Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 23 Secciones cónicas Estudiaremos un tipo de curvas llamadas curvas cónicas. Su nombre se debe a que son generadas por la intersección de un cono con un plano. En la figura vemos las distintas curvas que se obtienen según la posición del plano respecto del cono. Para poder estudiar sus ecuaciones cartesianas, las definiremos a partir de la noción de lugar geométrico. ¿Qué significa esto? Que a cada una de las curvas la vamos a describir usando la propiedad geométrica que cumplen todos sus puntos. En el caso de la circunferencia, esta propiedad es bastante evidente: todos los puntos de una circunferencia están a la misma distancia del centro de esta. Pues bien, diremos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Para la elipse, la parábola y la hipérbola, la descripción es un poco menos intuitiva, por lo que deberemos definirlas con cuidado. Parábola Una parábola es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo (llamado foco) es siempre igual a la distancia hasta una recta fija (llamada directriz). En el gráfico tenemos el foco y la directriz, y están señalados tres puntos de la parábola en los que se nota que se cumple la propiedad. Puede verse también que la curva tiene como eje de simetría a una recta perpendicular a la directriz, que pasa por el vértice de la parábola. Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 24 Para poder deducir la ecuación tomaremos un caso bastante particular. El foco estará sobre el eje y, mientras que la directriz será una recta horizontal. Además el vértice estará en el origen de coordenadas. Las coordenadas del foco son : (0; )F p , la ecuación de la directriz es y p . Tomamos un punto genérico : ( , )P x y en la parábola. Elegimos el punto A en la directriz tal que AP es perpendicular a la directriz. Sus coordenadas son : ( , )A x p . Debido a que P está en la parábola, se cumple FP AP . Igualando estas dos longitudes, obtenemos: 2 2 2 2( 0) ( ) ( ) ( ( ))FP AP x y p x x y p Desarrollando y operando en esta expresión, tenemos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 x y p y p x y p y p x y py p y py p x py Finalmente, la ecuación canónica de esta parábola es 2 4x py (donde p representa la distancia entre el foco y el vértice). Pero habíamos considerado sólo el caso en el que el vértice está en el origen. Si eso no fuera así, por ejemplo si el vértice es el punto : ( ; )V ; en la ecuación debemos efectuar una traslación. Nos quedaría la ecuación 2( ) 4 ( )x p y . Además consideramos a la directriz como una recta horizontal. ¿Qué pasa si es vertical? Pues los papeles de x, y se intercambiarían. La canónica sería 2( ) 4 ( )y p x . En resumen, la ecuación de una parábola de vértice : ( ; )V con distancia entre el vértice y el foco igual a p (el signo de p indica si el vértice está arriba/a la derecha, o abajo/a la izquierda de la directriz), es una de estas dos: 2 2 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) x p y y p x Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 25 Ejemplo Dados el punto : (3;1)Q , y la recta : 5L x : Escribir la ecuación de la parábola de vértice Q, y directriz L. Graficarla. Escribir la ecuación de la parábola de foco Q, y directriz L. Graficarla. Empecemos por graficar el punto y la recta. Dado que la directriz es una recta vertical, el eje de simetría de las dos parábolas pedidas será horizontal, entonces la ecuación canónica es de la forma 2( ) 4 ( )y p x . Los datos necesarios para completar la ecuación son las coordenadas del vértice, y el valor de p. En el primer caso, el vértice es el punto : (3;1)Q ; y como la distancia entre el vértice y la directriz es de 2 unidades, pero el vértice está a la izquierda de la directriz, resulta 