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DisciplinaTransferência de Calor e Massa I178 materiais2.924 seguidores
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Equação Geral da Condução
\u25cf Para um sistema unidimensional demonstrou-
se:
qx=\u2212k A
\u2202T
\u2202 x \u2223x
\u25cf Para um sistema multidimensional o fluxo de 
calor é vetorial:
\ue098q , ,=qx
, ,\u22c5\ue098i\ue083q y
, ,\u22c5\ue098j\ue083q z
, ,\u22c5\ue098k
=\u2212k \u2202T
\u2202 x \u2223x\u22c5\ue098i\u2212k \u2202T\u2202 y \u2223y\u22c5\ue098j\u2212k \u2202T\u2202 z \u2223z\u22c5\ue098k=k\u22c5\ue098\u2207\u22c5T
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Fluxo de Calor na Direção 
Normal à Superfície
\u25cf Para o fluxo de calor saindo de uma 
superfície (ou isoterma):
qn=\u2212k An
\u2202T
\u2202\ue098n\u2223\ue098n
e representa o fluxo de calor 
na direção normal
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Equação de Difusão de Calor
\u25cf Balanço de Energia na seção do Cubo:
dx
Área
 
A
qx qx\ue083dqx
\ue0c7\u22c5A\u22c5dx\u22c5c p\u22c5
\u2202T
\u2202 t
\ue082
E\u2d9 A
=qx\ue082
E\u2d9 e
\u2212\ue09eqx\ue083dqx\ue09f\ue082
E\u2d9 s
\ue083q\u2d9 A\u22c5dx\ue082
E\u2d9G
sendo dqx=\u2212
\u2202
\u2202 x \ue09ek A \u2202T\u2202 x \ue09f\u22c5dx
\ue0c7\u22c5A\u22c5dx\u22c5c p\u22c5
\u2202T
\u2202 t
= \u2202
\u2202 x \ue09ek \u2202T\u2202 x \ue09fA\u22c5dx\ue083q\u2d9 A\u22c5dx
\ue0c7\u22c5c p\u22c5
\u2202T
\u2202 t
= \u2202
\u2202 x \ue09ek \u2202T\u2202 x \ue09f\ue083q\u2d9
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Equação Multidimensional de Difusão 
de Calor \u2013 Sistema Cartesiano
\u25cf Equação Geral:
\ue0c7\u22c5c p\u22c5
\u2202T
\u2202 t
= \u2202
\u2202 x \ue09ek \u2202T\u2202 x \ue09f\ue083 \u2202\u2202 y \ue09ek \u2202T\u2202 y \ue09f\ue083 \u2202\u2202 z \ue09ek \u2202T\u2202 z \ue09f\ue083q\u2d9 (2.13)
\u25cf Equação Geral:
\u25cf Equação para Condutividade Constante
1
\ue0b7\ue081
k / \ue0c7c p
\u2202T
\u2202 t
=\u2202
2T
\u2202 x2
\ue083\u2202
2T
\u2202 y2
\ue083\u2202
2T
\u2202 z2
\ue083 q\u2d9
k
 (2.15)
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Equação Multidimensional de Difusão 
de Calor \u2013 Outros Sistemas
\u25cf Sistemas Cilíndricos:
\ue0c7\u22c5c p\u22c5
\u2202T
\u2202 t
=1
r
\u2202
\u2202 r \ue09ek\u22c5r \u2202T\u2202 r \ue09f\ue083 1r2 \u2202\u2202\ue0be \ue09ek \u2202T\u2202\ue0be \ue09f\ue083 \u2202\u2202 z \ue09ek \u2202T\u2202 z \ue09f\ue083q\u2d9
 (2.20)
\u25cf Sistemas Esféricos:
\ue0c7\u22c5c p\u22c5
\u2202T
\u2202 t
= 1
r2
\u2202
\u2202 r \ue09ek\u22c5r2 \u2202T\u2202 r \ue09f\ue083 1r2 sin2\ue0cb \u2202\u2202\ue0be \ue09ek \u2202T\u2202\ue0be \ue09f\ue083
1
r2 sin\ue0cb
\u2202
\u2202\ue09ek\u22c5sin\ue0cb \u2202T\u2202\ue0cb\ue09f\ue083q\u2d9 (2.23)
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Solução de Equações 
Diferenciais
\u25cf Qualquer equação 
diferencial pode resolver 
um problema 
determinando o 
\u201ccomportamento\u201d da 
função solução. 
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 0  0.2  0.4  0.6  0.8  1
y
t
Solução Geral:
y \ue09et \ue09f=5\u22c5exp\ue09e x \ue09f\u22122\u22c5x\ue083C1
Solução Específica:
y \ue09et=0\ue09f=2
\u25cf A solução característica 
de um determinado do 
problema só pode ser 
obtida com o 
conhecimento das suas 
\u201cCondições de Contorno\u201d 
do problema. 
