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SEL310-Ondas eletromagnéticas.
Gabarito da 1a Prova (P1), abril de 2012
Questão 1 (valor 2,0): Os parâmetros de uma linha de transmissão são R, G, L e C. Se a frequência é f
e a potência média da onda incidente em z = 0 é Pm;0, calcular: (Q1a, valor 1,0) a impedância característica
da linha; (Q1b, valor 1,0) a potência média da onda incidente em z1. Dados: R = 20 
�m�1; G = 80�10�6
S�m�1; L = 0; 4� 10�6 H�m�1; C = 40� 10�12 F�m�1; f = 50 MHz; Pm;0 = 1 W; z1 = �10 m.
Solução: A impedância e a admitância da linha são, respectivamente, Z = R + j2�fL e Z = G + j2�fC.
A constante de propagação é k =
p
ZY . A impedância característica do linha com perdas é Z0;p =
p
Z=Y .
A potência média da onda incidente em um ponto da linha é Pm = (1=2) jV +j exp (�2kRz)Re f1=Z0;pg. A
relação entre o valor em z = 0 e z1 é Pm(z = z1) = Pm(z = 0) exp (�2kRz1). substituindo os valores,
k = 0; 10 + j1; 26 m�1; Z0;p = 100; 3� j7; 6 
 (Q1a); Pm(z = z1) = 7; 96 W (Q1b).
Questão 2 (valor 2,0): Em uma linha de transmissão de comprimento ` e impedância característica Z0
a velocidade de propagação de onda é vf . A linha é conectada em um extremo por gerador de tensão fasorial
Vs e impedância interna Zs e no outro extremo por impedância de carga ZL. Se a frequência é f , calcular
a tensão fasorial total (forma a6 �0) em ZL. Dados: ` = 80 m; Z0 = 50 
; vf = 2c=3; c = 3 � 108 m�s�1;
Vs = 1206 00 V; f = 500 kHz; Zs = 12 
; ZL = 80 
.
Solução: O coe…ciente de re‡exão na carga é �0 = (ZL � Z0) = (ZL + Z0); a constante de propagação é
k = 2�f=vf ; a impedância na entrada da linha é Ze = Z0 [ZL + jZ0tg (k`)] = [Z0 + jZLtg (k`)], com ` pos-
itivo; a tensão nos terminais do gerador (entrada da linha, sobre Ze) é Ve = VsZe= (Ze + Zs); a amplitude
da onda inicdente é V + = Ve= [exp (jk`) + �0 exp (�jk`)], com ` positivo; a tensão fasorial total em z = 0 é
V (z = 0) = V + [exp (�jkz) + �0 exp (jkz)] = V + [1 + �0]. Substituindo os valores, V (z = 0) = 53; 1� j123
V ou jV (z = 0)j = 134 V e arg[V (z = 0)] = �66; 60 .
Questão 3 (valor 2,0): A relação de onda estacionária em uma linha de transmissão, cuja impedância
característica é Z0, é ROE. Esta linha é usada para medir as posições de máximos e mínimos de tensão da
onda estacionária. Quando essa linha está terminada por ZL a posição de um mínimo é marcada com um
risco na linha. Quando ZL é substituída por um curto-circuito as posições de mínimo estão separadas de
�` e um mínimo está localizado em posição distante ` do risco, na direção da fonte de sinal. Calcular ZL.
Dados: Z0 = 60 
; ROE = 2; 5; �` = 25 cm; ` = 7 cm.
Solução: a constante de propagação é k = 2�f=vf ; a impedância no ponto de mínimo da onda estacionária é
Zmin = Z0=ROE; o ponto de mínimo da onda estacionária produzida com a carga ZL é Lmin = � (�`� `) =
�18 cm; a impedância é ZL = Z0 [Zmin + jZ0tg (kLmin)] = [Z0 + jZmintg (kLmin)]. Substituindo os valores,
Zmin = 24 
; k = 0; 126 cm�1; ZL = 47; 9� j49; 4 
 .