2p . Entonces la ecuación es 2( 1) 4 ( 2) ( 3)y x , o equivalentemente, 2( 1) 8 ( 3)y x . Además el foco de esta parábola está dos unidades a la izquierda del vértice, es decir en el punto (1;1) . La segunda parábola tiene la misma directriz, pero no el mismo vértice, pues Q es el foco. El vértice debe ser un punto con la misma ordenada que Q, que equidiste de la directriz y de Q. Ese punto es : (4;1)R . Por otro lado, la distancia entre el vértice y la directriz (o entre el vértice entre el vértice y el foco) es de una unidad; como el vértice está a la izquierda de L, resulta 1p . Luego, la ecuación de la parábola es 2( 1) 4 ( 1) ( 4)y x , equivalente a 2( 1) 4 ( 4)y x . Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 26 Elipse Una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. En este gráfico no es tan evidente la propiedad, pero podemos, para cada uno de los puntos señalados en la curva, medir sus distancias hasta los focos y sumarlas. En los tres casos el resultado debería ser el mismo. Esta vez elegiremos al origen como el centro de la elipse. Los focos van a estar en dos puntos sobre el eje x, simétricos con respecto al eje y. Sus coordenadas serán 1 2: ( ;0), : ( ;0)F c F c . Los puntos de la elipse que están sobre el eje x son ( ;0), ( ;0)a a , y los que están sobre el eje y son (0; ), (0; )b b . Estos puntos se llaman vértices de la elipse. Todos los puntos de la elipse cumplen que la suma de sus distancias a los dos focos es constante. Esa es la condición de la que partiremos para deducir la ecuación de la elipse. Ahora bien, ¿cuál es el valor de esa constante? La respuesta es sencilla. Tomemos un punto en particular de la elipse, y escribamos una expresión que represente la suma de las distancias a los dos focos. Para que resulte sencillo, tomamos un punto que está alineado con los dos focos, el punto ( ;0)a . Si a este punto lo llamamos A, entonces 1F A c a , mientras que 2F A a c . La suma de las dos distancias es igual a 1 2 2F A F A c a a c a . Luego, esa constante es lo que suman las distancias a los focos, desde cualquier punto de la elipse. Para todo punto P en la elipse, se cumple: 1 2 2F P F P a . Partiendo de: 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 F P F P a x c y x c y a Restamos la segunda raíz. 2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y Elevamos al cuadrado. 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 27 2 2 2a a c Desarrollar los cuadrados. 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x cx c y a a x c y x cx c y Simplificamos. 2 2 24 4 4 ( )cx a a x c y Dividir por (-4). 2 2 2( )a cx a x c y Elevar al cuadrado. 4 2 2 2 2 2 2 22 2a a cx c x a x cx c y Distribuir y simplificar. 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a cx c x a x a cx a c a y a a c a x c x a y Factor común. 2 2 2 2 2 2 2 2a a c a c x a y Se divide por el término 2 2 2 2 2 1 x y a a c Como el punto : (0; )B b pertenece a la elipse, también satisface 1 2 2F B F B a . En el gráfico se ve que estas dos distancias a los focos son iguales, por lo tanto cada distancia es igual a 1 2F B F B a . Pero entonces los puntos (0;0), ( ;0), (0; )c b son vértices de un triángulo rectángulo de catetos b, c, e hipotenusa a. Aplicando Pitágoras, obtenemos 2 2 2a c b . Reemplazamos esto en la ecuación de la elipse, y tenemos: 2 2 2 2 1 x y a b Esta es la ecuación canónica de unaelipse con centro en (0;0), con semieje horizontal a, y semieje vertical b. Si los focos hubiesen estado sobre el eje y, la deducción es casi idéntica, y se llega a la misma ecuación (pero en este caso sería 2 2 2b c a ). Si el centro de la elipse es el punto ( ; ) , y los semiejes son a y b, la ecuación de la elipse es: 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x y a b Notar que, si a>b, la elipse está más “estirada” en sentido horizontal; si a<b, en sentido vertical. ¿Y si a=b? ¿Qué nombre recibe este tipo de elipses? ¿Tienen también dos focos? Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 28 Ejemplo Hallar los vértices, los focos y el centro de la elipse de ecuación 2 24 6 16 21 0x y x y . Notamos que la ecuación no está dada en la forma canónica, entonces vamos a llevarla a esa forma. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 16 21 0 6 4 ( 4 ) 21 0 6 9 9 4 ( 4 4 4) 21 0 ( 6 9) 9 4 ( 4 4) 16 21 0 ( 3) 4 ( 2) 9 16 21 4 ( 3) ( 2) ( 3) ( 2) 1 1 4 1 2 1 x y x y x x y y x x y y x x y y x y x y x y A partir de esta expresión, podemos leer: el centro de la elipse es el punto : (3; 2)C , los semiejes miden 2, 1a b . La graficamos con esta información, y del gráfico leemos que los vértices están en los puntos (1; 2), (3; 3), (5; 2), (3; 1) . Para dar los focos, usamos la fórmula 2 2 2a c b . Luego, 2 2 2 22 1 4 1 3 3c c c . Esta es la distancia desde el centro de la elipse, hasta los focos, medida de forma horizontal. Así que los focos están en los puntos 3 3; 2 , 3 3; 2 . Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de puntos tal que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La definición es bastante parecida a la de la elipse, sólo que en vez de sumar las dos distancias, hay que restarlas. Se puede medir en el gráfico, hacer las restas y ver si todas dan el mismo resultado. Nota: Para poder mejorar esta expresión, es necesario utilizar la técnica conocida como “completar los cuadrados”. Sugerimos repasarla si no la recuerdan. Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 29 Para deducir la ecuación elegimos como focos a los puntos ( ;0), ( ;0)c c , mientras que los puntos de la hipérbola sobre el eje x son ( ;0), ( ;0)a a . Todos los puntos de la hipérbola satisfacen que la diferencia entre sus distancias a cada uno de los focos es constante. Para hallar esa constante, tomamos como en la deducción con la elipse, un punto en particular, diremos : ( ;0)A a . Se puede ver que 1F A c a , 2F A c a , con lo cual la diferencia resulta 1 2 ( ) ( ) 2F A F A c a c a a . Luego, todos los puntos : ( , )P x y de la hipérbola cumplen 1 2 2F P F P a , o 2 1 2F P F P a (en un caso se genera una rama y en el otro la otra rama de la hipérbola. Partiendo de la igualdad 1 2 2F P F P a , que es equivalente a 2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a , se puede operar de una manera similar a lo hecho en la deducción de la ecuación de la elipse (lo dejamos como ejercicio), para llegar a la ecuación: 2 2 2 2 2 1 x y a c a . Luego reemplazamos el segundo denominador usando 2 2 2c a b , obteniendo: 2 2 2 2 1 x y a b La otra opción que se puede considerar es ubicar a los focos sobre el eje y, en los puntos (0; ), (0; )c c , en ese caso los cortes se dan con el eje y, en los puntos (0; ), (0; )b b . La ecuación a la que se llega no es igual a la anterior, sino que resulta: 2 2 2 2 1 x y a b Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 30 En ambos casos, la hipérbola tiene dos asíntotas, de ecuaciones 0, 0 x y x y a b a b . Si el centro está en el punto ( ; ) , y los semiejes son a, b, la ecuación de la hipérbola es una de estas: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 x y a b x y a b . En los dos casos, sus asíntotas son las rectas 0, 0 x y x y a b a b . Ejemplo Escribir la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto : (4;5)A , y sus asíntotas son las rectas 2 3, 2 1x y x y . Lo primero que hacemos es graficar. Viendo el gráfico notamos que, como la hipérbola pasa por A, y este punto está a la derecha de las asíntotas, entonces el eje focal es horizontal. Por lo tanto la ecuación correspondiente es la primera: 