Distribuições_amostrais

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Inferência Estatística
AULA:
*
Definição: Uma população é conjunto dos elementos que se deseja estudar
Definição: Uma amostra é um subconjunto de observações selecionadas a partir de uma população.
Inferência Estatística é dividida em duas partes:
 Estimação dos parâmetros;
 Teste de hipóteses.
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Exemplo 1: Considera-se uma população com 5 elementos, que correspondem aos seguintes valores da variável aleatória X: {1,3,5,5,7}. Escolhemos todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição desta população. 
E(X)=1(1/5)+2(1/5)+5(2/5)+7(1/5)=21/5=4,2
Var(X)=2,08.
Amostra aleatória 
Definição: As variáveis aleatórias 
 são uma amostra aleatória de tamanho n , se (a) os Xi’s forem variáveis aleatórios independentes e (b) cada Xi tiver a mesma distribuição de probabilidade.
_1274207769.unknown
Distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
		X
		1
		3
		5
		7
		f(x)=P(X=x)
		1/5
		1/5
		2/5
		1/5
*
Exemplo 1: Considera-se uma população com 5 elementos, que correspondem aos seguintes valores da variável aleatória X: {1,3,5,5,7}. Escolhemos todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição desta população. 
E(X)=1(1/5)+2(1/5)+5(2/5)+7(1/5)=21/5=4,2
Var(X)=2,08.
Distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
		X
		1
		3
		5
		7
		f(x)=P(X=x)
		1/5
		1/5
		2/5
		1/5
*
Observação:
		
		1
		3
		5
		7
		1
		(1,1)
		(3,1)
		(5,1)
		(7,1)
		3
		(1,3)
		(3,3)
		(3,3)
		(7,3)
		5
		(1,5)
		(3,5)
		(5,5)
		(7,1)
		7
		(7,1)
		(3,7)
		(5,7)
		(7,7)
_1274210111.unknown
		
		1
		3
		5
		7
		
		1
		1/25
		1/25
		2/25
		1/25
		1/5
		3
		1/25
		1/25
		2/25
		1/25
		1/5
		5
		2/25
		2/25
		4/25
		2/25
		2/5
		7
		1/25
		1/25
		1/25
		1/25
		1/5
		
		1/5
		1/5
		2/5
		1/5
		1
_1274210710.unknown
_1274210718.unknown
_1274210111.unknown
*
As estatísticas mais comuns são:
Definição: Uma parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população.
Definição: Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja, uma estatística T é uma função de 
_1274207769.unknown
*
		Denominação
		População
		Amostra
		Média
		
		
		Mediana
		Md
		md
		Variância
		
		
		Nª de elementos
		N
		n
		Proporção
		 
		
		Função densidade
		f(x)
		Histograma
_1274212539.unknown
_1274212685.unknown
_1274212752.unknown
_1274248238.unknown
_1274212632.unknown
_1274212469.unknown
*
Distribuições amostrais
A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de distribuição amostral da estatística.
Exemplo 1: Considera-se uma população com 5 elementos, que correspondem aos seguintes valores da variável aleatória X: {1,3,5,5,7}. Escolhemos todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição desta população. 
E(X)=4,2
Var(X)=2,08.
Determine a distribuição da média amostral.
Distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
		X
		1
		3
		5
		7
		f(x)=P(X=x)
		1/5
		1/5
		2/5
		1/5
*
		Amostra
		
		Probabilidade
		(1,1)
(1,3) (3,1)
(1,5) (5,1) (3,3)
(3,5) (1,7) (5,3) (7,1)
(5,5) (3,7) (7,3)
(5,7) (7,5)
(7,7)
		1
2
3
4
5
6
7
		1/25
2/25
5/25
6/25
6/25
4/25
1/25
_1274214174.unknown
_1406559496.unknown
Distribuição de probabilidade da variável aleatória 
.
		
		1
		2
		3
		4
		5
		6
		7
		
�� EMBED Equation.3 
		1/25
		2/25
		5/25
		6/25
		6/25
		4/25
		1/25
_1274215295.unknown
_1274215411.unknown
_1406559555.unknown
_1274215242.unknown
*
Resultado 4 (Teorema Central do Limite)
Observação:
Sejam 
 uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população com média 
 e variância 
 finita. Então a média amostral 
, tem distribuição normal com média 
 e variância 
, para n suficientemente grande. Isto é,
_1273494100.unknown
_1273494221.unknown
_1273494295.unknown
_1273494135.unknown
_1273494016.unknown
*
*
Exemplo (Aproximação da distribuição Binomial pela Normal)
Sejam 
 uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população Bernoulli com parâmetro p (0<p<1). Então, 
_1273494016.unknown
*
Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
*
Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
*
Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
*
Exemplo: Sabe-se que 25% de trabalhadores de uma indústria metalúrgica paulista expostos a um particular agente infeccioso adquirem certa doença. Considere um grupo de 100 trabalhadores com igual exposição ao agente infeccioso. Determinar a probabilidade de no mínimo 15 e no máximo 30 trabalhadores adoeçam. 
 
Solução:Seja a v.a. Y: número de trabalhadores que adoecem dentre os 100 trabalhadores expostos. Então, Y~B(100;0,25).
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Pelo Teorema Central do Limite temos:
*
Exemplo. Suponha que na produção em série de um artigo, o peso é uma variável aleatória com uma média de 950 gramas e uma variância de 1600 grs² , seleciona-se aleatoriamente e com reposição 36 artigos. Calcular a probabilidade que a média amostral seja maior de 965gramas. 
: salário médio dos empregados da indústria metalúrgica em São Bernardo do Campo, em 2001. 
Estimar a média de uma variável aleatória X, que representa uma característica de interesse de uma população, a partir de uma amostra. 
Distribuição da Média amostral
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Distribuição de uma proporção amostral
Define-se a proporção amostra
Sejam 
 uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população Bernoulli com parâmetro p (0<p<1). Então, 
_1273494016.unknown
*
Então
Ou seja, a distribuição amostral da proporção amostral é obtida da distribuição de Y.
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Exemplo: Suponha que p=0.30 (30%) dos estudantes da engenharia sejam mulheres, colhemos uma AAS de n=10 estudantes e calculamos a proporção de mulheres na amostra. Qual é a probabilidade de que a proporção amostral difira de p em menos de 0,01?.
Temos que essa probabilidade é dada por
Mas,
*
Portanto, a probabilidade pedida é igual a
*