Calculo2Vetorial
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Calculo2Vetorial


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.\u222b
\u3b3
~F q d~r e´ independente de \u3b3 \u21d0\u21d2 \u2203 f tal que ~F = \u2207f em \u2126 .
Definic¸a\u2dco 9. Um campo vetorial ~F para o qual existe uma func¸a\u2dco real f tal que ~F = \u2207f e´ chamado
um campo gradiente ou conservativo. A func¸a\u2dco \u2212f e´ chamada o potencial de ~F .
A motivac¸a\u2dco para chamarmos um campo gradiente por conservativo sera´ colocada a seguir.
Suponhamos uma part´\u131cula de massa m percorrendo um caminho \u3b3 : [a, b]\u2192 \u2126 \u2282 Rn suave por
partes, sob a ac¸a\u2dco de um campo cont´\u131nuo ~F .
Temos:
r
r
A \u3b3
B
µ
^
Trabalho =W =
\u222b
\u3b3
~F ¦ d~r =
\u222b b
a
~F (\u3b3(t)) ¦ \u3b3 \u2032(t)dt .
Da segunda Lei de Newton temos: ~F (\u3b3(t)) = m. \u3b3 \u2032\u2032(t)
Portanto,
~F (\u3b3(t)) ¦ \u3b3 \u2032(t) = m. \u3b3 \u2032\u2032(t) ¦ \u3b3 \u2032(t) = d
dt
[
1
2
m. \u3b3 \u2032(t) ¦ \u3b3 \u2032(t)
]
=
=
d
dt
[
1
2
m. \u2016\u3b3 \u2032(t)\u20162
]
=
d
dt
[
1
2
m(v(t))2
]
,
onde v(t) = \u2016\u3b3 \u2032(t)\u2016 e´ a velocidade escalar da part´\u131cula.
Portanto,
W =
\u222b b
a
[
d
dt
(
1
2
m(v(t))2
)]
dt =
1
2
m(v(b))2 \u2212 1
2
m(v(a))2 =
= K(b)\u2212K(a) , onde K(t) = 1
2
m(v(t))2
e´ a energia cine´tica da part´\u131cula no instante t . Assim,
17
Trabalho = W = variac¸a\u2dco da energia cine´tica.
Suponhamos agora que ~F = \u2207f .
Sabemos do Teorema 4 que W = f(B)\u2212 f(A).
Comparando com a fo´rmula anterior, temos:
f(B)\u2212 f(A) = K(b)\u2212K(a)
ou seja,
K(b)\u2212 f(B) = K(a)\u2212 f(A) .
A quantidade \u2212f(P ) e´ chamada energia potencial da part´\u131cula em P .
Portanto, a soma da energia potencial com a energia cine´tica permanece constante quando a
part´\u131cula se move ao longo de um campo gradiente. Esta e´ a raza\u2dco de chamarmos este tipo de
campo como \u201cCampo Conservativo\u201d.
Exerc´\u131cio
Encontrar o trabalho realizado pelo campo ~F (x, y, z) =
K
x2 + y2 + z2
(x~i+ y~j + z~k) ao longo da
curva \u3b3 : [0, 2pi]\u2192 R3, dada por \u3b3(t) = (cos t , sen t , t)
Resoluc¸a\u2dco:
Poder´\u131amos resolver usando a definic¸a\u2dco.
Tentaremos resolver aplicando o Teorema 4 .
Procuramos f tal que
z
yx A = (1, 0, 0)
B = (1, 0, 2pi)
6
¼
6
jª
r
r
Y
:
fx(x, y, z) =
Kx
x2 + y2 + z2
(1)
fy(x, y, z) =
Ky
x2 + y2 + z2
(2)
fz(x, y, z) =
Kz
x2 + y2 + z2
(3)
18
Integrando (1) em relac¸a\u2dco a x obtemos
f(x, y, z) =
\u222b
Kx
x2 + y2 + z2
dx+ \u3c6(y, z) =
K
2
ln(x2 + y2 + z2) + \u3c6(y, z) (4)
Assim,
fy(x, y, z) =
Ky
x2 + y2 + z2
+ \u3c6y(y, z) .
Comparando com (2) temos \u3c6y(y, z) = 0 e assim \u3c6 = \u3c6(z), isto e´ \u3c6 na\u2dco depende de y .
Logo (4) pode ser escrita como
f(x, y, z) =
K
2
ln(x2 + y2 + z2) + \u3c6(z)
Diferenciando com respeito a z e comparando com (3) obtemos \u3c6\u2032(z) = 0 e assim \u3c6 \u2261 C.
Tomemos \u3c6 \u2261 0.
Portanto f(x, y, z) =
K
2
ln(x2 + y2 + z2).
Assim W =
\u222b
\u3b3
~F q d~r = \u222b
\u3b3
\u2207f q d~r = f(1, 0, 2pi)\u2212 f(1, 0, 0) = K
2
ln(1 + 4pi2).
\u2014 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2212 \u25e6 \u2014
Problema: Dado ~F , como saber se \u2203f tal que \u2207f = ~F ?
