probabilidade de se obter 30 sucessos é 
dada por:
Resolução
Pessoal, isso é o que mais fizemos até agora, a probabilidade de em 50 "jogadas” 
obtermos 30 "sucessos” em uma distribuição binomial é dada por:
C50,3o x p 30 x ( 1 - p ) 20
Alternativa (a).
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Exercício 60
(ENAP - ESAF\2006)
Se E1 e E2 são dois eventos independentes, então
a) a probabilidade de E1 é igual à probabilidade de E2.
b) e E2 são mutuamente exclusivos.
c) a probabilidade de E1 é maior do que a probabilidade 
de E2.
d) a probabilidade de E2 é maior do que a probabilidade 
de Er
e) a ocorrência, ou não, de E1 não afeta a probabilidade 
de ocorrência de E2.
Resolução
Esta prova da ENAP foi bem básica! Veja, que estudamos isso a exaustão! Se dois 
eventos são independentes, a ocorrência ou não de um dos eventos não interfere 
na probabilidade de ocorrência do outro!
Alternativa (e).
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Exercício 61
(DNOCS - FCC\2010) Um investidor aplica todo seu dinheiro da seguinte 
maneira: 50% em títulos de tipo X, 30% em títulos de tipo Y e 20% em títulos de 
tipo Z, independentemente. Sabe-se que a probabilidade de cada título 
apresentar uma taxa de rendimento superior à taxa de inflação é de 95% para 
o título tipo X, de 80% para o título tipo Y e de 80% para o título tipo Z. Um 
título em poder do investidor é escolhido aleatoriamente e verifica-se que não 
apresentou uma taxa de rendimento superior à taxa de inflação. A 
probabilidade deste título NÃO ser do tipo Z é igual a
a) 80%.
b) 70%.
c) 68%.
d) 64%.
e) 52%.
Resolução
O que queremos é o seguinte:
P(não ser Z\não apresentou rendimento)
Bom, atenção ao exercício, pois o mesmo pede rendimentos inferiores à inflação, 
mas ele te dá a probabilidade de ser superior. Assim, a probabilidade de um título 
escolhido ao acaso não ter apresentado rendimento acima da inflação é:
Pirendimento inferior) = 0, 5 ■ ( 1 — 0,9 5) + 0, 3 ■ ( 1 — 0, 8) + 0, 2 ■ ( 1 — 0, 8)
= 0, 5 ■ 0, 0 5 + 0, 3 ■ 0, 2 + 0, 2 ■ 0, 2 = 0, 1 2 5
Qual é a probabilidade de ser Z e ter apresentado rendimento inferior? Ora, é:
P(ser Z e ter apresentado rendimento inferior
P{ser Z\ter apresentado rendimento inferior) =
ter apresentado rendimento inferior
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Substituindo:
P(Z\rendimento inferior) = ^ ^ ̂ ̂ 0, 3 2
Portanto, a probabilidade pedida no exercício é o complemento disso:
1 — P(Z\rendimento inferior) = 1 — 0, 3 2 = 0,68
Alternativa (c).
Exercício 62
(DNOCS - FCC\2010) Um empresário espera, para o próximo exercício, obter 
os seguintes faturamentos brutos para a sua empresa em função dos cenários 
“Bom”, “Médio” e “Ruim”:
CENÁRIOS FATURAMENTO BRUTO (RS 1.000,00)
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA 
DO CENÁRIO (%)
Bom 500 60
Médio 300 30
Ruim 200 10
A variância do respectivo faturamento bruto, em (R$ 1.000,00)2, é igual a
a) 12.900.
b) 16.810.
c) 18.100.
d) 17.900.
e) 16.500.
Resolução
Exercício simples e com diversas formas de fazer. Vamos na mais fácil, primeiro 
calcule a média:
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Média = 500 ■ 0,6 + 3 00 ■ 0,3 + 2 00 ■ 0, 1 = 300 + 90 + 2 0 = 410
Assim, basta diminuir cada uma das entradas da matriz de sua média, elevar ao 
quadrado e multiplicar pela frequência relativa:
Variància = (500 - 410)2 ■ 0,6 + (3 00 - 410)2 ■ 0, 3 + (200 - 410)2 ■ 0, 1 
Variància = 4860 + 3630 + 4410 = 12900
Alternativa (a).
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Exercício 63
(DPE\RS - FCC\2013) Uma fábrica computou o número de parafusos 
produzidos que apresentavam defeitos durante 160 dias. Os resultados 
obtidos estão reproduzidos na tabela de frequências abaixo.
