G.A - Vetores - Tratamento Algébrico
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VETORES - TRATAMENTO ALGE´BRICO
Sejam dois vetores, \u2212\u2192v1 e \u2212\u2192v2 , na\u2dco-paralelos. Enta\u2dco, para cada vetor ~v, exite uma so´ dupla de nu´meros reais
a1 e a2 tais que ~v = a1
\u2212\u2192v1 + a2\u2212\u2192v2 .
Neste caso, dizemos que:{
~v e´ combinac¸a\u2dco linear de \u2212\u2192v1 e \u2212\u2192v2
e
B = {\u2212\u2192v1 ,\u2212\u2192v2} e´ base
Notac¸a\u2dco: ~v = (a1, a2)B ou ~vB = (a1, a2)
Uma base {\u2212\u2192e1 ,\u2212\u2192e2} e´ ortonormal se
{ \u2212\u2192e1 \u22a5 \u2212\u2192e2 (ortogonais)
e
|\u2212\u2192e1 | = |\u2212\u2192e2 | = 1 (unita´rios)
Base cano\u2c6nica e´ a base C =
{
~i,~j
}
onde ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1).
~v = x~i+ y~j
~v = (x, y) (expressa\u2dco anal´\u131tica)
Definic¸a\u2dco (alge´brica de vetor): Vetor no plano e´ um par ordenado (x, y) de nu´meros reais.
Igualdade de vetores: Sejam dois vetores ~u = (x1, y1) e
\u2212\u2192v = (x2, y2). Enta\u2dco ~u = ~v \u21d4 x1 = x2 e y1 = y2 .
Exemplo 1 Sejam ~u = (x+ 1, 4) e ~v = (5, 2y \u2212 6). Enta\u2dco ~u = ~v se, e somente se,
{
x+ 1 = 5\u21d2 x = 4
2y \u2212 6 = 4\u21d2 y = 5
Operac¸o\u2dces com vetores: Sejam os vetores ~u = (x1, y1) e
\u2212\u2192v = (x2, y2) e \u3b1 \u2208 R. Enta\u2dco:
1) ~u± ~v = (x1, y1)± (x2, y2) = (x1 ± x2, y1 ±+y2)
2) \u3b1~u = \u3b1 (x1, y1) = (\u3b1x1, \u3b1y1)
Propriedades: Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w e escalares \u3b1 e \u3b2, tem-se:
~u+ ~v = ~v + ~u \u3b1 (\u3b2~v) = (\u3b1\u3b2)~v
~u+~0 = ~u \u3b1 (~u+ ~v) = \u3b1~u+ \u3b1~v
(~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) (\u3b1 + \u3b2)~v = \u3b1~v + \u3b2~v
~u+ (\u2212~u) = ~0 1~v = ~v
Exemplo 2 Se ~u = (2,\u22123), ~v = (\u22121, 4) e ~w = (1, 0) enta\u2dco
2~u+ ~v \u2212 3~w = 2 (2,\u22123) + (\u22121, 4)\u2212 3 (1, 0)
= (4,\u22126) + (\u22121, 4)\u2212 (3, 0)
= (4\u2212 1\u2212 3,\u22126 + 4\u2212 0)
= (0,\u22122)
Exemplo 3 Sendo ~u = (3,\u22121) e ~v = (\u22122, 4), determinar o vetor ~x tal que 3~x+ 2~u+ 1
2
~v + ~x.
3~x+ 2~u =
1
2
~v + ~x\u21d2 6~x+ 4~u = ~v + 2~x\u21d2 6~x\u2212 2~x = ~v \u2212 4~u\u21d2 4~x = ~v \u2212 4~u
\u21d2 ~x = 1
4
(~v \u2212 4~u)\u21d2 ~x = 1
4
~v \u2212 ~u\u21d2 ~x = 1
4
(\u22122, 4)\u2212 (3,\u22121)
\u21d2 ~x =
(
\u22121
2
, 1
)
\u2212 (3,\u22121)\u21d2 ~x =
(
\u22121
2
\u2212 3, 1 + 1
)
\u21d2 ~x =
(
\u22127
2
, 2
)
1
Exemplo 4 Sendo ~v = (10, 2), \u2212\u2192v1 = (3, 5) e \u2212\u2192v2 = (\u22121, 2), encontrar a1, a2 \u2208 R tais que ~v = a1\u2212\u2192v1 + a2\u2212\u2192v2 .
