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Prof. Pedro A. Silva
DEFINIÇÃO DE RENDAS CERTAS, ANUIDADES OU SÉRIE DE PAGAMENTOS
Rendas certas, Séries de pagamentos ou Anuidades são um fluxo de caixa, só de pagamentos ou recebimentos, feitos ao longo do tempo. Se as rendas forem criadas para pagamento de uma dívida, dizemos que o processo é de amortização (que é o mais comum). Se as rendas forem criadas para que possamos constituir um capital futuro, dizemos que o processo é de capitalização. Chamamos de termos, rendas ou parcelas, os valores que devem ser pagos ou recebidos ao longo do tempo. O intervalo do tempo existente entre dois termos consecutivos é chamado de período e o tempo de duração da renda chama-se prazo da renda.
Estudaremos as rendas com as seguintes características:
Temporárias: quando a duração for limitada
Constantes: os termos (prestações) são iguais
Periódicas: todos os períodos são iguais
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS QUANTO À DATA DE VENCIMENTO DO 1º TERMO
	TIPO DE RENDA
	VENCIMENTO
DO 1º TERMO
	EXEMPLO
	
ANTECIPADA
	
No dia da compra ou na assinatura do contrato.
	
Compra de um bem financiado em 4 prestações mensais, devendo a 1ª prestação ser paga no dia da compra (entrada). 
	
POSTECIPADA
	
No fim do primeiro período, a contar da data da compra ou da assinatura do contrato.
	
Compra de um financiamento em 6 prestações mensais, vencendo a 1ª prestação 1 mês após a data da compra.
	
IMEDIATA
	
No início ou no fim do primeiro período. 
	
Os dois exemplos acima. 
	
DIFERIDA (OU COM CARÊNCIA)
	
Após certo número de períodos a contar da data da compra ou do contrato.
	
Compra de um bem financiado em prestações mensais, vencendo a 1ª prestação 3 meses após a compra.
�
CAPITALIZAÇÃO (ACUMULAÇÃO DE CAPITAL)
I - Capitalização Postecipada (exemplo)
	Calcular o montante (S) gerado por 3 depósitos mensais e consecutivos de R$ 100,00 sujeitos a juros compostos de 5% a. m., considerando que os depósitos sejam todos feitos ao final de cada mês:
 PMT = 100,00 PMT = 100,00 PMT = 100,00		DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
						 
 
0		1		2		3 	(meses) 
 VF = ?	
 
O capital acumulado ao fim do terceiro mês será:
1ª parcela: 100 x (1,05)2 = 110,25
2ª parcela: 100 x (1,05) = 105,00
3ª parcela: 100 = 100,00
Capital acumulado.............315,25
CÁLCULO ATRAVÉS DE FÓRMULA:
CÁLCULO DO VALOR FUTURO (MONTANTE)
			
OU:
 
COEFICIENTE
	
CÁCULO DA PARCELA:
	OU 
 
�
II - Capitalização antecipada (exemplo)
Calcular o montante (S) gerado por 3 depósitos mensais e consecutivos de R$ 100,00 sujeitos a juros compostos de 5% a. m., no final do 3º mês, considerando que os depósitos sejam todos feitos no início de cada mês:
PMT PMT PMT PMT = 100	
						 
0		1		2	 3 	(meses) 
						 FV = ?
O capital acumulado até o final do terceiro mês será:
1ª parcela: 100 x (1,05)3 = 115,76
2ª parcela: 100 x (1,05) 2 = 110,25
3ª parcela: 100 x (1,05) = 105,00
Capital acumulado...............331,01
CÁLCULO ATRAVÉS DE FÓRMULA:
VALOR FUTURO
 (	
OU:
 
CÁCULO DA PARCELA:
	OU 
 
�
AMORTIZAÇÃO
	
I - Amortização Postecipada 
Exemplo
	Supor que um carro pode ser financiado em 4 prestações mensais sem entrada. O valor das prestações é de R$ 1.000,00, se a taxa cobrada é de 2% ao mês, qual é o valor do carro à vista?.
Solução:
	O preço do carro a vista ( VP ) corresponde à soma dos valores atuais das prestações (PMT ) na data zero, calculados a taxa de 2% a.m., e por sua vez cada prestação pode ser considerada como um valor futuro a ser pago em datas distintas.
	 VP	
 0 1 2 3 4 PMT = 1.000,00
PMT PMT PMT PMT 
	A soma dos valores atuais ( VP ) é dada por:
	
 		 
	como PMT = 1,000,00, temos VP = 1.000,00 × 3,807728 = 3.807,73
Valor do carro à vista: R$ 3.807,73
CÁLCULO DE P UTILIZANDO UMA FÓRMULA GENÉRICA: 
 OU 
 onde 
 ( 
De modo inverso, se tivermos o preço do carro à vista, para calcular a prestação basta isolar o “PMT”:
CÁLCULO DE PMT: 
 ( 
 ( 
		
	
 ( valor das prestações
	 
	
II - Amortização Antecipada 
Exemplo:
Se o valor à vista do carro de R$ 3.807,73 fosse pago em quatro parcelas, com uma entrada de igual valor, teríamos uma modificação na fórmula: multiplicando o coeficiente por (1 + i). Neste caso o valor das prestações seria menor.
CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES ANTECIPADAS:
 VP = 3.807,73
0 1 2 3 4
980,39 980,39 980,39 980,39
 
