Razonamiento Matemático

Vista previa del material en texto

NADINEOA
INUINIC
ESEIANA AMÉRICA 
_RAZONAMIENTO
LOGICO-MATEMATICO
twitter.com/calapenshko
 
PRE SAN MARCOS
AA
UNMSM- Centro Preuniversitario
_ RAZONAMIENTO
LÓGICO - MATEMÁTICO
1ra. edición
PRE SANMARCOS
FONDO EDITORIAL
UNMSM Centro Preuniversitario
 
twitter.com/calapenshko
Razonamiento Lógico-Matemático - 1ra. edición
Lima,setiembre del 2010
92010 UNMSM-CEPRE — Fondo Editorial
Jr. Torres Paz N* 1170
Santa Beatriz - Lima
 
Reservados todos 1 derechos. Quedaprohibido reproducir ¡wwe alguna de esta
publicación, cualquie. que sea el medio
empleado, sin el permiso previo de joseditores.
Correspondencia editorial cepreQunmsm.edu.pe
O Este libro ha sido redactado por los profesores del curso de RazonamientoLógico-Matemático que hanejercido la docencia en el CEPREUNMSM:
Comité editor:
—
Julio Flores Dionicio, Javier AylasOrejón, Elfren Chávez Machado, Jorge EstradaMenacho, Santiago Rojas Romero.Colaboradores: Javier Aytas Orejón, Luis CachiMonloya, Victor Calagua Porras, Raúl Castro Vidal,Gloria Castro León, Ellren Chávez Machado, HarveyChávez Távara, Jorge Estrada Menacho, Jesús FloresCruz, Julio Flores Dionicio, Humberto Gálvez Pérez,
Editor General
Raúl Moisés Izaguirre Maguiña
Editor Asociado
Julio Flores Dionicio
Coordinador de la Serie Editorial
Isaac Canales Quevedo
Cuidado de la Edición
Carlos Matta Rojas
Maria Laura Carranza Montañez
Diagramación, diseño y
artes de carátula
Estudio Alex Molina
Jr. Humboldt 159 - Lima 13
Edgar Gómez Borja, Nolán Jara Jara, Luz MalásquezChamba, Johnny Malaver Ortega, Luis NúñezRamirez, Julio Olazo Carlos, Félix Pariona Vilca,Roland Peña Flores, Carlos Quicaño Barrientos,Teófanes Quispe Méndez, Santiago Rojas Romero,Victor Terazona Miranda, Amelia Villanueva Yaya.Victoriano Yauri Luque,
Preparación de originales, archivos y registroPatricia E. Suárez Vilca
Marjorie Cecilia Benites León
Coordinación de preprensa
Elard Huerta
Producción Gráfica
András Ruiz Reyes / Javier Rojas Honores
Retoque de imágenes
Elard Huerta
Impresión y encuadernación
Centro de Producción Editorial+ Imprenta de laUniversidad Nacional Mayor ul ¿5an Marcos
Localprincipal: Je. Paruro 119, lima 1
Tell. 619-7000 anexo 6009/ Fr: 1004, 6018
Hecho el Depósito Legalen la Biblioteca Nacional del Perú
N* 1501012002-4896
 impreso en el Perú Printerin Perú
 
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)
RECTOR
Dr. Luis Izquierdo Vásquez
VICERRECTORADO ACADÉMICO
Dr. Antonio Peña Rodríguez
VICERRECTORADODEINVESTIGACIÓN
Dra. Aurora Marrou Roldán
CENTRO PREUNIVERSITARIO
DIRECTOR EJECUTIVO
Dr. Raúl Moisés Izaguirre Maguiña
DIRECTOR ACADÉMICO
Prof. Isaac Canales Quevedo
DIRECTOR ADMINISTRATIVO
CPC.Julio Palomino Silva
twitter.com/calapenshko
ÍNDICE
Introducción
CAPÍTULO!
Deductivo Simple. Conjuntos. EcuacionesLineales con una Variable. Ángulos de
un Triángulo
CAPÍTULO!
Deductivo Compuesto. Numeración. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos
Variables. Ángulos FormadosporLíneas Notables de un Triángulo.
CAPÍTULO IM
Verdadesy mentiras. Criptoaritmética. Inecuaciones Lineales con una Incógnita.
Congruencia deTriángulos.
CAPÍTULO IV
Ordenamiento de Información. Cuatro Operaciones Aritméticas. Sistema de
Inecuaciones Lineales en Dos Variables. Propiedades Fundamentales de la
Bisectriz yde la Mediatriz.
CAPÍTULO V
Parentescos, Números primos y divisores de un Número. Ecuaciones de
Segundo Grado. Desigualdades Geométricas y Base media de un Triángulo.
41
37
67
91
17
CAPÍTULO VI
Traslados. Divisibilidad. Inecuaciones de Segundo Grado en una Variable.
Propiedades Básicas enlos Paralelogramosy Trapecios.
CAPÍTULOVII
Arreglos Numéricos. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo.Teoria de
Exponentes. Proporcionalidad y Semejanza.
CAPÍTULOVIH
Inductivo Simple. Fracciones. Móviles. Relaciones Básicas en un Triángulo
Rectángulo
CAPÍTULO IX
Elementos Recreativos. Porcentajes, Relojes. Los Puntos Cardinales.
CAPÍTULO X
Certezas. Sucesiones, Progresiones Aritméticas. Circunferencias.
CAPÍTULO XI
Pesadas y Balanzas. Sumas Notables, Progresiones Geométricas. Ruedas,
Poleasy Engranajes
CAPÍTULO XII
Máximos y Minimos. Cuadrados y Cubos Perfectos. Productos Notables. Trazos
de Figures.
CAPÍTULO XIMI
Cortes. Promedios. Máximos y Mínimos de Algunas Expresiones Algebraicas.
Fórmulas Básicas para el Cálculo deÁreas.
CAPÍTULO XIV
Frecuencia de Sucesos. Razones y Proporciones, Factoriales. Propiedades
Fundamentales para el Cálculo de Áreas.
137
159
195
227
251
289
325
347
369
CAPÍTULO XV
Rotación y Traslación de Figuras. Proporcionalidad. Combinatoria. Áreas de
Regiones Circulares.
CAPÍTULO XVI
Rutas y Trayectorias. Regla de Tres. Ecuaciones Exponenciales.
Paralelepipedos.
CAPITULO XVII
Calendarios. Reparto Proporcional. Logaritmo. ÁreasLaterales y Totales.
CAPÍTULO XVIII
Otros temas de Razonamiento Lógico-Matemático. Mezclas. Operadores
Matemáticos. Volúmenes.
 
397
433
461
493
INTRODUCCIÓN
Razonamiento lógico-matemático es un manual que reúne un conjunto de
procedimientosteóricos, útiles en la resolución de problemas-modelosen la formación
preuniversitaria.
Lacalidad de las explicacionesy la variedaddeejercicios resueltos y propuestos
garantiza que este manualse convierta en la herramienta esencial del estudiante que
deseeafianzar su competencia académica en este rubro crucial en los exámenes de
selección y admisión a los centros universitarios.
El razonamiento lógico-matemático necesario para dar solución a un problema,
simple o complejo, exige un pensamiento analítico, exacto,riguroso, metódico,segúnel
clásico enfoquecartesiano.
Con másdequinientas páginas, este volumen cubre las necesidades básicas
delestudiante preuniversitario y dael sello de garantía para un aprendizaje efectivo y
eficiente, acorde con el desarrollo de los cursos propedeúticos de los centros
académicos.
El razonamiento lógico-matemático es un eje fundamental en la formación
preuniversitaria, puesto que tiene que ver, centralmente, con el desarrollo de
habilidades cognitivas esenciales en el pensamiento científico. La operación con
números, con variables, con propiedades topológicas, enhebra los conocimientos
básicos,pilares sólidos para las ciencias, humanidadese ingenierías.
Por ello, el curso de razonamiento lógico-matemáticotiene peso gravitante en
los exámenes, puesto que es un aspecto que evalúa una competencia de
potencial académico. De modoquesi un estudiante obtiene un buen puntaje +
área, ello es garantía de una buena performanceenlos estudios universitarios.
 
Estelibro se componede problemaságiles, novedosos,redactados para motivar
el desarrollo del pensamiento en los jóvenes estudiantes. Dadala presentación de
situaciones amenaspropiasdela vida cotidiana, estamos segurosde que la lectura de
estelibro será agradable y ejercerá un impacto positivo en elaprendizaje fluido de las
rigurosas matemáticas.*
Unobjetivo importante del razonamiento lógico-matemático en suaplicación ala
ciencia y a la vida cotidianaes el métododejustificación de las inferencias. Es decir, se
ocupa en gran parte de establecer técnicas para mostrar que un determinado
enunciadose sigue deductivamente o no se sigue deductivamentede otro enunciado.
Enesesentido, el razonamiento lógico matemático opera con axiomas,teoremas y
corolarios en un juegode la menterigurosoy apasionante.
os
Eltexto está organizado en dieciocho capítulos que abordan temas de cuatro
áreas: Lógico-matemática, Aritmética, Álgebra y Geometría. Cada uno delos capítulosestán ordenados de acuerdo a una secuencia lógica y se inicia con una exposición
teórica sencilla y accesible de los temasa tratar. Estos a continuación se esclarecen con
ejemplos resueltos en orden progresivo de dificultad y con ejercicios de reforzamiento,
presentados también segúnsu gradodedificultad.
Losautores
 
14.
twitter.com/calapenshko
CAPÍTULO |
 
Deductivo Simple. Conjuntos. Ecuaciones Lineales con unaVariable.
Ángulos de un Triángulo.
 