~v = a1
\u2212\u2192v1 + a2\u2212\u2192v2 \u21d2 (10, 2) = a1 (3, 5) + a2 (\u22121, 2)
\u21d2 (10, 2) = (3a1, 5a1) + (\u2212a2, 2a2) = (3a1 \u2212 a2, 5a1 + 2a2)
\u21d2
{
3a1 \u2212 a2 = 10
5a1 + 2a2 = 2
\u21d2
{
6a1 \u2212 2a2 = 20
5a1 + 2a2 = 2
Somando as duas equac¸o\u2dces, temos 11a1 = 22\u21d2 a1 = 2 .
Substituindo em 3a1 \u2212 a2 = 10, temos 6\u2212 a2 = 10\u21d2 a2 = \u22124
Exerc´\u131cio 1 (Pa´g. 40 - Ex. 1) Dados os vetores ~u = 2~i\u2212 3~j, ~v =~i\u2212~j e ~w = \u22122~i+~j, determinar:
a) 2~u\u2212 ~v Resposta: 3~i\u2212 5~j
b) ~v \u2212 ~u+ 2~w Resposta: \u22125~i+ 4~j
c)
1
2
~u\u2212 2~v \u2212 ~w Resposta: ~i\u2212 1
2
~j
d) 3~u\u2212 1
2
~v \u2212 1
2
~w Resposta:
13
2
~i\u2212 9~j
Exerc´\u131cio 2 (Pa´g. 40 - Ex. 2) Dados os vetores ~u = (3,\u22121) e ~v = (\u22121, 2), determinar o vetor ~x tal que:
a) 4 (~u\u2212 ~v) + 1
3
~x = 2~u\u2212 ~x Resposta:
(
\u221215
2
,
15
2
)
b) 3~x\u2212 (2~v \u2212 ~u) = 2 (4~x\u2212 3~u) Resposta:
(
23
5
,\u221211
5
)
2
Exerc´\u131cio 3 (Pa´g. 40 - Ex. 4) Dados os vetores ~u = (2,\u22124), ~v = (\u22125, 1) e ~w = (\u221212, 6), determinar a1 e a2
tais que ~w = a1~u+ a2~v. Resposta: a1 = \u22121 a2 = 2
Exerc´\u131cio 4 Dados os pontos A (\u22121, 2) , B (3,\u22121) e C (\u22122, 4), determinar o ponto D de modo que \u2212\u2212\u2192CD = 1
2
\u2212\u2192
AB.
Vetor definido por dois pontos:
\u2212\u2192
AB =
\u2212\u2212\u2192
OB \u2212\u2212\u2192OA
\u2212\u2192
AB = (x2, y2)\u2212 (x1, y1)
\u2212\u2192
AB = (x2 \u2212 x1, y2 \u2212 y1) = B \u2212 A
Exemplo 5 Dados os pontos A (\u22121, 2) , B (3,\u22121) e C (\u22122, 4), determinar o ponto D de modo que \u2212\u2212\u2192CD = 1
2
\u2212\u2192
AB.
\u2212\u2212\u2192
CD =
1
2
\u2212\u2192
AB \u21d2 D \u2212 C = 1
2
(B \u2212 A)\u21d2 D = 1
2
(B \u2212 A) + C \u21d2 D = 1
2
[(3,\u22121)\u2212 (\u22121, 2)] + (\u22122, 4)
\u21d2 D = 1
2
[(3,\u22121)\u2212 (\u22121, 2)] + (\u22122, 4)\u21d2 D = 1
2
(4,\u22123) + (\u22122, 4)
\u21d2 D =
(
2,\u22123
2
)
+ (\u22122, 4)\u21d2 D =
(
0,
5
2
)
Exerc´\u131cio 5 (Pa´g. 40 - Ex. 3) Dados os pontos A (\u22121, 3), B (2, 5), C (3,\u22121) e O (0, 0), calcular:
a)
\u2212\u2192
OA\u2212\u2212\u2192AB Resposta: (\u22124, 1)
b)
\u2212\u2192
OC \u2212\u2212\u2212\u2192BC Resposta: (2, 5)
c) 3
\u2212\u2192
BA\u2212 4\u2212\u2212\u2192CB Resposta: (\u22125,\u221230)
3
Exerc´\u131cio 6 (Pa´g. 40 - Ex. 6) Sejam os pontos A (\u22125, 1) e B (1, 3). Determinar o vetor ~v = (a, b) tal que
a) B \u2212 A = 2~v Resposta: ~v = (3, 1)
b) A = B + 3~v Resposta: ~v =
(
\u22122,\u22122
3
)
Exerc´\u131cio 7 (Pa´g. 40 - Ex. 6) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor ~v = (\u22121, 3),
sabendo que sua extremidade esta´ em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. Resposta: ~v = (4,\u22122)
Exerc´\u131cio 8 (Pa´g. 40 - Ex. 11a) Encontrar o ve´rtice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A (\u22123,\u22121),
B (4, 2) e C (5, 5). Resposta: D = (\u22122, 2)
Ponto Me´dio
Dados dois pontos, A e B, o ponto me´dio do segmento AB e´
M
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
Exemplo 6 Se A (\u22122, 3) e B (6, 2), o ponto me´dio do segmento AB e´ M
(\u22122 + 6
2
,
3 + 2
2
)
=
(
2,
5
2
)
.
