Funciones de Multiples Variables

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Funciones de Múltiples Variables 
Cristián García-Campo 
Universidad de los Andes 
Optimización 
2° semestre 2018 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Funciones de Múltiples Variables 
Contexto 
Una función f es una regla de correspondencia que asigna exactamente un 
número de salida f(x1,x2,x3…) a cada «tupla» de entrada {x1,x2,x3…} . Al 
conjunto de elementos de entrada se le denomina dominio de la función, al 
conjunto de todos los números posibles de salidas se le llama recorrido o 
rango. 
 
 Por lo tanto, para evaluar si una variable «Z» es una función de otras 
variables independientes x1,x2,x3…, es necesario saber si para cada tupla 
de entrada, en este caso, { x1, x2,x3…} , se asigna sólo un número de 
salida, en este caso, «Z» 
 
F(x2,x1) 
x1 
z 
x2 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Funciones de Múltiples Variables 
Ejemplo 
Una empresa minera puede vender X libras de refinados de cobre en el 
mercado local a un valor 2,0 usd/l . También puede vender Y libras de 
refinado al exterior a un valor de 1,9 usd/l. Por lo tanto los ingresos de la 
Minera se determina como 
 
Z=f(x,y) = 2x+ 1,9y 
 
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Funciones de Múltiples Variables 
Pregunta 
Una tienda especializada en artículos deportivos vende dos tipos de raquetas 
Williams y Babolat. La demanda de cada raqueta depende no sólo de su propio 
precio, sino también del precio de la marca de la competencia. Las cifras de 
ventas indican que si la marca Williams se vende por «X» dólares por cada 
raqueta y la marca de Babolat por «Y» dólares por raqueta, la demanda anual 
de raquetas Williams será: D1= 300-20x+30y mientras que la demanda anual 
de raquetas Babolat será de D2 = 200+40x -10y. Exprese los ingresos anuales 
totales de la tienda por la venta de estas raquetas en función de los precios 
«X» e «Y». 
 
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Funciones de Múltiples Variables 
Cierre 
Ingresos totales= D1*X+D2*Y =(300-20x+30y )x+ (200+40x -10y)*y 
 
= 300𝑥 − 20𝑥2 + 30𝑥𝑦 + 200𝑦 + 40𝑥𝑦 − 10𝑦2 
 
= 300𝑥 − 20𝑥2 + 70𝑥𝑦 + 200𝑦 − 10𝑦2 
La pregunta que nace naturalmente de este problema es ¿ Que valores de «X» 
y de «Y» debe usar la tienda para maximizar sus ventas? ¿ Existe un máximo 
teórico para este problema? 
300𝑥 − 20𝑥2 + 70𝑥𝑦 + 200𝑦 − 10𝑦2 
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Gráficos de Funciones de dos Variables 
Contexto 
Un gráfico de dos variables es una colección de «3-tuplas» o puntos {x,y,z} 
donde la dupla {x,y} pertenece al dominio de la función f y z= f(x,y). 
 
 Para dibujar un gráfico de 2 variables necesitamos construir un «espacio 
cartesiano» agregando el eje Z perpendicular al plano cartesiano { x,y} 
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Gráficos de Funciones de dos Variables 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Gráficos de Funciones de dos Variables 
Contexto 
Generalmente se utiliza una rama (¿Por qué?) quedando una ecuación de la 
forma: 
 𝒛 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒚𝟐 
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Gráficos de Funciones de dos Variables 
Contexto 
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Gráficos de Funciones de dos Variables 
Contexto 
Generalmente se utiliza una rama (¿Por qué?) quedando una ecuación de la 
forma: 
 𝒛 = −𝒂𝒙𝟐 +−𝒃𝒚𝟐 + 𝒄 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Gráficos de Funciones de dos Variables 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Curvas de Nivel 
Contexto 
Muchas veces no es fácil visualizar el gráfico de una función de 2 variables. 
Una forma de imaginarse estos gráficos es utilizando curvas de nivel. 
 
