LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA ENEM - TRIGONOMETRIA

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LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA – ENEM - 
TRIGONOMETRIA 
 
1. (Enem 2020) Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, 
comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há 
uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de 
vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura. 
 
 
 
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 𝑐𝑚 de distância entre suas vigas, de modo 
que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano 
perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 
30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia. 
 
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser 
construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de 
a) 9. 
b) 15. 
c) 26. 
d) 52. 
e) 60. 
 
2. (Enem PPL 2019) As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre 
a superfície terrestre são a latitude e a longitude. Para tal, considera-se que a Terra tem a 
forma de uma esfera. 
Um meridiano é uma circunferência sobre a superfície da Terra que passa pelos polos Norte e 
Sul, representados na figura por 𝑃𝑁 e 𝑃𝑆. O comprimento da semicircunferência que une os 
 
 
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pontos 𝑃𝑁 e 𝑃𝑆 tem comprimento igual a 20.016 𝑘𝑚. A linha do Equador também é uma 
circunferência sobre a superfície da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano que a 
contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano. 
Seja 𝑃 um ponto na superfície da Terra, 𝐶 o centro da Terra e o segmento 𝑃𝐶 um raio, 
conforme mostra a figura. Seja 𝜑 o ângulo que o segmento 𝑃𝐶 faz com o plano que contém a 
linha do Equador. A medida em graus de 𝜑 é a medida da latitude de 𝑃. 
 
 
 
Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção ao Polo Norte, 
percorrendo um meridiano, até um ponto 𝑃 com 30 graus de latitude. 
 
Quantos quilômetros são percorridos pelo navio? 
a) 1.668 
b) 3.336 
c) 5.004 
d) 6.672 
e) 10.008 
 
3. (Enem PPL 2019) Uma pista circular delimitada por duas circunferências concêntricas foi 
construída. Na circunferência interna dessa pista, de raio 0,3 𝑘𝑚, serão colocados aparelhos de 
ginástica localizados nos pontos 𝑃,  𝑄 e 𝑅, conforme a figura. 
 
 
 
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O segmento 𝑅𝑃 é um diâmetro dessa circunferência interna, e o ângulo 𝑃�̂�𝑄 tem medida igual 
a 
𝜋
5
 radianos. 
 
Para uma pessoa ir do ponto 𝑃 ao ponto 𝑄 andando pela circunferência interna no sentido anti-
horário, ela percorrerá uma distância, em quilômetro, igual a 
a) 0,009𝜋 
b) 0,03𝜋 
c) 0,06𝜋 
d) 0,12𝜋 
e) 0,18𝜋 
 
4. (Enem 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de 
deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura. 
 
 
 
A função ℎ(𝑡) = 4 + 4𝑠𝑒𝑛 (
𝛽𝑡
2
−
𝜋
2
) definida para 𝑡 ≥ 0 descreve como varia a altura ℎ, medida 
em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do 
tempo 𝑡, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois 
instantes distintos. 
 
 
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O valor do parâmetro 𝛽, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a 
velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é 
necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante 
𝑡 = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 𝑐𝑚. Para os cálculos, 
utilize 3 como aproximação para 𝜋. 
 
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro 𝛽, de forma que o motor a ser construído 
tenha boa potência, é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 8. 
 
5. (Enem PPL 2019) Os movimentos ondulatórios (periódicos) são representados por 
equações do tipo ±𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜃), que apresentam parâmetros com significados físicos 
importantes, tais como a frequência 𝑤 =
2𝜋
𝑇
, em que 𝑇 é o período; 𝐴 é a amplitude ou 
deslocamento máximo; 𝜃 é o ângulo de fase 0 ≤ 𝜃 <
2𝜋
𝑤
, que mede o deslocamento no eixo 
horizontal em relação à origem no instante inicial do movimento. 
O gráfico representa um movimento periódico, 𝑃 = 𝑃(𝑡), em centímetro, em que 𝑃 é a posição 
da cabeça do pistão do motor de um carro em um instante 𝑡, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
A expressão algébrica que representa a posição 𝑃(𝑡), da cabeça do pistão, em função do 
tempo 𝑡 é 
a) 𝑃(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
b) 𝑃(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
c) 𝑃(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(4𝑡) 
d) 𝑃(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛 (2𝑡 +
𝜋
4
) 
 
 
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e) 𝑃(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛 (4𝑡 +
𝜋
4
) 
 
6. (Enem 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de 
papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a 
borda inferior. O raio da base do cilindro mede 
6
𝜋
𝑐𝑚, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha 
em formato de hélice, como na figura. 
 
