sel310-A8 Linha parte 5 Sel310 612
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sel310-A8 Linha parte 5 Sel310 612


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Linha de Transmissão 
Parte 5
Impedância
Coeficiente de Reflexão
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
\ufffd Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia elétrica e curso de engenharia elétrica e 
engenharia de computação.
\ufffd Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
\ufffd solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
3/16/2012 2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
Coeficiente de Reflexão
( )
( )
( )
- -
2
0 0- -
kz kz
kz
kz kz
V z V e e
z e
V e eV z
++
\uf8eb \uf8f6\uf8f7\uf8ec \uf8f7\u393 = = = \u393 = \u393\uf8ec \uf8f7\uf8ec \uf8f7\uf8f7\uf8ec\uf8ed \uf8f8
( ) ( )0 00 exp r
V
z j
V
\u3c6
\u2212
+
\u393 = = \u2261 \u393 = \u393
Coeficiente de reflexão na carga 
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )0 0 r
V +
( ) ( )20 r
kz j
z e
\u3c6+
\u393 = \u393
I
k jk=
( ) ( )0 exp 2 I rz j k z \u3c6\uf8ee \uf8f9\u393 = \u393 +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
R=G=0
3/16/2012 3
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-1
( ) ( )
( ) ( ) 0
( )
( )
( )
I I
I I
jk z jk z
jk z jk z
V z V zV z V e V e
Z z Z
I z I z I z V e V e
+ \u2212 \u2212 ++ \u2212
\u2212+ \u2212 + \u2212
+ +
= = =
\u2212 \u2212
( )
0( )
/I I I I
jk z jk z jk z jk ze e e e
Z z Z Z
V V
\u2212 + \u2212 +\u2212 ++ +
= =
\u393
3/16/2012 4SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )
( )
0
0 0
0
( )
/ I II I
jk z jk zjk z jk z
e e
Z z Z Z
e ee V V e
\u2212\u2212 \u2212 +
+
= =
\u2212\u393
\u393
\u2212
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
cos sen cos sen
cos sen cos sen
I I I I
I I I I
k z j k z k z k z
Z z Z
k z j k z k z j k z
\u2212 + \u393 +
=
\u2212 \u2212\u393 +
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-2
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
cos sen cos sen
cos sen cos sen
I I I I
I I I I
k z j k z k z k z
Z z Z
k z j k z k z j k z
\u2212 + \u393 +
=
\u2212 \u2212\u393 +
Dividindo por ( )cos k z
3/16/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0 0
1 tg 1 tg 1 tg 1
1 tg 1 tg 1 tg 1
I I I
I I I
j k z j k z j k z
Z z Z Z
k z j k z j k z
\u2212 + \u393 + + \u393 \u2212 \u2212\u393
= =
\u2212 \u2212\u393 + \u2212\u393 \u2212 + \u393
Dividindo por ( )cos Ik z
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-3
( )
( )
0
0
1
1
\u2212\u393
+\u393
Dividindo por
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0 0
1 tg 1 tg 1 tg 1
1 tg 1 tg 1 tg 1
I I I
I I I
j k z j k z j k z
Z z Z Z
k z j k z j k z
\u2212 + \u393 + + \u393 \u2212 \u2212\u393
= =
\u2212 \u2212\u393 + \u2212\u393 \u2212 + \u393
3/16/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )0
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
\uf8ee \uf8f9+ \u393 \u2212\u393 \u2212\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb=
\uf8ee \uf8f9\u2212 + \u393 \u2212\u393\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
Coeficiente de Reflexão na Carga
0z =em
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
\uf8ee \uf8f9+ \u393 \u2212\u393 \u2212\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb=
\uf8ee \uf8f9\u2212 + \u393 \u2212\u393\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
3/16/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( ) ( )0 0 00 1 / 1 LZ z Z Z= = + \u393 \u2212\u393 =
0
0
0
L
L
Z Z
Z Z
\u2212
\u393 =
+
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-4
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
\uf8ee \uf8f9+ \u393 \u2212\u393 \u2212\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb=
\uf8ee \uf8f9\u2212 + \u393 \u2212\u393\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
( ) ( )0 0 0/L LZ Z Z Z\u393 = \u2212 +Mas,
( ) ( )1 / 1 /Z Z+ \u393 \u2212\u393 =e
3/16/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )0 0 01 / 1 /LZ Z+ \u393 \u2212\u393 =e
( )
( )
( )
0
0
0
tg
tg
L I
L I
Z jZ k z
Z z Z
Z jZ k z
\u2212
=
\u2212
0z \u2264
Impedância em Linha com Perdas-1
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
kz kz
kz kz
V z V z e e
Z z Z
e eI z I z
+ \u2212 \u2212
\u2212+ \u2212
+ + \u393
= =
\u2212\u393+
( ) ( ) ( )
como exp( ) exp( ) / 2 e cosh exp( ) exp(
exp cos
) / 2
então h senh, 
senhx x x x x x
kz kz kz
\uf8ee \uf8f9 \uf8ee \uf8f9= \u2212 \u2212 =
± = ±
+ \u2212\uf8ef \uf8fa \uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb \uf8f0 \uf8fb
3/16/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( ) ( )exp cosentão h senh, kz kz kz± = ±
( )
( )
( )
0
0
0
tgh
tg
, 0
com 
h
R I
L
L
Z Z kz
Z z Z
Z
k
Z k
k
z
k j
z
=
\u2264
+
\u2212
=
\u2212
Impedância em Linha com Perdas-2
0
50
100
150
200
250
300
350
 
 
R
e
{
Z
}
,
 
I
m
{
Z
}
,
 
o
h
m
s
0,
1
12 1
1
1
/
500 MHz
0,001 m
10 S m
10 pF m
0,1 H m
p
Z R j L
Y G j C
k ZY
Z Z Y
f
R
G
C
L
\u3c9
\u3c9
µ
\u2212
\u2212 \u2212
\u2212
\u2212
= +
= +
=
=
=
= \u2126\u22c5
= \u22c5
= \u22c5
= \u22c5
3/16/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP 10
-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0
-200
-150
-100
-50
0
R
e
{
Z
}
,
 
I
m
{
Z
}
,
 
o
h
m
s
Distância (m)
 Re{Z}
 Im{Z}
6 3 1
0,
0,1 H m
5 10 3,14 10 m
100 0,16 
Z 50 75 
p
L
L
k
Z j
j
µ
\u2212 \u2212 \u2212
= \u22c5
= × + ×
= \u2212 \u2126
= + \u2126
( )
( )
( )
0
0
0
tgh
tg
, 0
com 
h
R I
L
L
Z Z kz
Z z Z
Z
k
Z k
k
z
k j
z
=
\u2264
+
\u2212
=
\u2212
Funções hiperbólicas: Algumas relações
( )
( )
( )
tgh tgh
tgh
1 tgh tgh
tgh tg
tg tgh
x y
x y
x y
jx j x
jx j x
±
± =
±
=
=
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( )