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Círculo Trigonométrico
A ideia do círculo trigonométrico
Quando falamos sobre trigonometria, naturalmente deve aparecer na sua cabeça vários senos e cossenos hahaha
É realmente por aí...Mas agora vamos entender como funcionam as relações trigonométricas para QUALQUER ângulo. Precisamos nos recordar que uma volta completa tem 360°, ou seja, será uma circunferência!
Vamos pensar no círculo trigonométrico como um círculo de raio 1. Uma circunferência centrada em (0,0) e de raio 1 tem a seguinte forma:
Dentro do círculo, consideramos o ângulo de análise partindo da parte positiva do eixo x e crescendo no sentido anti-horário. Da seguinte forma:
Ou seja, se andarmos no sentido anti-horário, teremos os ângulos POSITIVOS, no sentido horário, ângulos NEGATIVOS. OK?
Além disso, o sentido de crescimento dos quadrantes, também será anti-horário.
Agora, observe a figura abaixo
Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo ABC...
Vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo α, observa só:
sen α=cat. opostohipotenusa=y1=y                cos⁡α=cat. adjacentehipotenusa=x1=x
Por isso, dizemos que o y é o eixo do seno e o x é o eixo do cosseno.
Pra você lembrar disso...
Cosseno→  COM SONO      Seno→ SEM SONO
Quem está com sono, fica deitado... Já quem está sem sono, fica em pé rs
Beleza?
Isso vai nos dar uma importante interpretação para o seno e o cosseno. Por exemplo, para um ângulo de 30°, teremos
sen 30°=12                cos⁡30°=32
As coordenadas do ponto B, serão
B32 ,12
Graus e radianos
Como o círculo trigonométrico é um circunferência de raio 1, podemos representar um ângulo pelo comprimento de sua circunferência, uma vez que o comprimento c de uma circunferência completa é:
c=2πr
Como r=1, teremos
c=2π rad
Por isso, podemos dizer que
360°  correspondem a 2π rad
Uma circunferência completa tem ângulo associado de 360°, dessa maneira, por uma regrinha de três, conseguimos fazer a conversão de qualquer ângulo de graus para radianos e vice-versa. Por exemplo...
120° em rad?
360°→2π120°→φrad
Chegamos que:
φrad=2π360⋅120°
Simplificando por 120°, teremos:
φrad=2π3 rad
Para converter de radianos para graus, é mais simples ainda...
Basta lembrarmos que se
360°→2π rad
Então
180°→π rad
Isso significa que se tivermos um ângulo assim, ó
3π4
Se quisermos converter, basta fazer o seguinte
3 . 180°4=540°4=135°
Ângulos em outros quadrantes
Vimos até agora valores de seno, cosseno e tangente no primeiro quadrante, mas e:
sen⁡120°= ??cos⁡270°= ??tg⁡135°= ??
Achar esses valores não é difícil. Basta a gente observar a simetria do círculo trigonométrico. Vamos fazer para o ººsen⁡120º para você ver como é.
Note que esse ângulo de 120°, para chegar ao 180°, está faltando 60°.
Como esse 60° está no segundo quadrante, repare que o seno que sempre é dado no eixo y (Seno está sem sono, então ele está em pé rs) é positivo...
sen⁡120°=sen⁡60°=
32
O cosseno, no entanto, sempre representado no eixo x (cosseno está com sono rs) para ângulos como esse, no lado esquerdo do plano é negativo...
cos⁡120°=-cos⁡60°=
-12
Como 120° e 60° tem em módulo os mesmos valores para o seno e o cosseno, então são considerados simétricos.
A tangente fica então bem simples:
tg⁡120°=sen⁡120°cos⁡120°=-3
Dá sempre para calcular senos, cossenos e tangentes em outros quadrantes só vendo a posição até o lado do eixo x mais próximo, como fizemos acima, saca?
Lembrando que cada quadrante terá os seguintes sinais para o seno, cosseno e tangente ...
Basta lembrar que o seno cresce na vertical, por isso o 1° e 2° quadrante são positivos e o 3° e o 4° são negativos! Consideramos como referência apenas o eixo da vertical. A mesma lógica vale para o cosseno, só que na horizontal.
Para a tangente, basta lembrarmos que
tg x=sen xcos⁡x 
Ou seja, com respeito aos sinais dos quadrantes, lembraremos daquela regrinha...
Sinais iguais→ POSITIVO                   Sinais diferentes→ NEGATIVOS
Ângulos notáveis...
Aqueles ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados de ângulos notáveis, pois são muito cobrados em provas. É sempre muito útil sabe-los de cor até mesmo em radianos, por exemplo, 30°:
φrad=2π360⋅φgraus       →      φrad=2π360⋅30°=π6
Transformado os outros ângulos, podemos montar a tabelinha...
No ciclo trigonométrico fica...
Veja que os outros ângulos simétricos aos notáveis estão determinados também no ciclo trigonométrico, por exemplo, o ângulo de
π3rad=60°   é simétrico ao 2π3rad=120°
Um macete para determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”. Veja com os simétricos de π/6:
Para o π6, teremos...
No segundo quadrante, “tira 1”:
π-π6=5π6 rad
No terceiro quadrante, “põe 1”:
π6+π=7π6 rad
No quarto quadrante, “dobra e tira 1”:
2π-π6=11π6 rad
Viu como é útil?
Arcos congruentes
Pra fecharmos, temos uma última coisa importante...
A partir do círculo trigonométrico, vemos que a cada 360°, ou 2π rad, damos uma volta completa e os valores de seno e cosseno se repetem. Chamamos os ângulos com relações trigonométricas em comum de ângulos congruentes que aparecem na frequência de 360° ou 2π rad.
Por exemplo, π é congruênte de 3π, pois:π+2π=3π
E:
sen⁡π=sen⁡3π=0
cos⁡π=cos⁡3π=-1
De maneira geral:
sen⁡φ+2πk=sen φcos⁡φ+2πk=cos⁡φCom k∈Z
k precisa ser um número inteiro, pois somente dando uma volta inteira, voltamos ao mesmo lugar.
Vamos aos exercícios para praticarmos bem! :)

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