Cinemática vetorial da particula

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UNIDAD 1: CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL 
Magnitud escalar: Se determina a partir de un número y su unidad correspondiente (Ej. Tiempo, 
temperatura, etc.) 
Magnitud vectorial: Se representa por medio de un vector, en el cual se especifica la dirección, 
sentido y módulo de dicha magnitud (Ej. Velocidad, aceleración, fuerza, etc.) 
Magnitudes cinemáticas para una trayectoria curvilínea 
Vector posición: 
�̅� = 𝒙�̂� + 𝒚𝒋̂ + 𝒛�̂� 
Desplazamiento: 
∆�̅� = �̅�𝟐 − �̅�𝟏 
Velocidad media: 
�̅�𝒎 =
∆�̅�
∆𝒕
 
Velocidad instantánea: 
�̅� = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆�̅�
∆𝒕
=
𝒅�̅�
𝒅𝒕
 
Rapidez media: 
𝒗𝒎 =
𝑫
∆𝒕
 
Rapidez instantánea: 
𝒗 = |�̅�| 
Aceleración media: 
�̅�𝒎 =
∆�̅�
∆𝒕
 
Aceleración instantánea: 
�̅� = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆�̅�
∆𝒕
=
𝒅�̅�
𝒅𝒕
 
 
𝑡1 
𝑡2 
𝑡1 
𝑦 
𝑣ҧ𝑚 
𝑣ҧ1 
𝑣ҧ2 
∆𝑟ҧ 
𝑟ҧ2 
𝑟ҧ1 
𝑧 
𝑥 
𝑣ҧ1 
∆𝑣ҧ 
𝑣ҧ2 
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Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): La trayectoria es rectilínea y la velocidad es constante. 
𝑟ҧ(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 ̂
𝑣ҧ = 𝑣𝑖̂ = 𝑐𝑡𝑒 
Aceleración: La aceleración en un MRU es nula, ya que el vector velocidad 𝑣ҧ es constante en módulo, 
dirección y sentido. 
�̅� =
𝑑𝑣ҧ
𝑑𝑡
 
�̅� = 𝟎 
Posición: Partimos de la definición matemática de la velocidad 𝑣ҧ, para hallar la expresión que nos 
permita determinar cómo varía la posición 𝑥(𝑡) de la partícula en función del tiempo. 
𝑣ҧ =
𝑑𝑟ҧ
𝑑𝑡
 
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
∫ 𝑣𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
𝑣 ∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
𝑣(𝑡 − 𝑡0) = 𝑥 − 𝑥0 
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗(𝒕 − 𝒕𝟎) 
Para 𝑡0 = 0 
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝒕 
 
Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥0 𝑣 
𝑡 
𝑥 
𝑡 
𝑣 
𝑡 
𝑎 
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Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV): La trayectoria es rectilínea, la velocidad 
varía linealmente con el tiempo, y la aceleración es constante. 
𝑟ҧ(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 ̂
𝑣ҧ(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑖 ̂
�̅� = 𝑎𝑖̂ = 𝑐𝑡𝑒 
Velocidad: Partimos de la definición matemática de la aceleración �̅�, para hallar la expresión que nos 
permita determinar cómo varía la velocidad 𝑣(𝑡) de la partícula, en función del tiempo. 
�̅� =
𝑑𝑣ҧ
𝑑𝑡
 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
∫ 𝑎 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝑣
𝑣
𝑣0
 
𝑎 ∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝑣
𝑣
𝑣0
 
𝑎(𝑡 − 𝑡0) = 𝑣 − 𝑣0 
𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎) 
Para 𝑡0 = 0 
𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 
Posición: Partimos de la definición matemática de la velocidad 𝑣ҧ, para hallar la expresión que nos 
permita determinar cómo varía la posición 𝑥(𝑡) de la partícula, en función del tiempo. 
𝑣ҧ =
𝑑𝑟ҧ
𝑑𝑡
 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 
∫ (𝑣0 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= 𝑥 − 𝑥0 
(𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2)|
𝑡
𝑡0
= 𝑥 − 𝑥0 
𝑣0(𝑡 − 𝑡0) +
1
2
𝑎(𝑡2 − 𝑡0
2) = 𝑥 − 𝑥0 
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𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎(𝒕 − 𝒕𝟎) +
𝟏
𝟐
𝒂(𝒕𝟐 − 𝒕𝟎
𝟐) 
Si 𝑡0 = 0 
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟐 
 
Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 𝑣0 
𝑥0 
𝑡 
𝑥 
𝑡 
𝑣 
𝑡 
𝑎 
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Caída libre: Es un caso particular de MRUV, en donde la trayectoria es rectilínea (vertical) y la 
aceleración que actúa sobre la partícula es la de la gravedad (cte.). Se considera que la partícula se 
deja caer desde el reposo, es decir con velocidad inicial nula. 
𝑟ҧ(𝑡) = 𝑦(𝑡)𝑗 ̂
𝑣ҧ(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑗̂ 
�̅� = 𝑔ҧ = −𝑔𝑗̂ = 𝑐𝑡𝑒 
Utilizamos las mismas expresiones de la posición y velocidad halladas para un MRUV. De acuerdo al 
sistema de coordenadas elegido, la aceleración de la gravedad es negativa sobre el eje 𝑦. 
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 
𝒚(𝒕) = 𝒚𝟎 −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 
 
𝑣(𝑡) = 𝑣0 − 𝑔𝑡 
𝒗(𝒕) = −𝒈𝒕 
 
 
Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 
 
 
𝑡1: Tiempo de caída. 
𝑡1 𝑡1 
−𝑔 
𝑦0 
𝑡 
𝑦 
𝑡 
𝑣 
𝑡 
𝑎 
𝑦0 
𝑣0 = 0 
𝑔ҧ 
𝑦 
𝑥 
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Tiro vertical: Es un caso particular de MRUV, en donde la trayectoria es rectilínea (vertical) y la 
aceleración que actúa sobre la partícula es la de la gravedad (cte.). La velocidad inicial de la partícula 
es distinta de cero. Una vez alcanzada la altura máxima la partícula desciende en caída libre. 
𝑟ҧ(𝑡) = 𝑦(𝑡)𝑗 ̂
𝑣ҧ(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑗̂ 
�̅� = 𝑔ҧ = −𝑔𝑗̂ = 𝑐𝑡𝑒 
Utilizamos las mismas expresiones de la posición y velocidad halladas para un MRUV. De acuerdo al 
sistema de coordenadas elegido, la aceleración es negativa sobre el eje 𝑦. 
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 
𝒚(𝒕) = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 
Para 𝑦0 = 0 
𝒚(𝒕) = 𝒗𝟎 −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 
 
𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 − 𝒈𝒕 
 
Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ: Altura máxima. 
𝑡1: Tiempo en alcanzar la altura máxima. 
𝑡2: Tiempo en volver a la altura del suelo (𝑡2 = 2𝑡1). 
 
𝑦 
𝑥 
𝑣ҧ0 
ℎ 
𝑔ҧ 
𝑡 
𝑦 
𝑡 
𝑣 
𝑡2 𝑡2 𝑡1 𝑡1 
−𝑔 
𝑣0 
ℎ 
𝑡 
𝑎 
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Tiro oblicuo: La partícula se lanza con una cierta velocidad inicial, formando un ángulo determinado 
con el eje horizontal. Se considera que sólo actúa la aceleración de la gravedad. En las ecuaciones 
cinemáticas colocamos las componentes de la velocidad correspondientes a cada eje. 
𝐸𝑗𝑒 𝑥: 𝑀𝑅𝑈 
𝐸𝑗𝑒 𝑦: 𝑀𝑅𝑈𝑉 
Eje 𝑥: Utilizamos la expresión de la posición hallada para un MRU. 
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒙𝒕 
Para 𝑥0 = 0 
𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎𝒙𝒕 
Eje 𝑦: Utilizamos las expresiones de la posición y velocidad halladas para un movimiento de tiro 
vertical (MRUV). 
𝒚(𝒕) = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎𝒚𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 
Para 𝑦0 = 0 
𝒚(𝒕) = 𝒗𝟎𝒚𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 
𝒗𝒚(𝒕) = 𝒗𝟎𝒚 − 𝒈𝒕 
Vamos a hallar las expresiones de la altura máxima ℎ y distancia 𝐷, para el siguiente ejemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
Para hallar la altura máxima ℎ, primero calculamos el tiempo 𝑡1 para el cual se alcanza dicha altura. 
Utilizamos la 𝑒𝑐. 3, sabiendo que la componente 𝑣𝑦 de la velocidad es cero en dicho instante. 
𝑣𝑦(𝑡) = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 
𝑣𝑦(𝑡1) = 0 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡1 
𝒕𝟏 =
𝒗𝟎𝒚
𝒈
 
