Calculo I - Lista1_N2_Integrais
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Calculo I - Lista1_N2_Integrais


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oz = 2y
oy
SolUfiio. Como z = g(x, y) = x2 + yZ, segue-se que
oz-=2x eox
Substituindo essas express6es e o(x, y, z) = o(x, y, g(x, y)) = 00em (11) resulta
M= ffOodS= ffOo~(2X)2+(2y)2+1dA=00ff~(4X)2+(4y)2+1dA (12)
a R R
onde Rea regiao circular envolvida por x2 + yZ = 1. Para calcular (12) usamos coordenadas
polares:
f
2!rfl 0 f2!r ]1M=oo ,.J4r2+lrdrde=-!l. (4r2+1)3/2 de
o 0 12 0 r=O
= 00 f2!r (53/2 -l)de = noO (5.J5 -1) \u2022
12 0 6
AREA DE SUPERFICIE
COMO INTEGRAL DE
SUPERFICIE
a R
Entretanto, pel a Formula (10) da Se<;ao 7.4 essa integral representa a area de superficie de (J.
Portanto, estabelecemos 0 seguinte resultado.
8.5.3 TEOREMA. Se (J for uma superjicie paramitrica suave do espafo 3-D, entao sua
area de superjicie Spode ser expressa como
OBSERVA<;Ao. Sob 0 ponto de vista dos calculos, esse resultado nao acrescenta nada de novo,
uma vez que a Formula (13) e apenas uma reformula<;ao da Formula (10) da Se<;ao 7.4. No
entanto, e importante compreender a rela<;aoentre as integrais de superffcie e a area de superffcie.
Nos Exercfcios 1 a 10, caJcule a integral de superffcie
f f f(x,y,z) dS
).4 [(x, y, z) = Z2; (J e a pOfl;ao do cone z =~x2 +l entre os pianos
z = 1 e z = 2.
2. [(x, y, z) = xy; (J e a por\:ao do plano x + y + Z = 1 que fica no
primeiro octante.
3( [(x, y, z) = x2y; (Je a po[(;ao do cilindro x2 + Z2= 1 entre os pianos
( y = 0, y = 1 e acima do plano xy.
4. [(x, y, z) = (x2 + y2)Z; (Je a pOfl;ao da esferax2 + y2 + Z2= 4 acima do
plano z = 1.
5:' [(x, y, z) = x - y - z; (J e a pOfl;ao do plano x + y = 1 no primeiro
octante entre z = 0 e z = 1.
6. [(x, y, z) = x + y; (Je a pOfl;ao do plano z = 6 - 2x - 3y no primeiro
octante.
?
7. [(x, y, z) = x + Y + z; (J e a superficie do cubo definido pelas
desigualdades 0:::; x:::; 1,0:::; y:::; 1,0:::; z:::; 1. [Sugestiio: Integre em
cada face separadamente.]
8. [(x, y, z) = z + 1; (J eo hemisf6io superior z = ~1- x2 -l.
9. 'f(x,y,z) = ~X2 + l + Z2; (J e a po[(;ao do cone z = ~X2 +l
abaixo do plano z = 1.
10. [(x, y, z) = x2 + y2; (J e a superficie da esfera x2 + y2 + Z2 = a2
Nos Exercfcios 11 e 12, monte, mas nao caJcule, uma integral iterada
igual a integral de superffcie dada projetando (J no
(a) plano xy, (b) plano yz e (c) plano xz.
: 1. f f xz dS, onde a e a pon;:ao do plano 2x + 3y + 4z = 12 no primeiro
12. f f xyz dS, onde a e a pon;:ao da esfera x2 +i + z' = a' no primeiro
octante.
\u2022 13. Use um CAS para confirmar que as tres integrais obtidas no
Exercfcio 11 sao iguais e calcule 0 valor exato da integral de
superffcie.
\u2022 14. Tente confirmar com um CAS que as tres integrais obtidas no
Exercfcio 12 sao iguais. Se nao conseguiu, qual foi a dificuldade?