 Una Curva de Nivel de la función z= f(x,y) es la región geométrica paralela 
al eje xy que satisface la ecuación f(x,y) = c, siendo c una constante 
… hay tantas curvas de nivel como valores de c en el recorrido de f(x,y) 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Curvas de Nivel 
Ejemplo 
… mapa topográfico) 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Curvas de Nivel 
Pregunta 
Comente las curvas de nivel de la función: 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 
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Curvas de Nivel 
Cierre 
Comente las curvas de nivel de la función: 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 
Las curvas de nivel serían de la forma 
c = 𝑥2 + 𝑦2 
Por lo tanto cada curva de nivel con c> 0 sería un circulo de radio 𝑐 y en el 
punto c=0 la curva de nivel es el punto ( 0,0). Es fácil ver que el radio de los 
círculos que forman las curvas de nivel crecen similar a la función raíz 
cuadrada. Por lo tanto podemos concluir que f(x,y) es un paraboloide. 
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Curvas de Nivel 
Pregunta 
Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: 
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Curvas de Nivel 
Cierre 
Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: 
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Curvas de Nivel 
Pregunta 
Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Curvas de Nivel 
Cierre 
Dibuje en un plano las curvas de nivel de la siguiente función: 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Curvas de Nivel 
Pregunta 
Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∗ y con x,y>0 
 
 
 
 
Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + y con x, y > 0 
 
 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Curvas de Nivel 
Pregunta 
Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∗ y asuma que x, y > 0 
 
 
 
 
 
 
Dibuje 3 curvas de nivel para la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + y con x, y > 0 
 
 
Derivadas Parciales 
Contexto 
Al analizar una función de varias variables a veces es necesario entender 
como se comporta cada una de las variables antes cambios pequeños. ( 
Análisis diferencial). Para estos efectos es común analizar dicha variable 
manteniendo las otras constantes. 
 
 El análisis diferencial de una variable dejando el resto constante se conoce 
como Derivación Parcial y las derivadas obtenidas de este análisis se 
conocen como Derivadas Parciales. 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Contexto 
Notación: 
 
La derivada parcial de una función z= f(x,y) con respecto a x se escribe: 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 
 
Alternativamente puede escribirse como 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) y se obtiene derivando 
f(x,y) considerando y como una constante. 
 
De igual manera se calcula y escribe la derivada parcial con respecto a y 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Pregunta 
Encuentre la derivadas parciales 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 y 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 para la siguiente función: 
 
 
𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 +
2𝑦
3𝑥
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Cierre 
Calculamos fx(x,y) dejando «y» como si fuese una constante: 
 
Calculamos fy(x,y) dejando «x» como si fuese una constante: 
 
 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
¡Esto es interesante! 
 
𝑧 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 +
2𝑦
3𝑥
 Tenemos: 
 
Derivadas Parciales 
Pregunta 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Encuentre la derivadas parciales 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 y 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 para las siguientes función: 
 
 
𝑧 = (𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦)5 
 
 𝑧 = 𝑥𝑒−2𝑥𝑦 
 
 
 
 
 
Hint: Note que , para las derivadas parciales, también aplican la regla de la cadena y la regla del 
producto. 
Derivadas Parciales 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Tenemos: 𝑧 = (𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦)5 aplicando regla de la cadena: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenemos: 𝑧 = 𝑥𝑒−2𝑥𝑦 aplicando regla del producto y regla de la cadena: 
 
 
 
 
 
Derivadas Parciales 
Contexto 
Recordemos que, geométricamente, una derivada representa la pendiente 
de la tangente a la curva en el punto evaluado y nos sirve, entre otras cosas, 
para conocer la razón de cambio de la curva en dicho punto. 
 
 
 Así mismo, la derivada parcial 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 es la pendiente de la tangente a la curva 
en el punto (x,y), «en la direcciónde x» . Mismas descripción aplica para 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Aplicaciones 
En economía , el análisis marginal es un término que se refiere a la práctica 
de utilizar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función 
que resulta del aumento de 1 unidad en una de sus variables. Acá un 
ejemplo de cómo las derivadas parciales se puede utilizar de una manera 
similar. 
 
