Apostila_MAT1154_2004.1
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DisciplinaEquações Diferenciais I5.490 materiais31.943 seguidores
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as soluc¸o\u2dces sa\u2dco fa´ceis de escrever:
un = Anu0 e v(t) = etAv(0).
Que este un e´ soluc¸a\u2dco do problema discreto, e´ imediato. Que este v(t)
e´ soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco diferencial segue de (32). E´ necessa´rio enta\u2dco poder
calcular An que e´ f(A) para f(z) = zn, e etA que e´ f(A) para f(z) = etz.
Exemplo 7.3 Considere a equac¸a\u2dco un+1 = Aun onde
A =
(
1 3
0 2
)
.
Os autovalores da matriz sa\u2dco 1 e 2. Procuramos um polino\u2c6mio p(z) = az+b
tal que p(1) = a+ b = 1n = 1 e p(2) = 2a+ b = 2n. Achamos a = 2n \u2212 1 e
b = 2\u2212 2n, logo
An = (2n \u2212 1)
(
1 3
0 2
)
+ (2\u2212 2n)
(
1 0
0 1
)
=
(
1 3(2n \u2212 1)
0 2n
)
e
un =
(
1 3(2n \u2212 1)
0 2n
)
u0
Exemplo 7.4 Considere a equac¸a\u2dco v\u2032(t) = Av(t) onde
A =
\uf8eb\uf8ed 3 \u22124 \u22121\u22123 5 1
21 \u221232 \u22127
\uf8f6\uf8f8 .
Os autovalores de A sa\u2dco: \u3bb1 = 1, m1 = 1, \u3bb2 = 0, m2 = 2. Vamos
calcular etA. Temos f(z) = etz e procuramos um polino\u2c6mio quadra´tico
p(z) = az2 + bz + c. As condic¸o\u2dces sa\u2dco:
p(0) = c = f(0) = 1
p\u2032(0) = b = f \u2032(0) = t
p(1) = a+ b+ c = f(1) = et
Achamos a = et \u2212 t\u2212 1, b = t, e c = 1. Assim:
etA = (et \u2212 t\u2212 1)A2 + tA+ I e v(t) = etAv(0).
32
7.3 1o atalho: matrizes diagonaliza´veis
Se a matriz for diagonaliza´vel, na\u2dco e´ necessa´rio levar em conta a multiplici-
dade dos autovalores. Assim o procedimento seria:
1. Calcule os autovalores distintos \u3bb1, \u3bb2, . . . , \u3bbk;
2. Procure um polino\u2c6mio p de grau k \u2212 1 tal que
p(\u3bb1) = f(\u3bb1), . . . , p(\u3bbk) = f(\u3bbk)
3. De novo f(A) = p(A).
Alia´s, matrizes sime´tricas sa\u2dco diagonaliza´veis, assim como matrizes com
todos seus autovalores diferentes entre si.
Exemplo 7.5
A =
\uf8eb\uf8ed 2 2 32 5 6
3 6 10
\uf8f6\uf8f8 ,
Os autovalores sa\u2dco 1 e 15 (confira: qual e´ o autovalor duplo?). Como A
e´ sime´trica, e´ diagonaliza´vel. Para calcular A1000, procure um polino\u2c6mio
linear levando 1 a 11000 = 1 e 15 a 151000. Temos:
p(z) =
151000 \u2212 1
14
z +
15\u2212 151000
14
.
e
A1000 = p(A) =
\uf8eb\uf8ed 2\u3b1+ \u3b2 2\u3b1 3\u3b12\u3b1 5\u3b1+ \u3b2 6\u3b1
3\u3b1 6\u3b1 10\u3b1+ \u3b2
\uf8f6\uf8f8
onde
\u3b1 =
151000 \u2212 1
14
, \u3b2 =
15\u2212 151000
14
.
Note que se tive´ssemos seguido a receita principal ter´\u131amos que achar um
polino\u2c6mio de grau dois enquanto no presente caso um de primeiro grau e´
suficiente.
33
7.4 2o atalho: polino\u2c6mio minimal
O polino\u2c6mio minimal de A e o polino\u2c6mio q(z) = zk+ak\u22121zk\u22121 + · · ·+a2z2 +
a1z + a0 de menor grau tal que q(A) = 0. Nos casos do polino\u2c6mio minimal
ser conhecido e ter grau menor que d e´ mais eficiente usar as ra´\u131zes de q
com as suas multiplicidades do que usar o polino\u2c6mio caracter´\u131stico. Alias,
o primeiro atalho e´ um caso particular deste pois o polino\u2c6mio minimal de
uma matriz diagonaliza´vel e´ (\u3bb\u2212\u3bb1)(\u3bb\u2212\u3bb2) · · · (\u3bb\u2212\u3bbk) onde \u3bb1, \u3bb2, . . . , \u3bbk
sa\u2dco os autovalores distintos.
