F_I-APU-Tipos de vectores y operaciones básicas

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TIPOS DE VECTORES Y OPERACIONES BÁSICAS 
Has tenido ocasión de comprobar en el pasado la utilidad del álgebra vectorial. Esta 
utilidad radica en que hay muchísimas magnitudes físicas que tienen intensidad (o 
módulo) y dirección, como por ejemplo la velocidad o la fuerza. Los vectores se usan 
para representar las magnitudes de este tipo, y el álgebra de vectores para manejarlas y 
hacer cálculos con ellas. 
Según convenga para el propósito particular, se usan vectores de distintos tipos: 
1. Vector deslizante. Puede considerarse en cualquier posición dentro de una recta 
("recta de acción"). Dos vectores de igual módulo y sentido sobre la misma 
recta, son el mismo vector deslizante. 
2. Vector ligado. Está asociado a un determinado punto del espacio (punto de 
aplicación). 
3. Vector libre. no se considera asociado a ningún punto ni recta particular. 
Circunstancialmente puede convenir considerar el vector libre de igual módulo y 
dirección que un vector ligado (o deslizante). Decimos que se trata del "vector libre 
asociado" al vector ligado (o deslizante). Decimos que dos vectores son "equipolentes" 
si tienen el mismo vector libre asociado. 
Las operaciones más comunes con vectores son las siguientes: 
Adición de vectores. 
Producto de un vector por un escalar. 
Producto escalar de dos vectores. 
Producto vectorial de dos vectores. 
Sin duda recordarás la definición de estas operaciones, y sus expresiones en función de 
unas componentes cartesianas de los vectores. Si no es así, conviene que repases las 
fuentes oportunas de las asignaturas de matemáticas. 
En principio, esas operaciones se definen para vectores libres, aunque pueden 
definirse para vectores deslizantes o ligados bajo ciertas circunstancias. Por ejemplo, la 
adición de vectores deslizantes está definida si las rectas de acción de los vectores 
pasan por un punto. 
Un sistema de vectores es un conjunto cualquiera de vectores del mismo tipo. Por 
tanto, hay sistemas de vectores ligados, deslizantes y libres. Siempre hay que tener en 
cuenta que el uso de uno u otro tipo de vectores está en función de su utilidad para el 
problema en consideración. 
 
MOMENTO DE UN VECTOR DESLIZANTE 
La Teoría clásica de la Elasticidad que se estudia en la asignatura, presupone el estado 
de equilibrio del sólido analizado, y por tanto de cualquiera de sus partes. Como es 
sabido, a efectos del equilibrio, es indiferente que las fuerzas se apliquen en uno u otro 
punto, con tal de que se mantengan en la misma línea de acción. Por ello, el álgebra de 
vectores deslizantes es especialmente interesante en todos los problemas que 
involucren equilibrio de fuerzas. A continuación se reseñan algunos de sus conceptos 
básicos. 
Momento de un vector deslizante v respecto de un punto O. 
 Mo = OAxv = OBxv 
Es un vector Mo que usualmente se considera ligado al punto O, aunque puede 
considerarse como libre. Véase la nota al final de esta página. Siendo A un punto 
cualquiera de la recta de acción, su valor se obtiene del producto vectorial OAxv. El 
resultado es independiente del punto que se elija sobre la recta de acción. 
Momento de un vector deslizante respecto de una recta (r). 
 M(r) = (Mo.e)e = ((OAxv).e)e = ((O'Bxv).e)e = ... 
Es un vector deslizante sobre la recta. Se obtiene proyectando sobre ella el momento 
respecto a uno de sus puntos O, siendo indiferente el punto O que se elija sobre la recta. 
Si es e un vector unitario sobre la recta, el valor del momento respecto de la recta viene 
dado por (Mo.e)e. 
Una propiedad inmediata es que los momentos respecto de tres rectas que coincidan con 
unos ejes coordenados cartesianos, son las componentes (vectoriales) del momento 
respecto del origen de coordenadas: 
Mo = M(r1) + M(r2) + M(r3) 
 
SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES 
Un sistema de vectores deslizantes es cualquier conjunto de vectores deslizantes, 
digamos vi, con i=1...n, actuando en sus respectivas rectas de acción (ri). Llamaremos 
Ai a un punto genérico en la recta de acción (ri) del vector vi. 
Resultante de un sistema de vectores deslizantes. 
Es un vector libre R que se obtiene como adición de los vectores libres asociados a los 
vectores del sistema: 
R = v1 + v2 +...+ vn = Σ vi 
Se le conoce también como primer invariante del sistema de vectores. 
Campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes. 
En primer lugar se define el momento Mo del sistema de vectores respecto de un punto 
O, que se obtiene como la adición de los momentos de cada uno de los vectores del 
sistema respecto de O, y puede considerarse como un vector libre o ligado a O, según 
convenga. 
Mo = Σ OAi x vi 
El momento es diferente para cada punto del espacio O elegido, por lo que se engendra 
un campo de momentos. Conocido el momento respecto de un punto O, es inmediato 
hallar el momento respecto de otro punto O', que resulta ser: 
Mo' = Mo + O'O x R 
Que es la ecuación del campo de momentos. 
 
ALGUNAS PROPIEDADES DEL CAMPO DE MOMENTOS DE UN SISTEMA 
DE VECTORES DESLIZANTES 
1.- El momento respecto de dos puntos O y O' no varía si OO' es paralelo a R. 
2.- Un sistema de resultante nula genera un campo uniforme de momentos. 
Ambas son evidentes a la vista de la ecuación del campo de momentos. 
3.- El producto escalar de la resultante por el momento en un punto es invariante 
respecto del punto elegido. 
Se comprueba sin mas que multiplicar la ecuación del campo de momentos 
escalarmente por R, lo que produce R.Mo' = R.Mo. Este producto escalar se denomina 
"segundo invariante" del sistema de vectores. 
Otra manera de enunciar esta propiedad es que la proyección del momento respecto de 
cualquier punto sobre la dirección de la resultante es constante, como muestra la figura. 
 
4.- El momento mínimo del sistema de vectores será paralelo a R, o bien nulo. 
Con "momento mínimo" nos referimos al momento de menor módulo. La demostración 
es evidente a la vista de la propiedad 3 anterior: si la proyección de los momentos sobre 
R es constante, el menor módulo corresponde al momento paralelo a R. En la misma 
figura anterior se dibuja en negro el momento respecto de un cierto punto O (no 
mostrado), que por ser paralelo a R tendrá módulo menor que todos los demás, y será el 
momento mínimo aludido. 
5.- El lugar geométrico de puntos de momento mínimo es una recta paralela a R. 
Por la propiedad 1 enunciada, si O es un punto de momento mínimo, O' tendrá el mismo 
momento (por tanto mínimo), si se cumple que OO' sea paralelo a R. Se llama eje 
central del sistema de vectores a esa recta de puntos cuyo momento es mínimo. 
 
IGUALDAD Y EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES 
DESLIZANTES 
Dos sistemas de vectores deslizantes son iguales si contienen exactamente los mismos 
vectores. 
Dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si tienen el mismo campo de 
momentos. 
Por ejemplo: Una condición necesaria y suficiente para que dos sistemas sean 
equivalentes es que tengan la misma resultante y el mismo momento respecto de un 
punto dado. Otra condición necesaria y suficiente es que tengan el mismo momento 
respecto de tres puntos dados. 
 
REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES 
Definición: Una reducción de un sistema de vectores es otro sistema de vectores que 
sea equivalente y resulte más sencillo de manejar. 
Reducciones más típicas. El esquema siguiente muestra algunas de las reducciones más 
típicas según sean o no nulas la resultante y el momento mínimo. 
R ≠ 0 (resultante no nula) 
R.Mo ≠ 0 (momento mínimo no nulo) 
Sistema más general. La reducción más sencilla es la resultante R aplicada en un punto 
O (ya sea del eje central o no), y el momento Mo en ese punto. O bien la resultante y un 
par que proporcione ese momento Mo. 
R.Mo = 0 (momento mínimo nulo) 
La reducción más sencilla es la resultante R aplicada en un punto del eje central. 
R = 0 (resultante nula) El campo de momentos será uniforme. 
M ≠ 0 (momento mínimo no nulo) 
La reducción mas sencillaes el momento M aplicado en cualquier punto, o cualquier 
par de fuerzas que proporcione ese momento. 
M ≠ 0 (momento mínimo nulo) 
Se llama sistema nulo de vectores, por tener resultante y momento nulos. 
Algunos casos particulares de reducción. 
Un sistema de vectores paralelos siempre tendrá momento mínimo nulo. Puede 
entenderse razonando que R tendrá la dirección de los vectores, mientras que el 
momento de cada vector respecto de un punto dado será perpendicular a esa dirección 
(por ser un producto vectorial en que unos de los factores es el vector). La suma de 
todos los momentos será también perpendicular a esa dirección, evidenciando que el 
momento mínimo será nulo. Por tanto, la reducción más sencilla será la resultante 
aplicada en el eje central. Es el caso típico del peso de un sólido, consistente en una 
distribución continua de vectores fuerza diferenciales paralelos entre sí, que a efectos 
del equilibrio pueden reducirse a la resultante (peso total del sólido) aplicada en el eje 
central (que pasa por el centro de gravedad del sólido). 
 
