SISTEMA POLAR DE COORDENADAS - Cálculo 3 - assunto da primeira prova - calcular integrais duplas por sistema de coordenadas polares

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Cálculo III 
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SISTEMA POLAR DE COORDENADAS 
 
 
 
 
 O sistema retangular de coordenadas 
concebe a localização de um ponto em 
um plano, denominado cartesiano, por 
meio de duas distâncias com relação à 
origem: uma distância horizontal 𝑥 e 
outra vertical 𝑦. 
 
 
 
 O sistema polar, também 
bidimensional, se fundamenta em uma 
distância e em um ângulo: uma 
distância calculada relativamente à sua 
origem, chamada de polo, estabelecida 
sobre o segmento da reta determinada 
pelo ângulo 𝜃, cuja medida toma como referência o eixo polar no 
qual 𝜃 = 0. 
 As coordenadas polares de um ponto 𝑝 , representado pelo par (𝑥, 
𝑦) no sistema cartesiano, correspondem, assim, ao par 𝜃, 𝑟 , composto 
pelo ângulo polar 𝜃 e o raio 𝑟 , medido, a partir do polo, sobre o 
segmento da reta definida por 𝜃. 
 
 
 
Sobrepondo a marcação de um 
ponto nos dois sistemas, vemos as 
relações entre as coordenadas 
cartesianas e as coordenadas 
polares. 
 Essas relações correspondem, na 
prática, a fórmulas de conversão 
que nos permitem transitar entre 
os dois sistemas de coordenadas. 
 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 , 
 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
𝑥
𝑟
 → 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 
𝑦
𝑟
 → 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑒 
𝑡𝑔𝜃 = 
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
= 
𝑦
𝑥
. 
 
EXEMPLOS 
 
1. O ponto de coordenadas cartesianas (−1, 1) é escrito no 
sistema polar como (3𝜋/4, 2). 
 
De fato, se 𝑥 = −1 e 𝑦 = 1, então 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 , 
 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
𝑥
𝑟
 → 𝑥 =
−1
√2
= −
√2
2
 𝑒 
 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 
𝑦
𝑟
 → 𝑦 =
1
√2
= 
√2
2
 . 
 
 
 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑟 = √2 𝑒 𝜃 = 3𝜋/4. 
 
 
2. O ponto de coordenadas cartesianas (0, 2) é escrito no sistema 
polar como (𝜋/2, 2). 
Agora, 𝑥 = 0 e 𝑦 = 2 acarretam 𝑟 = √4 = 2. Daí, 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
0 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
2
2
= 1 e portanto, 𝜃 = 𝜋/2. 
 
3. O ponto de coordenadas polares (𝜋/3, 2) corresponde ao 
ponto (1, 3) no sistema cartesiano. 
Se 𝜃 = 𝜋/3 e 𝑟 = 2, então 𝒙 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟑
) =
𝟐∗𝟏
𝟐
= 𝟏 𝒆 
𝒚 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟑
) =
𝟐∗ √𝟑
𝟐
= √𝟑 . 
 
 
OBSERVAÇÕES : 
 
Consideremos o polo e o 
eixo polar coincidindo, 
respectivamente, com 
a origem e o semieixo 0X 
positivo do sistema 
cartesiano. 
Dessa forma, observamos 
que pontos correspondentes 
com relação aos dois 
sistemas de coordenadas 
ocupam o mesmo lugar 
geométrico. 
 
Veja, por exemplo, os lugares 
geométricos ocupados pelos pontos 
(−1, 1) e (3𝜋/4, 2).