Teorema 10. Seja ~F (x, y) = A(x, y)~i + B(x, y)~j , onde A(x, y) e B(x, y) sa\u2dco de classe C1 num
reta\u2c6ngulo < = [a, b]× [c, d].
Ay = Bx em < \u21d0\u21d2 \u2203 f tal que \u2207f = ~F em < .
Prova:
(\u21d0)
Se \u2207f = ~F enta\u2dco A = \u2202f
\u2202x
e B =
\u2202f
\u2202y
. Logo
\u2202A
\u2202y
=
\u22022f
\u2202y \u2202x
Teo. Schwarz=======
\u22022f
\u2202x \u2202y
=
\u2202B
\u2202x
(\u21d2)
Desenvolveremos argumento semelhante ao feito na prova do Teorema anterior.
Fixemos (x0, y0) \u2208 < .
19
<
\u3b31
(x, y)
\u3b32
(x, y0)(x0, y0)
-
6
Seja f(x, y) definida em < por:
f(x, y) =
\u222b
\u3b3
~F · d~r ,
onde \u3b3 e´ a curva indicada na figura ao lado.
Consideremos as parametrizac¸o\u2dces \u3b31 : [x0, x] \u2192 < dada por \u3b31(t) = (t, y0) e \u3b32 : [y0, y] \u2192 <
dada por \u3b32(t) = (x, t).
Assim f(x, y) =
\u222b x
x0
A(t, y0)dt+
\u222b y
y0
B(x, t)dt.
Enta\u2dco:
\u2202f
\u2202y
(x, y)
(\u2217)
== B(x, y).
\u2202f
\u2202x
(x, y)
(\u2217)+(\u2217\u2217)
=== A(x, y0) +
\u222b y
y0
\u2202B
\u2202x
(x, t)dt
hip.
=== A(x, y0) +
+
\u222b y
y0
\u2202A
\u2202y
(x, t)dt
(\u2217)
== A(x, y0) +A(x, y)\u2212A(x, y0) =
= A(x, y).
Onde estamos usando:
(*) Teorema Fundamental do Ca´lculo.
(**)Teorema de Derivac¸a\u2dco sob o Sinal de Integrac¸a\u2dco.
Portanto, \u2207f(x, y) = ~F (x, y).
Observac¸a\u2dco:
O teorema anterior continua va´lido se ao inve´s do reta\u2c6ngulo < considerarmos uma regia\u2dco \u2126
simplesmente conexa, isto e´, \u2126 na\u2dco apresenta \u201cburacos\u201d. [Mais precisamente, uma regia\u2dco \u2126 \u2282 Rn
e´ dita simplesmente conexa se toda curva fechada contida em \u2126 puder ser deformada continuamente
dentro de \u2126 ate´ reduzir-se a um ponto.] No entanto, o teorema na\u2dco e´ va´lido para regio\u2dces quaisquer,
conforme mostra o exemplo a seguir.
conexa
simplesmente
na\u2dco
conexa
simplesmente
Exemplo:
20
-
6
a
\u3b3
y
x
}
Seja \u3b3(t) = (cos t , sen t) , t \u2208 [0, 2pi].
~F (x, y) =
\u2212y
x2 + y2
~i+
x
x2 + y2
~j ; (x, y) \u2208 D = R2 \u2212 {0}
A(x, y) =
\u2212y
x2 + y2
\u21d2 Ay(x, y) = y
2 \u2212 x2
(x2 + y2)2
B(x, y) =
x
x2 + y2
\u21d2 Bx(x, y) = y
2 \u2212 x2
(x2 + y2)2
Se existir f tal que \u2207f = ~F em D , enta\u2dco
\u222b
\u3b3
~F q d~r = \u222b
\u3b3
\u2207f q d~r = 0.
Mas, calculando pela definic¸a\u2dco,\u222b
\u3b3
~F q d~r = \u222b 2pi
0
1dt = 2pi 6= 0 .
Portanto, @f definida em D com a propriedade acima.
No entanto, para qualquer curva fechada \u39b contida em um reta\u2c6ngulo contido em D teremos:
x
y
\u39b
¼
6
-r
\u222b
\u39b
~F p d~r = 0
Um resultado ana´logo ao teorema anterior
tambe´m e´ va´lido para R3 . Vejamos.
Teorema 11. Seja ~F (x, y, z) = A(x, y, z)~i+B(x, y, z)~j+C(x, y, z)~k onde A , B e C sa\u2dco de classe
C1 no paralelep´\u131pedo < = [a, b]× [c, d]× [e, f ].
Enta\u2dco ~F e´ conservativo em < se e somente se
Ay = Bx , Az = Cx e Bz = Cy em <
Observac¸a\u2dco: A prova e´ semelhante a` do teorema anterior, sendo que a func¸a\u2dco potencial do campo
pode ser obtida integrando ~F sobre uma poligonal contida em < como abaixo:
y
x
z6
z
¡¡
¡¡ª
q
ª 6
r
¡
¡
r
21
Observac¸a\u2dco: O teorema anterior continua va´lido se ao inve´s do paralelep´\u131pedo < considerarmos
uma regia\u2dco \u2126 simplesmente conexa como na Observac¸a\u2dco depois do Teorema 10. Note que no R3
uma regia\u2dco simplesmente conexa pode apresentar \u201cburacos\u201dcomo entendidos na linguagem comum.
