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Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Convecc¸a˜o Forc¸ada Interna a Dutos
Vicente Luiz Scalon
Faculdade de Engenharia/UNESP-Bauru
Disciplina: Transmissa˜o de Calor
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Suma´rio
Escoamento no interior de dutos
Velocidade Me´dia
Regia˜o de Entrada Hidrodinaˆmica
Fator de Atrito
Considerac¸o˜es Te´rmicas
Balanc¸o de energia
Diferenc¸a Me´dia Logarı´tmica de Temperaturas (DMLT)
Regime Laminar Plenamente Desenvolvido
Regia˜o de Entrada
Expresso˜es empı´ricas para Regime Laminar
Escoamento de Transic¸a˜o e Turbulento
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Principais objetivos:
neste capı´tulo sera˜o usadas expresso˜es analı´ticas/empı´ricas
para determinar o coeficiente de pelı´cula
sera˜o apresentados conceitos de Regia˜o de Entrada
sera˜o estudadas diversas geometrias de tubos e as
expresso˜es adequadas para obtenc¸a˜o do coeficiente de
pelı´cula;
todas as expresso˜es sa˜o baseadas na adimensionalizac¸a˜o
apresentada anteriormente:
Nux = f(~x∗,Re,Pr) e Nu = f(Re,Pr)
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Definic¸a˜o de Velocidade Me´dia
Definic¸a˜o geral:
Vm =
1
A
∫
A
V · dA
para determinar a vaza˜o:
m˙ = ρ · Vm ·A =⇒ Vm = m˙
ρ ·A
Ca´lculo do ReD em tubos de sec¸a˜o circular:
ReD =
ρ · Vm ·D
µ
=
ρ · m˙ ·D
ρ ·A · µ =
m˙ ·D
pi·D2
4 · µ
=
˙4 ·m
pi ·D · µ
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Regia˜o de Entrada Hidrodinaˆmica
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Caracterizac¸a˜o do Escoamento dem Dutos
identificac¸a˜o do regime a partir do ReD:
ReD =
ρ · Vm ·D
µ
=
Vm ·D
ν
sendo
8<:
ReD < 2300 Laminar
2300 < ReD < 10000 Transic¸a˜o
ReD > 10000 Turbulento
Comprimento de entrada (xe):
Regime Laminar
xe
D
= 0,05 · ReD
Regime Turbulento
10 ≤ xe
D
≤ 60
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Fator de Atrito
representa a perda de pressa˜o decorrente do escoamento no
interior do duto
Laminar: f = 64/Re
Transic¸a˜o e Regime Turbulento:
f =0,316 · Re−1/4D para ReD < 2× 104
f =0,184 · Re−1/5D para ReD > 2× 104
f =[0,790 · ln(ReD)− 1,64]−2 para 3000 < ReD < 5× 106
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Regia˜o de Entrada Hidrodinaˆmica
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Ana´lise Te´rmica
Comprimento de entrada:
Laminar -
xt
D
= 0,05 · ReD · Pr
Turbulento -
xt
D
= 10
Definic¸a˜o de Temperatura de Mistura:
Tm =
1
m˙ · c
∫
A
ρ · u · c · T · dA
Para tubo cilı´ndrico e propriedades fı´sicas constantes:
Tm =
2
Vm ·R2
R∫
r=0
u · T · r · dr
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Balanc¸o de Energia
Aplicando a Primeira Lei da Termodinaˆmica ao Sistema:
dq+m˙(cv · Tm + p · v) = m˙[cv · Tm + d(cv · Tm) + p · v + d(p · v)] ou
dq =m˙ · d(cv · Tm︸ ︷︷ ︸
u
+p · v) = m˙ · dh = m˙ · cp · dTm
Utilizando a direc¸a˜o x como refereˆncia, teˆm-se:
dq
dx
= m˙cp · dTm
dx
A taxa total de troca calor na
superfı´cie e´ dada por:
q = m˙ · cp · (Tm,s − Tm,e)
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Fluxo de Calor Constate
com fluxo de calor constante q′′ =constate, dq = q′′ · P · dx:
q′′ · P = m˙ · cp · dTm
dx
=⇒ dTm
dx
=
q′′ · P
m˙ · cp
integrando e isolando Tm:
Tm =
q′′ · P
m˙ · cp · x+ C1
integrando a partir de condic¸o˜es de entrada conhecidas,
tem-se que a temperatura de mistura em qualquer ponto x e´:
Tm(x) =
q′′ · P
m˙ · cp · x+ Tm,e
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Temperatura de Superfı´cie Constate
Se Ts =constate, dq = h · P · dx · (Ts − Tm):
h ·P ·(Ts−Tm) = m˙ ·cp · dTm
dx
=⇒ dTm
dx
+
h · P
m˙ · cpTm =
h · P
m˙ · cp ·Ts
resolvendo esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria depende
de torna´-la homogeˆnea usando θm = Tm − Ts
dθm
dx
+
h · P
m˙ · cp θm = 0 que resolvida θm = C1 · exp
(
− h · P
m˙ · cpx
)
e considerando que as condic¸o˜es na entrada sa˜o conhecidas:
θm
θm,e
=
Tm − Ts
Tm,e − Ts = exp
(
− h · P
m˙ · cp · x
)
(1)
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Diferenc¸a Me´dia Logarı´tmica de Temperaturas - DMLT
a expressa˜o de Tm, s para um tubo de comprimento L e´:
Tm,s − Ts
Tm,e − Ts =
∆Ts
∆Te
= exp
„
− h · P
m˙ · cpL
«
ou ln
„
∆Ts
∆Te
«
= − h · P
m˙ · cpL
Considerando o balanc¸o em relac¸a˜o a uma Ts constante:
q = m˙·cp·(Tm,s−Tm,e) = m˙·cp·[(Tm,s−Ts)−(Tm,e−Ts)] = m·cp·(∆Ts−∆Te)
Considerando a convecc¸a˜o e definindo DMLT = Tm(0−L) − Ts:
q =
LZ
0
h · P · (Ts − Tm(x)) · dx = h · (P · L) · (−DMLT)
Igualando as duas expresso˜es acima:
m · cp · (∆Ts −∆Te) = −h · (P · L) ·DMLT =⇒ − h · P
m˙ · cp · L =
∆Ts −∆Te
DMLT
substituindo o resultado na 1a equac¸a˜o:
ln
„
∆Ts
∆Te
«
=
∆Ts −∆Te
DMLT
=⇒ DMLT = ∆Ts −∆Te
ln(∆Ts/∆Te)
(2)
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Troca de calor em relac¸a˜o a um fluido externo a T∞
em uma associac¸a˜o de componentes:
q =
∆T
Req
= U ·A ·∆T
as equac¸o˜es (1) e (2) passam a ter as diferenc¸as de temperaturas
calculadas com bases nas temperaturas dos ”extremos”do circuito e o
coeficiente h e passa a ser o global U :
o ca´lculo da temperatura de mistura fica sendo:
Tm − T∞
Tm,e − T∞ = exp
„
− U · P
m˙ · cp · x
«
= exp
„
− 1
m˙ · cp ·Req ·
x
L
«
(3)
o ca´lculo da DMLT, fica ideˆntico a` expressa˜o anterior (2), apenas mudando
os valores das diferenc¸as na entrada e saı´da:
DMLT =
∆Ts −∆Te
ln(∆Ts/∆Te)
onde

∆Te = Tm,e − T∞
∆Ts = Tm,s − T∞ (4)
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Soluc¸a˜o para Regime Laminar Plenamente Desenvolvido
com as expresso˜es anteriores e´ possı´vel obter soluc¸a˜o
analı´tica para este tipo de problema no regime laminar
(Re ≤ 2300)
para o caso de um tubo circular com taxa de transfereˆncia de
calor constante q′′ na superfı´cie e´ possı´vel demonstrar que:
NuD = 4,36
para o caso de um tubo circular com temperatura de
superfı´cie constante Ts e´ possı´vel demonstrar que:
NuD = 3,66
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Regime Laminar Plenamente Desenvolvido em outras
geometrias
Tipo de NuD NuD
Geometria a/b Ts q′′ f/ReD
1 3,61 2,98 57
1,43 3,73 3,08 59
2 4,12 3,39 62
3 4,79 3,96 69
4 5,33 4,44 73
8 6,49 5,6 82
∞ 5,39 4,86 96
- 3,11 2,47 53
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Regia˜o de Entrada
Regia˜o de entrada combinada: desenvolvimento simultaˆneo das
camadas limites te´rmica e hidrodinaˆmica.