Questão 4 (valor 1,0): Uma linha de transmissão, cuja impedância característica é Z0, está terminada
em z = 0 por impedância de carga normalizada zL. A frequência de operação é f e a velocidade de fase
é vf . Se o valor máximo da tensão da onda estacionária é Vmax, determinar o valor da tensão instantânea
complexa total em z1 e t1. Dados: Z0 = 75 
; zL = 1 + j; f = 1 GHz; vf = 1; 5� 1010 cm�s�1; Vmax = 2; 5
V; z1 = �4 m; t1 = 10�6 s.
Solução: O coe…ciente de re‡exão na carga é �0 = (zL � 1) = (zL + 1); a constante de propagação é
k = 2�f=vf ; a relação de onda estacionária é ROE = (1 + j�0j) = (1� j�0j); a amplitude da onda inci-
dente é V + = Vmax= (1 + j�0j); o valor da tensão instantânea complexa total em z1 é V (z = z1; t = t1) =
V + [exp (�jkz1) + �0 exp (jkz1)] exp (j2�ft1). substituindo os valores, k = 0; 42 cm�1; �0 = 0; 2 + j0; 4;
ROE = 2; 62; V + = 1; 73 V e V (z = z1) = �1; 64� j1; 54 V .
Questão 5 (valor 3,0): Uma linha de transmissão, cuja impedância característica é Z01, está conectada
em uma extremidade a um gerador de sinais. Na extremidade oposta estaria conectada uma impedância
de carga Z�L. Esta carga estaria conectada em paralelo a uma outra impedância de carga, ZL. Entretanto,
houve um acidente e um curto-circuito cancelou o efeito da impedância de carga Z�L, …cando localizado na
sua posição. A situação …nal do circuito está representada na …gura abaixo. A uma distância x1 da carga
ZL um trecho de linha de transmissão de impedância característica Z02 está conectado em paralelo à linha
de transmissão principal. A impedância vista no plano A � A0 é ZA. Utilizando obrigatoriamente a carta
de Smith, determinar: (Q5a, valor 1,0) o valor máximo da tensão total no trecho AA0 � BB0; (Q5b, valor
1
1,0) o valor da impedância na posição em que a tensão total é mínima no trecho AA0 � BB0; (Q5c, valor
1,0) o valor de ZA, em ohms. Dados: Z01 = 50 ohms; Z02 = 150 ohms; Z1 = 200 ohms; ZL = 50 + j100
ohms; V0 = 1 volt (amplitude máxima da tensão incidente na linha); x1 = 0; 25�; x2 = 0; 20�; x3 = 0; 35�;
x4 = 0; 50�.
Solução: Como x4 = 0; 50�, o efeito do curto-circuito em C � C� é de curto-circuito (2 � 0; 25�).
Portanto, em C � C�a impedância equivalente é ZL em paralelo com curto-circuito, resultando em curto-
circuito. Como x1 = 0; 25�, o efeito do curto-circuito em B � B� é de circuito aberto. Assim, em B � B�
a carga equivalente é o circuito aberto em paralelo com a impedância vista na entrada da linha Z02.
Desta forma, a impedância de carga da linha Z01 é a impedância vista na entrada da linha Z02. O
valor desta impedância é ZBB� = Z02: [Z1 + jZ02tg (k2x3)] = [Z02 + jZ1tg (k2x3)]. A impedância na en-
trada da linha é ZA = Z01: [ZBB�+ jZ01tg (k2x2)] = [Z01 + jZBB�tg (k2x2)]. O coe…ciente de re‡exão na
carga equivalente situada em BB� é �
BB� = (ZBB�� Z01)=(ZBB�+ Z01). A relação de onda estacionária é
ROE = (1 + j�
BB�j) = (1� j�BB�j). A tensão máxima é Vmax = V + (1 + j�BB�j). A impedância no ponto
de mínimo é Zmin = Z01=ROE. Substituindo os valores, ZBB�= 132; 5 + j36; 7 
; �BB� = 0; 47 + j0; 11;
Vmax = 1; 49 V (Q5a); Zmin = 17; 3 ohms (Q5b) ZA = 20; 37� j19; 4 ohms (Q5c).