𝑒𝑐. 1ℎ 
𝐷 
𝛼 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝑣ҧ0 ℎ 
𝑔ҧ 𝑣ҧ0 
𝑣ҧ0𝑥 
𝑣ҧ0𝑦 
𝛼 
𝑣0𝑥 = cos(𝛼) 𝑣0 
𝑣0𝑦 = sen(𝛼) 𝑣0 
𝑒𝑐. 2ℎ 
𝑒𝑐. 3 
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Para ver más contenidos como este ingrese a: https://filadd.com/cursos-academia-filaddReemplazamos el tiempo 𝑡1 en la 𝑒𝑐. 2 para hallar la altura máxima ℎ. 
𝑦(𝑡) = 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 
𝑦(𝑡1) = ℎ = 𝑣0𝑦𝑡1 −
1
2
𝑔𝑡1
2 
ℎ = 𝑣0𝑦
𝑣0𝑦
𝑔
−
1
2
𝑔 (
𝑣0𝑦
𝑔
)
2
 
ℎ =
𝑣0𝑦
2
2𝑔
 
𝒉 =
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝜶) 𝒗𝟎
𝟐
𝟐𝒈
 
Ahora calculamos el tiempo 𝑡2 para el cual la partícula llega al suelo, a partir de la 𝑒𝑐. 2. 
𝑦(𝑡) = 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 
𝑦(𝑡2) = 0 = 𝑣0𝑦𝑡2 −
1
2
𝑔𝑡2
2 
0 = 𝑡2 (𝑣0𝑦 −
1
2
𝑔𝑡2) 
𝒕𝟐 = 𝟎 
𝒕𝟐 =
𝟐𝒗𝟎𝒚
𝒈
 
Reemplazamos el tiempo 𝑡2 en la 𝑒𝑐. 1. 
𝑥(𝑡) = 𝑣0𝑥𝑡 
𝑥(𝑡2) = 𝐷 = 𝑣0𝑥𝑡2 
𝐷 = 𝑣0𝑥
2𝑣0𝑦
𝑔
 
𝑫 =
𝟐𝒗𝟎
𝟐
𝒈
𝐜𝐨𝐬(𝜶) 𝐬𝐞𝐧(𝜶) 
 
 
 
 
 
Tiempo para el cual la partícula alcanza la distancia 𝐷. Es el 
doble que 𝒕𝟏 (tarda lo mismo en subir que en bajar) 
En el instante inicial la partícula se encuentra a altura cero 
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Componentes intrínsecas de la aceleración 
Consideremos una partícula que se desplaza de acuerdo a una trayectoria curvilínea. 
Definimos el versor �̂� como un vector tangente a la trayectoria, cuya dirección y sentido coinciden en 
todo momento con el de la velocidad 𝑣ҧ. 
�̅� =
𝑑𝑣ҧ
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑣. �̂�)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
�̂� + 𝑣
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 
�̅� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
�̂� + 𝑣
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 
�̅� = �̅�𝒕 + �̅�𝒏 
Las componentes tangencial y normal de la aceleración pueden expresarse a través de sus módulos y 
versores directores. 
�̅� =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
�̂� +
𝒗𝟐
𝝆
�̂� 
 
La aceleración tangencial �̅�𝒕 implica cambios en el módulo de la velocidad respecto del tiempo, y su 
dirección es tangente a la trayectoria. 
La aceleración normal �̅�𝒏 implica cambios en la dirección de la velocidad respecto del tiempo, y su 
dirección es perpendicular a la trayectoria en todo momento (apunta hacia el centro del radio de 
curvatura 𝜌 de la trayectoria). 
 
 
 
 
 
Demostración de la expresión de la aceleración normal 
Supongamos que, para un instante cualquiera del movimiento de la partícula, los versores 
�̂� y �̂� tiene las direcciones indicadas en la siguiente figura. 
 