 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
a) 36√3 
b) 24√3 
c) 4√3 
d) 36 
e) 72 
 
7. (Enem 2018) Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por 
circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com 
extremidades na origem, separadas por ângulos de 
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑, conforme a figura. 
 
 
 
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa 
malha, não podendo passar pela origem (0;  0). 
Considere o valor de 𝜋 com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal. 
 
 
 
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Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto 𝐵 até o ponto 𝐴, um 
objeto deve percorrer uma distância igual a 
a) 
2⋅𝜋⋅1
3
+ 8 
b) 
2⋅𝜋⋅2
3
+ 6 
c) 
2⋅𝜋⋅3
3
+ 4 
d) 
2⋅𝜋⋅4
3
+ 2 
e) 
2⋅𝜋⋅5
3
+ 2 
 
8. (Enem 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada 
em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto 𝐴 
representa uma de suas cadeiras: 
 
 
 
A partir da posição indicada, em que o segmento 𝑂𝐴 se encontra paralelo ao plano do solo, 
rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto 𝑂. Sejam 𝑡 o ângulo 
determinado pelo segmento 𝑂𝐴 em relação à sua posição inicial, e 𝑓 a função que descreve a 
altura do ponto 𝐴, em relação ao solo, em função de 𝑡. 
 
Após duas voltas completas, 𝑓 tem o seguinte gráfico: 
 
 
 
A expressão da função altura é dada por 
 
 
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a) 𝑓(𝑡) = 80 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88 
b) 𝑓(𝑡) = 80  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) + 88 
c) 𝑓(𝑡) = 88  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) + 168 
d) 𝑓(𝑡) = 168 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 88  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
e) 𝑓(𝑡) = 88 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 168  𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
 
9. (Enem 2017) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma 
pessoa, utiliza uma função do tipo 𝑃(𝑡) = 𝐴 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) em que 𝐴,  𝐵 e 𝑘 são constantes reais 
positivas e 𝑡 representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento 
cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas. 
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: 
 
Pressão mínima 78 
Pressão máxima 120 
Número de batimentos cardíacos por minuto 90 
 
A função 𝑃(𝑡) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi 
a) 𝑃(𝑡) = 99 + 21 𝑐𝑜𝑠( 3𝜋𝑡) 
b) 𝑃(𝑡) = 78 + 42 𝑐𝑜𝑠( 3𝜋𝑡) 
c) 𝑃(𝑡) = 99 + 21 𝑐𝑜𝑠( 2𝜋𝑡) 
d) 𝑃(𝑡) = 99 + 21 𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
e) 𝑃(𝑡) = 78 + 42 𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 
 
10. (Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panelaem forma 
circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo 
comprimento das hastes é de 10 𝑐𝑚, um transferidor e uma folha de papel com um plano 
cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de 
forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto 
𝐶, a ponta do grafite está representada pelo ponto 𝐵 e a cabeça do compasso está 
representada pelo ponto 𝐴 conforme a figura. 
 
 
 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho 
com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o 
tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados. 
 
 
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Tipo de material Intervalo de valores de raio (𝑐𝑚) 
I 0 < 𝑅 ≤ 5 
II 5 < 𝑅 ≤ 10 
III 10 < 𝑅 ≤ 15 
IV 15 < 𝑅 ≤ 21 
V 21 < 𝑅 ≤ 40 
 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Considere a vista frontal do pergolado. 
 
 
 
Seja ℎ a altura das vigas do pergolado. 
No momento em que os raios de luz fazem 30° com a vertical, tem-se o desejado. Assim, 
aproximando √3 por 1,7, vem 
𝑡𝑔 3 0° =
15
ℎ
⇒
√3
3
=
15
ℎ
 
  ⇒ ℎ = 15√3 
  ⇒ ℎ ≅ 26𝑐𝑚. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Sendo 
30°
180°
=
1
6
, podemos concluir que a resposta é 
20016
6
= 3336 𝑘𝑚. 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Desde que 𝑃�̂�𝑄 é inscrito, podemos concluir que o menor arco 𝑃𝑄⏜ corresponde a 
2𝜋
5
𝑟𝑎𝑑. 
Portanto, a resposta é igual a 
2𝜋
5
⋅ 0,3 = 0,12𝜋𝑘𝑚. 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Se ℎ(𝑡) = 6, então 
6 = 4 + 4 𝑠𝑒𝑛 (
𝛽𝑡
2
−
𝜋
2
) ⇒ 𝑠𝑒𝑛 (
𝛽𝑡
2
−
𝜋
2
) =
1
2
 
   ⇒ 𝑠𝑒𝑛 (
𝛽𝑡
2
−
𝜋
2
) = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
. 
 
