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u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd 
 
Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das 
componentes correspondentes ou homônimas. 
 
Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos 
a uma importante fórmula, a saber: 
 
Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d) 
 
Já sabemos que: u.v = u.v.cos \u3b2 = ac + bd 
 
Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que: 
 
 
 
Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas. 
Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto 
interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo estará 
determinado. 
 
Veremos um exercício de aplicação, no final deste material. 
 
Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno 
de vetores. 
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Seja o triângulo retângulo da figura abaixo: 
 
 
 
É óbvio que: w = u + v 
 
Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem: 
 
w2 = u2 + 2.u.v + v2 
 
Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0 (lembre-se 
que os vetores u e v são perpendiculares). 
 
Assim, substituindo, vem: 
 
w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos). 
 
Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o Teorema dos Cosenos, ou seja : em todo 
triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, 
menos o dobro do produto desses lados pelo coseno do ângulo formado entre eles. 
 
Para concluir, vamos resolver algumas questões envolvendo vetores. 
 
Erxercícios 
 
01 - Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j, pede-se determinar: 
 
a) o vetor soma u + v 
 
b) o módulo do vetor u + v 
 
c) o vetor diferença u - v 
 
d) o vetor 3 u - 2 v 
 
e) o produto interno u.v 
 
f) o ângulo formado pelos vetores u e v 
 
 
 
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Resolução: 
 
a) Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4 j 
 
b) | u + v| = 4 3 22 + = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento). 
 
c) u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6 j 
 
d) 3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j 
 
e) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3 
 
f) conforme visto acima, teremos que calcular os módulos de u e de v. 
 
u = ( ) 5- 2 22 + = 29 
 
Logo, cos\u3b2 \u2245 - 0,3939 
 
Então, o ângulo \u3b2 será igual aproximadamente a 113,19738º , obtido numa calculadora 
científica. 
 
02 - Dado o vetor no espaço R3, u = x.i + y.j + z.k , deduza a fórmula para o cálculo do 
módulo u , vista no item 5. 
 
Resolução: 
 
DICA: determine o produto interno u.u , lembrando que os versores i, j, k são 
perpendiculares dois a dois e, portanto os produtos internos serão nulos. 
 
Como u.u = u2, teremos: u = 
 u.u . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Cálculo Vetorial II 
No texto a seguir,os vetores serão indicados através de letras em negrito e os 
seus módulos, através das mesmas letras sem o negrito. 
 
Exemplo: u indicará o módulo do vetor u. 
 
Considere dois vetores u e v pertencentes ao espaço R3. 
Define-se o Produto Vetorial u x v como sendo um terceiro 
vetor w, com as seguintes características: 
a) o módulo de w é w = |u x v| = u.v.senß, onde ß é o 
ângulo formado pelos vetores u e v. 
b) a direção de w é perpendicular ao plano dos vetores u e 
v. 
c) o sentido do vetor w = u x v é dado pela regra da mão 
esquerda: 
Dispondo-se os dedos médio e indicador da mão esquerda, apontando no mesmo 
sentido dos vetores u e v, o dedo polegar apontará o sentido do vetor w. 
 
Veja a figura a seguir: 
 
 
Notas importantes: 
 
1 \u2013 o produto vetorial é também denominado produto externo. 
 
2 \u2013 do item (c) da definição dada, conclui-se que uxv = -(vxu), ou seja, o produto 
vetorial é uma operação não comutativa. 
 
3 \u2013 se ß = 0º, ou seja, os vetores u e v são paralelos, 
o módulo do vetor w = uxv será w = u.v.sen 0º = u.v.0 = 0 e, portanto, o vetor w = 
uxv será o vetor nulo. 
Observe então que o produto vetorial de dois vetores pode ser nulo, sem que pelo 
menos um dos vetores seja nulo; basta que eles sejam paralelos. 
 