DEDUCTIVO SIMPLEEn esta sección vemosla aplicación del proceso deductivo a situaciones notan compli-
cadas y de mínima dificultad a lo cual denominamos "deductivo simple” porque se
requieren pocasvariables proposicionales y un razonamiento directo; por supuesto que
también requerimos un poco de creatividad de los estudiantes.
1.1.1. Proceso Deductivo
Concepto. Elproceso deductivo consiste en analizar y relacionar un conjunto de enun-
ciados tamados premisas, y a partir de ellos llegar a una conclusión. Nosolros aqui
veremoscasos particulares de dedución en los cuales se usan básicamentela estructura
*si.... entonces. ”, y de manera implica algunasleyes como la conmutatividad y asocialwidad
de la conjunción de proposiciones
Deducción inmediata. Llamamos asi al proceso medianteelcualla conclusión se ob-
tiene de maneradirecta relacionando los datos o premisas.
Ejemplo1
Sise tiene los siguientes enunciados:
L En un determinado sorteo, los que tienen númerospares tienen posibilidades de
ganaralgún premio.
1 Á Gaby y Kaly les dieron números impares.
ll La suma delnúmero de Patty con el de Katty es un número impar,
Entoncesse concluye que:
A)Gabytiene posibilidadesde ganaralgún premio.
B)Patty tiene posibilidades de ganar algún premio.
0) Gaby y Kattytienen posibilidades de ganaralgún premio.
D) Kattytiene posibilidades de ganar algún premio.
E) Gaby, Katty y Patty tienen posibilidades de ganar algún premio.
hi
 
Centro Preuniversitario UNMSS—_>——>—%%11010
Resolución
Relacionando las premisas:
1”. Dell y lll, Patty tiene un númeropar, pues número par + número impar = númeroimpar,
2. Del
y
portener Pattyun número par, ela tiene posibilidades de ganar sigún premio.Conclusión:
Paltytiene posibilidades de ganaralgun premio
Clave: 8
Deducción con ayuda de diagramas, Se recomienda el uso de diagramas conjuntistaseuandolos enunciados incluyen cuantiicadores o palabras como todos”, “algunos”,“ninguno”.etc. A continuación, veamos como usarlos diagramas:
1. Todos los “A” son "B”, Indica quetodo elemento del conjunto A también es elementodelconjunto B. Por tanto: "A" se incluye en *B".
8
l. Algunos “A” son *B”. Indica que algunoselementos son comunesa los conjuntos A yB. Por tanto: “A” se interseca parcialmente con *B”.
A U
 Il. Ningún “A” es “E”. Indica que ningun elemento es común a los conjuntos A y B.Portanto: "A" y "B" son disjuntos
DO
qA_=><A<>=>——APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
si
1 Ninguno de los que da monedas de S/. 1 de propina es profesional
11. Todos los que dan monedasde S). 5 de propina son profesionales.
Se concluye quer
A) Algunosde los que dan monedas de S/. 1 dan monedasde S/. 5
8) Ningunodelos profesionales da monedas de S/. 5.
C) Todoslos que dan monedasde S/. 1 dan monedas deS/. 5.
D) Algunos profesionales dan monedasde S/. 1
E) Ningunode los que da monedasde S/. 5 da monedas de SI. 1
Resolución
1. Denotamos: P = conjunto de profesionales,
Q = conjunto de las personas que dan monedasde 5. 1 de propina, y
R= conjunto de las personas que dan monedasde S/. 5 de propina
 
Del, setiene:
Q
twil calá
ho
LR. Del, setiene:
Q P
3. Delesquema anterior, es claro que R y Q son disjuntos, por ello
Ningunode los que da monedas de S/. 5 da monedasdeS/.1
Clave: E
Deducción simple e ingenio. Aqui vemos aquellos problemas cuya solución requiere
además de un razonamiento lógico simple y rápido, un poco de nuestra creatividad
eingenio.
Ejemplo 3
Para satisfacer sus deseos de fumar, un mendigo recoge colillas, y con 4 de ellas hace
un cigarrillo. Si ayer sólo pudo conseguir 25 colilas, ¿cuál es la máxima cantidad de
cigarrilos que pudo fumar ayer?
AJ9 B)8 c)7 D)6 E)5
14
Centro Preuniversitario UNMS» ———4+
Resolución
L 2514_ forma (E) cigarrillos, los fuma:
15
Quedan6 colillas + 1 colilla = 7 colillas
1. 7 [4_ forma (A) cigarrillo, lo fuma:
31
queda 1 colilla + 3 colillas = 4 colillas
Il, 4 L4_ forma (A) cigarrillo, lo fuma:
01
le queda unacolilla.
+. Total de cigarrillos que pudo fumar ayer. 6+1+1=8,
Clave: B
1.1.2. Problemas Resuehos
 
Problema 1
Los hermanosAldo, Beto y Coqui tienen 5,3 y 2 caramelos, no necesariamente en eseorden.Beto le dice al que tiene 3 caramelos queel que tiene 2 caramelosestá aburrido,y el que tiene 3 caramelosle pregunta a Coquí por su estadode ánimo. ¿Cuántos cara.melostienen Beto y Aldo juntos?
AJ3 B)5 C)7 D)8 E)10
Resolución
Resolvemospor deducción inmediata.
1. ComoBetole habla al que tiene 3 caramelos y hablan del quetiene 2 caramelos,entonces:
- Beto tiene 5 caramelos,y
+ Aldo y Coquitienen 2 y 3 caramelos, pero no necesariamente en ese orden.
2. Comoelquetiene 3 caramelos habla con Coqui, entonces:
- Coquitiene 2 caramelos,y
= Aldotiene 3 caramelos,
Luego, Beto y Aldotienen juntos: 5 + 3 = 8 caramelos.
Clave: D
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 2
Si
1. Todasmisprimastienen más de 20 años, y
Il. Algunas de mis primas son solteras.
Entonces se concluye que
A) Todas las mujeres solteras tienen másde 20 años.
B) Ninguna mujer mayor de 20 es sollera.
C) Algunasde mis primas tienen más de 20 años.
D) Todas mis primasson solteras.
E) Algunas mujeres mayores de 20 son solteras.
Resolución
Denotamos: M conjunto de mujeres que tienen más de 20 años,
 
$ = conjunto de mujeres solteras.
De |, se tiene:
Dell, se presentan dos posibilidades:
1. |
 
Perola primera no es posible porque estariamosafirmando quetodaslas solteras son
mayoresde 20,lo cual es falso (por ejemplo,las niñas recién nacidas son obviamente
solteras y menores de 20). Luego,el diagramacorrecto es el de la segunda posibilidad,y
asi tenemos la conclusión: Algunas mujeres mayores de 20 son solteras.
Glave: E
hs
16
Centro Preuniversitario UNMS——_—_
Problema 3
Un anciano dejó a sus cuatro hijos una herencia que consiste de nco parcelascontiguas de forma cuadrada, como muestra la figura. Si todos los hijos recibieron terre-nosiguales,¿cuál es el perimetro de cada terreno? 
A) 152m B) 158 m
 
C) 144 m D) 160m
 
 
E) 176m 1
32mResolución 1
1. Puesto que 5 noesdivisible por 4, cada parcela debe ser dividida en 4 partes iguales,obteniéndose 20 partes en total.
2. Acada hijo le corresponde
5
de las partes obtenidas, 7
3. Comotodosrecibieron terrenos iguales, cada uno de ihijos debe haberrecibido un terreno de la forma1
32m
Ll
 
los
 
 
 
 
 HL 48m — 
 
 cuyo perimatro es P=160m
Clave: D
Problema 4
Ayertenía 17 años y el próximo año tendré 18.Si mañanaserá mi cumpleaños, ¿en quéfecha naci?
A) 30 de junio B) 28 de febrero C)31 de diciembreD) 01 de enero E) 29 de febrero
Resolución
1. Como ayer tenia 17 años y mañana es mi cumpleaños:
- Hoy aún tengo 17 años,y
- Mañana cumpliré 18 años.
próximo año
2. Comoel próximoañotendré 18:
ana (cumpleaños)
= El próximo añoocurre mañana,y 18— Hoy es31dediciembre,
 
31 dic. 01 ene.
:¿ Mi cumpleañoses el 01 de enero.
Clave: D
 
12
124.
APTITUD MATEMÁTICA
CONJUNTOS
En esta sección utilizaremos la noción de conjunto en aplicaciones concretas. En la
resolución de problemas se usa comoestrategia, las representaciones gráficas como.
los diagramas de Venn-Euler y el de Lewis-Carrol.
Determinación y representación gráfica de conjuntos
Intuitivamente unconjunto es una colección de objetos con una caracteristica comun, a
estos oojetos se les denomina elementos del conjunto. Los conjutos generalmente se
denotan conletras mayúsculas,tal como. A,8, C.... X, Y, Z,y a sus elementosse deno-
tan con letras minúsculastal como: a, b. €, ...X, Y, 2
Determinación de conjuntos. Un conjunto quedará bien deten mado s: se conocen
todos suselementos ya sea explicita o implicitamente. Existen dos formas de determinar
un conjunto,las cuales son
+ Por extensión. Consiste er: indicar explicitamente cada uno «,
conjunto. Por ejemplo: Si A es un conjunto cuyos elementos
entonces se denota comoA = (2, 5,8,a, d)
los elementos de un
som: 2, 5. 8, a, d, ele.
 
 
« Por comprensión. Consiste en caracterizar todoslos elementos de un conjunto por
una o más propiedades comunes. Por ejemplo: Si A es el sonjuntode los estudiantes
del Centro Preuniversitario de la UNMSM, entonces
A= (xix es un estudiante del Centro Preuniversitario us la UNMSM)
Ejemplo1
El conjunto M está formadoporlos posibles resultados que se ublienen al lanzar dos
monedas. Silos resultados para la primera moneda son (cara)y s (sello) y por cada
uno de ellos se tiene las mismas posibilidades para la segunda, entonces:
AJM =(x/x es unacara de la moneda)
B)M = (x/x es un sello de la moneda)
 C) = (x /x es una cara o un sello de la moneda)
D) = (es, cc, ss, se)
E)M = (s, c)
Resolución
Los posibles resultados son:
Moneda 1: c, C, S, 5
Moneda 2:s, €, s, €
Luego el conjunto M= (cs, cc,ss, sc)
Clave: D
Representación gráfica de conjuntos. Para representar gráficamente a los conjuntos
se utiliza figuras geométricas llamadas Diagramasde Venn-Euler.
A B e
 
 
 
hr
Centro Preuniversitario UNMSM 
En algunos casos dondeexisten subconjuntos que son el resultado de la intersección de
conjuntosseutiliza los diagramasde doble entrada.
Hombres i Mujeres 
 
Asi tenemos: [O hombres que usanlentes (subconjuntode intersección del conjunto.
hombres y el conjunto delos que usanlentes)
BN mujeres que no usan lentes (subconjunto de intersección del
conjunto mujeres y el conjunto de los que no usan lentes)Ejemplo 2
Eneldiagrama se muestran a los conjuntos M, N y P con sus respectivos elementos.
¿Quéafirmación es verdadera?
M
CO
 
18
Resolución
Del gráfico se puede observar que:
- 3 pertenece a My a Na la vez
- M=(1,2,3,4,6,7)
- N=(3,4, 5, 6)
= 4 pertenece a My Na la vez
- 2n0 pertenece a N
Clave: E
1.2.2. Operaciones con conjuntos
Unión: Dados dos conjuntos A y B, entonces AUB=|x/xeA vxe B)representa-
do gráficamente porla región sombreada.
 
