REGRA DE CRAMER E DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES

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REGRA DE CRAMER E DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
REGRA DE CRAMER
Considere o sistema abaixo:
e sendo D, Dx, Dy e Dz, determinantes dos coeficientes como apresentados abaixo:
Temos:
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que ele tem. Ele pode ser: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível.
SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)
É todo sistema linear que apresenta uma única solução.
Exemplo:
Esse sistema apresenta uma única solução que é o par, ou seja, x = 8 e y = 2.
 
SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)
É todo sistema linear que apresenta mais de uma solução.
Exemplo:
Esse sistema apresenta mais de uma solução: (5,0); (1,4); (3,2) etc.
OBSERVAÇÃO Se um sistema linear admite mais de uma solução, então ele admite infinitas soluções.
SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)
É todo sistema linear que não admite solução.
Exemplo:
 
Note que nenhuma solução da primeira equação é também solução da segunda.
DISCUSSÃO DE SISTEMAS
Considere o sistema de equações a seguir:
Exemplo:
 
Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:
I) Sistema possível e determinado
Uma única solução
Retas concorrentes
Concorrentes
II) Sistema possível e indeterminado
Infinitas soluções
Retas coincidentes
Coincidentes
III) Sistema impossível
Nenhuma solução
Retas paralelas
Paralelas
Exercícios resolvidos
1) Classifique os sistemas a seguir:
A) 
Solução:
Relacionando os coeficientes das equações, temos:
B) Discutir o sistema
 
Solução:
Relacionando os coeficientes das equações, temos:
Logo, o sistema é possível indeterminado.
3. DISCUSSÃO DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A 2
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA
Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, geralmente temos:
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Quando o termo independente de cada uma de suas equações é igual a zero. Exemplos:
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos:
Todo sistema linear homogêneo é possível, pois admite no mínimo a solução trivial (0,0,0).
Exercícios Resolvidos
1) Resolva usando a regra de Cramer:
A) 
Solução:
Temos:
2) Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível:
Solução:
Utilizando a Regra de Cramer:
Mas,
3) Considere o sistema dado pelas equações:
A) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e determinado e encontre seu conjunto solução.
B) Determines o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e indeterminado.
Solução:
A) O sistema é possível e determinado se, e somente se,
Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, obtemos
Em consequência, o conjunto solução é
B) O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, , isto é, se .
4) No processo de preparação de uma mistura, foi necessário estudar o sistema linear:
Nesse sistema, p, q e r representam as quantidades dos três elementos envolvidos na mistura.
A) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema.
B) Resolva o sistema.
Solução:
A) A matriz dos coeficientes do sistema é . Logo, seu determinante é igual a  
B) Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, vem
Donde . Observando que p, q e r são números reais não negativos, deve-se ter . Portanto, fazendo , segue-se que o conjunto solução do sistema é .