 
 
 
 
𝑣ҧ 
�̂� 
�̂� 
∅ 
𝜋
2
− ∅ 
∅ 
𝑦 
𝑥 
�̂� 
�̂� 
∅ 
∅ 
𝑦 
𝑥 
�̂� 
�̂� 
𝜌 
�̅�𝑛 
�̅� 
�̅�𝑡 
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Como los vectores �̂� y �̂� son versores (módulo unitario), los mismos quedan expresados en función de 
sus componentes de la siguiente manera: 
�̂� = 𝟏 𝐜𝐨𝐬(∅) �̂� + 𝟏𝐬𝐞𝐧 (∅)�̂� 
�̂� = −𝟏 𝐬𝐞𝐧(∅) �̂� + 𝟏𝐜𝐨𝐬 (∅)�̂� 
Evaluemos 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 : 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
= −sen(∅)
𝑑∅
𝑑𝑡
𝑖̂ + cos(∅)
𝑑∅
𝑑𝑡
𝑗̂ 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
= [−sen(∅)�̂� + cos(∅) 𝑗̂]
𝑑∅
𝑑𝑡
 
𝒅�̂�
𝒅𝒕
= �̂�
𝒅∅
𝒅𝒕
 
Si consideramos que la partícula se desplazó un 𝑑∅ sobre su trayectoria, entonces los radios de 
curvatura 𝜌 para el punto 𝐴 y 𝐵 son iguales. De acuerdo a esto, el desplazamiento de la partícula entre 
𝐴 y 𝐵 corresponde a un arco de circunferencia 𝑑𝑠, tal que: 
𝑑𝑠 = 𝜌𝑑∅ 
𝒅∅ =
𝒅𝒔
𝝆
 
Entonces: 
𝑑�̂�
𝑑𝑡
= �̂�
𝑑∅
𝑑𝑡
=
1
𝜌
𝑑𝑠
𝑑𝑡
�̂� 
𝒅�̂�
𝒅𝒕
=
𝒗
𝝆
�̂� 
Recordando la expresión de la aceleración normal: 
�̅�𝑛 = 𝑣
𝑑�̂�
𝑑𝑡
 
�̅�𝑛 = 𝑣
𝑣
𝜌
�̂� 
�̅�𝒏 =
𝒗𝟐
𝝆
�̂� 
 
 
 
 
 
𝐵 
𝐴 
𝜌 
𝜌 
𝑑∅ 
𝑑∅ 𝑑∅ 
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Magnitudes cinemáticas para una trayectoria circular 
Posición angular: 
𝜽 = 𝜽(𝒕) 
Desplazamiento angular: 
∆𝜽 = 𝜽𝟐 − 𝜽𝟏 
Velocidad angular media (módulo): 
𝝎𝒎 =
∆𝜽
∆𝒕
 
Velocidad angular instantánea (módulo): 
𝝎 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝜽
∆𝒕
=
𝒅𝜽
𝒅𝒕
 
Aceleración angular media (módulo): 
𝜸𝒎 =
∆𝝎
∆𝒕
 
Aceleración angular instantánea (módulo): 
𝜸 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝝎
∆𝒕
=
𝒅𝝎
𝒅𝒕
 
Frecuencia: 
𝒇 =
𝝎
𝟐𝝅
 
 
Si consideramos un desplazamiento angular infinitesimal 𝑑𝜃 de la 
partícula, el desplazamiento 𝑑𝑠 sobre la trayectoria circular es: 
𝑑𝑠 = 𝑑𝜃 𝑅 
Derivando ambos miembros respecto del tiempo: 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑅 
𝒗 = 𝝎𝑹 
 
 
 
𝜔 
∆𝜃 
𝜃1 
𝜃2 
𝑥 
𝑅 
𝑦 
𝑡1 
𝑡2 
𝑑𝑠 
𝑟ҧ2 
𝑟ҧ1 
𝜔 
𝑑𝜃 
𝑥 
𝑅 
𝑦 
|𝑟ҧ1| = |𝑟ҧ2| = 𝑅 
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Como la velocidad 𝑣ҧ es una magnitud vectorial, reescribimos la expresión anterior de la siguiente 
forma: 
�̅� = �̅�𝐱�̅� 
Derivamos respecto del tiempo ambos miembros: 
𝒅�̅�
𝒅𝒕
=
𝒅�̅�
𝒅𝒕
𝐱�̅� + �̅�𝐱
𝒅�̅�
𝒅𝒕
 