 
A, A A B
 
AuUB=A AuUB AUB
¡qx_I->AAA<A>APTIYUDMATEMÁTICA
Intersección: Dadosdos conjuntos A y B, entonces
AMGB=Íx/xeA nxeBl
representado gráficamente porla región sombreada
Dd) os
Ar B=B AB | AGB=4
 
 
 
Diferencia: Dados dos conjuntos A y B, entonces
A-Bek/xcA 2xeB)
representado gráficamente porla región sombreada
ho
 
CampAnaNe de un conjunto: Dado unconjunto universal 1! y los vorjunics a y B
tenemos: LAB Asa U/x=Baxe Aj
representado gráficamente por la región sombreada.
A
 
Observación, Si B=U, entonces Y A=At=A =U-A= fx/x 0 ox)
Centro Preuniversitario UNMSS
—
_<>—>—404%4%4
Ejemplo 3
Dados tres conjuntos A, B y C, tales que:
 
Hallar: [(A UC) - (AU B) uy [Bn.c)- (Anc)
A) (4, 5, 8) BI4,5,7) 018.57)
—
P)(3.5,8) En
Resolución
Utilizando el diagrama de Venn-Euler, tenemos:
([SQ
Ni
c
Luego
—
[(AUC)-(AUB)=(1,2,3,4,5,7)-(0,1,2,3,4, 8)
=(5,7)
[6 .0)- (Anc) fa, 4)- (2, 3)
= (4)
de donde [(A UC)
-
(AB)u[E nc)- (an C)|= (4, 5,7)
Clave: B|
1.2.3. Problemas resueltos
Problema1
De un grupodeturistas que visitaron las ciudades de Cusco, Huaraz y Cajamarca, sesabe que: todos los que visitaron Cajamarca tambiénvisitaron Cusco, 22 visitaronCajamarca,34 visitaron Huaraz, pero no Cusco,110 visitaron Cusco o Huaraz, 12 visita-ron Cuscoy Huaraz, pero no Cajamarca, El número de turistas quevisitó sólo Cusco esel triple de los que visitó Cajamarca y Huaraz, ¿Cuántos visitaron Cajamarca y Cusco,pero no Huaraz?
A)J5 B)6 C)7 D)8 E)9
22AFTIVUD MATEMÁTICA
Resolución
) Sean: el número de turistas que visitaron Cajamarca y Cusco, pero no Huaraz
1) Sea x: el número de turistas que vistaron las tres ciudades.
il) Llevandoa un diagramalosdatosdel problema, tenemos:
a
x+n=22, también
34 +12+22+3x= 110
3x=42
x=14
n=22-14
n=8
Cusco
Huaraz,
Luego tenemos:
Clave: D
Problema 2
En una encuesta realizada a una determinada cantidad de postulantes al Centromen Ñ . aPreuniversitario de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se obtuvo el siguiente?
resultado:
+ El 34% deltotal postulan a Medicina Humanao Enfermeria
+ Aenfermeria sólo postulan mujeres.
+ Treinta y seis postulantes lo hacen a Enfermeria
+ El número de mujeres que postulan sólo a Medicina es la mitad de las personas
que postulan sólo a Enfermeria.
+ Catorce varones postulan a Medicina
¿Cuántos encuestados no postulan a Medicina ni a Enfermeria?
A) 192 B) 132 C) 136 D) 145 E) 138
Resolución
l) Sea T el númerototal de postulantes encuestados.
1), La x. el número de personas que no postulan a medicina ni a enfermeria.
ll) Llevando a un diagrama los datos dei problema tenemos:
! MY]
x
]ca Enfermería
Varones ! Mujeres
 
 
 
A
IV) Del gráfico tenemos:
68+x=T luego:
34
100
 
=68 > T=200
V) Luego: x= 200 - 68 = 132
Clave: B
Problema 3
De cierto número de mujeres; se sabe que:
+ Ungruposólotienen zapatos negros, otro grupo sólo zapatos azules y las restan-tes de otros colores.
+ El 33% de ellas tienen zapatos azules, pero notienen 20 años.+ El 9% no tienen zapatos negrosni azulesy son mayores de 23 años.+ El 16% no tienen zapatos negrosni azules y no son mayores de 23 años.
¿Qué porcentaje son de 20 años y tienen zapatos azules. s¡ ellas son la sexla parte de
todasfas que tienen zapatos negros?
A) 6% B) 5% 0) 4% D) 7% E) 8%
Resolución
|) Sea x: el número de mujeres que tienen 20 años y zapatos azules; luego las quetienen zapatos negros serán: 6x.
11) Ordenando los datos del problema en un diagrama tenernos:
Zapalos
negros 
20 años
No mayores
de 23 años
Mayores
de 23 años 
11) Del gráfico, obtenemos:
Tx + 33% + 16% + 9% = 100%
= 7x= 42%
> x=6%
Clave: A
 — ASTITUD MATEMATICA
Probleina 4
De 192 pobladores de una asociación se determinó lo siguiente: 70 eran iqueños, 80
huanuqueños y 90 <1an músicos, de estos últimos 39 eran iqueños y 31 exarhusruqueños.
¿Cuántosdelos que no son huanugueñosno eran iqueños ni músicos?
 
 
1128 825
 
24 0922 EJ23
Rosolución
1) Seay el numerode pobladores que no son huanuqueñosni iqueñosni músicos,
luegodel diagramatenemos:
92 - (70 + 20 + 80)
92-170
2
 
 
Hi) Graficando los dal
 
ha
 
 
Clave: D
1.3. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
Por medio de simbolos, el álgebra puede manejar toda clase de problema en un solo
episodio de razonamiento. En el simbolismo radica parte de la nolable eficacia del álge-
bra, Los procesosdel álgebra se puedenaplicar en forma directa al problema de
encontrar cantidades desconocidas que se presenta en muchassituaciones. La Ecua-
ción del Primer Grado o Lineal con una Variable es una de las ecuaciones más sencillas
del álgebra.
Nosotrosutilizaremos las ecuacionesálgebraicasen las aplicacionesdirectas. Para esto
necesitamosrecordarlas estrategias de despejarla variable o incógnita de la ecuación.
1.3.1. Ecuaciones en resolución de problemas
Concepto 1. Una ecuación algebraica es una igualdad de dos expresiones algebraicas.
Las dos expresiones que conforman una ecuación se denominan lados o miembros, que
se separan por un signode igualdad "=".
Centro Preuniversitario UNS_>
Concepto 2. Una ecuación lineal ena variable x es una ecuación que puede escribirseenla forma:
ax+b=0, donde ayb soncostantes y a20
Estrategia. Para resolver una ecuación lineal se lleva a cabo una serie de operacioneshasta que se llega a una ecuación equivalente en el cual la variable se encuentra sola enun miembro.
Ejemplo1
La suma delas edades de Juan, Pedro y Mario es 69 años. Sila edad de Juan es el dobleque la de Pedro y 6 años mayor que la de Mario, ¿qué edadtiene Mario?
A) 24 años B) 15 años C) 30 años D) 25 años E) 18 años
Resolución
Del problema setiene que
Edad de Juan: 23
Edad de Pedro: y
Edad de Mario: 2J-6
Además, 2J+J+2J-6=69 25J=75 > J=15
Luego,la edad de Mario = 2 (15) - 6 =24 años.
Clave: A
Ejemplo 2
Carlos y Alberto empiezan a jugar teniendo Carlos el doble de dinero que Alberto. CuandoCarlos pierde S/. 400, entonces Alberto tiene el doble de lo que tiene Carlos. ¿Con cuántoempezó Carlos?
A) S/. 900 B) S/. 600 €) S/, 1000 D)S/. 800 E) S/. 400
Resolución
Delproblemase tiene que:
Carlos tiene: 2x twitter.com/calapenshkoAlberto tiene: x
Dela suposición tenemos que:
x + 400
=
2(2x - 400)
x+ 400 = 4x - 800
3x= 1200
x=400
Luego, Carlos liene 2x = 800.
Clave: D
APTITUDMATEMÁTICA1.3.2. Problemas Resueltos
Problema1
Un obrero por cada semanaquetrabaja ahorra S/. 80, pero cuando deja solamente de
trabajar un día por semanagastaS/. 40 de susahorros. Si durante 12 semanasahorró
S/. 360, ¿en cuántas semanas no ahorró?
Ay7 B)6 C)5 D)8 Er
Resolución
Número de semanasen el que no ahorro: x
Número de semanasen el que ahorro: 12 -x
Delenunciado tenemosque:
80 (12 - x) - 40x = 360
96 - 8x - 4x = 36
12x=60
x=5
Clave: €
Problema 2
Se tienen dos grupos de monedas de pesosdiferentes. El primero consta de 44 mone-
das de 8 g cada moneda,y el segundo consta de 40 monedas de 10 g cada moneda, R5
¿Cuántas monedasdebemosde intercambiar de ambosgrupos para que adquieran igual
pesolos dos gruposy no varie elnumero inicial de monedasde cada grupo?
A)12 B)10 Cc) 18 D) 16 E)20
Resolución
Número de monedas de 8g +n:44 -n
Número de monedas de 109 -n:40% +n
Número de monedas aintercambiar: n
Del problemase tiene que:
(44 - n) 8 + 10n = (40 - n)10 + 8n
176 - 4n + 5n = 200 - 5n + 4n
2n=24
n=12
Clave: A
Problema 3
En una familia el padre gana 120 soles por hora y la madre gana 110soles por hora.
Despuésde 25 días trabajados el padre recibió 14. 500 soles másque la madre, puesto
queleboró 4 horas más pordía. ¿Cuántas horas trabajó diariamente la madre?
Ay 10 B)8 Cc) 12 D)6 E)S
Centro Preuniversitario. UNMS»
 —
MI
Resolución
Númerode horas que trabajó pordía la madre: n y c/hora gana: 110 pesosNúmero de horas que trabajó por dia el padre: n + 4 y c/hora gana: 120 pesos
Del problemase tiene que:
25 (n +4) 120 - 25 (n) 110= 14500
120n + 480 - 110n
=
580
12n +48 - 11n =58
n=10 Clave: A
Problema 4
Con eldinero que lengo puedo comprar 10tarjetas navideñas del mismo precio y me sobraSÍ, 5,pero para comprar 22 tarjetas me faltarian S/. 31. ¿Cuánto tengo?
A) S/. 30 B)S/. 36 C)S/. 24 D) S/. 42 E) S/. 35
Resolución
Costo de c/u de las tarjetas: n
 
Dinero que tengo: 10n +5=22n-31
120 =36
n=3
Por lo tanto tengo S/. 35 Clave: E
Problema 5
Todos mis pantalones son negros, menos cuatro;todos son azules, menos cuatro; todosson verdes, menos cuatro. ¿Cuántos pantalonestengo en total?
AJS B)9 C)6 D)8 E)7
Resolución
Número total de pantalones: n
Negros Azules Verdes
n= (n-4)+(n-4)+(n-4)
3n-12 
Clave: C
1.4. ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
1.41.Conceptos Básicos de Triángulos
Elementosde un triángulo. Los elementos básicos deltriángulo ABC son:
*Lados: AB, BC y AC B
+ Vértices: A, B y C
+ Angulosinteriores: XA, %B y <C
(Y BAC, L ABCy 4 BCA)
» Ángulo externo: $.
 
(+JPTITUDMATEMATICA
+ Clasificación. Se puedenciasificar en relación a susladoso enrelaciónde sus ángulos,
como se mencionan a continuación.
a) Conrelación a sus lados:
 
Equilátero Isósceles Escaleno
b) Con relación a susángulos:
 
AG
Rectángulo | Acutángulo Obtusangulo
ms. A=90* má A<90* mí A >90*
mí 8 <90*
ma C<90*
Observaciones
+ La hase de un triángulo es uno (cualquiera) de sus lados.
+ Permetro de un triángulo es la sumade las longitudes de suslados
+ Lado opuestcalvértice de un triánguloesel lado donde no está dich vértice
+ Ángulus adyacentesa unlado de un triángulo sonaquellos ángulos =1109 vér ti
Iremosde dicho segmento
 
 
 
Ejemplo1
Enla figura adjunta, ¿qué afirmación es verdadera?
A) % MNQesisósceles.
B) 1 QNPes acutángulo.
C) Y MNQ es rectángulo.
D) 1 QNPes escaleno,
E) A MNQ es obstusángulo.
 
Centro Preuniversitario UNMS4 —_—_>—__
Resolución
+ Completamos la medida de todos los ángulos
interiores en los triángulos MNQ y QNP.
+ AQNPes obtusángulo y la medida de sus ángu-
los sondiferentes.
> 4 QNPes escaleno.
 
