sel-383-diagrama_de_Bode

Prévia do material em texto

mbj - 1 - 
Apêndice – A5 
 
 
 
 
O diagrama de Bode 
 
Marcelo Basílio Joaquim 
 
 
 
 
 O diagrama de Bode é uma representação gráfica muito utilizada para se observar a resposta 
em freqüência, H(jw), de um sistema linear invariante no tempo. Este diagrama é construído 
fazendo-se uma aproximação das curvas por linhas retas (assíntotas). Os gráficos do módulo e da 
fase são feitos em figuras separadas, com o módulo em escala de decibels e a fase em graus ou 
radianos. O eixo de freqüências é colocado em escala logarítmica, para possibilitar a aproximação 
das curvas por linhas retas. 
 
 Considere que a resposta em freqüência de um sistema seja dada por uma razão de 
polinômios tal que: 
 
( ) ( )( )ω
ω=ω
jQ
jNjH 
 
 Representando o módulo desta função em decibels tem-se que: 
 ( ) ( ) ( )jwQlogjwNlogjwHlog 101010 202020 −= 
 
 Admitindo s = jw, sabemos que cada termo em ( )sN e ( )sQ pode ser constituído de: 
 
i) uma constante k 
ii) raízes na origem: termos em s 
iii) raízes simples reais: termos do tipo s + α 
iv) raízes complexas conjugadas: 22 2 α+α+ ss 
 
 Para a constante k o gráfico é representado por uma constante (uma linha reta paralela ao 
eixo de freqüências), os termos em s ou 1/s são representados por uma linha reta com inclinação +20 
dB por década* e -20 dB por década, respectivamente. Os termos em s2 (iv) são representados por 
linhas retas com inclinação ±40dB por década dependendo de serem pólos ou zeros. Os efeitos de 
cada um destes termos, tanto para o módulo quanto para a fase, estão resumidos na tabela 1, no final 
deste texto. Para o entendimento do diagrama de Bode vamos estudar os exemplos abaixo. 
 
* Uma década significa um aumento de dez vezes na freqüência. 
 
 
Exemplo 1: Considere uma função de transferência de primeira ordem tal que: 
 
( )
01
1
w/jw
KjwH += 
 
 Calculando o módulo de H(jw) em decibels tem-se que: 
 
mbj - 2 - 
( ) ( ) ( ) ( ) 

 +−=







+
= 202
0
12020
1
20 w/wlogKlog
w/w
KlogjwH dB 
 
- Observe que o primeiro termo da equação acima é uma constante. Admitindo, por 
simplicidade, K = 1, então: 
 ( ) dBKlogA 0120 === 
 
- Para o segundo termo da equação, o que nos interessa são os valores de freqüências baixas e 
altas em relação ao pólo em w = w0. 
 
( ) ( ) dBAlogw/wlogBww 0120120 200 =⇒

 ≅

 +=⇒<< 
 
( ) ( ) dBdBAlogw/wlogBww 03220120 2000 ≈−=⇒ −= +−=⇒= (pólo) 
 
( ) ( ) ⇒

 −≅

 +−=⇒>> 0200 20120 w/wlogw/wlogBww (o ganho é linear na escala 
logarítmica com atenuação de 20dB por década). 
 
 Observe que para freqüências abaixo do pólo o ganho é constante, e para freqüências acima 
do pólo o ganho decresce linearmente, na escala logarítmica, com taxa de 20 dB a cada vez que se 
multiplica por dez a freqüência (-20 dB/década). Desse modo é possível aproximar o módulo da 
resposta em freqüência por linhas retas (assíntotas) como mostra a figura 1. 
 
 
w0 10w0 w 0 
-10 
-20 
-30 
|H(jw)| 
 
 
Figura 1: Diagrama de Bode (módulo). 
 
 
 Calculando a fase de H(jw) tem-se que: 
 
( ) 


−=ϕ
0w
warctanjw 
 
 Observe que: 
 
- ( ) ( ) 010 00 ≈ϕ⇒=<< jww.www 
- ( ) ( )pólo/jwww 40 π−=ϕ⇒= 
- ( ) ( ) 210 00 /jwwwww π−≈ϕ⇒=>> 
mbj - 3 - 
 
 O diagrama de Bode para a fase aproxima o ângulo de fase por duas constantes para w << 
w0 e para w >> w0, e o intervalo entre estas duas freqüências é interligado por uma linha reta como 
mostra a figura 2. 
 