�̅� = �̅�𝐱�̅� + �̅�𝐱�̅� 
�̅� = �̅�𝐱�̅� + �̅�𝐱(�̅�𝐱�̅�) 
�̅�𝒕 = �̅�𝐱�̅� 
�̅�𝒏 = �̅�𝐱(�̅�𝐱�̅�) 
Los vectores �̅� y 𝛾ҧ son perpendiculares al plano que contiene la trayectoria de la partícula. 
Una forma práctica de determinar la dirección y sentido de �̅� y 𝛾ҧ, es utilizar la regla de la mano 
derecha. 
Supongamos que la partícula se mueve sobre una trayectoria circular en sentido antihorario. Para este 
caso, utilizando la regla de la mano derecha, el vector �̅� apunta en la dirección del eje 𝑧 positivo. 
De manera análoga se puede determinar la dirección y sentido de 𝛾ҧ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aceleración normal 
En un movimiento circular la dirección de la velocidad cambia en todo momento, ya que es tangente 
a la trayectoria. Esto da como resultado la existencia de una aceleración normal, cuya dirección es 
radial y apunta hacia el centro del radio de curvatura 𝑅 de la trayectoria, para cualquier instante de 
tiempo. 
�̅�𝒏 =
𝒗𝟐
𝑹
�̂� 
�̅�𝒏 = (𝝎
𝟐𝑹)�̂� =
𝒗𝟐
𝑹
�̂� 
 
�̅� 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
𝑣ҧ 
𝑟ҧ 
𝜔 
 
𝑥 
𝑅 
𝑦 
�̅�𝒕 = (𝜸𝑹)�̂� 
 
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Para el caso presentado en la siguiente figura, en donde la velocidad angular �̅� es constante, 𝛾ҧ resulta 
nula y la partícula solo tiene aceleración normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅�𝑛 
𝜔 
𝑥 
𝑅 
𝑦 
En un movimiento circular la aceleración tangencial �̅�𝒕 puede ser nula, en cambio la aceleración normal 
�̅�𝒏 siempre será distinta de cero, ya que la dirección de la velocidad �̅� cambia en todo momento. 
 
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Movimiento circular uniforme (MCU): La trayectoria de la partícula es circular y la velocidad angular 
�̅� es constante. 
|𝑟ҧ| = 𝑅 = 𝑐𝑡𝑒 
𝜃 = 𝜃(𝑡) 
�̅� = 𝜔�̂� = 𝑐𝑡𝑒 
Aceleración: La aceleración angular 𝛾ҧ en un MCU es nula, ya que �̅� es constante en módulo, dirección 
y sentido. 
𝛾ҧ =
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
�̅� = 𝟎 
�̅�𝑡 = 𝛾ҧx𝑟ҧ 
�̅�𝒕 = 𝟎 
La aceleración normal en módulo es constante, ya que la rapidez 𝑣 no varía en el tiempo (𝜔=cte.) 
𝑣 = 𝜔𝑅 = cte 
𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝑹
 
Posición: Partimos de la definición matemática de la velocidad angular 𝜔, para hallar la expresión que 
nos permita determinar cómo varía laposición angular de la partícula 𝜃(𝑡), en función del tiempo. 
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
∫ 𝜔𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝜃
𝜃
𝜃0
 
𝜔 ∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝜃
𝜃
𝜃0
 
𝜔(𝑡 − 𝑡0) = 𝜃 − 𝜃0 
𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎 + 𝝎(𝒕 − 𝒕𝟎) 
Si 𝑡0 = 0 
𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎 + 𝝎𝒕 
 
 
 
𝑣ҧ 
= 𝑐𝑡𝑒 
�̅� 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
𝜃(𝑡) 
�̅�𝑛 
𝜔 
𝑥 
𝑅 
𝑦 
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 Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜔 𝜃0 
𝑡 
𝜃 
𝑡 
𝜔 
𝑡 
𝛾 
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Movimiento circular uniformemente variado (MCUV): La trayectoria de la partícula es circular y la 
velocidad angular �̅� es constante. 
|𝑟ҧ| = 𝑅 = 𝑐𝑡𝑒 
𝜃 = 𝜃(𝑡) 
�̅�(𝑡) = 𝜔(𝑡)�̂� 
𝛾ҧ = 𝛾�̂� = 𝑐𝑡𝑒 
Aceleración: Partimos de la definición matemática de la aceleración angular 𝛾ҧ, para hallar la expresión 
que nos permita determinar cómo varía la velocidad angular 𝜔(𝑡) de la partícula, en función del 
tiempo. 
𝛾ҧ =
𝑑�̅�
𝑑𝑡
 