Clave: D
1.4.2, Relaciones Angulares de un Triángulo
a)En todo triángulo la suma de las medidas desus tres ángulos interiores es igual a 180".
 
a+p+0
 
b) Entodotriángulo la medida de un ángulo externoes igual a la sumade las medidasdelos ángulosinteriores no adyacentes.
D
o
 MÁ 3 P=a+0
 
e) En todo triángulo la sumade las medidas de sus tres ángulos externos no opuestosporel vértice es 380".
 
 
x+y+z= 360%
 
 APTITUD MATEMÁTICA.
Ejemplo 2
En la figura adjunta, f +0 = 60*. Calcular el valor de ($ - 9)
A)35*
8) 40"
0) 45"
D) 25"
E) 50*
 
Resolución
+ Enela AFE: a +$B=90".
+ Enel á ABF: Pa +0 (poránguloexterno)
>0=P-0>en(1) P-0+P=90*=>2P-9=90"...... (2)
+ DatoB +0 =60* (3)
+ Sumando(2) y (3): 3$ = 150" => $ = 50" en (3) >9=10*
Luego: P-8=40*
(1)
 
 
Clave: B
 
1.4.3. Problemas Resueltos
Problema 1
En lafigura adjunta, a = 16” y AB = BD = DE = EF= FC.Calcularel valor de 6.
A)48*
8) 50"
c) 52"
D) 54*
E) 50"
 
Resolución
+ Completamos la medida de todos los án-
guiosinteriores en los triángulos EFC,
DEF, BDE y ABD.
+ Enela ABD: 0+4a+40=180*
>0,=180"-8u = 0=180*-8 (16%
=20=52
 
Clave: C
30
Centro Preuniversitario UNMSM —-
 
Problema 2
Enla figura mostrada, EBC es un triángulo equilátero y m 4 EDC
=
70*. Calcuarel valor de x
A)30*
8115"
Cc)20*
D)25*
E) 35*
 
Resolución
+ ABCDes isósceles > 22=80=2=40*
+ 4 DCEesisósceles x +z = y = 70"
> x=30
 
Clave: A
Problema 3
Enla figura adjunta, AB = BD = EC. Hallar el valor de x.
A) 109
B) 20"
c) 15
D) 129
E) 25%
 
 
 
 
Resolución
* ABDCes isósceles > 22 = 80" :> 2 = 40"
* SEBDes isósceles = a + z= 70" =2=30*
+ ABEC > a+x= 50" >x=20*
 
Clave: B
45.
 APTITUD MATEMATICA
Problema 4
Dela ñígura adjunta,
 
Resolucion
Enel... EDS prolongamos EB
para formar un ángulo extemo,
+Ensl AABC:2x=y+z
(por ángulo externo)
 
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1. A Carmen, Alicia,Betty y Diana se les asigna un sólo número entero del 5
al 8 a cada unade ellas. Si Alicia no tiene unnúmero par, pero si tiene un número mayor
que el de Diana, y Betty y Diana tienen números pares, ¿cuánto suman los números
asignados a Carmen y Betty?
A)14 B) 12 01 D) 13 E)15
Problema 2. Si algunos estudiantes practican deportes, algunos estudiantes reciben
S/. 30 de propina y todoslos que reciben S/. 30 de propina practican deportes, entonces:
A) Ninguno que practica deportes recibe S/. 30 de propina
8) Algunos estudiantes que practian deportesreciben S/. 30 de propina
(G)Todos los que practican deportes sonestudiantes.
D) Ningún estudiante recibe S/. 30 de propina.
E) Todos los quepractican deportes reciben S/. 30 de propina sonestudiantes 
3
32
Centro Preuniversitario UNMS»——————
Problema 3. Un niño que está aprendiendo a caminar avanza 4 pasos y retrocede 2,yCada uno de sus pasos equivale a 30 cm. Sil niño repite esta peculiar forma de caminarhasta llegara un punto situado a 6 m de su punto de partida y todo su recorrido fue enlinea recta, ¿cuántos pasos habrá dado?
A)52 B) 56 C) 54 D) 50 E) 60
Problema 4. Javier tiene 3 cajas iguales, en una de ellas coloca caramelos, en otraChocolates y en laúltima caramelos y chocolates, Luegolas cierra y empaqueta, pero almomento de rotularlas se equivoca en todas. ¿Quécaja debe abrir para rotularias.correctamente si sólo puedeextraer un dulce de dicha caja?
A) La que dice “caramelos”.
B) La que dice “chocolates”
C) La que dice “chocolates y caramelos".
D) La quedice "caramelos" o *chocolates”indistintamente.
E) Cualquiera de las cajas.
Problema 5. A Zelma le preguntaron: "¿Cuál es la fecha de tu cumpleaños”, y ellaContestó: "Anteayertenía 29 añosy el próximo año tendré 32 años”.¿Cuántos años tiene Zelma y en quéfechanació?
A) 31 años y 31 de diciembre 8) 31 añosy 1 de enero.
C) 30 años y 30 de diciembre. D) 30 años y 1 de enero.
E) 30 añosy 31 de diciembre.
Problema 6. De un grupo de 90 estudiantes se sabe que: 12 prefieren matemáticas, peronoliteratura; 27 prefieren literatura, pero no tienen 18 años; 18 que no prefieren literaturano prefieren matemáticas
y
tienen 18 años; 7 prefieren leralura y tienen 18 años, pero noPrefieren matemáticas,4 prefieren matemáticasy literatura y tienen 18 años. ¿Cuántosestudiantes que no tienen 18 años, no prefieren matemáticasni literatura?
AJ22 B)24 C) 25 D) 21 E) 20
Problema7. De 250 personas que viven en una ciudad se tiene la siguienteinformación:75 eran ayacuchanos,92 eran huancaínos,105eranprofesionales, de estos últimos 40eran ayacuchanos y 36 huancalnos.¿Cuántas personasde los que no son ayacuchanosnoeran huancainos ni profesionales?
AJ58 0 Bas C)54 D)55 E) 52
AAAAPTITUD MATEMÁTICA
Problema 8.De los empleadosvarones de una empresa transnacional se sabe que: 60
eran peruanos,88 profesionales; de los peruanosel 75% usaban termoy la tercera parte
de éstos eran profesionales. De cada 4 profesionales uno usaba terno. ¿Cuántos em-
pleados que usaban ternonoeran peruanos niprofesionales, si en total 90 usaban terno?
A)40 B)39 0) 42 D) 35 E) 38
Problema9. En una empresa ganadera donde hay 8400 cabezas de ganado ovino se
sabe que de las hembraslas 3/8 son crias, los 2/5 del número total de hembrases igual
al número de machosy 2/5 del número de hembras adultas están preñadas. ¿Cuántas
hembrasadultas no están preñadas?
A) 228. B) 2250 0) 2150 D) 2050 E) 2350
Problema10. En un centro superior tecnológico de computación estudian 67 alumnos
entre ingresantesy regulares, de ellos 47 conocen Mallab, 35 Visual Basic y 23 Matlab y
Visual Basic. ¿Cuántos estudiantes de este centro de estudios no conocen Matlab ni
Visual Basic?
A)8 B) 10 C)9 D)7 EJ12
Problema11. El valor de ciertolibro se duplica cada 10 años. Si el valor dellibro después
de 40 añoses S/. 96, ¿cuálfue el valorinicial dellibro?
A)S/. 3 B) S/. 6 CC) S/. 4 D)S/. 5 E) SI.7
Problema12. Marcos le pregunta a Carla; "¿Cuánto has gastado de los S/. 140 quete di?",
y Carla le contesta: "He gastado las 3/4 partesde loque no he gastado”, ¿Cuánto gastó Carla?
A)S/, 40 B) S/. 60 C) SI. 30 D) S/. 50 E) SI. 80
Problema 13. Una persona compró 132 vasosa razón de S/. 4 la docenaeneltransporte
se rompieron 30. ¿A qué precio debe venderse cada unode los restantes para obtener
na ganancia total de S/. 7?
A) SI. 1,00 B)S/.0,50 C)S/.0,60 D)S/.0/65 E) S/. 0,70
Problema 14. Un padre va al cine con sus hijos y al querer sacar entradas de S/, 3
observa quele faltaría dinero para dosde ellos, y entoncestiene que sacarentradas de
SI. 1,50 de tal modoque entran todosy le sobra S/. 3. ¿Cuántos eran sus hijos?
AJ8 8)5 c)7 D)6 EJ9
Problema 15. Unheladero compra con S/. 4800 dos cajones conteniendo cada una 150
paquetes de barquillos, uno de estos cajones le ha costado S/. 600 más que el otro;si elheladero vendió 70 paquetes del cajón de mayor costo y 30 del otro, cobrando por
todo S/, 2000. ¿ Cuánto ganó en la venta efectuada?
A)SÍ, 440 B) S/. 420 C) S/. 320 D) S/.360 E) S/. 380
pa
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema16.En la figura mostrada, AB = BC = BP. Calcularel valor de x.
B
A) 5* A
B) 10" 0
0) 15*
D) 20*
E) 30" A E] '
c
Problema17.En la figura adjunta, calcular el valor de x.
Apis”
B)20*
0) 40"
D)30*
E) 45"
A) 36"
8) 40*
c)20*
D) 30*
E) 32"
 
Problema19, Enla figura mostrada, AB = BC = AD.Calcular el valor de x.
B
AJ8*
B) 10"
0) 15" AG DC
D) 18*
E)5"
0
%
APTITUD MATEMÁTICA
Problema20. En la figura adjunta, AB + AD = BC. Calcularel valor de x.
A) 20"
8) 12*
c)15”
D)16*
E) 19"
1D
2.B
3A
4.0
Ss.E
SA
7.0
8.E
CLAVES
9 B
10.A
1.8
12.8
13.8
148
15.0
16.B
 
17D
18.D
19.B
20.A
A)
twitter.com/calapenshko
24.
211,
CAPÍTULO II
 
Deductivo Compuesto. Numeración.
Sistema de Ecuaciones Lineales con DosVariables.
Ángulos Formadospor Líneas Notables de un Triángulo.
 
DEDUCTIVO COMPUESTO
Enestá sección veremos problemas en los cuales debemosrelacionar la información
dada; como nombresde personas con alguna actividad u oficio queellos realizan o el
lugar de procedencia que nosotros llamaremos variables. La información que se recibe
casi siempre está dada en forma desordenada, que aparenta no guardar ninguna rela-
ción, pero haciendo uso del ingenio y de ta deducción lógica se podra obtenerla relación
buscada a partir de dicha información.
Deductivo Compuesto con Datos Explícitos
Ejemplo 1
Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, César y Roberto, practican cada uno un deporte
diferente.
(1) Gustavo quisiera jugartenis en lugar de fútbol.
(1) Albertole pide prestadas las paletas de frontón a Roberto.
(1), César nunca fue buen nadador.
¿Qué deporte practica César?
A)tenis B)fútbol C) natación D)frontón E) básquet
Resolución
Primera forma
1. Se construye un cuadro de doble entrada, donde se coloca los nombres los deportes
diferentes (de preferencia en la primera columna van los nombres).
E
30
Centro Preuniversitario. UNMS-» ————_——-
 
Tenis Fútbol Frontón Natáción
 
 
Gustavo.
 