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x y a b . No tenemos ni el centro ni las medidas de los semiejes de la hipérbola. Pero conociendo las dos asíntotas, podemos hallar el punto donde se cortan, y este será el centro de la hipérbola. Resolvemos el sistema: 2 3 3 2 3 2 2 1 1 2 1 2 1 4 4 1 x y y x x x x x y y x x y Ya tenemos los datos 1, 1 . Hasta ahora es 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 x y a b . Por otro lado, se puede mostrar que las asíntotas 0, 0 x y x y a b a b son rectas de pendientes ; b b a a . En este ejemplo las pendientes son 2 y -2, por lo tanto: 2 b a . Despejamos, y tenemos 2b a . Reemplazando esto en la ecuación de la hipérbola: 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 (2 ) x y a a . Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 31 Además sabemos que el punto : (4;5)A está en la curva, entonces satisface la ecuación: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4 1) (5 1) 9 16 9 4 5 1 1 1 1 5 (2 ) 4 a a a a a a a a Entonces 5, 2 5, 1, 1a b . La hipérbola tiene ecuación 2 2( 1) ( 1) 1 5 20 x y . La graficamos, y corroboramos que cumple con todas las condiciones pedidas. Ejercicios 23. Identificar a cada cónica, dar sus elementos (focos, vértices, centro, directriz, semiejes, asíntotas, según corresponda), y graficar. a. 2 24 9 32 18 37 0x y x y b. 29 24 72 16 0x x y c. 2 24 2 5 0x y x d. 2 22 5 5 0x x y y 24. Escribir la ecuación de: a. La parábola con vértice en (-4;3) y foco en (-1;3). b. La elipse cuyos focos son los puntos (1;-2), (1;4), que pasa por el punto (5;1). c. La hipérbola de vértices (2;0), (-2;0), asíntotas y x . d. La circunferencia de centro (-3;4), que es tangente a la recta x=1. 25. Una parábola pasa por los puntos (4;2), (-2;2), y su foco está en (1;-2). Hallar su vértice, su directriz y su ecuación. Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 32 Superficies Hasta el momento sólo hemos estudiado a las superficies planas, cuya ecuación en x, y, z es de primer grado. Las superficies que les siguen en simplicidad tienen ecuaciones de segundo grado, y las clasificamos en cilindros y cuádricas. Superficies cilíndricas Un cilindro es una superficie que se genera a partir de una curva que se mueve en el espacio, siguiendo una dirección determinada. Veremos los casos en los que la curva que genera el cilindro es una de las cónicas. Aparecen entonces los cilindros circulares, parabólicos, elípticos e hiperbólicos. Por ejemplo, la superficie de ecuación 24z x . A esta ecuación le falta la variable y, si la consideramos en el plano xz, representa una parábola de vértice 0, 4x z . Como en la ecuación la variable y no está, no hay ninguna restricción para los valores que esta puede tomar. Entonces la curva que genera a la superficie es una parábola, y la dirección en la que se mueve es una paralela al eje y. Esta superficie se llama cilindro parabólico. Analicemos ahora las superficies de ecuaciones: 2 2 9y z ; 2 2 1y x ; 2 21 4 9 x z En el primer caso, sobre el plano yz se ve una circunferencia de radio 3, y el cilindro tiene como eje de simetría al eje x. La segunda ecuación representa (en el espacio) a un cilindro generado por una hipérbola del plano xy, que se mueve de forma paralela al eje z. Finalmente, el tercer caso es el de un cilindro que se genera por la elipse de semiejes 2 y 3 del plano xz, que se mueve en la dirección del eje y. Cilindro circular Cilindro hiperbólico Cilindro elíptico Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 33 Superficies cuádricas La ecuación que genera a estas superficies es una ecuación en x, y, z de grado 2, cuya forma general es 2 2 2 0Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz K Esta ecuación puede ser reducida por medio de traslaciones y