Exemplo 7.6
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
O polino\u2c6mio minimal e´ (\u3bb\u22121)2(\u3bb\u22122). Para calcular etA devemos achar um
polino\u2c6mio de grau dois p(x) = ax2 + bx + c tal que p(1) = et, p\u2032(1) = tet e
p(2) = e2t. Uma conta revela:
a = e2t \u2212 et(t+ 1)
b = et(3t+ 2)\u2212 2e2t
c = e2t \u2212 2tet
e assim etA = aA2 + bA+ cI.
34
8 Autovetores de matrizes 2× 2 (atalhos)
Para achar os autovetores de uma matriz, e´ necessa´rio primeiro achar as
ra´\u131zes do polino\u2c6mio caracter´\u131stico p(\u3bb) = det(\u3bbI \u2212 A), e depois para cada
raiz \u3bb achar uma base para as soluc¸o\u2dces do sistema
(A\u2212 \u3bbI)v = 0. (33)
Para matrizes 2×2 na\u2dco ha´ necessidade de resolver sistemas, pois as soluc¸o\u2dces
podem ser determinados de uma maneira bem mais ra´pida.
Seja A uma matriz 2× 2. O polino\u2c6mio caracter´\u131stico e´ dado por
p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 Tr(A)\u3bb+ det(A) (34)
Exemplo 8.1
A =
(
4 5
\u22122 \u22123
)
Temos
p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 \u3bb\u2212 2.
Podemos ver a verdade de (34) fazendo a conta simples
det
(
a\u2212 \u3bb b
c d\u2212 \u3bb
)
= \u3bb2 \u2212 (a+ d)\u3bb+ (ad\u2212 bc)
No caso do Exemplo (8.1) os autovalores enta\u2dco sa\u2dco \u22121 e 2.
Note que Equac¸a\u2dco (33) diz que v e´ ortogonal a cada linha de A \u2212 \u3bbI.
Ora, se (a, b) e´ um vetor no plano, enta\u2dco (\u2212b, a) (ou (b,\u2212a)) e´ um vetor
ortogonal. Portanto temos o seguinte atalho:
Para calcular um autovetor de uma matriz A 2 × 2, correspon-
dente a um autovalor \u3bb, calcule A \u2212 \u3bbI, escolha uma linha na\u2dco
nula, troque as componentes e o sinal de um deles.
Para a matriz do Exemplo (8.1) consider o autovalor \u22121. Temos
A+ 1I =
(
5 5
\u22122 \u22122
)
Logo um autovetor correspondente e´ (5,\u22125). Ja´ que qualquer mu´ltiplo de
um autovetor tambe´m e´ autovetor podemos escolher (1,\u22121).
Se a matriz tem um outro autovalor diferente, podemos usar o mesmo
me´todo, mas aqui temos outro atalho:1
1Este atalho for descoberto, durante a aula, por Bianca Santori, ex-aluna da
Matema´tica da PUC.
35
Um autovetor correspondente ao outro autovalor de A, se este
existir, e´ qualquer coluna na\u2dco nula de A\u2212 \u3bbI.
No nosso exemplo enta\u2dco um autovetor que corresponde ao autovalor 2 seria
(5,\u22122).
Exemplo 8.2
A =
(
1 3
1 1
)
As ra´\u131zes do polino\u2c6mio caracter´\u131stico sa\u2dco \u3bb1 = 1\u2212
\u221a
3 e \u3bb2 = 1+
\u221a
3. Temos
A\u2212 \u3bb1I =
( \u221a
3 3
1
\u221a
3
)
portanto v1 = (
\u221a
3,\u22121) e v2 = (
\u221a
3, 1) sa\u2dco autovetores correspondentes.
Para entender porque o segundo atalho funciona, sejam \u3bb1 e \u3bb2 dois
autovalores distintos da matriz A 2 × 2. O polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A e´
(\u3bb \u2212 \u3bb1)(\u3bb \u2212 \u3bb2) e portanto (A \u2212 \u3bb1I)(A \u2212 \u3bb2I) = 0 mas esta equac¸a\u2dco diz
que cada coluna de (A \u2212 \u3bb2I) e´ anulada por (A \u2212 \u3bb1I), ou seja, cada tal
coluna que seja na\u2dco nula, e´ autovetor de A com autovalor \u3bb1.