 
 
0.1w0 w0 10w0 w 
0 
 
 
-π/4 
 
 
 
-π/2 
Φ(jw) 
 
Figura 2: Diagrama de Bode (fase). 
 
 
Exemplo 2: Construa o diagrama de bode (módulo) de: 
 
( ) ( )( )210101
110
//jw
jjH ω−+
ω+=ω 
 
 
Gráfico do módulo: 
 
20 log10H(jω)= 20 log(10) + 20 log1+jω + 20log1/[1+jω/10 - (ω/10)2] 
 
- Observe novamente que o primeiro termo da equação acima é uma constante. 
 ( ) dBKlogA 201020 === 
(gráfico em verde) 
 
- Para o segundo termo da equação (zero da função), o que nos interessa são os valores de 
freqüências baixas e altas em relação ao pólo em w = w0 = 1. 
 
( ) ( ) dBBlogw/wlogBww 0120120 200 =⇒

 ≅

 +=⇒<< 
 
( ) ( ) dBdBBlogw/wlogBww 03220120 2000 ≈=⇒ = +=⇒= 
 
( ) ( ) ⇒

 ≅

 +=⇒>> 0200 20120 w/wlogw/wlogBww (o ganho é linear na escala 
logarítmica com um aumento de 20 dB por década). 
 
(gráfico em rosa) 
 
- Para o terceiro da equação (pólo complexo da função), o que nos interessa são os valores de 
freqüências baixas e altas em relação ao pólo em w = w0 = 10. 
mbj - 4 - 
 
( ) ( ) ( ) dBClogw/ww/wlogCww 0120120 40200 =⇒

 ≅

 +−−=⇒<< 
 
( ) dBdB.C.logloglogCww 02175020201220 20 ≈−=⇒ = ς−ς−=⇒= 
Observe que φ = 0.5 
 
( ) ( ) ( ) ⇒

 −≅

 +−=⇒>> 040200 40120 w/wlogw/ww/wlogCww (o ganho é linear na 
escala logarítmica). 
 
(gráfico em azul) 
 
 Combinando (soma) estes três gráficos individuais chega-se ao diagrama de Bode (módulo) 
de |H(jw)|, gráfico em vermelho. 
 
 
 40 dB 
20 dB 
-40 dB 
-20 dB 
0 dB 
0.1 1 10 100 
20 log(10)
20 log1+jω
20log1/[1+jω/10 - (ω/10)2]
20 log10H(jω)
 
 
Figura 3: Diagrama de Bode (módulo). 
 
 
Gráfico da fase: 
 
Arg [H(jω)] = arg (1+jω) + arg [1/[1+jω/10 - (ω/10)2] 
 
 
 Neste caso as freqüências limites para w1 e w2 (ver tabela 1) são: 
 
( ) 34
2
102
2
0
1 ==



ς= loglog
ww ( ) 334
20
2
2 0
2 ==




ς
=
log
log
w
w 
mbj - 5 - 
 π
π/2 
- π
- π/2
0 
0.1 1 10 100 
Arg(1+jω) 
Arg(1/[1+jω/10 - (ω/10)2])
Arg(H(jω))
 
 
Figura 4: Diagrama de Bode (fase). 
mbj - 6 - 
Tabela 1: Regras para o diagrama de Bode. 
 
Termo Magnitude Fase 
Constant: k ( )klog.20 π±<> :k :k 0 00 
Pólo real:
0
1
1
w
jw+
 
• Assintótica constante de 0 dB em 
freqüências baixas. 
• Assintótica de -20 dB/dec em 
freqüências altas 
• Assintótica constante de 0 
em baixas freqüências. 
• Assintótica constante de –
π/2 em altas freqüências. 
• Trace uma linha reta entre 
0.1·w0 e 10·w0 
Zero real: 
0
1
w
jw+ 
• Assintótica constante de 0 dB em 
baixas freqüências 
• Assintótica de 20 dB/dec em 
freqüências altas 
• Assintótica constante de 0 
em baixas freqüências. 
• Assintótica constante de 
π/2 em altas freqüências. 
• Trace uma linha reta entre 
0.1·w0 e 10·w0 
Pólo na origem: 
jw
1 -20 dB/dec; comece com 0 dB em w=1 π/2 
Zero na origem: jw 20 dB/dec; comece com 0 dB em w=1 -π/2 
Pólos amortecidos: 
ζ≤1: 
 
