sel383-02_Sinais_Sistemas_6

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marcelo bj 1Sinais e Sistemas
Introdução aos
Sinais e Sistemas
marcelo bj 2Sinais e Sistemas
1. Sinais contínuos no tempo
9 Introdução
Ö Os sinais são representados matematicamente como funções de 
uma ou mais variáveis independentes.
Ö Eles transportam informações a respeito de um fenômeno físico ou 
então de um sistema.
9 Neste curso estudaremos:
Ö sinais com uma variável independente: o tempo.
Ö sinais contínuos no tempo (tempo discreto sel0343 - pds).
Ö exemplo: sinal de voz
t
x(t)
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1.1 Operações com sinais
9 Deslocamento no tempo
( ) ( )0ttxty −=
t0 > 0 - representa um tempo de atraso.
t0 < 0 - representa um tempo de avanço.
Os sinais: são idênticos quanto à forma
mas deslocados no tempo.
0 0 0
x(t) x(t-t0) x(t-t0)
sinal avançado sinal atrasado
t0 t0
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9 Reversão do tempo
( ) ( )txty −=
É obtido refletindo x(t) em torno da origem (t = 0).
0 0
x(t) x(-t)
Os sinais: são idênticos quanto à forma
mas invertidos no tempo.
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9 Compressão e expansão
( ) ( )atxty =
Em que ‘a’ é uma constante.
É obtido fazendo-se uma mudança linear na variável independente.
se a > 1 - o sinal é comprimido (variações rápidas)
a < 1 - o sinal é expandido (variações lentas)
x(t) x(at) a > 1 x(at) a < 1
compressão expansão
marcelo bj 6Sinais e Sistemas
9 Sinal par e sinal ímpar
Ö Um sinal é chamado par se ele satisfizer a seguinte condição:
( ) ( )txtx −=
x(t) é igual a sua reflexão em torno da origem.
Ö Um sinal é chamado ímpar se ele satisfizer a seguinte condição:
( ) ( )txtx −−=
• Observe que um sinal ímpar vale 0 para t = 0
x(t) x(t)
Sinal par Sinal ímpar
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Ö parte par de um sinal: parte ímpar de um sinal:
( ) ( ) ( )[ ]txtxtxe −+= 2
1 ( ) ( ) ( )[ ]txtxtxo −−= 2
1
Recomenda-se como exercício provar estas duas propriedades.
9 Sinais periódicos
Ö Um sinal é chamado periódico se existir um valor positivo T tal que:
( ) ( ) ttodoparaTtxtx +=
Ö período fundamental: 
a condição é válida para: ±T, ± 2T, ± 3T, ....
acimacondiçãoasatisfazqueTmenor:T0
marcelo bj 8Sinais e Sistemas
Ö frequência fundamental: 
[ ]Hzhertzousegundoporciclos
T
f
o
1
0 =
[ ]s/radsegundoporradianosf
T
w
o
00 2
2 π=π=
Pois tem-se um ciclo completo em 2π radianos.
0T sinal periódico
marcelo bj 9Sinais e Sistemas
9 Sinais de energia e de potência
Ö A potência instantânea dissipada em um resistor é definida como:
( ) ( ) ( )tRi
R
tvtp 2
2
==
Ö A potência instantânea de um sinal em relação a um resistor de 1
ohm é:
( ) ( ) ( ) ( ) 22 txtpoutxtp ==
Ö Energia total de um sinal:
( )∫∞∞−= dttxE 2
9 obs: para sinais complexos: ( ) ( ) ( )txtxtx *2 =
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Ö Potência média de um sinal:
( )∫−∞→= 2/ 2/ 21lim TTT dttxTP
Ö Potência média de um sinal periódico:
( )∫ += 0 2
0
1 Tt
t
dttx
T
P
¾ Sinal de energia: é aquele para o qual: 0 < E < ∞
¾ Sinal de potência: é aquele para o qual: 0 < P < ∞
sinais não periódicos e determinísticos.
Sinais aleatórios e periódicos.
¾ Raiz do valor quadrático médio (root mean square)
= raiz quadrada da potência média em relação a um resistor de 1 ohm
= valor rms ou valor eficaz.
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1.2 Sinais contínuos no tempo básicos
9 Sinais exponenciais
( ) atCetx =
C e a são em geral números complexos
Ö admitindo C e a valores reais tem-se uma exponencial real:
x(t) a > 0 x(t) a < 0
C C
0 0
Ö Exemplo: descarga de um capacitor através de um resistor
¾ São utilizados para modelar, representar ou testar sistemas ou sinais 
provenientes de algum sistema real (físico).
marcelo bj 12Sinais e Sistemas
Ö exponencial complexa:
A forma mais comum de exponencial complexa é realizada
admitindo a um número puramente imaginário.
( ) tjwCetx 0=
C é admitido ser 1 e w0 um número positivo
Esta função é periódica com período 2π/w0 pois:
( ) ( ) ( )txeeeeeeTtx tjwjtjwTjwtjwTtjw =====+ π+ 0000000 20
Aplicação: análise de Fourier onde é definido um conjunto de 
exponenciais relacionadas harmonicamente tais que:
( ) L,,,ket tjkwk 2100 ±±==φ
02 0
0
≠== k
k
T
wk
Tk
π
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9 Sinais senoidais
A forma mais comum de se escrever um sinal senoidal é:
( ) ( )φ−= twAtx 0cos
Em que A é amplitude, w0 é a frequência em [rad/s] e φ é o ângulo de
fase em radianos.