( PMT = 
CÁLCULO DO VALOR PRINCIPAL, DADO O VALOR DAS PRESTAÇÕES:
 ( VP = 980,39 X (1,02) X 3,807728 = 3.807,73
EXERCÍCIOS:
Calcular o montante gerado por 12 depósitos mensais e consecutivos de R$ 200,00, à taxa de 3% a.m., considerando que os depósitos sejam todos feitos ao final de cada mês.
Qual o valor da aplicação que devo fazer mensalmente, durante 6 meses e à taxa composta de 10% a.m., para conseguir um montante de R$ 3.086,25, se as aplicações são feitas ao fim de cada mês?
Qual é o montante, no final de 14 meses , resultante da aplicação de 14 parcelas iguais, mensais e consecutivas de $ 1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que a primeira aplicação é feita “hoje”?
A taxa básica de juros atual (SELIC) é de 16% ao ano. Qual o montante ao final de seis meses se eu aplicar 300 ,00 mensalmente, a contar de hoje?
Quanto devo aplicar mensalmente, durante 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês, para que tenha $ 150.000,00 no final do 15º mês, dentro dos conceitos de termos antecipados e postecipados?
Calcular o valor das prestações de um financiamento de R$ 12.500,00, para pagamento em 5 prestações mensais e iguais, sem entrada, concedido a uma taxa de juros efetivos de 3,5% a.m.
Qual o valor de uma dívida hoje, para podermos saudá-la com 10 pagamentos mensais iguais de R$ 813,73, capitalizados mensalmente a uma taxa de juros de 5% ao mês.
Um aparelho de TV é vendido nas seguintes condições: R$ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais de R$ 1.213,65.Sabendo-se que o juro cobrado pela instituição é de 2% a.m., qual será o preço à vista?
Desejando comprar o carro e não dispondo do dinheiro à vista, combino com o vendedor pagá-lo em 12 prestações mensais iguais e consecutivas, oferecendo a taxa de 3% a.m. Qual será a prestação que pagarei, se o valor do carro é R$ 40.000,00 e pago a primeira prestação no ato da venda?
O sistema de vendas à prazo de um magazine exige 40% do valor da mercadoria de entrada e são cobrados 5% a.m. de juros. Se o cliente fizer uma compra de R$ 3.000,00 e optar por 6 prestações mensais, qual será o valor da prestação?
O Magazine Pantaneta vende uma TV à vista por R$ 1.110,00 ou em cinco parcelas iguais com entrada. Sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês, qual o valor das parcelas?
Lê-se numa vitrine de uma “loja chique”: Vestido à vista por R$ 690,00. Opções: 1 + 3 ou 1 + 4. Taxa: 2% ao mês. Qual o valor das prestações? 
(AFRF –85/ADAPTADA) Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.000,00, mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 8% ao mês, em parcelas iguais. Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo comprador é de aproximadamente:
(AFRF –96/ADAPTADA) Um empréstimo de R$ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 9% ao trimestre, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao finaldo segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é:
Na loja Bigodun uma compra de R$ 100,00 deverá ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e a outra a vencer em um mês. Sabendo que a loja cobra juros de 10% sobre o saldo devedor, calcule o valor de cada parcela. 
Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a 
Um condomínio prevê despesas de extras de R$ 120.000,00 e R$ 160.000,00 no final de agosto e setembro, respectivamente. Quanto deverá arrecadar e aplicar, num fundo de renda que rende 1,85% a.m., no final de maio, junho e julho (valores iguais), para fazer frente às despesas previstas? 
Um artigo pode ser comprado hoje e pago daqui a três meses por R$ 318,36. O gerente informa que está sendo cobrado juros de 2% a.m. Se eu comprar em três vezes iguais com entrada será cobrada uma taxa de 1,5% a.m., nestas condições qual deverá ser o valor das parcelas?
 Quanto terei, no final de 20 meses, se aplicar, alternadamente, $ 200,00 e $ 400,00 por mês, respectivamente, a urna taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos?
Quanto terei no final de 18 meses se aplicar $ 200,00 a cada bimestre, á taxa de 2,4695% ao mês, sendo a primeira aplicação a 60 dias de hoje?
Um carro é vendido a vista por R$ 35.000,00, ou em doze prestações mensais iguais, com a primeira para ser paga daqui a 4 meses. Para uma taxa de 3,5 % a.m, determinar o valor das prestações na compra a prazo. 
Um eletrodoméstico é vendido a vista por R$ 8.000,00, ou em 4 pagamentos mensais de R$ 2.085,79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra. Qual deve ser o valor da entrada admitindo uma taxa de juros de 4% a.m.?
RESPOSTAS:
1) R$ 2.838,40 2) R$ 400,00 3) $ 32.932,22 4) $ 1.879,75 5) $ 7.669,04 (p/ termos antec), 7.918,29 (p/ termos postec) 6) R$ 2.768,51 7) R$ 6.283,41 8) R$ 5.000,00 9) R$ 3.901,44 10) R$ 354,63 11) R$ 235,31 12) a) R$ 177,65 b) R$ 143,52 13) R$ 403,63 14) R$ 11.881,00 15) R$ 52,38 16) R$ 62.927,16 17) R$ 89.029,68 18) R$ 103,01 19) R$ 7.631,86 20) R$ 2.205,31 21) R$ 4.015,70 22) R$ 7.000,00
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