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Círculo Trigonométrico A ideia do círculo trigonométrico Quando falamos sobre trigonometria, naturalmente deve aparecer na sua cabeça vários senos e cossenos hahaha É realmente por aí...Mas agora vamos entender como funcionam as relações trigonométricas para QUALQUER ângulo. Precisamos nos recordar que uma volta completa tem 360°, ou seja, será uma circunferência! Vamos pensar no círculo trigonométrico como um círculo de raio 1. Uma circunferência centrada em (0,0) e de raio 1 tem a seguinte forma: Dentro do círculo, consideramos o ângulo de análise partindo da parte positiva do eixo x e crescendo no sentido anti-horário. Da seguinte forma: Ou seja, se andarmos no sentido anti-horário, teremos os ângulos POSITIVOS, no sentido horário, ângulos NEGATIVOS. OK? Além disso, o sentido de crescimento dos quadrantes, também será anti-horário. Agora, observe a figura abaixo Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo ABC... Vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo α, observa só: sen α=cat. opostohipotenusa=y1=y cosα=cat. adjacentehipotenusa=x1=x Por isso, dizemos que o y é o eixo do seno e o x é o eixo do cosseno. Pra você lembrar disso... Cosseno→ COM SONO Seno→ SEM SONO Quem está com sono, fica deitado... Já quem está sem sono, fica em pé rs Beleza? Isso vai nos dar uma importante interpretação para o seno e o cosseno. Por exemplo, para um ângulo de 30°, teremos sen 30°=12 cos30°=32 As coordenadas do ponto B, serão B32 ,12 Graus e radianos Como o círculo trigonométrico é um circunferência de raio 1, podemos representar um ângulo pelo comprimento de sua circunferência, uma vez que o comprimento c de uma circunferência completa é: c=2πr Como r=1, teremos c=2π rad Por isso, podemos dizer que 360° correspondem a 2π rad Uma circunferência completa tem ângulo associado de 360°, dessa maneira, por uma regrinha de três, conseguimos fazer a conversão de qualquer ângulo de graus para radianos e vice-versa. Por exemplo... 120° em rad? 360°→2π120°→φrad Chegamos que: φrad=2π360⋅120° Simplificando por 120°, teremos: φrad=2π3 rad Para converter de radianos para graus, é mais simples ainda... Basta lembrarmos que se 360°→2π rad Então 180°→π rad Isso significa que se tivermos um ângulo assim, ó 3π4 Se quisermos converter, basta fazer o seguinte 3 . 180°4=540°4=135° Ângulos em outros quadrantes Vimos até agora valores de seno, cosseno e tangente no primeiro quadrante, mas e: sen120°= ??cos270°= ??tg135°= ?? Achar esses valores não é difícil. Basta a gente observar a simetria do círculo trigonométrico. Vamos fazer para o ººsen120º para você ver como é. Note que esse ângulo de 120°, para chegar ao 180°, está faltando 60°. Como esse 60° está no segundo quadrante, repare que o seno que sempre é dado no eixo y (Seno está sem sono, então ele está em pé rs) é positivo... sen120°=sen60°= 32 O cosseno, no entanto, sempre representado no eixo x (cosseno está com sono rs) para ângulos como esse, no lado esquerdo do plano é negativo... cos120°=-cos60°= -12 Como 120° e 60° tem em módulo os mesmos valores para o seno e o cosseno, então são considerados simétricos. A tangente fica então bem simples: tg120°=sen120°cos120°=-3 Dá sempre para calcular senos, cossenos e tangentes em outros quadrantes só vendo a posição até o lado do eixo x mais próximo, como fizemos acima, saca? Lembrando que cada quadrante terá os seguintes sinais para o seno, cosseno e tangente ... Basta lembrar que o seno cresce na vertical, por isso o 1° e 2° quadrante são positivos e o 3° e o 4° são negativos! Consideramos como referência apenas o eixo da vertical. A mesma lógica vale para o cosseno, só que na horizontal. Para a tangente, basta lembrarmos que tg x=sen xcosx Ou seja, com respeito aos sinais dos quadrantes, lembraremos daquela regrinha... Sinais iguais→ POSITIVO Sinais diferentes→ NEGATIVOS Ângulos notáveis... Aqueles ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados de ângulos notáveis, pois são muito cobrados em provas. É sempre muito útil sabe-los de cor até mesmo em radianos, por exemplo, 30°: φrad=2π360⋅φgraus → φrad=2π360⋅30°=π6 Transformado os outros ângulos, podemos montar a tabelinha... No ciclo trigonométrico fica... Veja que os outros ângulos simétricos aos notáveis estão determinados também no ciclo trigonométrico, por exemplo, o ângulo de π3rad=60° é simétrico ao 2π3rad=120° Um macete para determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”. Veja com os simétricos de π/6: Para o π6, teremos... No segundo quadrante, “tira 1”: π-π6=5π6 rad No terceiro quadrante, “põe 1”: π6+π=7π6 rad No quarto quadrante, “dobra e tira 1”: 2π-π6=11π6 rad Viu como é útil? Arcos congruentes Pra fecharmos, temos uma última coisa importante... A partir do círculo trigonométrico, vemos que a cada 360°, ou 2π rad, damos uma volta completa e os valores de seno e cosseno se repetem. Chamamos os ângulos com relações trigonométricas em comum de ângulos congruentes que aparecem na frequência de 360° ou 2π rad. Por exemplo, π é congruênte de 3π, pois:π+2π=3π E: senπ=sen3π=0 cosπ=cos3π=-1 De maneira geral: senφ+2πk=sen φcosφ+2πk=cosφCom k∈Z k precisa ser um número inteiro, pois somente dando uma volta inteira, voltamos ao mesmo lugar. Vamos aos exercícios para praticarmos bem! :)