Regia˜o de entrada te´rmica: quando o escoamento ja´ esta´ plenamente
desenvolvido quando o aquecimento tem inı´cio.
Se Pr << 1 a regia˜o entrada hidrodinaˆmica e´ muito menor
que a te´rmica e, neste caso, so´ a te´rmica deve ser
considerada.
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Expresso˜es empı´ricas para Regime Laminar
Regia˜o de entrada combinada: expressa˜o de Sieder-Tate para
0,48 < Pr < 16700, 0,0044 < (µ/µs) < 9,75:
NuD = 1,86 ·
»
ReD Pr
(L/D)
–1/3„
µ
µs
«0,14
se
h
ReD Pr
(L/D)
i1/3 “
µ
µs
”0,14
≥ 2 use Regime Plenamente Desenvolvido.
Regia˜o de entrada te´rmica:
com temperatura de superfı´cie constante
NuD = 3, 66 +
0, 0668 (D/L)ReD Pr
1 + 0, 04 [(D/L)ReD Pr]2/3
com fluxo de calor na superfı´cie constante
NuD =
 1,953[(D/L)ReDPr]
1/3 − 1 se (L/D)ReD Pr ≤ 0,03
4,364 + 0,0722 · (D/L)ReD Pr se (L/D)ReD Pr > 0,03
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Escoamento de Transic¸a˜o e Turbulento
Expressa˜o de Dittus-Boelter (ReD ≥ 10000, L/D > 10 e 0,7 ≤ Pr ≤ 160):
NuD = 0,023 · Re4/5D · Prn onde

n = 0,4 para aquecimento(Ts > Tm)
n = 0,3 para resfriamento(Ts < Tm)
Expressa˜o de Sieder-Tate mesmas condic¸o˜es e 0,7 ≤ Pr ≤ 16700:
NuD = 0,027 · Re4/5D · Pr1/3
„
µ
µs
«0,14
Expressa˜o de Pethukhov-Gnielinski: depende do fator de atrito
(3000 ≤ ReD ≤ 5× 106 e 0,5 ≤ Pr ≤ 2000)
NuD =
(f/8) · (ReD − 1000) · Pr
1 + 12,7(f/8)1/2(Pr2/3 − 1)
sendo: f = [0,790 · ln(ReD)− 1,64]−2
Expresso˜es para metais lı´quidos (Pr << 1 ), tambe´m podem ser
encontradas.
Escoamento Considerac¸o˜es Te´rmicas Reg. Laminar Plenamente Des. Regia˜o de Entrada Esc. Turbulento
Escoamento de Transic¸a˜o e Turbulento em outras
geometrias
define-se um diaˆmetro hidra´ulico de forma:
Dh =
4 ·A
P
usa-se as mesmas expresso˜es anteriormente mostradas
tomando-se como escala de refereˆncia o Dh
	Escoamento no interior de dutos
	Velocidade Média
	Região de Entrada Hidrodinâmica
	Fator de Atrito
	Considerações Térmicas
	Balanço de energia
	Diferença Média Logarítmica de Temperaturas (DMLT)
	Regime Laminar Plenamente Desenvolvido
	Região de Entrada
	Expressões empíricas para Regime Laminar
	Escoamento de Transição e Turbulento