36
9 Frac¸o\u2dces Parciais
Por frac¸o\u2dces parciais entende-se um me´todo de reescrever a rec´\u131proca de um
produto de polino\u2c6mios em termos de uma soma de razo\u2dces de polino\u2c6mios, o
que e´ muito u´til em va´rios tipos de conta. O fato principal e´ o seguinte:
Sejam p1, p2, . . . , pn polino\u2c6mios que na\u2dco possuem ra´\u131zes em comum, isto
e´, uma raiz de qualquer um dos polino\u2c6mios na\u2dco e´ raiz de nenhum dos outros.
Enta\u2dco e´ poss´\u131vel escrever, de uma maneira u´nica,
1
p1p2 · · · pn =
q1
p1
+
q2
p2
+ · · ·+ qn
pn
(35)
onde cada qj e´ um polino\u2c6mio cujo grau e´ menor que o grau de pj .
Na\u2dco vamos demonstrar esta afirmac¸a\u2dco, so ilustrar com alguns exemplos:
Exemplo 9.1
1
x(x\u2212 1)(x+ 2)
Aqui p1(x) = x com raiz 0, p2(x) = x \u2212 1 com raiz 1, e p3(x) = x + 2 com
raiz \u22122. Estes polino\u2c6mios na\u2dco te\u2c6m ra´\u131zes em comum, logo
1
x(x\u2212 1)(x+ 2) =
A
x
+
B
x\u2212 1 +
C
x+ 2
(36)
para alguns nu´meros A, B, e C.
Para achar estes nu´meros combinamos os tre\u2c6s termos do lado direito de (36)
utilizando um denominador comum.
1
x(x\u2212 1)(x+ 2) =
A(x\u2212 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x\u2212 1)
x(x\u2212 1)(x+ 2) .
Para que isto seja verdade para todo x e´ necessa´rio que
A(x\u2212 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x\u2212 1) = 1 (37)
Ha´ va´rias maneiras de resolver (37) para os nu´meros A, B, e C. A primeira,
e´ igualar os coeficientes de cada pote\u2c6ncia de x dos dois lados. Isto da´:
Coef. de x2 : A+B + C = 0
Coef. de x : A+ 2B \u2212 C = 0
Coef. de 1 : \u22122A = 1
37
A soluc¸a\u2dco deste sistema e´ A = \u221212 , B = 13 , C = 16 .
Isto demonstra que, de fato, os nu´meros A, B, e C existem tal que (37)
e´ verdadeira para todo x, mas este procedimento na\u2dco e´ de longe o me´todo
mais eficiente de acha´-los. O me´todo mais ra´pido e´ substituir em (37) cada
uma das ra´\u131zes dos polino\u2c6mios em questa\u2dco. Estas ra´\u131zes sa\u2dco 0, 1, e \u22122.
Substituindo x = 0 obtemos \u22122A = 1 ou seja A = \u221212 , substituindo x = 1
obtemos 3B = 1, ou seja, B = 13 , e substituindo x = \u22122 obtemos 6C = 1 ou
seja C = 16 . Note que ao substituir uma raiz, somente um dos tre\u2c6s termos e´
diferente de zero e portanto o coeficiente desejado A, B, ou C e´ determinado
imediatamente. Assim temos
1
x(x\u2212 1)(x+ 2) = \u2212
1
2
1
x
+
1
3
1
x\u2212 1 +
1
6
1
x+ 2
Exemplo 9.2
1
(x+ 1)(x2 \u2212 4x+ 4)
Aqui p1 = x+ 1 com raiz \u22121, e p2 = x2 + 4x+ 4 com raiz 2 repetida.
Temos
1
(x+ 1)(x2 \u2212 4x+ 4) =
A
x+ 1
+
Bx+ C
x2 \u2212 4x+ 4
e dai a equac¸a\u2dco
A(x2 \u2212 4x+ 4) + (Bx+ C)(x+ 1) = 1
Substituindo x = \u22121 temos 9A = 1 ou seja A = 19 , substituindo x = 2
temos 6B + 3C = 1. Com isto na\u2dco temos equac¸o\u2dces suficientes para achar
os tre\u2c6s nu´meros pois uma das ra´\u131zes e´ repetida. Para conseguir mais uma
equac¸a\u2dco podemos ou substituir um outro nu´mero qualquer na equac¸a\u2dco, ou
recorrer a igualar coeficientes de pote\u2c6ncia de x dos dois lados. Igualando as