sel383-03_slit_6

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marcelo bj 1Sistemas LTI
Sistemas Lineares
invariantes no tempo
marcelo bj 2Sistemas LTI
Introdução
9 Importância do estudo:
Ö Muitos sistemas físicos são bem modelados como um SLIT.
Ö Existe um poderoso conjunto de ferramentas matemáticas para
caracterizá-los.
9 Nesta parte do curso vamos estudar três tipos de representações:
Ö Resposta ao impulso (integral de convolução),
Ö Equação diferencial linear com coeficientes constantes,
Ö Diagrama de blocos.
9 Revisão das propriedades para um sistema linear invariante no tempo 
[ SLIT ]:
( ) ( )[ ]txHty = ( ) [ ] ( )tytx .H⎯⎯ →⎯
¾ Para um sistema LTI são válidas as seguintes propriedades:
marcelo bj 3Sistemas LTI
( ) ( ) ( )tyatyaty MM++= L11
¾ Deslocamento na entrada → deslocamento na saída
9 invariância no tempo:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]00 ttxHttytxHty −=−⇒=
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]txHatxHatxatxaH MMMM ++=++ LL 1111
¾ é válido o princípio da superposição:
9 Linearidade:
9 nomenclatura:
sistemas LTI ou LIT ou SLIT
marcelo bj 4Sistemas LTI
Representação pela resposta ao impulso [h(t)]
A integral de convolução
9 Definição:
Ö Resposta ao impulso de um sistema LTI é o sinal de saída quando 
aplica-se na entrada a função impulso unitário.
Ö Denota-se por h(t).
9 Representação de uma função utilizando a função δ(t):
9 Considere:
Ö x(t) um sinal qualquer,
Ö e uma aproximação em degraus 
• em que cada degrau é representado pelo seguinte pulso:
( )txˆ
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ τΔ≤≤τΔ=δΔ
contráriocaso
t
t
0
01
marcelo bj 5Sistemas LTI
9 representação em degraus de x(t):
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
Δ τΔτΔ−δτΔ=
k
ktkxtxˆ
Ö desde que o produto ΔτδΔ(t) é igual a 1, então x(t) pode ser 
aproximada por:
t
Δ τ
kΔτ
x(t) δΔ(t)
1/Δτ
Δτ t
marcelo bj 6Sistemas LTI
9 Conforme Δτ → 0 a aproximação torna-se cada vez melhor.
Ö no limite tem-se que: 
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
Δ→τΔ
τΔτΔ−δτΔ=
k
ktkxlimtx
0
9 ainda considerando o limite note que:
Ö kΔτ → um valor qualquer τ,
Ö δΔ(t) → δ(t) função impulso unitário,
Ö Δτ → dτ
Ö portanto a somatória torna-se uma integral do tipo:
( ) ( ) ( )∫∞∞− ττ−δτ= dtxtx
Ö x(t) pode ser representada por uma soma de impulsos deslocados.
marcelo bj 7Sistemas LTI
A integral de convolução
9 Seja h(t) a resposta de um sistema LTI ao impulso unitário:
( ) [ ] ( )tht .H⎯⎯ →⎯δ
9 suponha que seja aplicado no sistema um sinal x(t) em que:
Ö x(t) seja uma aproximação em degraus (como anteriormente),
Ö assim, para um instante particular kΔτ tem aplicado na entrada do 
sistema o seguinte pulso:
( ) ( ) τΔτΔ−δτΔ Δ ktkx
t
Δ τkΔτ
x(t) δΔ(t)
1/Δτ
Δτ t
marcelo bj 8Sistemas LTI
9 definindo:
( ) ( ) τΔτΔ−δτΔ Δ ktkx
( )thˆ ( )tΔδComo a resposta do sistema LTI ao pulso:
Ö então a resposta do sistema ao pulso será:
( ) ( ) τΔτΔ−τΔ kthˆkx
9 o sistema por hipótese é linear, então:
Ö podemos aplicar o princípio da superposição.
( ) ( )∑∞
−∞=
τΔτΔ−τΔ=
k
kthˆkx)t(yˆ
Ö isto é, a saída é a soma de todas as contribuições individuais de 
cada pulso deslocado.
marcelo bj 9Sistemas LTI
9 Novamente, conforme Δτ → 0 a aproximação torna-se cada vez melhor.
Ö no limite tem-se que: 
( ) ( ) ( )∫∞∞− ττ−τ= dthxty
Ö a equação acima é conhecida como integral de convolução ou 
integral de superposição.
Ö corresponde à representação de um sistema LTI em termos de sua 
resposta ao impulso h(t).
Ö ela é representada por:
( ) ( ) ( )th*txty = h(t)x(t) y(t)
marcelo bj 10Sistemas LTI
exercícios
marcelo bj 11Sistemas LTI
Propriedades de um sistema LTI
1. Propriedade comutativa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞∞− ττ−τ== dtxhtx*thth*tx
2. Propriedade distributiva:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )th*txth*txthth*tx 2121 +=+
x(t) y(t)h1(t) + h2(t) x(t) y(t)
h2(t)
h1(t)
3. Propriedade associativa:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )th*th*txth*th*tx 2121 =
marcelo bj 12Sistemas LTI
4. Sistemas sem memória:
( ) ( ) ( ) ( )tkxtytkth =⇒δ=
Em um sistema sem memória a saída depende da entrada somente 
para o instante atual.
5. Inversibilidade
( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtx*th*thty ii ==
x(t) yi(t) = x(t)hi(t)h(t)
( ) ( ) ( )tth*th i δ=
x(t) yi(t) = x(t)δ(t)
marcelo bj 13Sistemas LTI
6. Sistemas causais:
Um sistema é causal se a saída depende somente dos valores 
presentes e/ou passados da entrada.
Ö A seguinte condição deve ser satisfeita: ( ) 00 <= t,th
Para a integral de convolução tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∞∞− ττ−τ=ττ−τ= 0 dtxhdthxty t
Ö sinais causais: ( ) 00 <= t,tx
7. Sistemas estáveis:
Um sistema é estável se para toda entrada limitada a saída também
é limitada. ( BIBO)
marcelo bj 14Sistemas LTI
Seja: ( ) ∞<≤ xMtx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∞<ττ≤
ττ−τ≤ττ−τ=
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
dhM
dtxhdtxhty
x
Ö portanto: ( ) ∞<ττ∫∞∞− dh h(t) deve ser absolutamente somável
Ö exemplo: verifique para que condições de a, que o sistema abaixo é
estável.
( ) ( ) 0>= A,tuAeth at
( ) [ ] 01
00
<⇒−=== ∞
∞∞∞
∞− ∫∫ aeaAeaAdtAedtth aatat
marcelo bj 15Sistemas LTI
8. Resposta ao degrau unitário:
¾ Fornece informações sobre o comportamento do sistema para 
mudanças abruptas no sinal.
¾ Ela está relacionada com a resposta ao impulso.
9 seja: ( ) ( ) ( )tu*thts =
9 então: ( ) ( ) ( ) ( )ts
dt
dthdhts
t =⇒ττ= ∫ ∞−
9 exemplo: encontre a resposta ao degrau unitário para um circuito RC
tal que:
( ) ( )tue
RC
th RC/t−= 1
( ) ( ) =τ=ττ= ∫∫ τ−∞− τ− t RC/t RC/ deRCdueRCts 011 [ ] ( )tue RC/t−−1
marcelo bj 16Sistemas LTI
Representação através de equações diferenciais lineares
¾ forma geral da representação:
( ) ( )∑∑
==
=
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k txdt
dbty
dt
da
00
¾ ak e bk coeficientes constantes
¾ N: [ a maior derivada de y(t) ] → ordem do sistema; é o número de 
dispositivos que armazenam energia (capacitores, indutores).
¾ A solução consiste de duas partes:
9 solução homogênea ( resposta natural ) → yh(t)
9 solução particular → yp(t)
( ) ( ) ( )tytyty ph +=
marcelo bj 17Sistemas LTI
¾ a solução da equação diferencial necessita de um conjunto de N 
condições auxiliares: 
( ) ( ) ( )01
1
00 tydt
d,,ty
dt
d,ty N
N
−
−
L
¾ elas resumem as condições dos dispositivos que armazenam 
energia ( tensões nos capacitores, correntes nos indutores )
¾ para um sistema linear e causal admite-se uma condição inicial de 
repouso:
( ) ( ) 00 00 tt,tytt,txse ≤=→≤=
¾ neste caso o sistema é também invariante no tempo e a saída 
pode ser calculada admitindo:
( ) ( ) ( ) 001
1
00 ==== −
−
ty
dt
dty
dt
dty N
N
L
marcelo bj 18Sistemas LTI
9 Solução homogênea ou resposta natural: yh(t)
Ö a resposta natural é a saída do sistema quando a entrada é nula:
( ) 0
0
=∑
=
N
k
hk
k
k tydt
da equaçãohomogênea
Ö a solução apresenta a seguinte forma:
( ) ∑
=
=
N
i
t
ih
iecty
1
α
Ö em que os αi são as raízes da seguinte equação característica:
0
0
=α∑
=
N
k
k
ka
marcelo bj 19Sistemas LTI
Ö se uma das raízes repete-se M vezes são incluídos M termos:
tMtt iii et,,te,e α−αα 1L
Ö com relação ao tipo de raízes, tem-se os seguintes tipos de saída:
Ö reais → EXPONENCIAIS REAIS.