Tal e´ o caso de uma bola da qual foi retirada o centro. Ja´ uma bola da qual foi retirado um dia\u2c6metro
na\u2dco e´ uma regia\u2dco simplesmente conexa.
conexa
Na\u2dco simplesmente
conexa
Simplesmente
Exerc´\u131cios resolvidos
1. Seja ~r(t) = cos t ~i+ sen t ~j , t \u2208 [0, pi/2]
~F (x, y) = y2~i+ (2xy \u2212 ey)~j .
Calcular
\u222b
\u3b3
~F q d~r .
Resoluc¸a\u2dco:
x(1, 0)
y
(0, 1)
-
6
I1o¯ Me´todo:
Pela definic¸a\u2dco:\u222b
\u3b3
~F · d~r =
\u222b pi/2
0
(
sen2t , 2 cos t sen t\u2212 esen t) · (\u2212sen t , cos t)dt = . . .
2o¯ Me´todo:
~F e´ do tipo gradiente ?
Ay = 2y = Bx em qualquer reta\u2c6ngulo.
Portanto e´ gradiente.
Procuremos f tal que \u2207f = ~F , isto e´,
fx(x, y) = y2 (1)
fy(x, y) = 2xy \u2212 ey (2)
Logo f(x, y) = xy2 + \u3c6(y)
22
fy(x, y) = 2xy + \u3c6 \u2032(y)
(2)
=== 2xy \u2212 ey
\u2234 \u3c6 \u2032(y) = \u2212ey \u21d2 \u3c6(y) = \u2212ey
\u2234 f(x, y) = xy2 \u2212 ey
Logo, \u222b
\u3b3
~F q d~r = f(0, 1)\u2212 f(1, 0) = 1\u2212 e
3o¯ Me´todo:
Sabemos que ~F e´ do tipo gradiente em R2. Logo, a integral na\u2dco depende da curva. Vamos
calcular sobre o segmento de (1,0) ate´ (0,1).
Consideremos \u393(t) = (1\u2212 t)~i+ t~j , t \u2208 [0, 1]
Assim:\u222b
\u3b3
~F q d~r=\u222b
\u393
~F q d~r=\u222b 1
0
(t2, 2t(1\u2212 t)\u2212 et) q (\u22121, 1)dt=\u222b 1
0
[\u2212t2+2t(1\u2212t)\u2212et] dt=1\u2212 e
2. Calcular
\u222b
\u3b3
(y + senx)dx + (x + ey)dy onde \u3b3 e´ uma curva suave por partes, de (0, 1) a
(pi, 0).
Resoluc¸a\u2dco:
xpi
1
y
6
-
-
\u2202A
\u2202y
=
\u2202B
\u2202x
em R2
Portanto vale a condic¸a\u2dco do Teorema 10
em qualquer reta\u2c6ngulo < .
Aqui, para encontrarmos a func¸a\u2dco potencial \u2212f vamos utilizar um me´todo alternativo, base-
ado no racioc´\u131nio desenvolvido na demonstrac¸a\u2dco do Teorema 10.
Seja f(x, y) definida em R2 por f(x, y) =
\u222b
\u393
~F q d~r,
\u3931
(x, y)
\u3932
(x, 0)(0, 0)
q
-
6
x
y
-
6
onde \u393 e´ a curva indicada ao lado
Assim:
f(x, y) =
\u222b x
0
sen t dt+
\u222b y
0
(x+ et)dt = xy + ey \u2212 cosx
23
Logo, \u2207f(x, y) = ~F (x, y) = (y + senx, x+ ey) e portanto\u222b
\u3b3
(y + senx)dx+ (x+ ey)dy =
\u222b
\u3b3
\u2207f q d~r = f(pi, 0)\u2212 f(0, 1) = 3\u2212 e
3. Considere ~F (x, y, z) = y2~i+ (2xy+ e3z)~j +3y e3z ~k. Encontre uma func¸a\u2dco f tal que \u2207f = ~F .
Resoluc¸a\u2dco:
Queremos f(x, y, z) tal que:
fx(x, y, z) = y2 (1)
fy(x, y, z) = 2xy + e3z (2)
fz(x, y, z) = 3y e3z (3)
Integrando (1) com respeito a x , obtemos:
f(x, y, z) = xy2 + \u3c6(y, z) (4)
Assim fy(x, y, z) = 2xy + \u3c6y(y, z).
Comparando com (2) obtemos
\u3c6y(y, z) = e3z.
Logo \u3c6(y, z) = y e3z + h(z) .
Reescrevendo (4):
f(x, y, z) = xy2 + y e3z + h(z).
Diferenciando