rotaciones, a una de las seis ecuaciones canónicas que aparecen en el cuadro de la página 35. La clasificación y la construcción del gráfico de cada superficie pueden hacerse por medio de un estudio de sus trazas. Esto significa, a partir de analizar cuáles son las curvas que se obtienen al intersecar a la superficie con un plano en particular. Veámoslo en un ejemplo. Queremos graficar a la superficie de ecuación 2 2 1y x z . Notamos que no le falta ninguna variable, entonces no parece ser un cilindro. Lo que haremos será cortar a la superficie con planos paralelos a los planos coordenados, y decidir qué curvas se obtienen con estos cortes. Cortando con planos paralelos al plano yz (de ecuación x k ): 2 2 2 21 1y x z y k z x k x k Obtenemos parábolas sobre el plano x k , con vértice en el punto 2( ; 1;0)k k . Aparecen graficadas las trazas con 2, 1, 0, 1, 2k k k k k . Las trazas con planos y k : 2 2 2 2 2 21 1 1y x z k x z x z k y k y k y k Si 1k , son circunferencias de radio 1k , con centro en (0; ;0)k Si 1k , sólo aparece el punto (0;1;0) . Si 1k , no tenemos traza. Esto significa que los planos y k que están a la izquierda de 1y , no tienen intersección con la superficie. Las del gráfico son con 1, 2, 3, 4, 5k k k k k . Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 34 Las trazas con planos z k 2 2 2 21 1y x k y x k z k z k Son parábolas sobre el plano z k , de vértice en 2(0; 1; )k k . Están graficadas las trazas 2, 1, 0, 1, 2k k k k k . Veamos qué pasa si graficamos todas las curvas obtenidas en el mismo sistema de ejes. Lo que se aprecia es un entramado de curvas que van dando forma a una superficie. Esta superficie, que tiene como trazas parábolas y circunferencias, se llama paraboloide elíptico. Su eje de simetría es el eje y, su vértice está en el punto (0;1;0). Ya sin las trazas, se ve así: Haciendo un análisis similar, podemos descubrir la forma de cada una de las superficies cuádricas. En el siguiente cuadro hay un resumen del estudio de las trazas de cada superficie a partir de su forma canónica, y a continuación los gráficos de todas. Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 35 Ecuación canónica Traza plano x k Traza plano y k Traza plano z k Superficie 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k y z a b c y z k b c a Elipses si k a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x k z a b c x z k a c b Elipses si k b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y k a b c x y k a b c Elipses si k c E L IP SO ID E 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k y z a b c y z k b c a Hipérbolas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x k z a b c x z k a c b Hipérbolas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y k a b c x y k a b c Elipses para todo valor de k H IP E R B O L O ID E D E U N A H O JA 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k y z a b c y z k b c a Hipérbolas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x k z a b c x z k a c b Hipérbolas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y k a b c k x y c a b Elipses si k c , punto si k c H IP E R B O L O ID E D E D O S H O JA S 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 k y z a b c k y z a b c Hipérbolas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x k z a b c k x z b a c Hipérbolas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y k a b c x y k a b c Elipses si 0k , punto si 0k C O N O E L ÍP T IC O 2 2 2 2 z x y c a b 2 2 2 2 z k y c a b Parábolas 2 2 2 2 z x k c a b Parábolas 2 2 2 2 k x y c a b Elipses P A R A B O L O ID E E L ÍP T IC O 2 2 2 2 z x y c a b 2 2 2 2 z k y c a b Parábolas 2 2 2 2 z x k c a b Parábolas 2 2 2 2 k x y c a b Hipérbolas P A R A B O L O ID E H IP E R B Ó L IC O Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 36 Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Geometría en el espacio: Cónicas, cilindros y cuádricas MATEMATICA II UNAJ 37 Ejercicios 26. Identificar a cada una de las superficies y graficarlas. Indicar, si corresponde, centro, vértice, eje de simetría, radio, etc. a. 2 2 24 4x y z b. 2z y c. 2 22x y z d. 2 2 26 5x y y z e. 2 2 2x y y f. 2 2 24 2 4x x y z z g. 2 2 22 1x y y z h. 2 2 1z x i. 2 2z y x 27. La torre de enfriamiento utilizada por YPF en la planta de Ensenada tiene la forma de un hiperboloide de una hoja. El diámetro en la base es de 70 metros, la circunferencia menor tiene diámetro 42 metros y se encuentra a 55 metros de altura. Si la altura total de la torre es de 85 metros, calcular el diámetro de la circunferencia a esa altura. Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 38 Funciones vectoriales En la sección anterior, estudiamos las ecuaciones paramétricas de la recta. En estas, describíamos un conjunto de puntos del espacio cuyas coordenadas dependían de un único parámetro. Más precisamente, a cada valor del parámetro t le correspondía un punto ( , , )x y z , por medio de tres funciones (que en el caso de la recta eran funciones lineales). El de la recta es un ejemplo de curva parametrizada, esto es, una función que le asigna a cada valor de t∊ℝ, un punto en el espacio (o en el plano). Su imagen es la recta. En general, una curva parametrizada es una función cuyo dominio es algún intervalo de ℝ, y sus valores son puntos de ℝ2 o de ℝ3. La imagen de esta función es una curva del plano o del espacio. Ejemplo Se tienen las ecuaciones 2 2 1 1 x t t y t , que describen una curva parametrizada, cuya imagen es una curva del plano. Como las coordenadas x, y dependen de t, podemos armar una tabla de valores para ver cuáles puntos forman esa curva. Tomando los datos de esta tabla, graficamos los puntos generados en un sistema de ejes coordenados. Obtenemos: Si agregamos más filas en la tabla, generamos más puntos y se puede “adivinar” la forma de la curva. Pero esto no alcanza para decidir qué curva describe esa parametrización. Una forma de ver cuál es la curva en el planoes “eliminar el parámetro” de las ecuaciones, y llegar a la ecuación cartesiana. En este ejemplo, es fácil despejar t de la segunda ecuación, y reemplazarlo en la primera: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 1) 2( 1) 1 2 1 2 2 1 1 1 4 4 ( 2) x t t x t t x y y y y y y t t y x y y y t x y -4 9 -5 -3 4 -4 -2 1 -3 -1 0 -2 0 1 -1 1 4 0 2 9 1 Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 39 Esta última ecuación es la de una parábola, cuyo vértice es el punto (0; 2) , y su eje de simetría es horizontal. Además, a medida que aumenta el valor de t, también aumenta el valor de y. Por eso el sentido de recorrido de la curva es “hacia arriba”, y lo indicamos con las flechas. Movimiento en el espacio Supongamos que una partícula se mueve en el espacio, y su posición viene dada por las ecuaciones ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t . Ya vimos que los puntos generados por estas ecuaciones forman una curva en el espacio. Definamos ahora un vector cuyas componentes son las coordenadas ( ), ( ), ( )x t y t z t : ( ) ( ); ( ); ( )r t x t y t z t Como las componentes son funciones de t, se dice que el vector ( )r t es una función vectorial. Es decir, ( ) ( ); ( ); ( )r t x t y t z t es una función cuyo dominio es un intervalo de ℝ, y sus valores son vectores. La imagen de esta función está formada por vectores que empiezan en el origen y terminan en un punto de la curva definida por las ecuaciones ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t . La razón por la cual definimos estas funciones es la utilidad que tienen en el estudio del movimiento. Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 40 Ejemplo Una partícula se mueve en el espacio, y su función de posición es 2( ) 2 1; 1r t t t t , para 0t . Calcular su desplazamiento y su velocidad media en el intervalo 1 3t , y su velocidad en el instante 1t . Interpretar gráficamente. Notemos que esta función vectorial tiene como componentes a las mismas funciones de la curva parametrizada del ejemplo anterior. Por lo tanto, sabemos que la partícula se está mueve sobre la parábola de ecuación 2( 2)x y . El desplazamiento para un intervalo es la diferencia entre la posición final y la posición inicial de la partícula. El que se pide es para 1 3t , luego es 1;3Desp (3) (1) 16;2 4;0 12;2r r . La velocidad media en un intervalo ;a b es ; ( ) ( ) a b r b r a VM b a . Si tomamos un intervalo ;a a h , cuando el valor de h sea muy pequeño, esta velocidad media se irá pareciendo a la velocidad instantánea en el instante t a . Entonces definimos a la velocidad en t a como el vector: 0 ( ) ( ) ( ) lim h r a h r a v a h . Más en general, 0 0 0 0 0 ( ); ( ); ( ) ( ); ( ); ( )( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ;lim ;lim h h h h h x t h y t h z t h x t y t z tr t h r t v t h h x t h x t y t h y t z t h z t h h h . Las componentes de este vector son las derivadas por definición de las funciones ( ), ( ), ( )x t y t z t . Entonces, si todas estas son funciones derivables, tendremos: ( ) '( ) '( ); '( ); '( )v t r t x t y t z t . En el caso de que ( )r t sea de dos componentes, será ( ) '( ) '( ); '( )v t r t x t y t . Es decir, que las componentes del vector velocidad son las derivadas de las funciones componentes del vector de posición. De la misma manera, las componentes del vector aceleración son las derivadas de las componentes del vector velocidad. Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 41 Calculemos lo que se pedía. La velocidad media en 1 3t es 16;2 4;0(3) (1) 6;1 3 1 2 r r . La velocidad instantánea en 1t será (1) '(1)v r . Pero primero debemos calcular '( )r t . Tendremos '( ) '( ); '( ) 2 2;1r t x t y t t . Entonces '(1) 2 1 2;1 4;1r . Interpretemos gráficamente. La partícula se mueve sobre la parábola 2( 2)x y , pero lo hace sólo a partir del punto (1; 1) , dado que 0t . Al vector '(1) 4;1r lo graficamos a partir del punto (4;0) , que es la posición del móvil en el instante 1t . Se puede observar que ese vector es tangente a la curva en ese punto, pues representa la velocidad en ese instante. Ejemplo Un móvil tiene función de posición ( ) sen( );1 cos( )r t t t para 0 2t . ¿Sobre qué curva se está moviendo? En el instante t , ¿cuál es su posición y su velocidad? La curva sobre la que se desplaza el móvil es la definida por las ecuaciones sen( ) 1 cos( ) x t y t , con 0 2t . Si queremos obtener su ecuación cartesiana debemos eliminar el parámetro. La opción de despejarlo de una de las ecuaciones y remplazarlo en la otra nos haría llegar a, por ejemplo, 1 cos(arcsen( ))y x . Pero esta ecuación no deja ver cuál es la curva. Hay otra manera de eliminar el parámetro. Teniendo en cuenta la identidad fundamental trigonométrica 2 2sen ( ) cos ( ) 1t t , y que de la curva parametrizada se puede despejar a cos( )t y a sen( )t ; tenemos: 2 2 2 2 sen ( ) cos ( ) 1sen( ) sen( ) 1 cos( ) 1 cos( ) ( 1) 1 t tx t x t y t y t x y Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 42 La última ecuación representa una circunferencia con centro en (0;1), y radio 1. Sobre esta curva se está desplazando el móvil. La posición inicial del móvil es (0) sen(0);1 cos(0) 0;2r , la posición final es (2 ) sen(2 );1 cos(2 ) 0;2r , es decir que se recorre la circunferencia completa. La posición del móvil en el instante t es ( ) sen( );1 cos( ) 0;0r , su velocidad en ese instante será '( )r . Primero calculamos (t)=〈cos(t);-sen(t)〉. Luego, la velocidad al pasar por el punto (0;0) es (π)=〈cos(π);-sen(π)〉=〈-1;0〉. Gráficamente: Conocer la velocidad al pasar por un punto nos permite indicar el sentido del recorrido del móvil. En este caso, la curva es recorrida en sentido horario, empezando y terminando en el punto (0;2). Observación: Si la función de posición hubiera sido ( ) cos( );1+sen( )r t t t , la curva resultaría la misma circunferencia, pero recorrida en sentido antihorario (verificarlo). Ejercicios 28. Las siguientes ecuaciones definen curvas parametrizadas. Graficar su imagen eliminando el parámetro e indicando el sentido de recorrido. a. 2 5 1 5 6 x t t y t b. cos( ) 0 3 sen( ) x t y t t z t c. 2 1 1 1 2 t t x e t y e Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 43 29. Una partícula se mueve con función de posición 2( ) cos( );sen ( ) , 0 2r t t t t . a. ¿Sobre qué curva del plano se está desplazando? b. ¿Cuáles son los puntos inicial y final del movimiento? c. Calcular '( )r . ¿Cómo se interpreta ese resultado? d. ¿Cuántas veces pasa por el punto (0;1)? ¿En qué instantes? ¿Con qué velocidad? 30. Se tiene la porción de elipse de ecuación 2 21 2 1 4 x y desde el punto (1;2) hasta el punto ( 1;3) recorrida en sentido horario (ver la figura). Completar las parametrizaciones para que la curva graficada sea la imagen de todas ellas. a. 1 2cos( ) ... ... 2 sen( ) x t t y t b. 1 2sen( ) ... ... ................... x t t y c. 2 ................. ... 2 sen(2 ) x t y t d. ................ 0 3 ................ x t y 31. La función de posición de un móvil en cada instante 0 4t está dada por: 3 2 2( ) 6 9 2;2 8 7r t t t t t t . a. ¿En qué puntos empieza y termina su recorrido?b. ¿En algún instante la velocidad resulta un vector horizontal? ¿Y vertical? ¿Por cuáles puntos pasó el móvil en esos instantes? c. ¿El móvil pasó por el punto (0;5)? ¿En qué instante? ¿Cuál era su velocidad en ese momento? d. Graficar la curva sobre la cual se desplazó el móvil en GeoGebra, escribiendo en la entrada: 3 2 2Curva 6 9 2,2 8 7, ,0,4t t t t t t , y verificar las respuestas anteriores. Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 44 Longitud de arco Si una partícula se mueve con función de posición ( )r t en el intervalo a t b , y las componentes de '( )r t son continuas en ese intervalo, entonces la longitud de la curva recorrida por la partícula se calcula por medio de la integral: '( ) b a L r t dt Por ejemplo, podemos calcular la longitud de la porción de hélice circular cuya función vectorial es ( ) 3cos( );3sen( );4r t t t t , entre los puntos (3;0;0), ( 3;0;4 ) . Para empezar, hay que encontrar los extremos del intervalo a t b , pues los datos que tenemos son los puntos inicial y final de la curva. Es decir, buscamos un valor de a que cumpla: 3 3cos( ) 0 3sen( ) 0 4 a a a , y un valor de b que cumpla: 3 3cos( ) 0 3sen( ) 4 4 b b b . Estos valores son 0,a b . Después calculamos '( )r t . Derivamos: '( ) 3sen( );3cos( );4r t t t , y calculamos el módulo: 2 2 2 2 2'( ) 3sen( ) 3cos( ) 4 9sen ( ) 9cos ( ) 16 25 5r t t t t t Entonces la longitud es: 0 0 5 5 5 0 5L dt t Ejercicios 32. Entre dos postes de igual altura cuelga un cable. La función vectorial que describe la curva trazada por el cable es 10 10( ) ;5 5 , 10 10 t t r t t e e t (esta curva se llama catenaria). Calcular: Cálculo vectorial: Funciones vectoriales MATEMATICA II UNAJ 45 a. La altura de los postes. b. La distancia a la que están los postes. c. La altura a la que está el punto más bajo del cable. d. La longitud del cable. 33. Calcular la longitud de las siguientes curvas: a. 2 3 1 0 1 1 t x t t t y t b. 2 3 2 2 5 1 3 2 x t t y t z t entre los puntos 2;1;0 , 11; 5;18 c. 2 2 1 1 1 ln( ) x t y t t e z t
Compartir