Ö Imaginárias → SENÓIDES.
Ö complexas → SENÓIDES AMORTECIDAS.
9 Solução particular: yp(t)
Ö a solução particular é obtida através da resposta forçada.
Ö supõe-se que a saída tenha a mesma forma geral da entrada.
( ) ( ) ( )wtsencwtcoscwtcos
cee
c
tt
21
1
+⎯→⎯φ+
⎯→⎯
⎯→⎯
αα
marcelo bj 20Sistemas LTI
exercícios
Ö se a entrada tiver a mesma forma da resposta natural então a
solução particular deve ser modificada:
M
ttt
tt
ectte,e
ctee
ααα
αα
⎯→⎯
⎯→⎯
2
natural particular
marcelo bj 21Sistemas LTI
Representação através de diagrama de blocos
9 Definição: Interconexão de operações elementares que agem no
sinal de entrada.
9 Os sistemas descritos por equações diferenciais com coeficientes
constantes podem ser representados por um diagrama de blocos de
operações elementares.
9 Três operações básicas são utilizadas:
∫
c
multiplicação por escalar: x(t) cx(t)
adição: x(t) x(t) + g(t)
x(t)
g(t)
( )∫ ∞− ττt dxintegração:
marcelo bj 22Sistemas LTI
9 considere o sistema descrito pela equação diferencial:
( ) ( )∑∑
==
=M
k
k
k
k
N
k
k
k
k txdt
dbty
dt
da
00
9 considere a seguinte operação de integração recursiva:
( )( ) ( )( )∫ ∞− − ττ= t nn dgtg 1
Ö g(n)(t) → a n-ésima integral de g(t)
Ö g(0)(t) = g(t)
Ö Admitindo N ≥ M
( )( ) ( )( )∑∑
=
−
=
− =
M
k
kN
k
N
k
kN
k txbtya
00
marcelo bj 23Sistemas LTI
9 Exemplo ilustrativo para N = 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tx
dt
dbtx
dt
dbtxbty
dt
daty
dt
datya 2
2
2102
2
210 ++=++
Ö escrevendo a equação acima através de uma soma de integrais:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )txbtxbtxbtyatyatya 2112021120 ++=++
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )tyatyatxbtxbtxbtya 1120211202 −−++=
operações em x(t) operações em y(t)
Ö de outro modo:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ }tyatyatxbtxbtxb
a
ty 11
2
02
1
1
2
0
2
1 −−++=
marcelo bj 24Sistemas LTI
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ }tyatyatxbtxbtxb
a
ty 11
2
02
1
1
2
0
2
1 −−++=
b2
b1
∫
∫
b0
x(t) g(t)
1/a2
∫
∫
y(t)
-a1
-a0
FORMA DIRETA I
Ö tem-se dois sistemas LTI em cascata: AZUL e o VERMELHO.
Ö podemos trocar o ordem de execução (propriedade comutativa).
g(t)
marcelo bj 25Sistemas LTI
Ö trocando a ordem de operação dos sistemas:
Ö w(t) alimenta os dois conjuntos de integradores idênticos.
Ö portanto eles podem ser agrupados em um só.
Ö Tem-se então uma nova forma de diagrama de blocos.
b2
b1
∫
∫
b0
w(t) y(t)
1/a2
∫
∫
x(t)
-a1
-a0
marcelo bj 26Sistemas LTI
b2
b1
b0
y(t)
1/a2
∫
∫
x(t)
-a1
-a0
FORMA DIRETA II
Ö vantagem:
• utiliza um número menor de integradores em relação à forma
direta I.
marcelo bj 27Sistemas LTI
9 Generalizando a forma direta II:
b1
b0
y(t)
∫
-a1
-a0
bN1/aN
∫
x(t)
marcelo bj 28Sistemas LTI
exercícios