G.A - Vetores - Tratamento Algébrico

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VETORES - TRATAMENTO ALGE´BRICO
Sejam dois vetores, −→v1 e −→v2 , na˜o-paralelos. Enta˜o, para cada vetor ~v, exite uma so´ dupla de nu´meros reais
a1 e a2 tais que ~v = a1
−→v1 + a2−→v2 .
Neste caso, dizemos que:{
~v e´ combinac¸a˜o linear de −→v1 e −→v2
e
B = {−→v1 ,−→v2} e´ base
Notac¸a˜o: ~v = (a1, a2)B ou ~vB = (a1, a2)
Uma base {−→e1 ,−→e2} e´ ortonormal se
{ −→e1 ⊥ −→e2 (ortogonais)
e
|−→e1 | = |−→e2 | = 1 (unita´rios)
Base canoˆnica e´ a base C =
{
~i,~j
}
onde ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1).
~v = x~i+ y~j
~v = (x, y) (expressa˜o anal´ıtica)
Definic¸a˜o (alge´brica de vetor): Vetor no plano e´ um par ordenado (x, y) de nu´meros reais.
Igualdade de vetores: Sejam dois vetores ~u = (x1, y1) e
−→v = (x2, y2). Enta˜o ~u = ~v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 .
Exemplo 1 Sejam ~u = (x+ 1, 4) e ~v = (5, 2y − 6). Enta˜o ~u = ~v se, e somente se,
{
x+ 1 = 5⇒ x = 4
2y − 6 = 4⇒ y = 5
Operac¸o˜es com vetores: Sejam os vetores ~u = (x1, y1) e
−→v = (x2, y2) e α ∈ R. Enta˜o:
1) ~u± ~v = (x1, y1)± (x2, y2) = (x1 ± x2, y1 ±+y2)
2) α~u = α (x1, y1) = (αx1, αy1)
Propriedades: Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w e escalares α e β, tem-se:
~u+ ~v = ~v + ~u α (β~v) = (αβ)~v
~u+~0 = ~u α (~u+ ~v) = α~u+ α~v
(~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) (α + β)~v = α~v + β~v
~u+ (−~u) = ~0 1~v = ~v
Exemplo 2 Se ~u = (2,−3), ~v = (−1, 4) e ~w = (1, 0) enta˜o
2~u+ ~v − 3~w = 2 (2,−3) + (−1, 4)− 3 (1, 0)
= (4,−6) + (−1, 4)− (3, 0)
= (4− 1− 3,−6 + 4− 0)
= (0,−2)
Exemplo 3 Sendo ~u = (3,−1) e ~v = (−2, 4), determinar o vetor ~x tal que 3~x+ 2~u+ 1
2
~v + ~x.
3~x+ 2~u =
1
2
~v + ~x⇒ 6~x+ 4~u = ~v + 2~x⇒ 6~x− 2~x = ~v − 4~u⇒ 4~x = ~v − 4~u
⇒ ~x = 1
4
(~v − 4~u)⇒ ~x = 1
4
~v − ~u⇒ ~x = 1
4
(−2, 4)− (3,−1)
⇒ ~x =
(
−1
2
, 1
)
− (3,−1)⇒ ~x =
(
−1
2
− 3, 1 + 1
)
⇒ ~x =
(
−7
2
, 2
)
1
Exemplo 4 Sendo ~v = (10, 2), −→v1 = (3, 5) e −→v2 = (−1, 2), encontrar a1, a2 ∈ R tais que ~v = a1−→v1 + a2−→v2 .
~v = a1
−→v1 + a2−→v2 ⇒ (10, 2) = a1 (3, 5) + a2 (−1, 2)
⇒ (10, 2) = (3a1, 5a1) + (−a2, 2a2) = (3a1 − a2, 5a1 + 2a2)
⇒
{
3a1 − a2 = 10
5a1 + 2a2 = 2
⇒
{
6a1 − 2a2 = 20
5a1 + 2a2 = 2
Somando as duas equac¸o˜es, temos 11a1 = 22⇒ a1 = 2 .
Substituindo em 3a1 − a2 = 10, temos 6− a2 = 10⇒ a2 = −4
Exerc´ıcio 1 (Pa´g. 40 - Ex. 1) Dados os vetores ~u = 2~i− 3~j, ~v =~i−~j e ~w = −2~i+~j, determinar:
a) 2~u− ~v Resposta: 3~i− 5~j
b) ~v − ~u+ 2~w Resposta: −5~i+ 4~j
c)
1
2
~u− 2~v − ~w Resposta: ~i− 1
2
~j
d) 3~u− 1
2
~v − 1
2
~w Resposta:
13
2
~i− 9~j
Exerc´ıcio 2 (Pa´g. 40 - Ex. 2) Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~x tal que:
a) 4 (~u− ~v) + 1
3
~x = 2~u− ~x Resposta:
(
−15
2
,
15
2
)
b) 3~x− (2~v − ~u) = 2 (4~x− 3~u) Resposta:
(
23
5
,−11
5
)
2
Exerc´ıcio 3 (Pa´g. 40 - Ex. 4) Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar a1 e a2
tais que ~w = a1~u+ a2~v. Resposta: a1 = −1 a2 = 2
Exerc´ıcio 4 Dados os pontos A (−1, 2) , B (3,−1) e C (−2, 4), determinar o ponto D de modo que −−→CD = 1
2
−→
AB.