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Condições de Contorno Típicas
\u25cf Com relação ao tempo:
\u2013 Condição inicial
\u25cf Com relação à condução:
\u2013 Condição de 1ª Espécie (Dirichlet)
\u2013 Condição de 2ª Espécie (Neumann)
\u2013 Condição de 3ª Espécie (Robin)
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Condição Inicial
\u25cf Para qualquer problema que envolva transitório é 
necessário conhecer o perfil da grandeza analisada em 
pelo menos um instante de tempo.
t=0
x
t=0\ue08cT \ue09e x , t=0\ue09f=50
t=0\ue08cT \ue09e x , t=0\ue09f=\u22122\u22c5x2\u22123x\ue08338 ou 
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Condição de 1ª Espécie 
Condição Pré-Estabelecida 
Condição de Dirichlet
\u25cf Condição na qual a grandeza (temperatura, por 
exemplo) é conhecida numa dada posição.
x
x=0\ue08cT \ue09e x=0, t \ue09f=70
x=L\ue08cT \ue09e x=L , t \ue09f=50
70
50
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Condição de 2ª Espécie
Condição de Fluxo
Condição de Neumann
\u25cf Caracteriza a condição no qual a derivada da 
grandeza é estabelecida. É denominada condição 
de Fluxo por estar associada ao fluxos (fluxo de 
calor, por exemplo).
x
x=0\ue08cq ' '=\u2212k\u22c5dT
dx
\ue08c dT
dx \u2223x=0=\u2212q ' 'k
q ' '=150W
m2
k=10W/ m K
x=0\ue08c dT
dx \u2223x=0=\u221215010
Obs: - Muito cuidado com sentido do eixo x!!!!
 - Caso de Fluxo Nulo!!!!
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Condição de 3ª Espécie
Condição de Convecção
Condição de Robin
\u25cf Condição típica de problemas de transferência de 
calor e aplicável nos casos depende tanto da 
variável como da sua 1ª derivada.
\u226bx=0\ue08ch\u22c5\ue09eT \u221e\u2212T \ue09ex=0, t \ue09f\ue09f=\u2212k
d T
d x \u2223x=0h ,T \u221e
\u226bx=L\ue08ch\u22c5\ue09eT \ue09e x=L , t \ue09f\u2212T \u221e\ue09f=\u2212k
d T
d x \u2223x=L
h ,T \u221e
x
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Propriedades Físicas da Matéria
\u25cf Condutividade Térmica \u2013 k
\u25cf Massa Específica \u2013 \u3c1
\u25cf Calor Específico a Pressão Constante \u2013 cp
\u25cf Difusividade Térmica \u2013 \u3b1
\u25cf Viscosidade Cinemática (\u3bd) ou Dinâmica (\u3bc) 
\u25cf Coeficiente de Expansão Volumétrica (\u3b2)
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Características da 
Condutividade Térmica
\u25cf pode ser calculada experimentalmente 
fazendo uso da Lei de Fourier:
\u25cf pode ser:
\u2013 isotrópico (igual em todas as direções)
\u2013 anisotrópico
k=\u2212 q
, ,
dT / dx
\ue09ek x\u2260k y\u2260k z\ue09f
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Condutividade Térmica
Diferentes mecanismos de acordo com a natureza:
\u2013 Sólidos
\u25cf metálicos (condutores elétricos)
\u25cf cerâmicas
\u2013 Fluidos
\u25cf líquidos
\u25cf gases
\u2013 Material Isolante
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Distribuição de valores da 
condutividade térmica
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Condutividade Térmica de 
Sólidos
A condutividade térmica pode ser escrita como 
uma composição de dois fatores:
onde: 
\u25cf kr representa a transferência de energia pela 
rede de ligações atômicas/moleculares
\u25cf ke representa a transferência de energia por 
transferência de elétrons entre átomos.
k s=k e\ue083k r
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Comportamento da Condutividade 
Térmica com a Temperatura
Quartzo Fundido
Ferro
Ceramicos
Tungstenio
Aco Inoxidavel
Prata
Platina
Aluminio Ouro
Oxido de Aluminio
Cobre
 500
 400
 300
 200
 150
 100
 80
 60 50
 35
 20
 15
 10
 8
 6 5
 4
 3
 2
 1
 4000 3000 2000 1500 1000 800 600 500 400 300 200 150 100
Co
nd
ut
iv
id
ad
e T
er
m
ica
 [W
/m
.K
]
Temperatura [K]
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Condutividade Térmica em 
Fluidos
\u25cf Fluidos = ligações moleculares muita mais 
fracas que dos sólidos (menor condutividade)
Sólido Líquido Gás
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Condutividade Térmica em 
Gases
\u25cf Transferência de energia em gases ocorre 
basicamente por colisões (Teoria Cinética dos 
gases)
k l=n\u22c5c\u22c5\ue0c1 onde \u301an= número de moléculas / volumec= vel. média das moléculas\ue0c1=percurso médio das moléculas
\u25cfPRESSÃO: n aumenta e \u3bb diminuem \u2013 k sem mudança significativa
\u25cfTEMPERATURA: c aumenta \u2013 k aumenta com a temperatura!!!!
Efeitos em função do aumento de:
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Comportamento da Condutivida-
de Térmica de Alguns Gases
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0  200  400  600  800  1000
Co
nd
ut
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id
ad
e T
er
m
ica
 [W
/m
.K
]
Temperatura [K]
Ar
Heli
o
Hid
rog
eni
o
Dioxido de
 Carbono
R­12
Vapor d
'agua(1 
atm)
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Condutividade Térmica em 
Líquidos
\u25cf o mecanismo que explica a condução em 
líquidos não metálicos é mais complexo e 
ainda não está bem estabelecido.
\u25cf de maneira geral para os líquidos: 
\u2013 a condutividade térmica aumenta com aumento 
de temperatura (excessões: água e glicerina)
\u2013 a condutividade diminui com o aumento do peso 
molecular
\u25cf metais fundidos têm condutividade térmica 
muito maior que os outros líquidos
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Condutividade Térmica em 
Líquidos
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 200  250  300  350  400  450  500  550  600