Calculo I -  Introdução a Integrais
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Calculo I - Introdução a Integrais


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SALA: ___ 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
1a Aula Introdução 
 
Diferenciais 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
CRONOGRAMA DAS AULAS 
 
06 / 01 Introdução; conceito e propriedades da integral indefinida 
13 / 02 Método da integração por substituição de variáveis 
20 / 02 Método da integração por partes 
27 / 02 Método da integração por substituição de variáveis trigonométricas 
06 / 03 Método da integração de trinômios 
09 / 03 Conceito e propriedades da integral definida 
20 / 03 Teorema Fundamental do Cálculo 
27 / 03 Revisão para a 1a prova 
03 / 04 1a Prova 
10 / 04 Sexta Feira da Paixão 
17 / 04 1o Módulo: Cálculo de áreas por integrais definidas; 2o Módulo: discussão da prova 
24 / 04 Aplicações de integrais definidas: volume 
01 / 05 Dia do Trabalho 
08 / 05 Aplicações de integrais definidas: centróide 
15 / 05 Derivadas parciais: Conceituação de derivadas parciais 
22 / 05 1o Módulo: Derivadas parciais: interpretação geométrica; 2o Módulo: revisão para a 2a 
prova 
29 / 05 2a Prova 
05 / 06 1o Módulo: Aplicações de derivadas parciais; 2o Módulo: discussão da prova 
12 / 06 Revisão da matéria para a prova de recuperação 
19 / 06 Revisão da matéria para a prova de recuperação 
27 / 06 Prova de recuperação 
 
 
AVALIAÇÃO 
 
A avaliação consta de quatro (4) notas, sendo duas relativas às provas parciais 1P e 2P , 
com peso três e meio (3,5) cada; uma relativa à média de listas exercícios ML , que 
estarão na página, http://www.dem.inpe.br/~hans/, no dia da aula relativa à matéria do 
dia e que deverão ser entregues impreterivelmente na aula seguinte, com peso (2); e 
uma relativa ao conceito pessoal do aluno por parte do professor C , com peso (1). 
A nota será obtida dada pela média ponderada N como segue: 
 
10
15,325,3 21 CPMLPN \u22c5+\u22c5+\u22c5+\u22c5= , onde iP , ML e C variam de 0 a 10. 
 
ATENÇÃO: Segundo o Estatuto da Universidade a média da 1a avaliação do semestre 
( M ) resultará em uma nota inteira. 
 
Quando a avaliação do aluno for: 
 
 3<M o aluno está reprovado 
 
 6\u2265M o aluno está aprovado 
 
 63 <\u2264 M o aluno deverá fazer uma Prova de 
Recuperação na qual será cobrada toda matéria. 
 
Neste caso a nota final NF será a nota da Prova de Recuperação, assim a nota final 
NF deverá ser igual ou maior que seis, isto é, 6\u2265NF para ser aprovado. 
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 2 
 
ATENÇÃO: As provas serão sem consulta e deverão ser feitas a caneta, apenas 
cálculos auxiliares poderão ser feitos a lápis, embora estes também sejam levados em 
conta pelo professor. Em dia de prova, o estudante deverá trazer apenas o material 
necessário para efetuar a prova, caso tenha trazido algum outro material, este deverá 
ficar junto ao quadro verde durante a prova. 
 
Provas substitutivas serão concedidas para a primeira prova, no período das primeiras 
duas semanas após a prova, mediante comprovação por escrito da convocação para 
trabalhar, no horário da prova, por parte da firma onde o estudante trabalha, mediante 
atestado médico ou outra justificativa que comprove a impossibilidade de comparecer à 
prova. Para a segunda prova, a princípio não haverá prova substitutiva por falta de 
tempo hábil para efetuá-la. Os estudantes ficarão em posse das provas corrigidas, 
apenas durante o módulo de discussão da prova; devendo dar um visto nessa e fazer 
sua devolução após a correção desta, caso haja fraude na resolução desta, a prova será 
anulada e a nota do estudante será zero. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BÁSICA 
 
MUNEM, M. A. & FOULIS, D. J. Cálculo. vols. 1 e 2. 1. ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara, 1982. 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. vols. 1 e 2. 3. ed. São Paulo: 
Harbra, 1994. 
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D. & GIORDANO, F. R. Cálculo, vols. 1 e 2. 10. ed. São 
Paulo: Addison Wesley, 2002. 
 
COMPLEMENTAR: 
 
PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 4. ed. São Paulo: 
Martins Fontes, 1993. 
ROCHA, L. M. Cálculo. Vols. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: Editora Atlas, 1995. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: 
Makron Books do Brasil,1994. 
COURANT, R. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 1. ed. São Paulo: Editora 
Globo, 1955. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 1. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil, 1999. 
 
