RESPOSTAS EXERCÍCIOS AULA-7

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EXERCÍCIOS PARA CASA - AULA-7 
 
 
- Exemplo pg. 36 (para casa) 
 
Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta: 
 
 
 
I- Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
II- Encontre a densidade marginal de X. 
III- Encontre a densidade marginal de Y. 
IV- Encontre a densidade condicional de X dado Y = y. 
V- X e Y são independentes? Por que? Justifique? 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
I- Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
 
 
 
1.).,(),(
1
0
1
0
   dydxyxfyxf
 
 
 
2
3
c
 
 
yxyyxf ..2
2
3
),( 2 
 
 
 
 
II- Encontre a densidade marginal de X. 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
1
0




 , onde 0≤y≤1 
 
xxf 
2
1
)(
 
 
 
III- Encontre a densidade marginal de Y. 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
1
0




 , onde 0≤x≤1 
 
yyyf  2.
2
3
)(
 
2( , ) 2 onde 0 1 e 0 1f x y cy xy x y     
2( , ) 2 onde 0 1 e 0 1f x y cy xy x y     
 
IV- Encontre a densidade condicional de X dado Y = y. 
 
)(
),(
)(
yf
yxf
yYxf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy
x


 
 
23
43
)(



y
xy
yYxf
 
 
 
V- X e Y são independentes? Por que? Justifique? 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
yxyyxf ..2
2
3
),( 2 
 
 
yxyxyyyfxf ..
2
3
.
2
1
.
4
3
)().( 22 
 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y não são independentes. 
 
 
 
- Exemplo pg. 52 (para casa) 
 
 Calcule a variância condicional de Y dado X = x 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f x y
x y
x( , )
.
    
3
2 onde 0 < x 1 e 0 y 2 
1 x < 0 onde 





  ,3
.2
.2
3
),()( 2
2
0
2
2
0
x
xdyx
xy
dyyxfxfx
 






1
0
2
1
0
 2y 0 onde,
63
1
3
),()(
y
dxx
xy
dxyxfyf y
[0,2]y e (0,1] x onde ,
3/1
3/
.
2
1
2
3
2
3
)(
),(
)|(
2
2












x
yx
x
x
x
xy
xf
yxf
xXyf
x
[0,2]y e (0,1] xonde , 
2/1
..3
2
1.
3
1
3
)(
),(
)|(
2
2













y
yxx
y
xy
x
yf
yxf
yYxf
y
Calcule a variância condicional de Y dado X = x 
 
   22 )()( xXYExXYExXYVAR 
 , onde 
]2,0(
]1,0(


y
x
 
 
  dyxyfyxXYE ).(.
2
0

 , onde 
]2,0(
]1,0(


y
x
 
 
 
3.9
4.9



x
x
xXYE
 
 
 
  dyxyfyxXYE
y
y
).(.
2
0
22




 , onde 
]2,0(
]1,0(


y
x
 
 
 
13
242



x
x
xXYE
 
 
 
 
   2)()( xXYExXYExXYVAR 
 , onde 
]2,0(
]1,0(


y
x
 
 
 
95481
21827
2
2



xx
xx
xXYVAR
 
 
- Exemplo pg. 54(para casa) 
 
 Considere a seguinte densidade conjunta: 
 
 
 
a) Ache a densidade marginal de X. 
b) Ache a densidade marginal de Y. 
c) Calcule Pr( X > 1  Y < 4) 
Dica: 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
a) Ache a densidade marginal de X. 
 
dyyxfxf
y
xy
.),()( 



 , onde 
xy
ox

 
 
2
2
1
)(
x
exf


 
  xyxeyxf y   ,0 ,.
4
1
, 2/
 





 
1
..
a
u
a
e
dueu
au
au
 
 
 b) Ache a densidade marginal de Y. 
 
dxyxfyf
yx
x
.),()(
0




 , onde 
0

x
xy
 
 
 
2..
4
1
)(
y
eyyf


 
 
 
 
c) Calcule Pr( X > 1  Y < 4) 
 
dxdyyxfyxf
x
x
y
xy
.).,()41(
4
1
4
 





 
 
%82,26)41(Pr  yxob
 
 
 
 
 
- Exemplo pg. 55 (para casa) 
 
Considere as seguintes distribuições conjuntas: 
 
a) f(x, y) = 4.x.y.exp{ -x2 - y2} para x  0, y  0 
b) f(x, y) = 3.x2/y3 para 0  x  y  1 
 
Em cada caso, determine se X e Y são independentes. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
a) Determine se X e Y são independentes. 
 
 f(x, y) = 4.x.y.exp{ -x2 - y2} para x  0, y  0 
 
 
 
a.1- Ache a densidade marginal de X. 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
0




 , onde 
0
0


y
x
 
 
2
..2)( xexxf 
 
 
 
 
 
 a.2- Ache a densidade marginal de Y. 
 
Analogamente a marginal de Y segue a Marginal de X, ou seja: 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
0




 , onde 
0
0


y
x
 
 
2
..2)( yeyyf 
 
 
 
 
a.3- Determine se X e Y são Independentes. 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
22
....4),( yx eeyxyxf 
 
 
22
....4)().( yx eeyxyfxf 
 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y são independentes. 
 
 
 
b) Determine se X e Y são independentes. 
 
 f(x, y) = 3.x2/y3 para 0  x  y  1 
 
 
b.1- Ache a densidade marginal de X. 
 
dyyxfxf
y
xy
.),()(
1




 , onde 
0
0


y
x
 
 
 21
2
3
)( xxf 
 
 
 
 
 
 b.2- Ache a densidade marginal de Y. 
 
Analogamente a marginal de Y segue a Marginal de X, ou seja: 
 
dxyxfyf
yx
x
.),()(
0




 , onde 
0
0


y
x
 
 
1)( yf
 
 
 
 
 
 
b.3- Determine se X e Y são Independentes. 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
3
23
),(
y
x
yxf 
 
 
 21
2
3
)().( xyfxf 
 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y não são independentes. 
 
 
- Exemplo pg. 56 (para casa) 
 
Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta: 
 
 
 
a)- Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
b)- Encontre a densidade marginal de X. 
c)- Encontre a densidade marginal de Y. 
d)- Encontre a densidade condicional de Y dado X = x. 
e)- Ache a média condicional de Y dado X = x. 
 f)- X e Y são independentes? Por que? Justifique. 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
a) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
 
 
 
1.).,(),(
1
0
1
0
   dydxyxfyxf
 
 
4
9
c
 
 
yxxyxf .
4
9
),( 2 
 
 
 
b) Encontre a densidade marginal de X. 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
1
0




 , onde 0≤y≤1 
24
9
)( 2
x
xxf 
 
2( , ) onde 0 1 e 0 1f x y cx xy x y     
2( , ) onde 0 1 e 0 1f x y cx xy x y     
 
 
c) Encontre a densidade marginal de Y. 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
1
0




 , onde 0≤x≤1 
 
24
3
)(
y
yf 
 
 
 
d)- Encontre a densidade condicional de Y dado X = x. 
 
)(
),(
)(
yf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy
x


 
 
29
49
)(



x
yx
xXYf
 
 
 
 
 
 
e)- Ache a média condicional de Y dado X = x. 
 
 
  dyxyfyxXYE
y
y
).(.
1
0




 , onde 
]1,0(
]1,0(


y
x
 
 
 
1254
827



x
x
xXYE
 
 
 
f) X e Y são independentes? Por que? Justifique? 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
24
9
),( 2
x
xyxf 
 
 
 
16
642718
)().(
22 xxyxyx
yfxf


 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y não são independentes.