Un sistema de vectores coplanarios también tendrá siempre momento mínimo nulo. 
Puede verse razonando que R estará en el plano, mientras que el momento de cada 
vector respecto de un punto del plano será perpendicular al plano, y la suma de todos los 
momentos también lo será, evidenciando que el momento mínimo será nulo. Por tanto, 
la reducción más sencilla será la resultante aplicada en el eje central. Esto es 
aplicable a cualquier problema "bidimensional", entendiendo por ello que todas las 
rectas de acción de los vectores estén en el mismo plano, como representa el caso de la 
figura siguiente. 
 
Un ejercicio de reducción. 
La figura muestra una reducción de un cierto sistema de vectores deslizantes consistente 
en la resultante R aplicada en un punto O, y el momento Mo respecto de ese punto. Se 
ha tomado unos ejes cartesianos con centro en O y de forma que Mo y R están en el 
plano 1-3, y R coincide con el eje 3. Se pide representar aproximadamente, -sin 
cálculos-, el eje central. 
 
Para trazar el eje central necesitamos un punto de momento mínimo, es decir paralelo a 
R. Sabemos que el eje central pasará por ese punto y será también paralelo a R. 
Consideremos un punto B genérico. El momento respecto de B será 
MB = Mo + BO x R 
Si queremos que el momento en B sea paralelo a R debemos elegir B de tal manera que 
BO x R tenga la dirección del eje 1 y sentido opuesto, para que cancele la componente 
(positiva) de Mo sobre este eje 1. Como se aprecia en la figura siguiente, si tomamos B 
sobre la zona positiva del eje 2, el producto BO x R tendrá la dirección deseada. Su 
posición debe ser tal que |BO|.|R|=|Mo|senφ. A falta de una escala en el dibujo, 
podemos responder que el eje central cortará al eje 2 en la zona positiva, y tendrá por 
tanto una apariencia como la dibujada. Se representa en verde la reducción del sistema 
consistente en la resultante aplicada en el punto B, y el momento en B. 
 
 
NOTA SOBRE EL MOMENTO COMO VECTOR LIBRE 
Anteriormente se apuntó que el momento podía considerarse como un vector ligado al 
punto respecto del que se calcula, o bien como un vector libre. 
La primera opción parece la más natural, ya que el momento de un vector o sistema es 
función del punto. Existe por tanto de todas formas una "ligazón" (en sentido coloquial) 
entre el momento y el punto de cálculo. Pero en realidad, ello no implica necesidad de 
considerar el vector momento como ligado al punto (en el sentido del álgebra vectorial). 
De hecho, puede razonarse que el momento (o un sistema equivalente a él, como un 
par), considerado él mismo como subsistema, tiene resultante nula, y por tanto genera 
un campo uniforme de momentos. Este campo uniforme tiene el valor del propio 
momento. Si elegimos representar (reducir) el sistema a un vector momento, es 
indiferente el punto de aplicación del mismo: el campo (uniforme) es exactamente igual. 
Por tanto, si lo que nos interesa es el campo de momentos, como en el caso de 
problemas de equilibrio de sólidos, no hay inconveniente en considerar al vector 
momento como un vector libre. 
Usualmente, como en el ejercicio de reducción presentado en el epígrafe anterior, el 
momento se representa en su punto de cálculo. Pero podría situarse en otro punto 
cualquiera y el campo de momentos sería el mismo. La resultante en cambio debe 
situarse correctamente, ya que su posición sí afecta al campo de momentos.