 
 
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Logo, sendo 𝑡 ≥ 0, temos 
𝛽𝑡
2
−
𝜋
2
∈ {
𝜋
6
, 
5𝜋
6
, 
13𝜋
6
, … }. 
 
Portanto, como a altura de 6𝑐𝑚 deve ser atingida 3 vezes, vem 
𝛽𝑡
2
−
𝜋
2
=
13𝜋
6
⇔ 𝑡 =
16𝜋
3𝛽
. 
 
Ademais, sabendo que a altura de 6𝑐𝑚 deve ser alcançada pela terceira vez antes de 4 
segundos, temos 
16𝜋
3𝛽
< 4 ⇒ 𝛽 >
4𝜋
3
≅ 4, 
 
ou seja, o menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro 𝛽 é 5. 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Tratando-se da função seno, sabemos que seu período fundamental é 2𝜋 e que seu período, 
do gráfico, é igual a 𝜋. Logo, temos 
𝜋 =
2𝜋
|𝑤|
⇒ 𝑤 = 2. 
 
Como a função 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é crescente no primeiro quadrante e sua imagem é o intervalo [−1,  1], 
podemos concluir que 𝐴 = 4, uma vez que a imagem da função 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝜃) varia no 
intervalo [−4,  4] e é crescente em [0, 
𝜋
4
]. 
Finalmente, sendo 𝑃(0) = 0 e 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
, temos 
0 = 4 𝑠𝑒𝑛(2 ⋅ 0 + 𝜃) ⇔ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 
  ⇒ 𝜃 = 0. 
 
Portanto, a resposta é 𝑃(𝑡) = 4 𝑠𝑒𝑛( 2𝑡). 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Seja ℎ a altura do cilindro. 
Na figura é possível perceber que foram dadas seis voltas em torno do cilindro. Logo o cateto 
adjacente ao ângulo de 30° mede 6 ⋅ 2𝜋 ⋅
6
𝜋
= 72𝑐𝑚 e, portanto, temos 
 
𝑡𝑔 3 0° =
ℎ
72
⇔ ℎ = 24√3𝑐𝑚. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
O menor caminho, por inspeção, corresponde ao comprimento de 8 segmentos de reta de 
medida igual a 1, somado ao comprimento do arco definido pelo ângulo central de 
4𝜋
6
⋅ 1 =
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 e raio 1, ou seja, 
2𝜋
3
+ 8. 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
 
 
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A função 𝑓 é do tipo 𝑓(𝑡) = 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑡). Logo, sendo 𝑓(0) = 88, temos 𝑎 = 88. Ademais, 
pelo gráfico, sabemos que o período de 𝑓 é 2𝜋 e, portanto, vem 𝑚 = 1. 
Finalmente, como 𝑓 (
𝜋
2
) = 168, obtemos 
168 = 88 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = 80. 
 
A resposta é 𝑓(𝑡) = 88 + 80 𝑠𝑒𝑛 𝑡. 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Calculando: 
𝑃(𝑡) = 𝐴 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) 
{
𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) = 120
𝐴 − 𝐵 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) = 78
⇒ 2𝐴 = 198 ⇒ 𝐴 = 99 
𝑃𝑚á𝑥 ⇒ 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑡) = 1 
99 + 𝐵 = 120 ⇒ 𝐵 = 21 
90 𝑏𝑎𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
=
1
𝑇
⇒ 𝑇 =
6
9
𝑠 =
2
3
𝑠 
𝑘 =
2𝜋
𝑇
=
3
2
⋅ 2𝜋 = 3𝜋 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚: 
𝑃(𝑡) = 99 + 21 ⋅ 𝑐𝑜𝑠( 3𝜋𝑡) 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
O compasso forma, com a superfície do papel, um triângulo isóscele de lados 10,  10 e 𝑅 (raio), 
e ângulos 120,  30 e 30 graus. Sabendo-se disto, pode-se calcular o raio 𝑅: 
𝑅
𝑠𝑒𝑛 120°
=
10
𝑠𝑒𝑛 30°
⇒ 𝑅 ⋅
1
2
= 10 ⋅
√3
2
⇒ 𝑅 = 10√3 ≈ 17𝑐𝑚 ⇒ 15 < 𝑅 ≤ 21