Dados das provas
P1, Q1: R = 20 
�m�1; G = 80� 10�6 S�m�1; L = 0; 4� 10�6 H�m�1; C = 40� 10�12 F�m�1
f = 50 MHz; Pm;0 = 1 W; z1 = �10 m
P1, Q2: ` = 80 m; Z0 = 50 
; vf = 2c=3; c = 3� 108 m�s�1; Vs = 120 6 00 V; f = 500 kHz;
Zs = 12 
; ZL = 80 
P1, Q3: Z0 = 60 
; ROE = 2; 5; �` = 25 cm; ` = 7 cm
P1, Q4: Z0 = 75 
; zL = 1 + j; f = 1 GHz; vf = 1; 5� 1010 cm�s�1; Vmax = 2; 5 V;
z1 = �4 m; t1 = 10�6 s
P1, Q5: Z01 = 50 ohms; Z02 = 150 ohms; Z1 = 200 ohms; ZL = 50 + j100 ohms; V0 = 1 volt
x1 = 0; 25�; x2 = 0; 20�; x3 = 0; 35�; x4 = 0; 50�
P2, Q1:R = 20 
�m�1; G = 80� 10�6 S�m�1; L = 0; 4� 10�6 H�m�1; C = 50� 10�12 F�m�1;
f = 50 MHz; Pm;0 = 1 W; z1 = �10 m
P2, Q2:` = 80 m; Z0 = 60 
; vf = 2c=3; c = 3� 108 m�s�1; Vs = 120 6 00 V; f = 500 kHz;
Zs = 12 
; ZL = 80 
P2, Q3: Z0 = 60 
; ROE = 2; 5; �` = 25 cm; ` = 8 cm
P2, Q4: Z0 = 75 
; zL = 2 + j; f = 1 GHz; vf = 1; 6� 1010 cm�s�1; Vmax = 2; 5 V;
z1 = �4 m; t1 = 10�6 s
P2, Q5: Z01 = 50 ohms; Z02 = 150 ohms; Z1 = 200 ohms; ZL = 50 + j100 ohms; V0 = 1 volt
x1 = 0; 25�; x2 = 0; 20�; x3 = 0; 4�; x4 = 0; 50�
2
P3, Q1: R = 20 
�m�1; G = 80� 10�6 S�m�1; L = 0; 4� 10�6 H�m�1; C = 70� 10�12 F�m�1
f = 50 MHz; Pm;0 = 1 W; z1 = �10 m
P3, Q2: ` = 80 m; Z0 = 70 
; vf = 2c=3; c = 3� 108 m�s�1; Vs = 120 6 00 V; f = 500 kHz
Zs = 12 
; ZL = 80 
P3, Q3: Z0 = 60 
; ROE = 2; 5; �` = 25 cm; ` = 9 cm
P3, Q4: Z0 = 75 
; zL = 1� j; f = 1 GHz; vf = 1; 7� 1010 cm�s�1; Vmax = 2; 5 V;
z1 = �4 m; t1 = 10�6 s
P3, Q5: Z01 = 50 ohms; Z02 = 150 ohms; Z1 = 200 ohms; ZL = 50 + j100 ohms; V0 = 1 volt
x1 = 0; 25�; x2 = 0; 20�; x3 = 0; 45�; x4 = 0; 50�
P4, Q1: R = 20 
�m�1; G = 80� 10�6 S�m�1; L = 0; 4� 10�6 H�m�1; C = 90� 10�12 F�m�1
f = 50 MHz; Pm;0 = 1 W; z1 = �10 m
P4, Q2: ` = 80 m; Z0 = 90 
; vf = 2c=3; c = 3� 108 m�s�1; Vs = 120 6 00 V; f = 500 kHz
