sel383-04_analise_Fourier_I_6

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marcelo bj 1análise de Fourier 01
Análise de Fourier para
Sinais e Sistemas
primeira parte
série de Fourier
marcelo bj 2análise de Fourier 01
Introdução
™ Sinais elétricos são em geral descritos no domínio do tempo.
™ Representação no domínio do tempo:
¾ medidas de: amplitude, valor máximo, período, potência, ...
¾ em muitas situações a representação no domínio do tempo não é
suficiente para descrevê-lo completamente.
™ Representação no domínio da frequência:
¾ Espectro de frequência, componentes de frequência importantes, 
largura de banda, ...
¾Série de Fourier (para sinais periódicos).
¾Transformada de Fourier (para sinais aperiódicos).
¾Espectro Densidade de Potência (para sinais de informação -
sinais aleatórios).
marcelo bj 3análise de Fourier 01
Resposta de um sistema LIT a exponenciais complexas
™ Considere que é aplicado na entrada de um sistema LIT, com resposta 
ao impulso h(t), uma exponencial complexa, x(t), tal que:
¾ em que s0 é um número complexo da forma: s = σ0 + jω0
( ) tsetx 0=
¾ Neste caso,
( ) ( ) ( )thtxty *=
h(t)( ) tsetx 0= y(t)
marcelo bj 4análise de Fourier 01
¾ Utilizando a integral de convolução calculamos a saída y(t):
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∞∞− −∞∞− − == ττττ ττ dehedehty ststs 000
( )0sH
™ Assim, a resposta do sistema apresenta a seguinte forma:
( ) ( )00 sHety ts=
observe que sinal da entrada está presente na saída
marcelo bj 5análise de Fourier 01
™ Observações:
¾ a saída apresenta a mesma forma da entrada,
¾ ela é modificada por H(s) em amplitude e fase, pois H(s) é um 
número complexo.
¾ est → é chamada de autofunção do sistema.
¾ H(s) → é chamada de autovalor.
¾ Observe também que a operação de convolução entre a entrada e 
saída foi substituída pela operação de multiplicação.
( ) ( ) ( )sHetyetx stst =⎯→⎯=
™ entrada:
exponencial complexa
ou senóide
™ saída:
exponencial complexa
ou senóide
marcelo bj 6análise de Fourier 01
™ aplicando uma combinação de exponenciais na entrada tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )NtsNtsts sHeasHeasHeaty N+++= L2211 21
( ) ( )∑
=
=
N
k
k
ts
k sHeaty k
1
™ a saída é uma combinação linear de exponenciais complexas.
™ pista: sinais podem ser representados por uma combinação linear de 
exponenciais complexas do tipo eskt .
( ) tsNtsts Neaeaeatx +++= L21 21
H[ . ] Como o sistema é LIT
marcelo bj 7análise de Fourier 01
Representação em série de Fourier de sinais periódicos
™ anteriormente foi apresentado dois tipos de sinais periódicos:
( )twcos 0
( ) ( )twsenjtwcose tjw 000 +=
→ sinal cossenoidal
→ exponencial complexa
™ E o conjunto de exponenciais ejkwot complexas, relacionadas 
harmonicamente:
( ) L,,,k,et tjkwk 2100 ±±==Φ
0wkwk =
k
TTk 0=
→ frequência de cada harmônico
→ período de cada harmônico (k ≠ 0)
marcelo bj 8análise de Fourier 01
™ Uma combinação linear do conjunto de exponenciais complexas pode 
ser escrita da seguinte maneira:
( ) ∑∞
−∞=
=
k
tjkw
keatx 0
A equação acima é a série de Fourier para sinais periódicos.
kj
kk eAa
φ= → são os coeficientes da série → complexos
00 ak →=
01 wk →=
022 wk →=
→ termo constante ou dc
→ primeiro harmônico ( freq. fundamental )
→ segundo harmônico ...