Vetor definido por dois pontos:
−→
AB =
−−→
OB −−→OA
−→
AB = (x2, y2)− (x1, y1)
−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1) = B − A
Exemplo 5 Dados os pontos A (−1, 2) , B (3,−1) e C (−2, 4), determinar o ponto D de modo que −−→CD = 1
2
−→
AB.
−−→
CD =
1
2
−→
AB ⇒ D − C = 1
2
(B − A)⇒ D = 1
2
(B − A) + C ⇒ D = 1
2
[(3,−1)− (−1, 2)] + (−2, 4)
⇒ D = 1
2
[(3,−1)− (−1, 2)] + (−2, 4)⇒ D = 1
2
(4,−3) + (−2, 4)
⇒ D =
(
2,−3
2
)
+ (−2, 4)⇒ D =
(
0,
5
2
)
Exerc´ıcio 5 (Pa´g. 40 - Ex. 3) Dados os pontos A (−1, 3), B (2, 5), C (3,−1) e O (0, 0), calcular:
a)
−→
OA−−→AB Resposta: (−4, 1)
b)
−→
OC −−−→BC Resposta: (2, 5)
c) 3
−→
BA− 4−−→CB Resposta: (−5,−30)
3
Exerc´ıcio 6 (Pa´g. 40 - Ex. 6) Sejam os pontos A (−5, 1) e B (1, 3). Determinar o vetor ~v = (a, b) tal que
a) B − A = 2~v Resposta: ~v = (3, 1)
b) A = B + 3~v Resposta: ~v =
(
−2,−2
3
)
Exerc´ıcio 7 (Pa´g. 40 - Ex. 6) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor ~v = (−1, 3),
sabendo que sua extremidade esta´ em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. Resposta: ~v = (4,−2)
Exerc´ıcio 8 (Pa´g. 40 - Ex. 11a) Encontrar o ve´rtice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A (−3,−1),
B (4, 2) e C (5, 5). Resposta: D = (−2, 2)
Ponto Me´dio
Dados dois pontos, A e B, o ponto me´dio do segmento AB e´
M
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
Exemplo 6 Se A (−2, 3) e B (6, 2), o ponto me´dio do segmento AB e´ M
(−2 + 6
2
,
3 + 2
2
)
=
(
2,
5
2
)
.
4
Paralelismo de vetores: Dois vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) sa˜o paralelos se
x1
x2
=
y1
y2
= α.
Exemplo 7 ~u = (−2, 3) e ~v = (−4, 6) sa˜o paralelos pois −2
3
=
3
6
=
1
2
.
OBS: a) ~0 = (0, 0) e´ paralelo a qualquer vetor.
b) (0, y1) // (0, y2) e (x1, 0) // (x2, 0).
Mo´dulo de um vetor
Pelo Teorema de Pita´goras,
|~v|2 = x2 + y2
ou
|~v| = √x2 + y2
Exemplo 8 |(2,−3)| =
√
22 + (−3)2 = √4 + 9 = √13
OBS: a) A distaˆncia entre dois pontos A e B e´
∣∣∣−→AB∣∣∣.
b) Para todo ~v na˜o-nulo,
~v
|~v| e´ unita´rio (versor).
c) Vetores parlelos com mesmo sentido teˆm o mesmo versor.
Exemplo 9 Dado o vetor ~v = (−2, 1), achar o vetor ~u paralelo a ~v que tenha sentido contra´rio ao de ~v e
mo´dulo 2.
O versor de ~v e´
~v
|~v| =
(−2, 1)√
(−2)2 + 12
=
(−2, 1)√
5
=
(−2√
5
,
1√
5
)
~u tem mo´dulo 2 e sentido contra´rio ao de ~v. Logo ~u = −2
(−2√
5
,
1√
5
)
=
(
4√
5
,
−2√
5
)
.
Exerc´ıcio 9 (Pa´g. 41 - Ex. 16) Dados os vetores ~u = (1,−1) , ~v = (−3, 4) e ~w = (8,−6), calcular
a) |~u|
b) |~v|
c) |~u+ ~v|
5
d) |2~u− ~w|
e) versor de ~v
f)
∣∣∣∣ ~v|~v|
∣∣∣∣
Respostas:
√
2, 5,
√
13,
√
52,
(
−3
5
,
4
5
)
, 1
Exerc´ıcio 10 (Pa´g. 41 - Ex. 17) Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a,−2) tenha mo´dulo 4.
Resposta: a = ±√12 = ±2√3
Exerc´ıcio 11 (Pa´g. 42 - Ex. 20) Encontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua distaˆncia ao ponto
A (2,−3) seja igual a 5. Resposta: P (−2, 0) ou P (6, 0)
Exerc´ıcio 12 (Pa´g. 42 - Ex. 23) Dado o vetor ~v = (1,−3), determinar o vetor ~u paralelo a ~v que tenha
a) sentido contra´rio ao de ~v e duas vezes o mo´dulo de ~v.
b) o mesmo sentido de ~v e mo´dulo 2.
c) sentido contra´rio ao de ~v e mo´dulo 4.
Respostas: (−2, 6) ,
(
2√
10
,− 6√
10
)
,
( −4√
10
,
12√
10
)
6