 Se estima que la producción de cierta planta viene dada por la función 
Q(x, y) = 1200x +500y + x2y - x3 - y2 unidades. Donde «x» es el número de 
trabajadores capacitados e «y» el numero de trabajadores no capacitados. 
Actualmente la planta cuenta con 30 trabajadores capacitados y 60 
trabajadores no capacitados. Usando análisis marginal determine la mejora 
en la producción al aumentar la dotación de trabajadores capacitados en 1 
unidad. 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
La derivada parcial con respecto a x 
 
dQ/dx = 1200 + 2xy-3x2 
 
Evaluando en Q(30,60) = 1200+2*30*60-3*900 = 2100 
 
Considerando que el resultado que entrega hacer el análisis por el camino 
largo es Q(31,60)- Q(30,60) = 2069 el resultado anterior es una buena 
aproximación 
Derivadas Parciales 
Aplicaciones 
Si Q (K, L) es el resultado de un proceso de producción que implique el gasto de K unidades de 
capital y L unidades de mano de obra, entonces la derivada parcial dQ/dk se llama 
productividad marginal del capital y mide la velocidad con la que cambia la producción Q con 
respecto a los gastos de capital K cuando la fuerza de trabajo L se mantiene constante. Del 
mismo modo, dQ/dl se llama la productividad marginal del trabajo y mide la velocidad de 
cambio de la producción con respecto al nivel de trabajo L cuando el gasto de capital K se 
mantiene constante. 
 
 Suponga que la producción de cierta fabrica viene dada por la función tipo cobb-douglas: 
 
𝑄 𝑘, 𝑙 = 50𝑘0,4𝑙0,6 
 
Encuentre la productividad marginal del capital y la productividad marginal del trabajo cuando 
k= 750 y l= 991. ¿ Cual de las dos deberíamos aumentar para mejorar la productividad? 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
…Cobb Duglas -> 𝑄 𝐾, 𝐿 = 𝐴𝐾𝑎𝐿𝑏 con a+b=1 
Derivadas Parciales 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
La derivada parcial con respecto a k y l 
 
Al analizar las derivadas parciales evaluadas en los niveles actuales de «k» y «l» vemos que 
dQ/dl > dQ/dk por lo que un incremento en una unidad de la mano de obra ( de 991 a 992 ) nos 
entrega mejores resultados que un incremento en el capital ( de 750 a 751 ). 
 
…Este es un caso particular de «Aproximación por incrementos» 
Derivadas Parciales 
Aplicaciones 
Se dice que dos ( o + ) productos son sustitutos si un aumento en la demanda 
de uno resulta en una disminución de la demanda del otro. Por otra parte se dice que dos ( o + ) 
productos son complementarios si una disminución en la demanda de cualquiera de ellos 
resulta en una disminución en la demanda del otro. 
 
Matemáticamente y considerando las funciones de demanda D1(p1,p2) y D2(p1,p2) para los 
precios p1 y p2 tenemos: 
 
𝜕𝐷1
𝜕𝑝1
< 0 𝑦 
𝜕𝐷2
𝜕𝑝2
< 0 
 
Para productos Sustitutos: 
𝜕𝐷1
𝜕𝑝2
> 0 𝑦 
𝜕𝐷2
𝜕𝑝1
> 0 
 
 
Para productos Complementarios: 
𝜕𝐷1
𝜕𝑝2
< 0 𝑦 
𝜕𝐷2
𝜕𝑝1
< 0 
 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Aplicaciones 
Considere que en cierta comunidad la demanda por harina «D1» y pan «D2» depende del precio 
de la harina «p1» y del Pan «p2» según la formula: 
 
𝐷1 𝑝1, 𝑝2 = 500 + 
10
𝑝1 + 2
− 5𝑝2 
 
𝐷2 𝑝1, 𝑝2 = 400 + 
7
𝑝2 + 3
− 2𝑝1 
 
Determine si pan y Harina son sustitutos, complementarios o ninguno. 
 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Las derivadas parciales son: 
 
 
 
 
 
Esto quiere decir que al aumentar el precio de un producto disminuye la demanda del Otro. Por 
lo tanto son productos Complementarios 
 
 
 
Regla de la cadena DP 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Regla de la cadena DP 
Pregunta 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Regla de la cadena DP 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Regla de la cadena DP 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Aproximación por Incrementos 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Aproximación por Incrementos 
Problema 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Aproximación por Incrementos 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Aproximación por Incrementos 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales de Segundo Orden 
Contexto 
Las Derivadas Parciales pueden ser a su vez derivables. La derivada parcial de 
una derivada parcial se conoce como Derivada parcial de segundo Orden. 
 