marcelo bj 9análise de Fourier 01
™ Exercício 1: Considere a série exponencial abaixo:
( ) π== ∑
−=
20
3
3
0 weatx
k
tjkw
k
3
1
2
1
4
1
2
1
3322
110
====
===
−−
−
aaaa
aaa
( ) ( ) ( ) ( )tjtjtjtjtjtj eeeeeetx π−ππ−ππ−π ++++++= 664422
3
1
2
1
4
1
2
1
¾ expandindo a equação acima e agrupando os sinais de mesma 
frequência tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )tcostcostcostx π+π+π+= 6
3
242
2
1
2
1
w0 2w0 3w0
marcelo bj 10análise de Fourier 01
-2
0
2
-2
0
2
-2
0
2
-2
0
2
-2
0
2
-2
0
2
-2
0
2
-2
0
2
x0
x0 + x1
x0 + x1 + x2
x0 + x1 + x2 + x3
( )tcosx π= 42
™ Exercício 1 (continuação)
2
1
0 =x
( )tcosx π= 2
2
1
1
( )tcosx π= 6
3
2
3
marcelo bj 11análise de Fourier 01
Determinação dos coeficientes da série de Fourier
( ) ∑∞
−∞=
=
k
tjkw
keatx 0
¾ Multiplicando ambos os lados da equação acima por tjnwe 0−
( ) ∑∞
−∞=
−− =
k
tjnwtjkw
k
tjnw eeaetx 000
( ) ∫ ∑∫ ∞
−∞=
−− = 0 000 0
00
T
k
tjnwtjkw
k
T tjnw dteeadtetx
¾ integrando em um período:
¾ trocando a ordem da integral com a somatória:
marcelo bj 12análise de Fourier 01
( ) ( )∑ ∫∫ ∞
−∞=
−− =
k
T twnkj
k
T tjnw dteadtetx
0
0
0
0
00
( )
⎩⎨
⎧
=
≠=∫ − nk,T nk,dteT twnkj 00 00 0
¾ como:
( )∫ −= 0 0001
T tjkw
k dtetxT
a
tjkwe 0 → funções ortogonais→ base para funções periódicas
¾ portanto:
marcelo bj 13análise de Fourier 01
( )∫ −=
0
0
0
1
T
tjkw
k dtetxT
a
( ) ∑∞
−∞=
=
k
tjkw
keatx 0
™ Observações:
¾ O intervalo de integração não precisa ser o anterior, basta que 
seja feito em um período qualquer.
¾ O par de equações que definem a série exponencial de Fourier é
mostrado abaixo:
equação de síntese: reescreve o 
sinal a partir dos coeficientes ak.
equação de análise: calcula os
coeficientes ak.
marcelo bj 14análise de Fourier 01
exercícios:
Condições de existência da série:
™ A convergência da série é garantida se as condições de Dirichlet
forem satisfeitas:
¾ x(t) é um sinal limitado (absolutamente integrável ou somável em 
um período),
¾ x(t) apresenta um número finito de máximos e mínimos em um 
período,
¾ se x(t) apresenta um número finito de descontinuidades em um 
período. 
™ Se o sinal satisfizer as condições acima e não for contínuo então a 
série convergirá para o ponto médio de x(t) em cada descontinuidade.
marcelo bj 15análise de Fourier 01
™ Exercício 2:
( ) ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π++++=
4
22
2
1
000 twcostwcostwsentx
|ak| ∠ak
kw0
kw0
-2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2
Módulo par
fase ímpar
3.207
1.12
marcelo bj 16análise de Fourier 01
( )
0
00
201
T
ak,kwsen
k
ak
τ=≠τπ=∫ττ− −= dteTa tjkwk 001
™ Exercício 3: onda quadrada
T0/2-T0/2
1
-τ τ
( ) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<τ
τ<=
20
1
0 /Tt,
t,
tx
( ) 02 ≠π
π= k,
k
/ksenak
( ) 04 ≠π
π= k,
k
/ksenak
To = 4τ To = 8τ
OBS: Neste caso, e particular os coeficientes são reais
marcelo bj 17análise de Fourier 01
ak
k
0
ak
k
0
™ Gráficos dos coeficientes ak
( ) 02 ≠π
π= k,
k
/ksenak
( ) 04 ≠π
π= k,
k
/ksenak
To = 4τ
To = 8τ
marcelo bj 18análise de Fourier 01
Espectro de Fase
Espectro de Amplitude
Espectro de amplitude e de fase
-2w0 wo 0 w0 2wo
w
|ak|
-π
π
w
∠ak
marcelo bj 19análise de Fourier 01
Função sinc
( ) ( )
x
xsenxsinc π
π=
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
sinc(x)
1
Lóbulo principal
¾ OBS: ( )[ ] ( ) 1
0
=
π
π=
→ x
xsenxcsinlim
x
marcelo bj 20análise de Fourier 01
™ Exercício 4: onda dente de serra
( )
s/radwst
t,ttx
π==→
<=
00 2
1
-1
1
t-1 1 3
( ) ( )ππ=π
−= kcos
k
jj
k
a
k
k
1 00 =a
( )21 /kj
k ek
a π+ππ=
ou
marcelo bj 21análise de Fourier 01
Propriedades da série de Fourier
1. Linearidade:
( ) ( ) ( ) kkkSF BbAactBytAxtz +=⎯⎯→←+=
( ) ( ) ktjkwkSFd aebttxty d0−=⎯⎯→←−=
¾ Sejam dois sinais periódicos x(t) e y(t) e períodos iguais.
