Aula_09_2012_02

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FUNDAMENTO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES – PÓLOS DE MALHA FECHADA
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a. Sistema de Exemplo;
b. diagrama de pólos e zeros de G(s)
Plano s
Verifique se os pontos “s” abaixo são pólos do sistema de malha fechada
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Representação vetorial de G(s) com base na Fig. 8.6(a) em –2+ j 3
Plano s
NÃO PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES
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PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;
O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;
O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;
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Pólos e zeros de um sistema a malha aberta genérico com pontos de teste, Pi, no eixo real
Plano s
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;
Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:
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Segmento do eixo real do lugar das raízes para o sistema:
Plano s
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Lugar das raízes completo para o sistema:
Plano s
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Exemplo: Esboce o Lugar das raízes 
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Lugar das raízes e assíntotas para o sistema:
Assíntota
Plano s
Assíntota
Assíntota
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Refinando o Lugar das Raízes
Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real:
Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade;
Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados
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Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário
Utilização do critério de Routh;
Caso especial de linha que só possuem zeros implicam na existência de polinômios estritamente pares ou ímpares como fator do polinômio original;
Os polinômios pares possuem somente raízes simétricas nas seguintes situações: 
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Localização das raízes para a geração de polinômios pares: A, B, C ou qualquer das combinações
A: Reais e simétricas em relação à origem
B: Imaginárias e simétricas em relação à origem
C:Quadrantais e simétricas em relação à origem 
Plano s
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Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário
Portanto só teremos raízes no eixo imaginário se tivermos uma linha contendo todos os termos iguais a zero na tabela de Routh;
Estas raízes são as raízes do “polinômio par” que é o polinômio da linha acima da linha de zeros;
Tudo o que acontece na tabela de Routh abaixo da linha do “polinômio par” se refere a ele. 
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Tabela de Routh para:
 0 + 2.0000i
 0 - 2.0000i
 0 + 1.4142i
 0 - 1.4142i
Raízes de 
Linha Toda de Zeros
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Linha Toda de Zeros
 0 + 1.4142i
 0 - 1.4142i
 0 + 1.0000i
 0 - 1.0000i
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 0.5000 + 3.1225i
 0.5000 - 3.1225i
 0.0000 + 1.4142i
 0.0000 - 1.4142i
 -1.0000 + 0.0000i
 -1.0000 - 0.0000i
 -0.0000 + 1.0000i
 -0.0000 - 1.0000i
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Para o Exemplo Anterior temos:
Ponto de Partida:
Ponto de Partida, pois é a única raíz que esta entre “0” e “-1”
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Cruzamento com Eixo Imaginário
Linha de Zeros
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Valor a ser Escolhido
Cruzamento com o Eixo Imaginário
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RESUMO DOS CÁLCULOS PARA ENCONTRAR O CRUZAMENTO COM O EIXO IMAGINÁRIO
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Pólos e zeros a malha aberta e cálculos de:
a. ângulo de saída;
b. ângulo de chegada
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Exemplo: calcule os ângulos de partida para o sistema 
 -1.0000 +1.0000i
 -1.0000 - 1.0000i
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Lugar das raízes para o sistema da Fig. 8.16 mostrando ângulo de saída
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Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de %UP=20%
Raio
Ângulo
(graus)
Plano s
–158,4
–180,0
–199,9
–230,4
–251,5
0,5
0,747
1,0
1,5
2,0
1,5
,5
0,45
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