Zs = 12 
; ZL = 80 
P4, Q3: Z0 = 60 
; ROE = 2; 5; �` = 25 cm; ` = 10 cm
P4, Q4: Z0 = 75 
; zL = 2� j; f = 1 GHz; vf = 1; 9� 1010 cm�s�1; Vmax = 2; 5 V;
z1 = �4 m;t1 = 10�6 s
P4, Q5: Z01 = 50 ohms; Z02 = 150 ohms; Z1 = 200 ohms; ZL = 50 + j100 ohms; V0 = 1 volt
x1 = 0; 25�; x2 = 0; 20�; x3 = 0; 15�; x4 = 0; 50�
P5, Q1: R = 20 
�m�1; G = 80� 10�6 S�m�1; L = 0; 4� 10�6 H�m�1; C = 10� 10�12 F�m�1;
f = 50 MHz; Pm;0 = 1 W; z1 = �10 m
P5, Q2: ` = 80 m; Z0 = 40 
; vf = 2c=3; c = 3� 108 m�s�1; Vs = 120 6 00 V; f = 500 kHz
Zs = 12 
; ZL = 80 
P5, Q3: Z0 = 60 
; ROE = 2; 5; �` = 25 cm; ` = 5 cm
P5, Q4: Z0 = 75 
; zL = 2� j2; f = 1 GHz; vf = 2; 0� 1010 cm�s�1; Vmax = 2; 5 V;
z1 = �4 m; t1 = 10�6 s
P5, Q5: Z01 = 50 ohms; Z02 = 150 ohms; Z1 = 200 ohms; ZL = 50 + j100 ohms; V0 = 1 volt
x1 = 0; 25�; x2 = 0; 20�; x3 = 0; 05�; x4 = 0; 50�
Tabela-gabarito das Provas
Questão/Prova P1 P2
Q1a: Zop(
) 100; 3� j7; 6 89; 7� j6; 9
Q1b: Pm (W) 7; 96 9; 98
Q2: VZL (V) 53; 1� j123; 133; 9;�66; 60 45; 2� j115; 0; 123; 6;�68; 50
Q3: ZL (
) 47; 9� j49; 4 59; 8� j56; 8
Q4: V (V) �1; 64� j1; 54 2; 42 + j0; 35
Q5a: Vmax (V ) 1; 49 1; 55
Q5b: Zmin(
) 17; 3(ROE = 2; 9) 14; 6(ROE = 3; 42)
Q5c: ZA (
) 20; 4� j19; 4 17; 0� j19; 2
Questão/Prova P3
Q1a: Zop(
) 75; 8� j5; 9
Q1b: Pm (W) 14; 9
Q2: VZL (V) 38; 2� j106; 9; 113; 6;�70; 40
Q3: ZL (
) 76; 9� j62; 2
Q4: V (V) �1; 91 + j0; 43
Q5a: Vmax (V ) 1; 59
Q5b: Zmin(
) 13; 0(ROE = 3; 84)
Q5c: ZA (
) 14; 7� j17; 5
3
Questão/Prova P4 P5
Q1a: Zop(
) 66; 9� j5; 2 200; 8� j13; 3
Q1b: Pm (W) 21 3; 2
Q2: VZL (V) 27; 4� j92; 1; 96; 1;�73; 50 60; 5� j130; 142; 9;�650
Q3: ZL (
) 99; 9� j61; 7 33; 8� j33; 8
Q4: V (V) 2; 2� j9; 8� 10�3 2; 4� j0; 5
Q5a: Vmax (V ) 1; 49 1; 59
Q5b: Zmin(
) 17; 3 13; 0
Q5c: ZA (
) 18� j9; 1 13; 9� j12; 7
4