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Derivadas Parciais & Aplicações �� � � �� � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � Derivadas Parciais – p. 1 Derivadas e Integrais de Quantidades vetoriais Todas as regras aprendidas na derivação e integração de quantidades escalares são válidas na derivação e integração de quantidades vetoriais. Uma derivada ou integral de uma quantidade vetorial é definida pela aplicação desse ente matemático nas componentes do vetor a ser operado. Derivadas Parciais – p. 2 Diferenciação em Sinal de Integral � � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � � . Então: � � � � �� � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Essa é a Regra de Leibnitz. No caso de � � e � � serem constantes, os dois últimos termos são nulos. Derivadas Parciais – p. 3 Pontos de Máximo e Mínimo de uma � Condição necessária � � � � � � � � � � Se � � � � � � é um ponto que satisfaz essa cond. , então ele é chamado de ponto crítico. Derivadas Parciais – p. 4 Pontos de Máx. e Mín. de uma � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � 1. � � � � � � é um ponto de máximo relativo se � � e �� � � � � � � � � � � ou �� � � � � � � � � � � . 2. � � � � � � é um ponto de mínimo relativo se � � e �� � � � � � � � � � � � ou �� � � � � � � � � � � � . 3. � � � � � � não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo relativo se �. Neste caso, � � � � � � é chamado saddle point ou "ponto de cela". 4. Nenhuma informação pode ser obtida se � �. Derivadas Parciais – p. 5 Exercicios Derivadas Parciais – p. 6 Encontre: 1. � � �� � � se � �� � � � � � � � � �� � � � � � � . 2. os pontos de máximo e mínimo relativos de � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �ff � � fifl fl , e os valores de � � �� � � � nestes pontos. Derivadas Parciais – p. 7 Aplicações em Geometria Derivadas Parciais – p. 8 Derivadas Direcionais � � � � � � � def. num ponto � � � � � � � de uma dada curva . � � um comprimento de arco infinitesimal da curva a derivada direcional de no ponto � � � � � � � ao longo da curva é def.: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Derivadas Parciais – p. 9 Derivadas Direcionais, forma vetorial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a derivada direcional é dada pelo componente do na direção da tangente de . Derivadas Parciais – p. 10 Derivadas Direcionais o vetor é um vetor unitário uma vez que este é a derivada do vetor posição � em relação ao comprimento de arco da curva. caso se disponha de um vetor tangente não-unitário, deve-se dividí-lo pelo seu módulo a fim de torná-lo unitário. O máximo valor da derivada direcional é � � , e ocorre qdo aponta na mesma direção e sentido que o vetor tangente . � � são chamadas superfícies equipotenciais ou isosuperfícies. Derivadas Parciais – p. 11 Exemplos Derivadas Parciais – p. 12 Exemplos Derivadas Parciais – p. 13 Plano Tangente a uma Superfície Seja a superfície � definida pela função � � ��� � � � � � �. Um vetor normal a � em um ponto , é o �� � � � � � Derivadas Parciais – p. 14 Plano Tangente a uma Superfície � � é também normal a um plano que é tangente à superfície � , no ponto . � � é o vetor posição, em relação à origem, do ponto � � � � � � � � � , � é o vetor posição de um ponto qualquer sobre o plano, � � � � � � � , Eq. Plano Tangente a uma Superfície � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � pois � � � � é perpendicular a �. Derivadas Parciais – p. 15 Plano tangente, em coordenadas retangulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Derivadas Parciais – p. 16 Reta Normal a uma Superfície �� � � � � � � localizado na mesma reta da normal à superfície � no ponto � � � � � � � � � , � , � � � � é colinear a � Derivadas Parciais – p. 17 Eq. da Reta Normal a uma Superfície � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Derivadas Parciais – p. 18 Reta Normal a uma Superfície, coordenadas retangulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Igualando cada um destes termos a um parâmetro (como � ou � ) e isolando , � e �, são obtidas as equações paramétricas da reta normal. Derivadas Parciais – p. 19 Reta Tangente a uma Curva Uma curva def. pelas eq. paramétricas � � � � , � � � � � � e � � � � � � cada ponto da curva pode ser definido por um vetor � � � � � � � � � � � � � � � , Derivadas Parciais – p. 20 Reta Tangente a uma Curva Um vetor tangente a num ponto , � � � �, é definido � � � � � � � � � � � � � e � são vetores posição de � � � � � � � � e � � � � � � � , em relação à origem, Derivadas Parciais – p. 21 Reta Tangente a uma Curva um ponto sobre a linha tangente em , então o vetor � � � � � � é colinear ao vetor �, e assim: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A reta tangente pode ser obtida pelas seguintes relações: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � As equações paramétricas da reta podem ser obtidas igualando cada uma destas razões a � ou �. Derivadas Parciais – p. 22 Plano Normal a uma Curva Dd um ponto � � � � � � � sobre um plano que é normal à curva , no ponto �� � � � � � � � � , então o vetor � � � � é perpendicular ao vetor tangente �. Derivadas Parciais – p. 23 Eq. do plano normal em coordenadas retangulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � Derivadas Parciais – p. 24 Exercicios Derivadas Parciais – p. 25 Encontre: 1. a derivada direcional de � � � � � � � � � � � � ao longo da curva � � � � � �� � � � � , � � � � � � , � � � � � � ff , no ponto P onde � � fl . 2. as eq. para o plano tangente e para a linha normal à superfície �� � � � � � � � � � � � � ff � � � � , no ponto � � ff � ff � � ff � . 3. as eq. da linha tangente e do plano normal à curva � � � � � � , � � � � � � , � � � � � � � , no ponto onde � � � �. Derivadas Parciais – p. 26 Derivadas e Integrais de Quantidades vetoriais Diferenciação em Sinal de Integral Pontos de Máximo e Mínimo de uma $f(x,y)$null Pontos de Máx. e Mín. de uma $f(x,y)$ Exercicios Encontre: Aplicações em Geometria Derivadas Direcionais Derivadas Direcionais, forma vetorial Derivadas Direcionais Exemplos Exemplos Plano Tangente a uma Superfície Plano Tangente a uma Superfície Plano tangente, em coordenadas retangulares Reta Normal a uma Superfície Eq. da Reta Normal a uma Superfície Reta Normal a uma Superfície, coordenadas retangulares Reta Tangente a uma Curva Reta Tangente a uma Curva Reta Tangente a uma Curva Plano Normal a uma Curva Eq. do plano normal em coordenadas retangulares Exercicios Encontre:
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