Alberto
César
Roberto ||
 
 
2. Luego se empiezaa llenar el cuadro de acuerdo ala información dada enel problema
Dela información (1) se deduce queGustavopráctica fútbol, entonces entre Gustavo y
fútbol escribimos *>" o la palabra “si”, de (II) es claro que Roberto practica frontón,
entonces entre Roberto y frontón “3" o "si", luego se tiene:
 
 
 
 
 
 
aportes]
Tenis Fútbol Frontón Natación
Nombres” |
Gustavo X Y, xo x |
Alberto Xx x Y]
césar E Xx
Roberto Xx E Z Xx 
3. Dela información (lll) César no practica natación, porlo tanto se deduce que Alberto
practica natación y César practica el tenis, entonces entre Alberto y natación, y entre
César y tenis escribimos *3"
4. Los demás espaciosblancos de la tabla se llenan como consecuencia de los espacios
ya marcados resumidos en la siguiente regla: “Para cada par de variables, tanto en la
horizontal como en la vertical debe ir un solo “3” o la palabra “si” y el resto de los
espacios completamos con *x” o con la palabra "no", luego se obtiene:
 
 
 
 
 
Deportes]
Tenis Fútbol Frontón Natación
Nombres
Gustavo Xx Y x ES
Alberto Xx E Xx A
César Y Xx Xx Xx
Roberto E Xx 4 x 
Dela tabla se concluye:
H Gustavopracticafútbol.
H Alberto practica natación
- César practica tenis.
=Roberto practica frontón
Clave: A
 
—APTITUD MATEMATICA
Segunda forma
Delejemplo anterior. otra forma de relacionarlas dos variables (nombresy ueparie), es
mediante el uso de las flechas. Veamos:
1. Construimos las dos columnas donde colocamos los nombresy deportes.
 
"NOMBRES DEPORTE |
 
Gustavo.
 
2. Lueyo de los datos mencionados setiene:
De (1) Gustavo practica fútbol, que lo relacionamoscon una flecha
De (11) Robertopractica frontón, quelo relacionamos con otra flecha
De(111) César practica tenis, y en consecuencia Alberto practica natación.
 
 
 
 
 
 
 
 
NOMBRES DEPORTE
Gustavo Fútbol
Albert Frontón
César Tenis
Roberto 
Tercera forma
ña
Otra forma de resolver este tipo de preblemases mediante un proceso “direct
cual no es necesario hacer ningún tipo de cuadro adicional, sóto haciendo use
vazonamiento lógico y a partir de ello deducir nuevas informaciones.
 
enel
de un
 
Delejemplo 1 se »endria lo siguien
fútbol, de (11) Roberto practica fronión, de (li!) César no
:sar practica: tenis y se deduce que Alberto practica natación.
 
Deinformación (+) Gustavopra
es nadador, luego
 
Hayproblemas donde hay información de personas convarias actividadesu oficios.
En esa caso usaremosel cuadro de decisiones ampliado, como veremosen el
siguiente ejemplo,
Ejemplo 2
Tres amigas: Sandra, Blanca y Vanessa escogieron un distrito diferente para vivir y se
movilizan usando un medio de transporte distinto;los distritos son: Lince, Jesús Maria,
Rimacy los medios de transporte son:bicicleta, moto y microbús
(1), Cuando Blanca tenga dinero se comprará una moto y se mudará al Rimac.
(1!) Desde que Vanessa vive en Jesús Maria ya no tiene bicicleta.
(La que vive en Lince toma dos microbuses.
¿En qué distrito vive Sandra y en qué medio de transporte se moviliza?
A) Lince — bicicleta B) Rimac— bicicleta C) Jesús Maria — moto
D) Lince - microbús D) Jesús Maria — bicicleta
Centro Preuniversitario UNMS»—
Resolución
1. Para relacionar las 3 variables, construimos un cuadro de doble entrada,y en uno delos lados se coloca 2 de las variables.
Lince
|
Jesús María
|
Rimac
|
|
Bicicleta Moto
|
Microbús
Sandra
Blanca
Vanessa
 
2, Dela información obtenida se tiene:
De (|) Blanca no se moviliza en moto ni vive en elRimac.Do (1) Vanessa vive en Jesús María y no se moviliza en bicicleta. Luego se tiene:
Lince
|
Jesús Maria
|
Rímac
|
|
Bicicleta Moto
|
Microbús
Sandra
Blanca X X
Vanessa Xx X X
 
3. De (1) y (11) y observando !la tabla se sigue que Blanca vive en Lince y también observamos
que Sandravive en el Rimac y llenamosel primer cuadro.
Lince
|
Jesús Maria] Rímac
|
|
Bicicleta
|
Moto Microbús
Sandra Xx X
Blanca Y. X X X
Vanessa Xx X X
 
4. Deotrolado,del dato (11) se tiene que Blanca toma microbús y como consecuencia deello se puedellenar el segundo cuadro.
Lince
|
Jesús Maria
|
Rimac
|
|
Bicicleta Moto
—|
Microbús
Sandra X X X XBlanca Xx X X
Vanessa X Xx Xx Xx
 
Porlo tanto: - Sandravive en el Rimac y se moviliza en Bicicleta.
- Blanca vive en Lince y se moviliza en microbús.
= Vanessavive en Jesús María y se moviliza en moto.
Clave: B|
Observación. Hay problemas en donde es dificil de llenar el cuadro con la informaciónobtenida; es decir, no podemos facilmente obtenerla respuesta deseada para el proble-ma,En esta situación se recomiendalo siguiente:
Se cambia la posición en que estaba ubicada en la tabla, por ejemplo, los nombres(de personas) con una cualidad específica, esto es, si en la primera columna como
_A
_-APTITUD MATEMÁTICA
usualmente es, va colocado los nombres, lo trasladamosa la primera fila, y la cualidad
(o caracteristica) que estaba en la primera fila la trasladamos a la primera columna.
Veamosel siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
Tres amigos de nombres,apellidos y ocupaciones diferentes, se reúnen en la casa de
uno de ellos y tenemosla siguiente información
(1), Samuel no apellida Mamani
(11) Quispetrabaja de contador.
(l) El actor sellama Hugo
(1V) Elprofesor no apellida Condori.
(V) Unode los amigos es Carlos
¿Cuáles la ocupación y el apellido de Samuel?
A) profesor — Quispe B) profesor — Mamani C) contador - Quispe
D)actor — Quispe E) actor - Condori
Resolución
1. Construimos el cuadro ampliado y colocamos los nombres, los apellidos y las
ocupaciones.
Mamani Quis; Condori Contador Actor [Profesor
Samuel
Hugo la
Carlos
 
2. Dela información que se tiene: de (1) (11), (11) y (1V) se tendria el siguiente cuadro:
Mamani [Quispe Condori Contador Actor Profesor
Samuel X
Hugo. Xx y. X
Carlos Xx
 
Comoseve, hay dificultad para poderllenar el cuadro y así obtenerla respuesta deseada.
3. Luego,si construimosel cuadro de la siguiente forma
Mamani Quispe Condori Samuel Hugo Carlos
Contador
Actor
Profesor
 
Dondese ha cambiado de posición la de los nombres porla de las ocupaciones(profe-
siones) respectivas.
4. Dela información que setiene en (11, (1) y (1V):
Mamani Quisy Condori Samuel Hugo Carlos
Contador XxX Xx
Actor X Xx Y. Xx X
Profesor X X
 
Centro Preuniversitario UNMS» ——__u—_
De (1) sabemos que Samuel no apellida Mamani, luego se deduce que Samuel es conta-
dor, luegola tabla se llena como consecuencia de los datos ya marcados,luego tenemos
el cuadro:
 
 
 
 
 
 
 
 
H CondoriXx Carlos.Xx
Xx
Y,
Quispe SamuelMamani o 
 
 
Contador
Actor X Y X
Profesor Xx X X
Por tanto, Samueles Contador y su apellido es Quispe.
 
 
 
 
 
 
lu
Xx
X Y.
Xx
 
Clave: C
Otra forma
Secuencia: 1, 2, 3, 4.
Se observa que Samueles contador y su apellido es Quispe
NOMBRES APELLIDOS OCUPACIÓN
Samuel
Carlos
Hugo
 
Ejemplo 4
Katy, Omar y Marilú estudian en tres universidades A, B y C, Ellos estudian Ingeniería,Periodismo y Turismo. Katy no está en A. Omar no está en B. El que está en B estudia
Periodismo. El que está en A no estudia Ingeniería. Omar no estudia Turismo, ¿Quéestudia Marilú y en que universidad?
A) turismo - 8 B) turismo — A C)periodismo - C
D) ingieneria —A E) periodismo - B
Resolución
Katy_| Marilú
[
Omar [Ingen. [Period-] Turis.
Xx X
Xx X
 
Como Omar no estudia Turismo, entonces puedeser que estudie Ingenieria o Periodis-
mo. Pero al no estar en la universidad B, no estudia Periodismo; con lo cual se deduce
queestudía Ingenieria.
 
 ——— APTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
 
 AA E Z
 
Kaly Marilú [Omar ][ingen- [Period Turis
Xx
E
L 
Porlo tanio, Marilú estudia Turismoen la Universidad A.
Clave: B
2.1.2, Deductivo Compuesto con Datos Implicitos
Son aqueilos problemas uondeluegode llenar el cuadro de aoble entrada Lonlus alos
en forma direcia no se puede concluir. Es entonces que se busca un dato 1» más adicio-
nales implícitos en los anteriores.
Ejemplo$
Se sabe que las profesiones de Judith, Elba, Rosa y Queta son prolesora, nubticionista,
abogada yocontóloga, aunque no necesariamente en ese orden
St
|) Judith está casada conel hermano dela nutricionista.
II) Elba yla odontóloga van trabajar en la movilidad de la nutricionista
II) Rosa y la profesora son solteras e hijas úl
M Elbe y Queta son amigas de la abogada,l
nicas.
la cual está de novia.
¿Quién es la abogaday quién esla odontóloga?
A) Rosa — Judith B) Rosa -
D) Elba- Queta E) Queta —
Resolución
Elba C) Judith — Queta
Rosa
 
 
LES
 
 
 
Comala ahogada está de novia, entonces Judith que es casada nu +s abogada. De
donde se deduce que es odontóloga.
 
 
 
 
 
 
 
Protencin. usreioriaós .Aógnda
*x x x
y E xo
X X Y
x X x 
 
 
Porlo tanto, la abogada es Rosa la odontóloga Judith.
Clave: A
Centro Preuniversitario UNMS»
—
_á>—_
2.1.3. Problemas Resueltos
Problema 1
Enuna sala de conferencias se encuentra un ingeniero, un contador, un abogadoy unmédico. Los nombres aunque no necesariamente en el orden de las profesiones sonPedro, Daniel, Juan y Luis. Si se sabe que:
l)
-
Pedro y el contadorno sellevan bien.1) Juan selleva muy bien con el médico
II), Daniel es pariente del abogadoy éste es amigo de Luis.M Elingeniero es muy amigo de Luis y del médico
¿Quién es el abogado?
A) Pedro B) Juan C) Daniel D) Juan ó Daniel
—
—
E)Luis
Resolución
 al
 
ión]
Ingeniero
|
Contador
|
Abogado
|
Médico
 
 
 
 
 
¡nombres
Pedro Xx
Daniel x Xx
Juan x x
Luis x Y x x
 
ComoPedro y el contador Luis no se llevan bien, y el abogado es amigo de Luis, enton-ces se deduce que Pedro no es abogado.
 