T0
Acos(φ)
A
x(t)
t
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−=
200
twcosAtwsenA
Outra forma de se escrever o sinal senoidal:
marcelo bj 14Sinais e Sistemas
¾ Relações de Euler
( ) [ ] ( ) [ ]
( ) ( )twsenjtwcose
ee
j
twseneetwcos
tjw
tjwtjwtjwtjw
00
00
0
0000
2
1
2
1
+=
−=+= −−
9 Sinais senoidais exponencialmente amortecidos
( ) ( )φ+= − twsenAetx at 0
em que a > 0
0
2
w
Tk
π=
x(t)
marcelo bj 15Sinais e Sistemas
9 Função degrau unitário
( )
⎩⎨
⎧
<
>=
00
01
t,
t,
tu
u(t)
0 t
1
9 Função impulso unitário
( )
( ) 1
00
=δ
≠∀=δ
∫∞∞− dtt
t,t
0 t
δ(t)1
marcelo bj 16Sinais e Sistemas
Ö compreensão da função δ(t)
-τ/2 -τ/2 τ/2 τ/2
1/τ
1/τ
pτ(t)
t
No limite, quando τ → 0
pτ(t) → δ(t)
pulso de área igual a 1
Ö algumas propriedades:
Ö A função impulso é par: ( ) ( )tt −δ=δ
Ö mudança de escala: ( ) ( )t
a
at δ=δ 1
Ö multiplicação por uma função: ( ) ( ) ( )00 txdttttx =−δ∫∞∞−
marcelo bj 17Sinais e Sistemas
Ö multiplicação por uma função (de modo informal):
( ) ( ) ( ) ( )000 tttxtttx −δ=−δ
Ö função degrau unitário como função da função impulso:
( ) ( ) ( )∫∫ ∞∞− ττ−δ=ττδ= 0 dtdtu t
Ö função trem de impulsos:
( ) ( )∑∞
−∞=
−δ=δ
k
T kTtt
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9 rampa
( )
⎩⎨
⎧
<
≥=
00
0
t,
t,at
tr
r(t)
0 t
9 onda quadrada
T0/2 -T0/2 
t
x(t)
A
-A
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9 onda triangular
T0/2 -T0/2 
t
x(t)
A
-A
9 onda dente de serra
T0
t
x(t)
A
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9 algumas medidas em sinais:
Ö valor médio em um intervalo Δt:
( )∫ Δ+Δ= tttm dttxtx 111
Ö para sinais periódicos:
( )∫ += 01
10
1 Tt
t
m dttxT
x
Ö extraindo o valor médio de um sinal tem-se a componente
alternada:
( ) ( ) mac xtxtx −=
Ö valor rms:
Pxrms =
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2. Sistemas
9 Introdução
Ö É um dispositivo que processa um sinal aplicado em sua entrada.
Ö É um processo (ou conjunto de interconexões de operações) que 
resulta numa transformação de um sinal.
Ö Admitindo H[ . ] um operador que denota a transformação então:
( ) ( )[ ]txHty =
H[.]x(t) y(t)
( ) [ ] ( )tytx .H⎯⎯ →⎯
Ö x(t): sinal de entrada e y(t): sinal de saída
marcelo bj 22Sinais e Sistemas
9 Diagrama de blocos
HM[.]x(t) y(t)H2[.]H1[.] . . .
conexão série ou cascata
HM[.]
x(t)
y(t)
H2[.]
H1[.]
...
conexão paralelo
marcelo bj 23Sinais e Sistemas
conexão com realimentação
x(t) y(t)
H2[.]
H1[.]
+ ou -
Interconexões combinadas
H3[.]
x(t)
y(t)H2[.]H1[.] H4[.]
marcelo bj 24Sinais e Sistemas
9 Exemplo:
C Ri(t)
i1(t) i2(t)
v(t)
Circuito RC paralelo alimentado por uma fonte de corrente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
R
tvtidtti
C
tv
titititititi
t ==
−=→+=
∫ ∞− 21
2121
1
i(t) v(t)
-
( )∫ ∞−t dttiC 11
( )
R
tv
( )
→
ti1
( )ti2↑
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3. Propriedades dos sistemas
¾ A saída depende da entrada somente para o instante atual.
( ) ( )tRitv =
( ) ( )∫ ∞−= t dttiCtv 1
Ö O resistor é um sistema sem memória:
9 sistema sem memória
Ö O capacitor é um sistema com memória:
9 sistema inversível
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ } ( )txtxHHtyHtxHty ==⇒= −− 11
( ) ( ) [ ] [ ]
2
122 1 =⇒=⇒= − .H.Htxty
Ö exemplo:
marcelo bj 26Sinais e Sistemas
Ö sistema causal:
9 sistema causal (causalidade)
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante de tempo
depender somente de valores presentes e/ou passados do sinal.
( ) ( ) ( )1−+= txtxty
Ö sistema não causal: ( ) ( ) ( )1++= txtxty
9 sistema estável (estabilidade)
Um sistema é estável se para toda entrada limitada a saída também
é limitada.
( ) ( ) ∞<≤⇒∞<≤ yx MtyMtx
BIBO: bounded input / bounded output
marcelo bj 27Sinais e Sistemas
9 sistema invariante no tempoUm sistema é invariante no tempo se um deslocamento no sinal de
entrada produzir o mesmo deslocamento no sinal de saída.
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]00 ttxHttytxHty −=−⇒=
9 sistema linear (linearidade)
Um sistema é linear se ele satisfaz o princípio da superposição.
( ) ( ) ( ) ( )[ ]txatxatxaHty MM+++= L2211
ai constantes quaisquer.
( ) ( )[ ]txHty ii =Ö admitindo que:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]txHatxHatxHaty MM+++= L2211
marcelo bj 28Sinais e Sistemas
Ö sistema linear:
( ) ( ) ( ) ( )tyatyatyaty MM+++= L2211
Ö ai = 1 → sistema linear aditivo.
Ö ai ≠ 1 → sistema linear homogêneo.
exercícios: