sel310-A5 Linha parte 2 Sel310 612
17 pág.

sel310-A5 Linha parte 2 Sel310 612


DisciplinaOndas Eletromagnéticas127 materiais771 seguidores
Pré-visualização1 página
Linha de Transmissão 
Parte 2
Equação de Onda e Excitação SenoidalEquação de Onda e Excitação Senoidal
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
\ufffd Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia elétrica e curso de engenharia elétrica e 
engenharia de computação.
\ufffd Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
\ufffd solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
06/03/2012 2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Representação complexa-1
( ) ( ) ( )
( ) ( ){ }
Amplitude e frequência angular
invariantes no domínio do tempo
cos R
exp co
e exp
s
A t A j
n
t
j jse
\u3c9
\u3c6 \u3c6 \u3c6
\u3c6 \u3c9 \u3c6\uf8ee \uf8f9+ = +\uf8ef \uf8fa
= +
06/03/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
( ) ( )
( )
cos R
exp exp
e
e exp
Re
: fasor
: fasor (notação con
xp
den
exp 
ex sada)p 
A j j t
A j j t
A j
A t A j t
\u3c6 \u3c9
\u3c6
\u3c9
\u3c9
\u3c6
\u3c6 \u3c9 \u3c6\uf8ee \uf8f9+ = +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Representação complexa-2
( )( , ) cosmv z t V t\u3c9 \u3c6= +
06/03/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4
http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor( ) ( )0( , ) exp expV z t V j t\u3c6 \u3c9=
Representação complexa-3
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
2 1 2
0
2
1 2
0
( ) ( ) ( )
co
( ) cos
s
( ) ( ) ( )
v t R i t R i t R R i t
V t
v t v
R R
t v t
v
i t
t V t
\u3c9
\u3c9
= +
= + = +
=
=
+
06/03/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )0
1
1
2
0
2
( ) c
faso
o
r
s
 