 
 
 
 
ofesión]
homes: Ingeniero
|
Contador
|
Abogado
|
Médico
Pedro Xx X
Danlel Xx XA
Juan dE *x Y *x
Luis Xx Z Xx
 
+. Juan es abogado.
Clave: B|
Problema 2
Las señoritas Rocio, Carmen, Juana y María,tienen los apellidos Alva, Barreto, Calvo yDelgado, aunqueno necesariamente en ese orden. Si se sabe que:- Rocio y Delgadofueron a la casa de Calvo que vive en Comas.* Carmen, Alva y Barreto son secretarias de la PRE y la primera siempre llega tardeporque vive en Ancón.
- Alva, Calvo y María los vienes se van a jugarbingo.
¿Cuáles el nombre de la señorita Alva?
A) Maria B) Juana C) Carmen D) Rocio o Maria E) Rocio
 APTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
 
 
Resolución
apellidos]
Alva Barreto Calvo Delgadonombres"
Rocio Xx X
Carmen Xx Xx
Juana Xx Xx
María E Xx
 
Como Calvo vive en Comas y Carmen vive en Ancón, entonces se deduce que Carmen
nose apallida Calvo.
 
 
 
 
 
Gpalidos|
Alva Barreto Calvo Delgadonombres
Rocio Y Xx x x
Carmen x x XA Y
Juana x Xx Y x
Maria E Y Xx Xx 
+. La señoritaAlvatiene por nombre Rocio.
Clave: E
Problema 3
Rosa, Carmen y Alicia son amigas. Una es soltera, otra es casada y otra es viuda (aun-
que no necesariamente en ese orden). Se sabe que:
-Alicia no es casada
- La viuda y Rosa son colegas.
 
 
 
 
 
 
Entonces:
A) Rosa esviuda 8) Rosa essoltera C) Alicia es casada
D) Alicia es viuda. E) Carmen es viuda
Resolución
doLS viuda
|
Como Alicia no es casada,
a % 7 x entonces Alicia no es viuda, por
953 lo tanto, Alicia es soltera.
Carmen x x Y Luego, Carmen esviuda.
Alicia Y x Xx
Clave: E
Problema 4
Ana,Bertha, Carlos y Diana,tienen diferentes ocupaciones: periodista, médico,kinesiólogo
y matemática viven en las ciudades M,Y, Z y W. Se sabe que:
- Carlos no vive en Mni en Y. - Ana vive en W.
- Diana es kinesióloga. - El periodista nunca a emigrado de Z.
- El médicovive en M,
¿Qué profesión tiene Ana?
A) abogada 8) médico C)periodista D)kinesióloga E) matemática
 
Centro Preuniversitario UNMSM —
 
 
 
 
 
 
Resolución
period.| méd.
|
kines.
|
mat. [m
|
y
|
z
|
w
Ana | Xx Xx X|v
Bertha Xx Xx Xx
Carlos x XxX] vYpx
Diana
|
x
|
x
|
v%
|
x Xx]
Comoel periodista nunca a emigrado de Z y Carlos vive en Z, entonces Carlos es el
periodista,
El médicovive en M, y como Ana vive en W, entonces Ana no es médico.
 
 
 
 
 
eriod.| méd.
|
kines.
|
mat.
|
m
|
Y
|
z [w
Ana x Xx Xx Y |XIx|X|v
Bertha] Xx Y x X |Y“[Xx|x]|x
cart Y PX Lx [xxx ix
Dianal X
|
x
|
Y
|
x |Xx[v[|xix 
Luego,Anatienela profesión de matemática.
Clave: E
2.2. NUMERACIÓN
Lossistemas de numeración son conjuntos de simbolos convencionales quesirven para
Fepresentar (en forma correcta) y operar con los números.
2.2.1. Reglas
1. Se elige un número entero mayor que uno (x >1) como base del sistema de numeración.
2. Se usan los simbolos: O, 1, 2, ...; (x- 1) conocidos como cifras, dígitos o guarismos,
hasta una unidadanterior a la base
3, Todo número puede ser obtenido por combinación de las cifras anteriores con potencias
del número que representa la base delsistema de numeración de la siguiente manera:
pea ataraa (1)
 Abreviadamente se escribe: 3, a,
 
3 222) ++ (2)
escritura que recibe el nombre de numeral, donde:
X-> base del sistema de numeración.
Bd) 1 0.8, > cifras,
 
1,2, ....k > orden que ocupa cada cifra.
 2
>
APTITUD MATEMÁTICA
Por ejemplo:
Hallar la escritura de las siguiente expresiones
Es3 0+4.6+5.0+2,6'+ 1 0+3
F=70+6,7:+1
Resolución
Para la primera expresión: E = 345 213,
donde se escriben sólo los coeficientes y la base es el número que se repite.
Para la segunda expresión: Debemos completar las potencias que faltan con el coefi-
ciente cero,
F=7*+0.7+6.7+0,7+1
 
= 10.601),
Observación
- El sistema de numeración comúnesel sistema de numeración decimal (base 10).
- Convencionalmentela base 10 no se escribe.
Veamos un cuadro de diferentessistemas de numeración las cifras que pueden usarse.
 
Base Nombre delSistema Cifras
 
 
2 Sistema de Numeración Binario 0,1
 
3 Sistema de Numeración Temario 0,1,2
 
4
__|
Sistema de Numeración Cuaternario
|
0, 1,2,3
 
 
10 Sistema de Numeración Decimal 0,1,2,3,..
12 Sistema de Numeración Duodecimal 9,1,2,...,9, 10, 11
 
 
 
 x__ Sistema de Numeración en BaseX 0,1,2,....(X-1)
 
[Se denomina cifra no significativa al O
Cifra significativa: 1,2, 2, 3,.....(x-1)
Ademáspara cifras mayores que 9
a=10, P=11,y=12,5=13, e=14, 4=15, etc.
 
twitter.com/calapenshko
Centro Preuniversitario UNMSM:
 
Siel valor es mayor, éste se encierra entre paréntesis, por ejemplo:
cifra cuarenta = (40)
cifra cincuenta y dos = (52)
2.2.2. Descomposición Polinómica
La descomposición polinómica, no es sino el proceso contrario, es decir, de un numeral
se puedeobtenerla combinación de lascifras por las potenciasde la base.
Porejemplo:
54 06% 16% 36'+ 46*
LE asuierecha hay O cifras
a su derecha hay 1 cifra
a su derecha hay 2 cifras
a su derecha hay 3 cifras
asu derecha hay 4 cifras
 
Descomposición Polinómica en Bloques. Veamoslos siguientes casos que nos
permitirán entendereste concepto.
 
A) Primer caso: Cuando las cifras se repiten periódicamente.
Por ejemplo:
Si se tiene el numeral N = ababab(x) y vemos quese repite el periodo 35, se tiene:
 
N = 2b0000(x) + abO0(x) + 2D(a)
N= aba)(10000/4)) + aba) (100/49)+ 2B()
N = 2b(x) (10000(,) + 100(y) + 1)
N = aba) (10101(,))pita
(a)
Nota: Regla práctica para calcular (a)
N=ababab
yiiddd
010101pasos
á
APTITUDMATEMÁTICA
Por ejemplo:
Sea N=225022502250,, 225022502250
iisilJrilids
N = 2250, 100010001, 000100010001
(se lee de derecha a izquierda)
B) Segundocaso: Cuandolascifras no se repiten en formaperiódica. Cada bloque que
se forma se considera comosi fuese una cifra y se aplica el criterio general.
Veamos algunas formas de descomponer un numeral de 4 cifras
N=medu=m.10%+ ¿du,
3cifras
N=mcdu=m.103 +2d.101+ y
 
15Ía
N=abed=3b.10?+ cd
2 dias
E=abod=abc.10'+ u
1 día
Por ejemplo:
25623 =25. 10? +623
73486 =734.. 10*+86
73486 =7348 ,10+6
Ejemplo 1
Jaimito dijo el día de ayer: “mi año de nacimiento es un número impar representado por
1935 y enel año 19 (a + 1) (b + 2) cumplía. b años. ¿Cuántos años tiene en el año
19 (a + b)(a + b)
A)45 B) 35 Cc) 54 D) 34 E) 43
Resolución
Edad = Año actual - Año nacimiento
Barib:2-Bd-PbPÍ=
 
Centro Preuniversitario UNMS» ——_—-___
 
Del año T8ab= impar > b es impar => b=3
>2=4
Entonces enel año TSTa+b)(8+b) = 1977
edad Jaimito = 1977 - 1943 = 34 años
Clave: D
2.2.3. Observación Importante
1. Si bc
Da<xib<x;o<x;O<a
2. Si 20) = MPa,
>2a=m, b=n,c=p
 
3. Si abc(y = my > x<y “A mayornumeral menor base".
4, Representación en sistema decimal
Si N tiene dos cifras => 10 SN < 10?
Si N tiene tres cifras > 10% s N < 10%
Si N tienek cifras: => 10%1s N < 10%
Por ejemplo: 10* <20480<10*
5. Representación en base “x”
N,= N en base x
Si N, tiene dos cifras =x <N,<x?
Si N,tiene tres cifras > 2 SN <x%
SIN, tiene
k
cifras => xl SN <oxl
Por ejemplo: 5% s 1234(5 < 5%
[—_APTITUDMATEMÁTICA
Ejemplo 2
 
Calquiar el valor de (m+n +p-a=x). si 2a8(6)= MNP4y)-
A B)2 C)-7 D)-6 EJO
Resolución
A mayor numeral menor base. =>x<6 y x>4
=>x=5
Del numeral se tiene: aaa(e) = 2.111, =2(8? + 6 + 1) =43a
Enlaigualdad 43a= MAPá(5)
43a= m5 +n.5' +p.5 +4
5
 
4a=5+4 y a<6
129=43(3)= 5 +4
Luego convirtiendoa base 5:
 
= 393) = 1004, =m
 
n=0 ,p=0
=men +p-a-x=1-3-5=-7
Clave: €
Ejemplo 3
¿En cuántos sistemas de numeración 3344 se denota contres cifras?
A)43 8)41 0)42 D) 45 E) 44
Resolución
Sea N, = 3394
como N, tiene tres cifras > 2 SN, <x%
> six
5 3344 » 3344 <x2
15574 A x>14,7
> 147<x 5574
2 x=15,16,17,...,57
e
Hi de sistemas =
 
Clave: A
Centro Preuniversitario. UNMS»
 —
—_—A>=>———_
2.2.4. Problemas Resueltos
Problema 1
Hallarrepresentación decimal del numeral; (2
-
2) a (3 + 4),
 
* AJOS B) 85 0)75 D) 80 E) 20
Resolución
Se tiene que: y sl <8
Primerdígito Mayordigito
mayor que menor que la
cero base
> a>2 y a<4
»a=3
luego: (a- 2) a (a+ 4)a =1374 =1x 87 +3x8+7
=64+24+7=95
Clave: A
Problema 2
¿En quésistema de numeración 481 se representa como abab ? Dar como respuesta
(a + b) másla basedelsistema desconocido.
 