 Para una funcion de dos variables existen cuatro posible derivadas 
parciales de segundo orden. La notación es la siguiente: 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
 , 
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 ,
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
 y 
𝜕2𝑧
𝜕y𝜕𝑥
 
 
Las Derivadas Parciales 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
 y 
𝜕2𝑧
𝜕y𝜕𝑥
 se conocen como derivadas parciales 
cruzadas (o mixtas ) de segundo orden y por lo general 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
 = 
𝜕2𝑧
𝜕y𝜕𝑥
 . 
 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
…Teorema de Schwarz 
Derivadas Parciales de Segundo Orden 
Pregunta 
Encuentre la derivadas parciales de segundo orden de: 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Parciales de Segundo Orden 
Cierre 
Encuentre la derivadas parciales de segundo orden de: 
 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Tenemos que: 
Optimización de Funciones Multivariables 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Se dice que la función f (x, y) tiene un máximo local ( o máximo relativo) en 
el punto P (a, b) en el dominio de f si f (a, b) ≥ f (x, y) para todos los puntos (x, 
y) en un disco circular centrado en P conocido como vecindad de P. Del 
mismo modo , si f(c, d)≤ f (x, y) para todos los puntos (x, y) en la vecindad de 
P , entonces f (x, y) tiene un mínimo local en P (c, d). 
 
 
Optimización de Funciones Multivariables 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Un punto (a, b) en el dominio de z=f (x, y) para los que las derivadas parciales 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦 
 existen y son iguales a 0 se llama un punto crítico. 
 
Si las derivadas parciales de primer orden de z=f(x,y) existen y son continuas, 
tanto los extremos locales como los extremos globales de z=f(x,y) ( i.e: Los 
Máximos y los Mínimos ) deben ocurrir sólo en los puntos críticos. 
 
Optimización de Funciones Multivariables 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
…Volveremos sobre esto más adelante en el curso 
Optimización de Funciones Multivariables 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
A pesar de que todos los extremos aparecen en Puntos Críticos ( ie: Donde 
todas las derivadas parciales son 0 ) no todos los Puntos Críticos son 
extremos. Un punto critico puede ser: 
 
Un Máximo ( Local, Global, Estricto o No estricto) 
Un Mínimo ( Local, Global, Estricto o No estricto) 
 
O un punto de Inflexión o Punto de Silla. 
 
 
…Condición necesaria pero no suficiente. 
Optimización de Funciones Multivariables 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
El test de las segunda derivadas 
 
Considere la función z=f(x,y) cuyas derivadas parciales de primer y segundo 
orden : 
 
 
 
Existen. Se define D ( Determinante o Hessiano) como : 
 
 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
,
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
 , 
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
 y 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
 = 
𝜕2𝑧
𝜕y𝜕𝑥
 
𝑫 = 
𝝏𝟐𝒛
𝛛𝒙𝟐
 * 
𝝏𝟐𝒛
𝛛𝒚𝟐
 - 
𝝏𝟐𝒛
𝝏𝒙𝝏𝒚
𝟐
 
Recordar: 
¿Determinantes de 
una Matriz ? 
Optimización de Funciones Multivariables 
Contexto 
Optimización–Prof.Cristian García-Campo 
El test de las segunda derivadas 
 
Para todo punto crítico P = a,b tal que : 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 0 
 
Se tiene que: 
D(a,b) < 0 P es punto silla o de inflexión 
D(a,b) = 0 El test no entrega información sobre P 
D (a,b) >0 P es un mínimo o máximo local 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
 > 0 P es un mínimo local 
 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
 < 0 P es un máximo local 
 𝑫 = 
𝝏𝟐𝒛
𝛛𝒙𝟐
 * 
𝝏𝟐𝒛
𝛛𝒚𝟐
 - 
𝝏𝟐𝒛
𝝏𝒙𝝏𝒚
𝟐
 