 
REVISÃO DE DERIVADAS 
 
As notações de derivadas mais usadas para representar a derivada de uma função 
)(xfy = são: 
( )( ) ( ) y
dx
dy
dx
xdf
xf
dx
d
xf \u2032====\u2032 )(
 
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 3 
 
 
onde a derivada, por definição é: 
 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
dx
xdf
x \u2206
\u2212\u2206+
=
\u2192\u2206 0
lim 
 
 
Uma das fórmulas mais usadas em derivadas é a da derivada de funções do tipo variável 
elevada a expoente, ou seja, 
 
nxy =
 que tem por derivada 1\u2212=\u2032 nnxy , pois se 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
xxxnxxx
nn
xnxx
x
xxx
dx
xdf
nnnnnn
nn
xx \u2206
\u2212\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+\u2206+
=
\u2206
\u2212\u2206+
=
\u2212
\u2212\u2212
\u2192\u2206\u2192\u2206
1221
2
1
limlim
00
L
, 
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
xxnxxx
nn
xnx
dx
xdf
nnnn
x \u2206
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+\u2206
=
\u2212
\u2212\u2212
\u2192\u2206
1221
2
1
lim
0
L
, 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) \uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+= \u2212\u2212\u2212\u2212
\u2192\u2206
1221
2
1lim
0
nnnn
xxnxxx
nn
nx
dx
xdf
x
L , 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
1lim 11221
0
+=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2206+\u2206++\u2206\u2212+= \u2212\u2212\u2212\u2212\u2212
\u2192\u2206
nnnnn
nxxxnxxx
nn
nx
dx
xdf
x
L , 
 
 
( ) 11 \u2212\u2212
==\u2032\u21d2= nn nx
dx
dyynx
dx
xdf
. 
 
e o expoente n pode ser qualquer número positivo, negativo, inteiro ou fracionário. 
Quando y ao invés de nx , é nuy = onde )(xuu = tem-se que a derivada de y será: 
 
unu
dx
dy n
\u2032=
\u22121
 ou 
1\u2212
\u2032=
nnuu
dx
dy
 
 
onde dx
du
u =\u2032 , ou seja, é a derivada de u em relação a x . 
 
Exemplos de uso dessa fórmula: 
 
a) ( ) 0==\u21d2=
dx
kd
dx
dyky
 ( derivada da constante k em relação a x ) 
 
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 4 
b) ( ) 1==\u21d2=
dx
xd
dx
dy
xy ( derivada de x em relação a x ) 
 
c) ( ) 343232 22 +=+=\u21d2+= x
dx
xxd
dx
dy
xxy y 
 
d) ( )
x
x
dx
xd
dx
dy
xxy
2
1
2
1 2
121
2
1
===\u21d2==
\u2212
 
 
e) ( ) 44
3
3
3
331
x
x
dx
xd
dx
dy
x
x
y \u2212=\u2212==\u21d2== \u2212
\u2212
\u2212
 
 
f) n nmn
m
n
m
n
m
n m x
n
m
x
n
m
dx
xd
dx
dy
xxy \u2212
\u2212
==
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\u21d2==
1
 
 
 
Outros tipos de derivadas de funções são as de funções do tipo exponencial, logarítmica, 
trigonométrica, etc. 
 
Exemplo: 
 
 
a) Função Exponencial, uey = , onde ( )xuu = 
 
uey =
 e sua derivada é uedx
dy u
\u2032\u22c5=
 
 
 
Exemplo: ( ) 52452 2525 45 ++++ +=\u21d2= xxxx exxdx
dy
ey
 
 
 
b) Função Exponencial de base qualquer (\u201c a \u201d). 
 
uay =
 e sua derivada é ( ) uaanudx
dy
\u22c5\u2032= l
 
 
Exemplo: ( ) ( ) 52452 2525 22452 ++++ \u22c5\u22c5+=\u21d2= xxxx nxx
dx
dyy l 
 
c) Função Logarítmica ( )uny l= ( logaritmo natural) 
( )uny l=
 e sua derivada é 
u
u
dx
dy \u2032
=
 
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 5 
 
Exemplo: ( )
xx
x
dx
dy
xxny
3
323 2
2
+
+
=\u21d2+= l 
d) Outras fórmulas sem exemplos com funções. 
 
 O logaritmo não natural, de base (\u201c a \u201d), 
uogy al= e sua derivada é ( )anu
u
dx
dy
l
\u2032
= 
Por exemplo o decimal 
uogy 10l= e sua derivada é ( )10nu
u
dx
dy
l
\u2032
= 
 
e) Algumas funções trigonométricas e as fórmulas de suas derivadas: 
 
( )uy sen= e sua