¾ período T0 e frequência w0 = 2π/T0 tais que:
( ) ( ) kSFkSF btyatx ⎯⎯→←⎯⎯→←
A e B constantes
2. Deslocamento no tempo:
¾ OBS: |bk| = |ak| Æ somente a fase é alterada.
marcelo bj 22análise de Fourier 01
¾ Muda somente a frequência fundamental ( αw0 ) e os valores dos 
harmônicos ( kαw0 ). Os coeficientes permanecem os mesmos:
3. Reversão no tempo:
( ) ( ) kkSF abtxty −=⎯⎯→←−=
4. Compressão / expansão:
( ) ( ) ( ) ∑∞
−∞=
α=⎯⎯→←α=
k
twjk
k
SF oeatytxty
kk ab =
5. Multiplicação de sinais:
( ) ( ) ( ) ∑∞
−∞=
−=⎯⎯→←=
l
lklk
SF bactytxtz
marcelo bj 23análise de Fourier 01
( ) ∑∫ ∞
−∞=
==
k
k
T
m adt|tx|T
P 22
0 0
1
6. Conjugado complexo:
( ) ( ) * kkSF* abtxty −=⎯⎯→←=
7. Integração e diferenciação:
( ) ( ) kkSFt ajkwbdxty 0
1=⎯⎯→←ττ= ∫ ∞−
( ) ( ) kkSF ajkwbtxdt
dty 0=⎯⎯→←=
8. Relação de Parseval:
marcelo bj 24análise de Fourier 01
∑∑ ∞
−∞=
∞
−∞=
==
k
k
k
*
kkm |a|aaP
2
Espectro densidade de potência:
2
4−a
f
-2f0 -f0 f0 2f0-3f0 3f0
2
3−a
2
2−a
2
1−a
2
0a 2
1a 2
2a 2
3a 2
4a
¾ A relação de Parseval relaciona a energia no domínio do tempocom o da frequência. Elas devem ser as mesmas.
¾ O gráfico do módulo ao quadrado dos coeficientes com a 
frequência é chamado de espectro densidade de potência.
marcelo bj 25análise de Fourier 01
exercícios:
9. Simetria da função:
™ Função par:
¾ os coeficientes ak são reais.
™ Função impar
¾ os coeficientes ak são imaginários.
™ Observação: Para um sinal real qualquer
¾ Os coeficientes ak Æ complexos conjugados
¾ |ak| Æ função par
¾Fase de ak Æ função ímpar.
marcelo bj 26análise de Fourier 01
Série trigonométrica de Fourier
™ Para sinais reais os coeficientes ak aparecem na forma de números 
complexos conjugados tais que:
kk j
kk
j
kk eAaeeAa
φ−
−
φ ==
¾ O módulo permanece o mesmo.
¾ Portanto x(t) pode ser escrita na seguinte forma:
( ) ( ){ }∑∞
=
φ++=
1
00 2
k
kk tkwcosAAtx 00 aA =em que:
forma compacta
marcelo bj 27análise de Fourier 01
( ) ( ) ( ){ }∑∞
=
−+=
1
000 2
k
kk tkwsenCtkwcosBatx
( ) ( )
L,,k
dttkwcostx
T
B
T
k
21
1
0
0
0
=
= ∫ ( ) ( )
L,,k
dttkwsentx
T
C
T
k
21
1
0
0
0
=
= ∫
¾ Considerando os coeficientes ak na forma retangular, isto é,
kkk jCBa +=
então:
¾ relação com os coeficientes da série exponencial:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=φ+==
k
k
kkkk B
Carctan;CBA;aA 2200
marcelo bj 28análise de Fourier 01
™ Exercício 5:
-5 -3 -1 0 1 3 5
t
x(t)
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π= tcostx
2
( ) ( )( ) π=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−−π=
2
1212
112 0akk
a kk
¾ os coeficientes ak são reais → como a função é par temos 
somente termos em cossenos, os coeficientes bk são nulos.
marcelo bj 29análise de Fourier 01
Espectro de amplitude e de fase
( ) ( ) ( )tjwtjw eetwcostx 00
2
1
0
−+==
-w0 0 w0
1/2
0 w0
1
espectro unilateral espectro bilateral
Série trigonométrica Série exponencial
™ É o gráfico dos coeficientes da série de Fourier em função da 
frequência (harmônicos).
¾ |ak| → espectro de amplitude
¾ φk → espectro de fase
marcelo bj 30análise de Fourier 01
( ) ( ) ( ) ( )( )2200 00
2
1
2
/twj/twj eetwcostwsentx π−−π− +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ π−==
-w0 0 w0
1/2
0 w0
1
espectro de amplitude |ak|
-w0 0 w0
π/2
0 w0
π/2
espectro de fase φk
marcelo bj 31análise de Fourier 01
exercícios:
marcelo bj 32análise de Fourier 01
™ Joaquim, M. B. e Sartori, J. C., Análise de Fourier, CD-ROM, EESC-USP, 
2003.
bibliografia complementar