𝛾 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
 
∫ 𝛾𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝜔
𝜔
𝜔0
 
𝛾 ∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝜔
𝜔
𝜔0
 
𝛾(𝑡 − 𝑡0) = 𝜔 − 𝜔0 
𝝎(𝒕) = 𝝎𝟎 + 𝜸(𝒕 − 𝒕𝟎) 
Si 𝑡0 = 0 
𝝎(𝒕) = 𝝎𝟎 + 𝜸𝒕 
Como el módulo de la aceleración angular 𝛾 es constante, también lo es el módulo de la aceleración 
tangencial 𝑎𝑡 
𝒂𝒕 = 𝜸𝑹 
El módulo de la aceleración normal 𝑎𝑛 varía en el tiempo, ya que el módulo de la velocidad angular 𝜔 
es una función del tiempo (𝜔(𝑡)). 
𝑣(𝑡) = 𝜔(𝑡)𝑅 
𝒂𝒏 =
𝒗(𝒕)
𝟐
𝑹
 
 
 
�̅� y �̅� son vectores paralelos 
= 𝑐𝑡𝑒 
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Posición: Partimos de la definición matemática de la velocidad angular 𝜔 para hallar la expresión que 
nos permita determinar cómo varía la posición angular de la partícula 𝜃(𝑡) en el tiempo. 
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
∫ 𝜔(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝜃
𝜃
𝜃0
 
∫ (𝜔0 + 𝛾𝑡)𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝑑𝜃
𝜃
𝜃0
 
(𝜔0𝑡 +
1
2
𝛾𝑡2)|
𝑡
𝑡0
= 𝜃 − 𝜃0 
𝜔0(𝑡 − 𝑡0) +
1
2
𝛾(𝑡2 − 𝑡0
2) = 𝜃 − 𝜃0 
𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎 + 𝝎𝟎(𝒕 − 𝒕𝟎) +
𝟏
𝟐
𝜸(𝒕𝟐 − 𝒕𝟎
𝟐) 
Si 𝑡0 = 0 
𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎 + 𝝎𝟎𝒕 +
𝟏
𝟐
𝜸𝒕𝟐 
 
Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̅� 
�̅�𝑡 
𝛾 
𝜃(𝑡) 
�̅�𝑛 
𝜔(𝑡) 
𝑥 
𝑅 
𝑦 
𝛾ҧ 
�̅� 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
𝛾 𝜔0 𝜃0 
𝑡 
𝜃 
𝑡 
𝜔 
𝑡 
𝛾 
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Movimiento relativo 
𝑂: 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑜 
𝑂´: 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚ó𝑣𝑖𝑙 
𝑃: 𝑃𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 
�̅� = �̅�𝒐𝒐´ + �̅�´ 
Derivamos la 𝑒𝑐. 1 respecto del tiempo: 
�̅� = �̅�𝒐𝒐´ + �̅�´ 
 
 
 
 
Derivamos la 𝑒𝑐. 2 respecto del tiempo: 
�̅� = �̅�𝒐𝒐´ + �̅�´ 
 
 
 
 
 
 
𝑟ҧ´ 
𝑟ҧ 
𝑟ҧ𝑜𝑜´ 
𝑃 
𝑂 
𝑂´ 
𝑥 
𝑦 
𝑥´ 
𝑦´ 
�̅�: Velocidad de 𝑷 respecto de 𝑶 
�̅�´: Velocidad de 𝑷 respecto de 𝑶´ 
�̅�𝒐𝒐´: Velocidad de 𝑶´ respecto de 𝑶 
 
𝑒𝑐. 1 
𝑒𝑐. 2 
�̅�: Aceleración de 𝑷 respecto de 𝑶 
�̅�´: Aceleración de 𝑷 respecto de 𝑶´ 
�̅�𝒐𝒐´: Aceleración de 𝑶´ respecto de 𝑶 
 
Si la aceleración del sistema de referencia móvil es nula (�̅�𝒐𝒐´ = 𝟎; �̅�𝒐𝒐´ = 𝒄𝒕𝒆 ), ambos sistemas de 
referencia miden la misma aceleración de la partícula (�̅� = �̅�´), pero distinta velocidad (�̅� = �̅�𝒐𝒐´ + �̅�´). 
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