4
Paralelismo de vetores: Dois vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) sa\u2dco paralelos se
x1
x2
=
y1
y2
= \u3b1.
Exemplo 7 ~u = (\u22122, 3) e ~v = (\u22124, 6) sa\u2dco paralelos pois \u22122
3
=
3
6
=
1
2
.
OBS: a) ~0 = (0, 0) e´ paralelo a qualquer vetor.
b) (0, y1) // (0, y2) e (x1, 0) // (x2, 0).
Mo´dulo de um vetor
Pelo Teorema de Pita´goras,
|~v|2 = x2 + y2
ou
|~v| = \u221ax2 + y2
Exemplo 8 |(2,\u22123)| =
\u221a
22 + (\u22123)2 = \u221a4 + 9 = \u221a13
OBS: a) A dista\u2c6ncia entre dois pontos A e B e´
\u2223\u2223\u2223\u2212\u2192AB\u2223\u2223\u2223.
b) Para todo ~v na\u2dco-nulo,
~v
|~v| e´ unita´rio (versor).
c) Vetores parlelos com mesmo sentido te\u2c6m o mesmo versor.
Exemplo 9 Dado o vetor ~v = (\u22122, 1), achar o vetor ~u paralelo a ~v que tenha sentido contra´rio ao de ~v e
mo´dulo 2.
O versor de ~v e´
~v
|~v| =
(\u22122, 1)\u221a
(\u22122)2 + 12
=
(\u22122, 1)\u221a
5
=
(\u22122\u221a
5
,
1\u221a
5
)
~u tem mo´dulo 2 e sentido contra´rio ao de ~v. Logo ~u = \u22122
(\u22122\u221a
5
,
1\u221a
5
)
=
(
4\u221a
5
,
\u22122\u221a
5
)
.
Exerc´\u131cio 9 (Pa´g. 41 - Ex. 16) Dados os vetores ~u = (1,\u22121) , ~v = (\u22123, 4) e ~w = (8,\u22126), calcular
a) |~u|
b) |~v|
c) |~u+ ~v|
5
d) |2~u\u2212 ~w|
e) versor de ~v
f)
\u2223\u2223\u2223\u2223 ~v|~v|
\u2223\u2223\u2223\u2223
Respostas:
\u221a
2, 5,
\u221a
13,
\u221a
52,
(
\u22123
5
,
4
5
)
, 1
Exerc´\u131cio 10 (Pa´g. 41 - Ex. 17) Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a,\u22122) tenha mo´dulo 4.
Resposta: a = ±\u221a12 = ±2\u221a3
Exerc´\u131cio 11 (Pa´g. 42 - Ex. 20) Encontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua dista\u2c6ncia ao ponto
A (2,\u22123) seja igual a 5. Resposta: P (\u22122, 0) ou P (6, 0)
Exerc´\u131cio 12 (Pa´g. 42 - Ex. 23) Dado o vetor ~v = (1,\u22123), determinar o vetor ~u paralelo a ~v que tenha
a) sentido contra´rio ao de ~v e duas vezes o mo´dulo de ~v.
b) o mesmo sentido de ~v e mo´dulo 2.
c) sentido contra´rio ao de ~v e mo´dulo 4.
Respostas: (\u22122, 6) ,
(
2\u221a
10
,\u2212 6\u221a
10
)
,
( \u22124\u221a
10
,
12\u221a
10
)
6
Flávio
Flávio fez um comentário
Bom material, vale a pena estudar por ele.
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