Derivada - Problemas

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Problemas envolvendo a derivada
Problema 1: A função 



= t.
m
k sen.Ay representa as oscilações de uma mola 
com uma massa m presa em uma de suas extremidades, sendo k a constante 
elástica mola.
a) Encontre o instante no qual a massa está mais distante do seu ponto de 
equilíbrio. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando com 
velocidade máxima. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando 
com aceleração máxima. 
b) Qual é o período T da oscilação?
c) Encontre 
dm
dT
. O que nos diz o sinal de 
dm
dT
?
Problema 2: Seja a função xcose)x(f = . Investigue algumas das propriedades de f, 
através das questões:
a) Qual o domínio de f?
b) f é periódica?
c) f assume valores negativos? 
d) f tem raízes?
e) f tem algum valor máximo? E mínimo?
f) f é o resultado da composição de uma função exponencial com uma função 
trigonométrica. A função f cresce infinitamente como uma função exponencial?
g) Qual a imagem de f?
Problema 3: Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto 
acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é 
sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante 
e é de 50 mm3/s, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 
minutos do início do fenômeno.
Problema 4: Seja a função h(x)=f(g(x)), sendo g(x)=cos x. Sabendo que f’(–1)=3, 
determine o valor de )('h pi .
Problema 5: Dadas as funções )x2(tg)x(f = e 


=
2
x tg)x(g definidas para 
] [pipi−∈ ,x : 
a) Resolva as equações: f’(x)=1 e g’(x)=1.
b) Dê uma interpretação gráfica dos resultados da parte a), em termos das 
inclinações dos gráficos das funções f e g.
Problema 6: Resolva a equação diferencial )x(f)x('f = .
Problema 7: Obtenha o aumento do volume de uma esfera quando seu raio varia 
de 3cm a 3,1cm.
Problema 8: Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de 
um quadrado. Estima-se que seus lados medem 1500m, com um erro máximo de 
50m. Usando taxa de variação, determine o possível erro no cálculo da área do 
terreno.
Problema 9: Um tanque de óleo deve ser drenado para limpeza. Sobram V galões 
de óleo no tanque t minutos após o início da drenagem, onde ( ) 2t7560V −= , 
calcule:
a) a taxa média em que é drenado o óleo para fora do tanque durante os 
primeiros 30 minutos.
b) a taxa em que o óleo está fluindo para fora do tanque 30 minutos após o início 
da drenagem.
Problema 10: Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar, bem 
como a derivada de uma função ímpar é uma função par.
Problema 11: Nos carros da Fórmula 1 utiliza-se um pneu de ultra-aderência cuja 
consistência é mais macia do que a de um pneu normal e cuja superfície de 
contato é plana – pneu slick. Um fabricante desse tipo de pneus garante que a 
quantidade de borracha gasta em média quando um carro está rodando a 
200km/h é de 1,5cm2/s. Sabendo que esse pneu, quando novo, tem diâmetro de 
45cm e largura de 30cm, encontre:
a) a taxa de variação do diâmetro do pneu para um carro rodando nessas 
condições?
b) a taxa de variação do diâmetro quando o pneu, já usado, estiver com diâmetro 
de 42,7cm?
Problema 12: Mostre que a função 
xlnx1
1y
++
= satisfaz a equação diferencial 
)1xln.y(y'xy −= .
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