1 1 Introducción matemática DERIVACIÓN 1

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LA DERIVADA
Tomado de la presentación del Ing. Fernando Félix Solís Cortés
Números, clasificación
Los Números Naturales «N» son todos los números mayores de cero* que sirven para contar.  N = [1, 2 , 3, 4, 5...]
Los Números Enteros «Z» incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos. Es decir: Z = [..-3,-2, -1, 0, 1, 2,3...]
Los Números Racionales «Q» son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]
Los Números Reales «R» se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como el número «π» y «e».
Los Números Complejos «C» incluye todos los números anteriores más el número imaginario «i». C = [N, Z, Q, R, I].
Función
Es una relación entre dos conjuntos A y B, donde a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.
Dominio: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente " x ".
Rango: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar una función, dependiendo de los valores de " x ".
Donde: 
 : es la función.
 x : es la variable independiente.
y : es la variable dependiente.
En general si x= h
4
GRÁFICAS DE FUNCIONES
Límite de una función
Hay que trazar una distinción entre los conceptos de razón de cambio promedio y razón de cambio instantánea. 
Velocidad media
Velocidad instantánea
t
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante 
y la recta tangente
en términos 
geométricos
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en 
común con un circulo”
apliquemos lo anterior en una función..
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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Autor:Ing. Fernando Félix Solís Cortés
Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante 
y la recta tangente
en una función
Función original
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante 
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante 
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente
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Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
Muy sencillo de obtener si 
tienes dos puntos sobre una recta!
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Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
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Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
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Cuarto nivel
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Algo de historia.
Introducción a la Derivada
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, 
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, 
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat
Rene Descartes
Gottfried Wilhelm Leibniz 
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método 
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos. 
Cómo?
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas secantes, podemos hacer una muy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente 
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
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Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
Atajo
Volver a
mostrar
Continuar
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Cuarto nivel
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Aprox.
Procedemos
a sustituir: 
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Cuarto nivel
Quinto nivel
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Considerando: 
Procedemos
a sustituir: 
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Ahora
Consideremos:
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
31
La derivada.
Introducción a la Derivada
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver 
que tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
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Cuarto nivel
Quinto nivel
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver 
que tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Podemos expresar lo anterior así:
lim
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observar
que el punto 
cada vez se aproxima
más al punto
pero no llegará a tocarlo
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
La expresión nos queda así:
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Quinto nivel
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La derivada.
Introducción a la Derivada
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
La expresión nos queda así:
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Cuarto nivel
Quinto nivel
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La derivada.
Introducción a la Derivada
lim
Este límite (el cual genera otra 
función), representa la pendiente de 
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
La Derivada
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
Por su origen basado en
incrementos
=
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La derivada.
Introducción a la Derivada
lim
=
Y precisamente por esta 
fórmula es que lo siguiente, 
ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por 
Entonces su derivada es: 
Comprobemos lo anterior con
una breve práctica..
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener 
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
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Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
se puede observar que:
Al sustituirlo obtenemos:
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Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
Reduciendo 
términos:
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:
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Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por 
Entonces su derivada es: 
Y gracias al desarrollo del límite anterior podemos 
generalizar su aplicación en diversas funciones,
tal como se muestra en la siguiente tabla:
0
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41
Notación
Notación de Leibniz
∆r
∆x
∆y
∆
Notación
Notación de Newton
Notación de Lagrange 
Representación 
gráfica de:
La función que
representa su
derivada es:
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Quinto nivel
Suponga que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente mostrada
Representación 
gráfica de:
La función que
representa su
derivada es:
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
Observe que:
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Quinto nivel
Representación 
gráfica de:
La función que
representa su
derivada es:
De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangentes
localizadas en la gráfica de una función
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Quinto nivel
Representación 
gráfica de:
La función que
representa su
derivada es:
De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangentes
localizadas en la gráfica de una función
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TABLA DE DERIVADAS PRINCIPALES 
TABLA DE DERIVADAS PRINCIPALES 
Referencias bibliográficas
Leithold, L. (1998). El Cálculo, Editorial Harla México.
Wikimedia Commons - Dnu72 (2013). Clasificación de los números a través de un esquema de llaves
Félix, Fernando. (2009). Concepto de derivada de una función “La recta tangente y su relación con la derivada de una función”
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