Ay B)9 0) 15 D) 13 E) 14
Resolución
Sea x= La base desconocida
Tenemosque:
481=abab,,
481=101,,2D
37.13=(x +1Xax+b)
x+1=372x=363x=6
>ax+b=13>6a+b=13
pa
21
17X
>a+b+x=2+1+6=9
Clave: B
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 3
¿Cuántos numerales de tres cifras del sistema decimal se expresan en base 11 con tres
cifras iguales?
AA 8)5 0)6 D)7 EJ9
Resolución
Para un númeral detres cifras en el sistema decimal se cumple
111 < abc <1000 ...(1)
Por dato: 2bC=>0%19 =X:114,y
abc = 133x
Reemplazando en 1: 100 < 133x < 1000
0,74 < x<74
=> x=1,2,3,4,5,6,7
= | Sonsiete numerales.
 
Clave: D
Problema 4
¿En qué sistema de numeración existen 1485 números naturales que se representan
bajo la forma a (a + b)b?
AJbase52 B)base54 C)base55 D)baseG4 Ejbasec5
Resolución
28 + D) Bin, n = base buscada
> a>0, O<a+b<n
Dando valores tenemos:
a=1=> b=0,1,2,...(n-2) => (n-1)valores
a=2> b=0,1,2,...(n-3) = (n-2)valores
a=3> b=0,1,2,...(n-4) = (n-3)valores
> 2 valores
> valor
 
Cantidad total de números:
(-9n
1+2+3+ ...+ > (n-1)=1485 > = 1485
 
= n*-n=2970 => ni-n-2970=0
> (n- 55) (n+54)=0
> n=55
Clave: C
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
 
2.3. SISTEMA DE ECUACIONESLINEALES CON DOS VARIABLES
2.3.1.Definición
Esun conjunto de dos ecuaciones lineales, cada una con dos incógnitas(x, y):
ax+by=c
Sa) E
Donde a,b.c.d.e y f son númerosreales dados.
Una solución delsistema (1) es un par de números, denotado por(x,y,), que satisfaceel sistema (1). Para que el sistema (1) tenga solución única debe cumplir que
1.t
-
4.4 20. Para determinarla solución se puede emplear cualquiera de los métodos yaconocidos:adición,sustracción, sustitución, igualación, etc.
Ejemplo 1
El precio de seis metrosde tela casimir es el mismo precio de 15 m de tela de lanilla. Si
el precio de 10 m detela de lanilla es S/. 60, ¿cuánto cuesta el metro de casimir?
A) S/. 14 B) S/. 15,5 C)S/. 13,5 D) S/. 15 E)S/. 13
Resolución
Costo de cada metro de tela casimir: x
Costo de cada metro de tela de lanilla: y
 
Delproblema se tiene
5
MY DEN(1)
10y=60 => y=S/.6
5
En (1): x=>5(6)=15
Clave: D
Ejemplo 2
Nelson lanzó “m" veces un dado. El máximo puntaje total que pudo haber obtenido es120, pero obtuvo 66 y sólo sacó puntaje par, Si 3 veces obtuvo el puntaje 6. ¿Cuántas
veces obtuvo el puntaje 2?
AJ10 B)6 Cc)4 D) 15 812
Resolución
 
m: 44 delanzamientos . .
ind de veces quesalió 4 . 
 
 
prat de veces quesalió 2 P- veces
>APTITUD MATEMÁTICA
Delproblema se tiene que:
Puntaje máximo = 6 m=120 = m=20
n+p+3=20 > n+p=17 =n=17-p
 
Ademásse sabe que:
3(8)+4n+2p=66=> 4n+2p=48=20+p=24 -..(2)
(Den(2) : 217-p)+p=24
34-2p+p=24> p=10
Clave: A
2.3.2. Problemas Resueltos
Problema 1
Unganadero estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o por el mismo precio 9 vacas y 9
loros, entonces con el mismo dinero decide comprar el mismo número de animales de
cada clase. ¿Cuántos animales compró?
 
A)30 B)27 0)24 D)21 E)18
Resolución
D' dinero quetiene 9 +9T
8: precio de cada oveja
V: precio de cada vaca 2) D=x0+xV+xT
T: precio de cadatoro De(1)y(2):720=x0+x(V+T)=x0+8x0
3) 720=(9x)0
x=8
3x=24
Clave: €
Problema 2
La sumadelascifras de un número de dos digitos es 12. Si el orden de los digitos se
invierte, el númeroresultante excedeal número original en 36, Hallar el númerooriginal.
A)75 B)57 Cc) 48 D) 56 E)42
Resolución
N= 36
atb=12= a=12-b... (1)
ba - db =36 > 10b+a-102-b=36 00 -9a=36
Centro Preuniversitario. UNMS» —__—>z_———_J
Simplificando:
b-a54..... (2)
(1) en (2): b-(12-b)=4
>2b=16>b=8
En(1) a=4 = N=48
Clave; B
Problema 3
Se divide un mismo número entre 2 números consecutivos, obteniéndose en ambos
casos45 de cociente. Silos 2 residuos suman73, unode ellos es
 
A)12 B)14 Cc) 24 D) 28 E)45
Resolución
Del problema setiene que: Además:
N= q(4S) +r,=(q+1)45+r, r, +rRETS... (2)
45q+r,= 45q+45+r, De (1) y (2) se tiene que: 2r, =118
1,0595... (1) ar, =59
Luego 1, =14
 
Clave: B.
Problema4
 
Cuando compro cuadernos, por cada decena me regalan dos, y cuando vendo, por cada
docena regalo uno, ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 432 de los mismos,
si no me quedo con ninguno?
A)780 B) 360 C) 390 D) 420 E)720
Resolución
if decenas: x
* docenas: y
Compro Regalo Recibo
10% 2 12
Vendo Regalo Entrego
12 y 13y
Recibo = Entrego
x= 1 (1)
vendo =12y=432 = y=36
En (1): 12x= 13(36) => x=39
compro: 10x = 390
Claw
 
 —— APTITUD MATEMÁTICA
2.4. ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
2.4.1. Propiedades Básicas
a) Ángulo formadopordos bisectrices interiores
En todotriángulo la mayor medida del ángulo formado porlas bisectrices de dos
ángulosinterioreses igual a 90* más la mitad dela medidadeltercer ángulo interior.
 
x= 90*->
 
 
b) Ángulo formadopordosbisectrices exteriores
En todo triángulo la menor medida del ángulo formado por las bisectrices de dos
ángulos exteriores es igual a 90* menosla mitad de la medida del tercer ángulo interior.
 
 
 
x=00-2
2 
 
c) Ánguloformadopor una bisectriz interior y otra bisectriz exterior
En todo triángulo la menor medida del ángulo formado porla bisectriz de un ángulo
interior y la bisectriz de un ángulo exterior es igual a la mitad de la medida deltercer
ángulo interior.
 
 
"
n
i
o
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
a) Ángulo formado por una altura y unabisectriz
Entodo triángulo la menor medida del ángulo formado por una altura y unabisectriz
interior queparten de un mismovértice, es igual a la semidiferencia de las medidas de
los otros dos ángulosinteriores.
 
Si BH es altura del triángulo ABC
y BD es bisectriz del ángulo ABC
 
 
8) Ángulo formadopor una altura y una mediana
Entodotriángulo rectángulo la menor medida del ángulo formadoporuna altura y una
mediana queparten delvértice del ángulo recto esiguala la diferencia de las medidas
de los ángulos agudos.
 
isc
 
M
 Si BH es altura deltriángulo ABC E
y M espunto medio de AC
 
 
 
Ejemplo1
Enla figura adjunta, calcular m PRM.
A)126* B)133*
C)123* D)124* E) 125*Resolución=
+ MÍÁNP=00*- 2
=
68(propiedad b)
seSn
«mPRM=90 +=3 5128(propiedad a)
4 »
Clave: €
APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
En!la figura adjunta, BM es mediana del triángulo ABC.Calcularel valor de x.
 
A)30* B)22*30" B
C) 40*30" D) 32* >
E) 25"
Resolución
A H D
* Enel ABC: x= 50 - 3u => x= 2a
* Enel 4 ABC: Sa + 30 = 90” > 2a = 22*30" => x= 22*30"
Clave: B
2.4.2.Problemas Resueltos
Problema 1
Enla figura adjunta, AB = BC = BD,calcularel valor de x.
 
Ay12* B) 10" B D
5
c)6* D)9"
7
ene > e
o AAResolución e
+ 4 ABD esisósceles
+ Enel 4 ADC: x «m2 (propiedad c)
=m4D=2x
+ 4 BCD esisósceles
= M4BCD= 2xta
«Por ángulo externo en el A ABE y
ela CDE: a+40'=a+4x=x=10*
 
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema 2
Ena figura mostrada,calcularel valor de (x - y).
AJ15*
B)16*
Cc)17"
D) 18*
E) 14
 
Resolución
740
q53"propiedad b)
* 0+P=90%> y =90*-x =37%
 
*Enel A ABC: Xx =90* >x-y =16* Clave; B
Problema 3
En|la figura adjunta, calcularel valor de x.. 8
DoA)40* B) 30*
Cc) 20" D)15*
Resolución AsLea E ce
D F
+ Prolongamos BD y EF|hasta que
se cortan en P
2x
*Enel AABE: m £ DPF = Ze
+ ADFP: dx +4x+x=180%> x= 20"
Clave: C
 
25.
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 4
Enla figura mostrada, calcularel valor de (a + $ +0).
A) 180*
B) 360"
c)270*
D) 120*
E) 90*
 
Resolución
 
“Enelá ABD: 0= 2 =0=y
*Enela EBC: popa
+ Enel a sombreado x+ a +y= 180*
> 0tr0+p=180*
Clave: A
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1. Detres amigos, se sabe que:
Juan no estudia en la Universidad Católica. David no está en la Universidad de San Mar-
cos, el que está en la Universidad Católica no estudia Ingeniería Industrial, el que está en
la Universidad de San Marcosestudia Ingenieria Mecánica. David no estudia Economia.
Sila otra Universidad es la Técnica del Callao, ¿qué estudia Tomásy dónde?
A) Economiaen la U. San Marcos. B) Economíaenla U.Técnica delCallao.
C) Economía enla U. Católica. D)Ing. Mecánica enla U. Católica.
E) Ing. Mecánica en la U. de San Marcos.
Problema2. Cinco amigas buscarán trabajo, pero deciden hacerlo en cinco distritos
diferentes: La Molina, SanIsidro, Pueblo Libre, Lima y Miraflores, Si se sabe que
Elsairá a la Molina.
Lassuegras de Carmen y Mirian viven en San Isidro, por lo cual deciden noir a este
distrto
- Mirian vive en Pueblo Libre.
= Mónica vive en Lima y es la única que ha decidido buscar trabajo en el mismodistrito
donde vive,
-- ANancy le esindiferente el distrito donde trabajará.
 