4 \u2013 se ß = 90º, ou seja, os vetores u e v são perpendiculares, o módulo do vetor w 
= uxv será w = u.v.sen90º = u.v.1 = u.v 
 
5 \u2013 Lembrando dos vetores unitários(ou seja, de módulo igual a 1) do espaço R3, 
i,j e k, os quais são perpendiculares entre si dois a dois, e, baseados nas notas (3) 
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e (4) acima, podemos escrever as seguintes igualdades relativas aos produtos 
vetoriais dos vetores unitários i, j e k: 
i x i = 0 i x j = k 
j x j = 0 j x k = i 
k x k = 0 k x i = j 
Para melhor entender a tabela acima, basta lembrar que vetores paralelos 
possuem produto vetorial nulo (todo vetor é paralelo a si próprio e portanto, i // i, j 
// j e k // k)e também lembrar que os vetores i, j, k são perpendiculares entre si 
dois a dois. 
6 \u2013 Vimos na Trigonometria que a área de um triângulo pode ser calculada pelo 
semi-produto das medidas de dois dos seus lados,pelo seno do ângulo que eles 
formam, ou seja: 
A = 1/2 .a.b.sen ß, onde a e b são as medidas de dois lados e 
ß é o ângulo formado entre eles, e A é área. 
Nestas condições, considere o paralelogramo da figura abaixo: 
 
 
 
Então, o triângulo limitado pelos vetores u e v que formam entre si o 
ângulo ß, terá uma área dada por A = 1/2.u.v.sen ß 
A área S do paralelogramo, será evidentemente igual ao dobro da área deste 
triângulo, ou seja: S = 2.A = u.v.sen ß 
Ora, u.v.sen ß é, exatamente, o módulo do produto vetorial uxv, conforme já vimos 
acima. 
Logo, a conclusão final é que: 
A área do paralelogramo construído a partir dos vetores u e v , 
é igual ao módulo do produto vetorial u x v. 
Assim, S = |u x v| 
Antes de resolver e propor exercícios, temos que aprender a determinar o produto 
vetorial de dois vetores. 
Sejam os vetores 
u = (a,b,c) = a.i + b.j + c.k 
v = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k 
Suponha que u x v = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k 
Teremos: 
x.i + y.j + z.k = (a.i + b.j + c.k) x (d.i + e.j + f.k) 
Efetuando as operações indicadas no segundo membro da igualdade acima, vem: 
x.i + y.j + z.k = a.d.(ixi) + a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.e.(jxj) + b.f.(jxk)+ 
c.d.(kxi) + c.e.(kxj) + c.f.(kxk) 
 
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Observando pela tabela anterior que i x i = k x k = j x j = 0, 
e substituindo acima, vem: 
 
 
 
 
 
 
x. i + y.j + z.k = 
a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi)+ c.e.(kxj). 
Observando ainda que: i x j = k, k x i = j, j x k = i, 
j x i = -k, k x j = -i e i x k = -j, vem, substituindo: 
x . i + y.j + z.k = 
a.e.k + a.f.(-j) + b.d.(-k) + b.f.i + c.d.j + c.e.(-i). 
Somando os termos semelhantes e arrumando convenientemente, vem: 
x.i + y.j + z.k = (b.f \u2013 c.e).i + (c.d \u2013 a.f).j + (a.e \u2013 b.d).k 
Comparando ambos os membros da igualdade obtida, vem: 
x = b.f - c.e 
y = c.d \u2013 a.f 
z = a.e \u2013 b.d 
Portanto, em resumo, teremos: 
Dados os vetores 
u = (a,b,c) = a.i + b.j + c.k 
v = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k 
O produto vetorial u x v será o vetor 
w = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k , onde x, y e z são dados pelas relações acima, ou seja: 
x = b.f - c.e 
y = c.d \u2013 a.f 
z = a.e \u2013 b.d 
 
O resultado acima, pode ser expresso na forma de determinante,