Nos Exercfcios 15 e 16, monte, mas nao calcule, duas integrais
iteradas diferentes iguais it integral dada.
11f f xyz dS, onde a e a pon;:ao da superffcie i = x entre os pianos
/ &quot;
z = 0, z = 4, y = ley = 2.
16. f f x'ydS, onde ae a pon;:ao do cilindro x2 + y2 = a2 no primeiro
octante entre os pianos x = 0, x = 9, z = y e z = 2y.
.17. Use um CAS para confirmar que as duas integrais que voce obteve
no Exercfcio 15 sao iguais e calcule 0 va!or exato da integral de
superffcie.
\u2022 18 .. Use um CAS para determinar 0 valor da integral de superffcie
f f x2yzdS
na por9ao do parabol6ide elfptico z = 5 - 3x2 - 2y' que fica acima
do plano xy.
Determine a massa da lamina com densidade con stante 80 nos
Exercfcios 19 e 20.
y(A lamina que e a por9ao do cilindro circular x' + Z2 = 4 que fica
diretamente acima do retangulo R = {(x, y) : 0.,; x.,; 1,° .,;y&quot;; 4) no
planoxy.
20. A lamina que e a Por9ao do parabol6ide 2z = x2 + y2 dentro do
<;ilindro x' + y2 = 8.
21. Determine a massa da lamina que e a por9ao da superffcie y2 =
4 - z entre os pIanos x = 0, x = 3, y = ° e y = 3 se a densidade for
8(x, y, z) = y.
22. Determine a massa da lamina que e a por9ao do cone z = ~x2 + y'
entre z = 1 e z = 4 se a densidade for 8(x, y, z) = x2z.
Se uma lamina curva tem densidade constante 80, que rela9ao deve
existir entre sua massa e a area de superffcie? Explique seu
raciocfnio.
24. Mostre que se a densidade da lamina x2 + y' + z' = a=. ~
ponto, for igual it distancia entre este ponto e 0 plano .x:'
massa da lamina e 27ia3
o centr6ide de uma superffcie a e definido por
ffxdS ffYdS fJZdS
x= &quot; y= &quot; z=-&quot;---
area de a' area de a' area de a
Determine 0 centr6ide da superffcie nos Exercfcios 25 e _
25. A Por9ao do parabol6ide z = t(x2 + y') abaixo do plano;: =-
26. A por9ao da esfera x' + y' + z' = 4 acima do plano z = I.
Nos Exercfcios 27 a 30, calcule a integral ft!(x,}.;: I -
superffcie a representada pela fun9ao vetoria! r(u, v).
f(x, y, z) = xyz; r(u, v) = u cos vi + u sen vj + 3uk
(1 .,;u.,; 2, 0.,; v&quot;; n/2)
x2 + Z2
!(x,y,z) = ---; r(u, v) = 2 cos vi + uj + 2 sen l'k
y
(I .,;u .,; 3, °.,;v .,;2n)
1
!(x,y,z) = I 2 2 ;
-V1+4x +4y
r(u, v) = u cos vi + u sen vj + u'k
30. f(x, y, z) = e-';
r(u, v) = 2 sen u cos vi + 2 sen u sen vj + 2 cos uk
(0 .,;u .,; 7rl2, °.,;v .,; 2n)
31. Use um CAS para aproximar a massa da lamina curva ;:= _-
que fica acima da regiao no plano xy envolvida par x= - - =
sabendo-se que a fun9ao de densidade e 8(x,y,z) = ~
32. A superffcie amostrada na figura anexa, chamada!aixa de J
e representada pelas equa90es pararnetricas
x = (5 + u cos (vI2)) cos v
y = (5 + u cos (vI2)) sen v (-15, u.,; 1,0.,; v&quot;; 2n)
z = u sen (vI2)
(a) Use um CAS para gerar uma reprodu9ao desta superfi~ ~
(b) Use um CAS para aproximar a localiza9ao do centr6i·~
(veja a defini9ao que precede 0 Exercfcio 25).