12
1
0
2
0
+ς+



w
jw
w
jw
 
• Assintótica constante de 0 dB em 
baixas freqüências. 
• Assintótica de -40 dB/dec em 
freqüências altas. 
• Desenhe um pico na freqüência 
0
2
0 21 wwwn ≈ς−= 
• Com amplitude: 


 ς−ς− 21220 log 
• Assintótica constante de 0 
em baixas freqüências. 
• Assintótica constante de –π 
em altas freqüências. 
• Trace linhas entre: 




ς
2
2
0 logw e




ς
2
2 0
log
w
 
Zeros amortecidos: 
 
12
0
2
0
+ς+



w
jw
w
jw 
• Assintótica constante de 0 dB em 
baixas freqüências. 
• Assintótica de 40 dB/dec em 
freqüências altas. 
• Desenhe um vale na freqüência 
0
2
0 21 wwwn ≈ς−= 
• Com amplitude: 


 ς−ς 21220 log 
• Assintótica constante de 0 
em baixas freqüências. 
• Assintótica constante de π 
em altas freqüências. 
• Trace linhas entre: 




ς
2
2
0 log
w
e




ς
2
2 0
log
w
 
OBSERVAÇÕES: 
- Freqüências baixas (w < w0) e freqüências altas ( w > w0) são relacionadas em relação 
à freqüência do pólo. 
- Onde não são especificados, os limites são tomados em relação às freqüências 0.1 w0 e 
10w0. 
- Para pólos e zeros amortecidos um pico existe para 7070.<ς 
 
 
 
 A partir do diagrama de Bode também é possível obter a resposta em freqüência H(jw) dosistema associado. O exemplo 3, mostrado abaixo, ilustra o procedimento. 
 
 
mbj - 7 - 
Exemplo 3: Determine a resposta em freqüência do sistema associado ao diagrama de bode da figura 
5. 
 
 
 
 0. 1 1 3 10 20 100 rad/s 
20 
 
 
10 
 
0 
 
 
-10 
||H(jw)| 
20 dB/dec -20 dB/dec 
-40 dB/dec 
 
Figura 5: Diagrama de Bode de um sitema. 
 
 
Obtenção de H(jw) a partir do diagrama de Bode acima: 
 
- A linha reta, paralela ao eixo das freqüências, indica que o sistema apresenta um ganho 
constante de 20 dB. Assim: 
 ( ) 102020 =⇒= kklog 
 
- A linha reta (em azul) com inclinação 20 dB/dec, indica que o sistema apresenta um zero 
na função de transferência para w = 0. Portanto H(jw) apresenta um fator do tipo: 
 
jw 
 
- A Observe que existem três fatores com transições (mudança na inclinação) nas 
freqüências: 1; 3 e 20 rad/s. 
 
ƒ Em w = 1rad/s, existe um pólo com inclinação -20 dB/dec que compensa a inclinação do 
zero a partir da freqüência w =1 rad/s. 
 
( )11
1
/jw+ 
 
ƒ Existe um outro pólo em w = 3 rad/s que causa a queda com inclinação -20 dB/dec (em 
vermelho). Este pólo apresenta um fator do tipo: 
 
( )31
1
/jw+ 
 
ƒ O terceiro pólo em w = 20 rad/s que causa a queda com inclinação -40 dB/dec (em laranja). 
Este pólo apresenta um fator do tipo: 
 
mbj - 8 - 
( )201
1
/jw+ 
 
 Combinado todos os fatores obtidos chega-se à resposta em freqüência do sistema mostrado 
na figura 5. 
 
( ) ( )( )( )201311
10
/jw/jwjw
jwjwH +++= 
 
ou 
 
( ) ( )( )( )jwjwjw
jwjwH +++= 2031
600 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
Simon Haykin & Barry Van Veen, Sinais e Sistemas, Bookman, 20001 - Porto Alegre. 
 
Erik Cheever, http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/