Optimización de Funciones Multivariables 
Pregunta 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
 
 
 
 
 
 
Encuentre todos los puntos críticos de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 12𝑥 − 𝑥3 − 4𝑦2. 
Clasifíquelos en máximos, mínimos o puntos de silla. ¿Podemos decir que 
existe un extremo absoluto? 
Optimización de Funciones Multivariables 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
 
 
 
 
 
 
Tenemos que: 
 
 
 
Para encontrar los puntos críticos resolvemos el sistema de ecuaciones de 2x2 trivial: 
 
 
 
Que entrega los puntos críticos ( -2,0 ) y (2,0 ) . Las segunda derivas parciales por su parte son: 
 
 
 
Y por lo tanto: 
 
 
 
Optimización de Funciones Multivariables 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
 
 
 
 
 
 
Evaluando en los puntos críticos (2,0) y (-2,0) tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al no tener otros máximos relativos y un dominio definido en R, podemos decir que (2,0 ) es un 
máximo absoluto de la función. 
 
Extremo Relativo Máximo Relativo 
Punto Silla 
Optimización de Funciones Multivariables 
Pregunta 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
 
 
 
 
 
 
Encuentre todos los puntos críticos de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 6𝑦𝑥 + 𝑥3 − 𝑦3. 
Clasifíquelos en máximos, mínimos o puntos de silla. ¿Podemos decir que 
existe un extremo absoluto? 
Optimización de Funciones Multivariables 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
 
 
 
 
 
 
Tenemos que: 
 
 
 
Para encontrar los puntos críticos resolvemos el sistema de ecuaciones de 2x2: 
 
 
 
Que entrega los puntos críticos ( 0,0 ) y (2,-2) . Las segunda derivas parciales por su parte son: 
 
 
 
Y por lo tanto: 
 
 
 
Optimización de Funciones Multivariables 
Cierre 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
 
 
 
 
 
 
Evaluando en los puntos críticos (0,0) y (2,-2) tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al no tener otros mínimos relativos y un dominio definido en R, podemos decir que (2,-2) es un 
mínimo absoluto de la función. 
 
Extremo Relativo Mínimo Relativo 
Punto Silla 
Funciones de Múltiples Variables 
Cristián García-Campo 
Universidad de los Andes 
Optimización 
2° semestre 2018 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Recordatorios: Derivadas 
Contexto 
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Recordatorios: Derivadas 
Contexto 
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Recordatorios: Sumatorias 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Propiedades de las Sumatorias 
 
 
 𝒄𝒊 = 𝒄 ∗ 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
 𝒊 = 𝒊 +
𝒉
𝒊=𝟏
 𝒊
𝒏
𝒊=𝒉
𝒏
𝒊=𝟏
 
 𝒌𝒊 − 𝒌(𝒊−𝟏) = 𝒌𝒏 − 𝒌𝟎
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
 𝒌+ 𝒋 = 𝒋 +
𝒏
𝒊=𝟏
 𝒌
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
 
Recordatorios: Sumatorias 
Contexto 
Optimización–Prof. Cristian García-Campo 
Algunas Sumatorias notables: 
 𝑖 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
 (𝑆𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎)
𝑛
𝑖=1
 
 𝑎𝑘 =
𝑎 ∗ (𝑎𝑛 − 1)
𝑎 − 1
 (𝑆𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎)
𝑛
𝑖=1
 
 𝑖2 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
 
𝑛
𝑖=1
 
 𝑐 = 𝑛𝑐 
𝑛
𝑖=1
 
 
Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo 
Recordatorios: Matrices 
Contexto 
 El determinante de una Matriz A de 2x2 
 
Det A= 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo 
Recordatorios: Matrices 
Contexto 
 El determinante de una Matriz A de 3x3 
 
 Es 
 
 (−𝟏)𝒋+𝟏𝒂𝟏𝒋 ∗ 𝐝𝐞𝐭 (Â𝟏𝒋)
𝟑
𝒋=𝟏
 
 O equivalentemente: 
 
 
 
Para matrices de orden superior ( 3x3 o más ) se utiliza el método de entradas 
Funciones de Múltiples Variables 
Cristián García-Campo 
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2° semestre 2018 
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