V
i t t
R R
V
I
R R
\u3c9=
+
=
+
~
+ +
1
( )v t
2
( )v t
( )v t ( )i t
- -
Solução da equação de onda: sem perdas
2 2
2 2
( , ) ( , )v z t v z t
LC
z t
\u2202 \u2202
=
\u2202 \u2202
( ) ( )0 0( , ) cos cosv z t V t kz V t kz\u3c9 \u3c6 \u3c9 \u3c6+ + \u2212 \u2212= \u2212 + + + +
06/03/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )0( , ) cosv z t V t kz\u3c9 \u3c6+ + += \u2212 +
( )0( , ) cosv z t V t kz\u3c9 \u3c6\u2212 \u2212 \u2212= + +
Onda propagando na 
direção positiva de z
Onda propagando na 
direção negativa de z
Representação complexa-1
( )0( , ) cosv z t V t kz\u3c9 \u3c6+ + += \u2212 +
( ) ( ) ( ){ }0( , ) Re exp exp expv z t V jkz j t j\u3c9 \u3c6+ + += \u2212
06/03/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ){ }0( , ) Re expv z t V j t kz\u3c9 \u3c6+ + +\uf8ee \uf8f9= \u2212 +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
( ) ( ){ }0( , ) Re cos senv z t V t kz j t kz\u3c9 \u3c6 \u3c9 \u3c6+ + + +\uf8ee \uf8f9= \u2212 + + \u2212 +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Representação complexa-2
( )0( , ) cosv z t V t kz\u3c9 \u3c6+ + += \u2212 +
( ) ( ) ( ){ }0 exp( , ) Re pexp exv jV jz t z tk\u3c6 \u3c9+ ++ \u2212=
06/03/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
fasor
Representação complexa (fasor)
Representação complexa-3
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
tensão instantânea real
tensão complexa instantânea
, cosz t V t kz\u3c9 \u3c6= \u2212 +V
06/03/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 9
( ) ( ) ( )
( ) ( )0
0
,
tensão fa
e
sori
xp
ex
x
a
p
p
l
eV z t V jkz j
V kz j z
t
V
\u3c9\u2212
= \u2212
=
Equações de onda e excitação senoidal-1 
( ) ( )exp expj t j j t
t
\u3c9 \u3c9 \u3c9
\u2202
=
\u2202
( ) ( ){ }0( , ) Re exp expzv z t V jk z j t\u3c9+ += \u2212
06/03/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )exp expz z zjk z jk jk zz
\u2202
\u2212 = \u2212 \u2212
\u2202
/ z\u2202 \u2202
/ t\u2202 \u2202 j\u3c9
z
jk\u2212
Equações de onda e excitação senoidal-2
( )
2 2
2 2
( , ) ( , ) ( , )
( , )
v z t v z t v z t
RGv z t RC LG LC
tz t
\u2202 \u2202 \u2202
= + + +
\u2202\u2202 \u2202
( ) ( )
2
2
2
( )
( )
d V z
RG LC j RC LG V z
dz
\u3c9 \u3c9\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
06/03/2012 11SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
2 2
2 2
( , ) ( , ) ( , )
( , )
i z t i z t i z t
RGi z t RC LG LC
tz t
\u2202 \u2202 \u2202
= + + +
\u2202\u2202 \u2202
( ) ( )
2
2
2
( )
( )
d I z
RG LC j RC LG I z
dz
\u3c9 \u3c9\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Impedância e admitância
( ) ( )
2
2
2
( )
( )
d I z
RG LC j RC LG I z
dz
\u3c9 \u3c9\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
( ) ( )
2
2
2
( )
( )
d V z
RG LC j RC LG V z
dz
\u3c9 \u3c9\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
tensão
corrente
Z R j L\u3c9= + Impedância (\u2126\u2014 ohms)
06/03/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Z R j L\u3c9= +
Y G j C\u3c9= +
Impedância (\u2126\u2014 ohms)
Admitância, (S\u2014 siemens)
( ) ( )2ZY RG LC j RC LG\u3c9 \u3c9= \u2212 + +
então,
Constante de Propagação-1
Z R j L\u3c9= + Y G j C\u3c9= +impedância admitância
R I
k ZY k jk= = + constante de propagação 
k
06/03/2012 13SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
R
k constante de atenuação; neper/unidade de comprimento
I
k constante de fase; radiano/unidade de comprimento
Em linhas sem perdas, 0
R
k =
Constante de Propagação-2
k ZY=
2 ( )d V z2 ( )d V z
( ) ( )2ZY RG LC j RC LG\u3c9 \u3c9= \u2212 + +
2k ZY=e
06/03/2012 14SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2
2
2
( )
( )
d V z
k V z
dz
=
2
2
2
( )
( )
d I z
k I z
dz
=( ) ( )
2
2
2
( )
( )
d I z
RG LC j RC LG I z
dz
\u3c9 \u3c9\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
( ) ( )
2
2
2
( )
( )
d V z
RG LC j RC LG V z
dz
\u3c9 \u3c9\uf8ee \uf8f9= \u2212 + +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Constante de Propagação-3
( )
( )
( ), ,
,
v z t i z t
Ri z t L
z t
\u2202 \u2202
\u2212 = +
\u2202 \u2202
( )dV z
( ) ( )exp expj t j j t
t
\u3c9 \u3c9 \u3c9
\u2202
=
\u2202
06/03/2012 15SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( ) ( ) ( ) ( )
dV z
RI z j LI z R j L I z
dz
\u3c9 \u3c9\u2212 = + = +
( )
( )
dV z
ZI z
dz
= \u2212
Constante de Propagação-4
( )
( )
( ), ,
,
i z t v z t
Gv z t C
z t
\u2202 \u2202
\u2212 = +
\u2202 \u2202
( )dI z
( ) ( )exp expj t j j t
t
\u3c9 \u3c9 \u3c9
\u2202
=
\u2202
06/03/2012 16SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( ) ( ) ( ) ( )
dI z
GV z j CV z G j C V z
dz
\u3c9 \u3c9\u2212 = + = +
( )
( )
dI z
YV z
dz
= \u2212
Resumo das equações fundamentais de uma L.T.
zR\u2206 zL\u2206
zG\u2206 zC\u2206 zG\u2206 zC\u2206
A B
z\u2206
),( tzv ),( tzzv \u2206+
),( tzi ),( tzzi \u2206+Gi Ci
zR\u2206 zL\u2206
zG\u2206 zC\u2206 zG\u2206 zC\u2206
A B
z\u2206
),( tzv ),( tzzv \u2206+
),( tzi ),( tzzi \u2206+Gi Ci
( )
( )
( )
( )
dV z
ZI z
dz
dI z
YV z
dz
= \u2212
= \u2212
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Z R j L\u3c9= +
Y G j C\u3c9= +
( ) ( )2ZY RG LC j RC LG\u3c9 \u3c9= \u2212 + +
2k ZY=
06/03/2012 17
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
d V z
k V z
dz
d
d
I z
k I z
dz
z
=
=