Parafusos com defeito Frequência
2 10
3 20
4 30
5 40
6 10
7 20
3 30
Nesta situação, é correto afirmar que
a) a média aritmética dessa distribuição é menor que a mediana.
b) multiplicando o número de parafusos com defeito por dois (2), o desvio 
padrão da nova distribuição também será multiplicado por dois (2) em relação 
à distribuição original.
c) a moda dessa distribuição é superior à mediana.
d) dividindo-se pela metade o número de parafusos com defeito, a variância da 
nova distribuição será dividida pela metade em relação à distribuição original.
e) somando-se dois (2) às frequências da tabela, o desvio padrão e a variância 
da nova distribuição serão duas unidades maiores em relação aos da 
distribuição original.
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Resolução
Vamos fazer de um jeito fácil? Concurseiro é objetivo e não perde tempo, assim veja 
a alternativa (b):
“multiplicando o número de parafusos com defeito por dois (2), o desvio padrão da 
nova distribuição também será multiplicado por dois (2) em relação à distribuição 
original”
Mas, essa é uma das propriedades do desvio padrão não é? Se você encontra a 
resposta, não viaja, responde e passa para a próxima!
Alternativa (b).
Exercício 64
(TCE\PR - FCC\2011) Uma urna contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 3 amarelas. 
Desta urna, três bolas são selecionadas ao acaso e com reposição. A 
probabilidade de que, entre as 3 selecionadas, no máximo duas sejam pretas é
a) 0,976.
b) 0,936.
c) 0,875.
d) 0,784.
e) 0,652.
Resolução
Questão comum em concursos. Vamos utilizar a distribuição binomial e encontrar a 
chance de, no máximo, 2 "sucesso”, leia-se, encontrar bolas pretas, 3 "jogadas”.
Qual é a probabilidade de sucesso?
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4
P(bola preta) = — = 0,4
Assim:
3!
PÇsucesso = 1) = C31 ■ 0,41 ■ 0, 6 2 = ■ 0,4 ■ 0, 36 = 0,432
PÇsucesso = 0) = C3 0 ■ 0,4o ■ 0,63 = 0, 36 = 0,2 16
Assim, a probabilidade de que ocorra, no máximo, 2 sucesso é:
P(no máximo 2 sucessos) = 0,2 88 + 0,432 + 0,2 16 = 0,936
Alternativa (b).
Exercício 65
(TCE\PR - FCC\2011) Em uma fábrica existem 3 máquinas A, B e C que 
produzem diariamente 10.000 peças. Sabe-se que A, B e C produzem, 
respectivamente, 2000, 5000 e 3000 peças. Da produção de A, B e C, 
respectivamente, 5%,10% e 20% são defeituosas. Seleciona-se uma peça ao 
acaso e verifica-se que é defeituosa. A probabilidade dela ser proveniente da 
máquina C é
a) 0,20.
b) 0,25.
c) 0,30.
d) 0,40.
e) 0,50.
Resolução
Outro problema de probabilidade condicional! Viu como a FCC gosta disso?
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Então, o que queremos é:
P(ser da máquina C\defeituosa) =?
Bom, a primeira coisa é saber qual a probabilidade de qual a probabilidade de uma 
peça ser defeituosa, independentemente da máquina:
P f s e r d e f e i t u o s a ) = P f s e r A ) ■ P { d e f e i t o ) + P f s e r B ) ■ P { d e f e i t o ) + P ( s e r C ) • P ( d e f e i t o )
2000 5 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 + 5 0 0 + 6 0 0
10000 X 2 0 % =
Agora, basta usarmos nossa fórmula:
P(ser da máquina C\defeituosa) =
Pfser C e defeituosa)
3 0 0 0 w 
1 0 0 0 0 X 0,0 6
PÇdefeituosa) 0, 1 2 0, 1 2
= 0,5
Alternativa (e).
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Exercício 66
(ICMS-RJ - FCC\2013) Considere o modelo y t = a + p t + eu i = 1,2,3,... onde:
I. yi e xi representam, respectivamente, o tempo de reação a certo estímulo, 
em segundos, e a idade, em anos, do indivíduo i.
II. a e p representam os parâmetros desconhecidos do modelo.
III. et representa o erro aleatório com as respectivas hipóteses para a 
regressão linear simples.
IV. As estimativas de a e p foram obtidas pelo método de mínimos quadrados
por meio de 10 observações, utilizando-se as seguintes informações:
10 10 10 10 1 0 _
V y j = 1020; YXj=300; ^ x ^ = 40200; Y x 2 =13000; Y y 2 =128000;
i=1 i=1 1=1 i=1 i=1
x = 30; y = 102; x2 =900; y2 = 10404.
Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a
a) 785
b) 810
c) 515
d) 920
e) 460
Resolução
Para resolver esta questão precisamos encontrar a estimativa para o parâmetro p 
do modelo de regressão. Isso será feito por:
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I t 2 -
Q7)2
n
Assim, o estimador será dado por:
Assim, a soma dos quadrados explicados:
SQE = I ( P x í ) 2 = (X i ) 2 = 2 ,42 ■ 400O2 = 2 3 040
40200 300 ■ 1020> 1 0 ,
1 3000 - 30010
9600
4000
= 2,4
E a soma dos quadrados totais:
, , (YY)2 102 02
= I Y 2 - = 128000 - = 2 3960( n 1 0
Portanto, a soma dos quadrados dos resíduos é:
SQT = SQE + SQR ^ 2 3960 - 32 040 = SQR = 920
Alternativa (d).
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Exercício 67 
(ICMS-RJ - FCC\2013) Sabe-se que:
I . X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 2p e 
variância (2p-2p2).
II . Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 5p e 
variância (5p-5p2).
III . A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16.
Nessas condições, a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a
a) 3/1024
b ) 1/64
c) 5/512
d) 15/1024
e) 7/512
Resolução
Eu optei pela resolução mais fácil e rápida desta questão, já que dá para ser mais 
formal, mas não é o que um concurseiro precisa! Vamos começar com a variável X, 
nós sabemos que a esperança e a variância de uma distribuição binomial são dadas 
por:
E (X) = np 
Var(X) = np — np2
Ora, olhe o que o exercício deu:
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E{X) = 2 p 
Var(X) = 2 p — 2 p2
Portanto, fica fácil ver que:
n = 2
O exercício fala que a probabilidade do valor de X ser inferior a 2 é de 15/16. No 
caso, 0 < X < 2, pois trata-se de uma distribuição binomial com parâmetro n = 2. 
Assim:
p2 = p(x = 2) = 1 - P(X < 2)
1 5 _ 1 
16 _ 16
Com base nisso, podemos achar o valor pedido para Y.
Fica fácil ver que, com base no enunciado:
E(X) = 5 p 
Var(X) = 5 p — 5p2
Então:
n = 5
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A probabilidade de sucesso é a mesma, pois ambas as variáveis referem-se a “p”.
Agora, basta realizarmos nosso usual exercício de distribuição binomial para 
resolvermos a questão. Como n = 5 e o exercício quer saber qual a probabilidade 
de que Y assuma valores maiores do que 3, temos que encontrar a probabilidade de 
que Y seja igual à 4 e 5. Assim:
P(Y = 4) = C54x p 4 x ( 1 - p ) 1
5! 1 4 3 1 3 1 5
U 4 Í x ( 4 ) x 4 = 5 x 4i X 4 = 4=
P(y = 5) = C5,5 x p 5 x ( 1 - p ) 0
x ( 4 í
1
4
Portanto:
15 1 1 6 4 x 4 1
p(Y - 4 ) + P(Y - S) - — + — - — - —— ——— —4 _ —
1
64
Alternativa (b).
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Lista de exercícios resolvidos 
Exercício 1
(AFT - 2009/ESAF) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, 
sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calça 
jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça jeans 
que homens com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que 
mulheres com óculos, e iii) metade dos homens de calça jeans estão usando 
óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão 
usando óculos mas não estão usando calça jeans?
a) 5%.
b) 10%.
c) 12%.
d) 20%.
e) 18%.
Exercício 2
(DEGASE - CEPERJ/2012) Em uma turma há 20 homens e 10 mulheres. Para 
os homens, o percentual de aprovação foi de 80%, enquanto para as mulheres 
o percentual de aprovação foi de 90%. Se selecionarmos um aluno ao acaso 
dentre o conjunto de alunos aprovados, a probabilidade de este aluno ser do 
sexo masculino será de:
a) 0,48
b) 0,60
c) 0,64
d) 0,89
e) 0,90
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Exercício 3
(DNIT - ESAF/2012) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, 
e os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da 
soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a:
a) 35%
b) 20%
c) 30%
d) 15%
e) 25%
Exercício 4
(DNIT - ESAF/2012) Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de 
seus quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros 
distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, 
sendo que os quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, o 
número de possibilidades distintas de montar essa exposição é igual a:
a) 5
b) 12
c) 24
d) 6
e) 15
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Exercício 5
(ANA - ESAF/2009) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 
2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?
a) 11,53%
b) 4,24%
c) 4,50%
d) 5,15%
e) 3,96%
Exercício 6
(ANA - ESAF/2009) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade 
de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso 
três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de 
exatamente uma pessoa