Centro Preuniversitario UNMS», —__u—=————_
 
Podemosafirmar:
A) Mirian buscará trabajo en Pueblo Libre.
B) Nancy buscará trabajo en Pueblo Libre.
C) No es cierto que Carmen buscará trabajo en Pueblo Libre
D) Nancybuscará trabajo en Lima.
E) No es cierto que Nancy buscará trabajo en Miraflores.
Problema 3. Alberto, Pedro, Jonathan y Jorge postularána las universidades UNI, U. deLima, U. de San Marcos y U. Vilarreal, ellos estudiarán matemática, arquitectura,ingenie-ría y periodismo
Se sabe que:
- Alberto no deseaVillarrealnila de Lima.
- El que deseaestudiar en la UNI estudiará arquitectura.
- El que postula a San Marcos no estudia ingenieria y aqui tiene auge el periodismo- Jonathan prefiere matemática que periodismo.
- El que pretendela de Lima quiere ingenieria.
- APedrole agrada arquitectura.
¿Quéy dónde estudiará Jorge?
A)IngenieriaUNI B) Arquitectura — S. Marcos C) Matemática —U.de Lima
D) Ingenieria —U, de Lima E) Periodismo = S. Marcos
 
Problema 4. A, B,C y D practican los siguientes deportes: natación, atletismo,fútbolytenis, y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Se sabe que:
- Cno vive en los Olivosnien Breña
- Elalleta vive en los Olivos
- Aviveen Miraflores.
- Desfutbolista.
- Elnadador nunca a emigrado de San Borja.
¿Qué deporte práctica A?
A)natación
—
B)atletismo C)futbol D) básquet E) tenis
Problema5. A unafiesta asistieron 4 parejas que sólo bailaron entre ellos y al mismo
tiempo,un rosk, un bolero,unasalsa y un vals. Al salir ellas comentaron:
Natty: Disfrulé másbailando bolero con Raúl, que rock con Paul
Patty : Mientras bailaba bolero con Dany, él me besó.
Katty : Cuandobailaba salsa con Tony, nos tropezamos.
Betty : Nunca más volveréa bailar salsa con Raúl.
¿Quiénes baiiaron vals con Katty y Bettyrespectivamente?
A) Dany - Raúl 8) Paúl - Dany C) Paul - Raúl
D) Dany - Paul E) Tony - Paul
 
-—— APTITUD MATEMÁTICA
Problema6. Calcularel valor de: (a+ b-+m+n), si:
AS8im=DDSA(a y 202m) =Bb57(9
AJ21 B)22 C)23 D) 24 E)25
Problema7. ¿A quésistema corresponde 2244, si su equivalente en el sistema heptal
es 114157
A)octal B) nonal C) décuplo D) undecimal E) duodecimal
Problema 8. Se reparte S/. 616 entre cierto número de personas, correspondiéndoles
respec: vamente a cada una de ellas: abs), abys) abi»)... abizo, Soles. Calcular el
valor de (a+b).
AJ3 B)5 C)4 D)J6 E)7
Problema9. El número de páginas que tiene un libro está comprendido entre
300 y 600. Se sabe que: ÍNDICE = a hojas, INTRODUCCIÓN= c hojas, TEORÍA =
a0c hojas, PROBLEMAS = ab” hojas y TOTAL = abc] hojas. ¿Cuántas hojastiene el
libro?
A) 235 B) 255 C) 165 D) 265 E) 285
Problema10. Endossistemas de numeración de bases consecutivas, hay en una 520
numerales de tres cifras más que enel otro. Calcular la menordedichas bases.
A) base 11 B) base 13 C) base 9 D) base 15 E) base 14
Problema11.En dossalones hay igual número de personas,por cada cinco personas
quesalen delprimero, del segundosalón salen 3 paraentrar al primero y uno más se
retira a su casa. Cuando hay 50 personasenel primero, en el segundo hay 20. ¿Cuántas
personas había inicialmente en cada salón?
A) 100 B)90 C)85 D)8o E)75
Problema12. Sial doble del dinero de Gabyse le agrega eltriple del dinero de Sandra,
resulta S/. 8 y si al séxtuple del dinero de Gabyse le resta el cuádruple del dinero de
Sandra, resulta S/.11. ¿Cuánto dinerotienen entre ambas?
A) S/, 1 B) S/. 3,5 C) S/. 2,5 D) Sy. 2 E) S/. 1,5
Problema13, En las aulas P. Q y R de un colegio se tiene que las aulas P y Q juntas
tienen 85 alumnos; y las aulas Q y R juntastienen 75 alumnos;y las aulas P y R juntas
tienen 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene el aula Q?
A)35 B) 40 0)45 D) 50 E) 48
 
Centro Preuniversitario UNMS» —_<>—áw—2—2—%—02—2—24%4%420>
Problema14. En unahacienda hayvacas, caballos y cerdos, Sin contar las vacas hay
24 animales; sin contar los caballos 36 animales; sin contar los cerdos 28 animales.
¿Cuáles el número de caballos en dicha hacienda?
A)10 B)18 c)12 D)8 E)16
Problema 15. Gustavo tiene en total mn aves entre pollos, patos y pavos; todos sonpatos menos8 m; todos son pavos menos12 n y todos son pollos menos 6 m. ¿Cuántos
pollos tiene Gustavo?
A) 13 B)17 0)23 D) 24 E)18
Problema16. Enla figura adjunta, PM = MR.Calcularelvalor de *x”.
A) 120"
B) 130*
C) 100"
D) t10*
E) 105* 
Problema 17. En la figura adjunta, a + $ +8+y= 150", Calcular *x"
A) 100*
B) 105"
C) t10*
D) 115*
E) 120"
 
Problema 18. En el gráfico mostrado, calcular el valor de *X'.
A)70*
B) 85*
Cc) 120*
D) 9s*
E) 130*
 
 
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 19. En la figura adjunta, calcularel valor de *x”.
A) 40"
B) 20*
C) 10*
D) 36*
E) 18*
 
A) 60*
B) 40*
C) 50"
D) 70*
E) 30*
CLAVES
16 5.D 9.A 13.8 17.8
2E 6.E 10.8 14.D 18.E
3.D 7.D 1.D 15,0 +9.D
4E 8.C 12.8 16.A 20.4
twitter.com/calapenshko
 
34.
EXEN
CAPÍTULO Ill
 
Verdades y Mentiras. Criptoaritmética. InecuacionesLineales
con una Incógnita. Congruencia de Triángulos.
VERDADES Y MENTIRAS
Eltemade verdades y mentiras es una parte importante de la lógica matemática que permite
descifrar acertjos sobre veracesy mentirosos, es deci,identificar a los personajes hipotéticos
que dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus afirmaciones o de lerceros.
El temaencarna la idea esencial del famoso enunciado de Kurt Gódel (el lamado Segundo
Teorema de Incompletituc) que afirmaque todo sistema matemático consistente con suficiente
poderpara realizarlo que se conoce como arilmética elementaldebe padecerla sorprendente
limitación de no poder nunca demostrar su propia consistencia
Para identificar a los personajes hipotéticos utilizaremoslos razonamientos por casos,
reduccón al absurdo, por analogíay otros. Estos razonamientos nos permitirá descartar
un cierto número deposibilidades inconsistentesy tener sólo una posibiliciad consistente.
Veraces y Mentirosos
Concepto.Los veraces o caballeros son los personajes que siempre formulan o dicen
enunciados verdaderos. Los mentirosos o bribones son los personajes que siempre
formulan enunciados falsos. Cada personaje que participan en las acciones de los
problemas o es un veras o unmentiroso, en algunos casos podrán ser veraces o
mentirosos hasta un número limitado de afirmaciones.
Ejemplo1
Supongamos que los casados siempre mienten y los solteros siempre dicen la verdad
Félix dce: “Luis y yo somos solteros”, y Luis dice: "Félix es casado”. Si sólo unode ellos
miente, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
l) Félixdijo la verdad
1) Félices casado y Luis es soltero,
111) Félixessoltero y Luis es casado.
14) Luis dijo la verdad.
V) Félix es soltero y Luis miente.
AJiy in B)Il y Iv C)l y V D) III y IV E) Ill y V
pr
Centro Preuniversitario UNMSS —_—z—
Resolución
Supongamos que Félix dijo la verdad, entonces Luis miente. Asi tenemos:
Según Félix: Luis es soltero.
Luis miente; Luis es casado.
Este resultado es un absurdo, así esta posibilidad queda descartada. Luego tenemosla
Única posibilidad consistente:
Félix: miente y es casado.
Luis: dice la verdad y es soltero.
Clave: B|
Ejemplo2
Supongamosque ofrezco a Lewis dos premios: Premio 1 y Premio 2, Tiene que formulartn enunciado.Sisel enunciado es verdadero, entonces debo darte uno de los dos premios(sin decir cuál de los dos). Si su enunciado es falso, entonces no gana ningún premio.SiLewis desea el Premio 1, ¿cuál de los siguientes enunciados podría formular para quelegarantice que ganará el Premio 17
1), Usted medará el Premio 2. 11) Usted no medará el Premio 1.111) Usted no medará el Premio 2. IV) Usted me dará el Premio 1.V) Usted me dará uno de los premios.
Ay B)IV o! D)V En
Resolución
Supongamos que fórmula el enunciado (1). Si este enunciado es verdadero, tendría elPremio 2 y no tendria el Premio 1; sieel enunciado es falso, no tendría ningún premio. Esteenunciado no podría escoger.
Supongamosqueformula el enunciado (11). Siéste es verdadero, tendria el Premio 2 ynoel Premio 1; si el enunciado esfalso, tendría el Premio 1 y no tendría ningún premio, es unabsurdo. Luego con este enunciado tendría siempre el Premio 2.
Supongamosque formula el enunciado(II). Si el enunciado es: verdadero,tendria el Premio1; siel enunciado esfalso,tendría el Premio 2 y no tendría ningún premio,es un absurdo.Luegoconeste enunciado tendria siempre el Premio 1.
Razonandoda forma análoga que para los enunciados (1y (11), descartamosla formulación
delos enunciados (IV) y (V).
Así, Lewis,si deseael Premio 1, tendrá queformular el enunciado(III).
Clave: E
 APTITUD MATEMÁTICA
3.1.2.Problemas Resueltos
Problema 1
Amelia llegó a la isla de los Caballeros y los Bribones a entrevistar solamente a los
matrimonios. Los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos,los bribones
siempre formulan enunciados falsos, y cada habitante es un caballero o un bribón. Amelia
llamó a una puerta, el marido le abrió a medias y sucedió elsiguiente diálogo:
+ Marido: "¿Qué desea?”
+ Amelia: “Hago un censo, y necesito información sobre usted y su esposa
¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero,y cuál, si alguno lo es, es un
bribón?"
+ Marido: “¡Ambos somos bribones!"
 
¿De qué clase es el marido y de quéclasees la mujer?
A) Esposoes un caballero y esposa es una bribona
B) Esposoes un bribón y esposa es un caballero
CC) Ambosson bribones.
D) Ambos son caballeros.
E) No se puede determinar.
Resolución
Supongamosque el marido es un caballero, entonces su afirmación es verdadera,su
mujer y él son bribones. Es decir, que el marido es caballero y bribón a la vez, esto es un
absurdo. Descartada esta posibilidad. De lo anterior, el marido es un bribón. Así su
afirmación es falsa, y su mujer es caballero. Si su mujer no fuese caballero, ambos
serían bribonesy su enunciado sería verdadero, esto sería un absurdo. Porlo tanto:
Esposo: bribón,
Esposa: caballero.
Clave: B
Problema 2
En una cierta isla, los creyentesdel dios "Poder" siempre mienten y los no creyentes
siempre dicen la verdad. Un extranjero llegó a la isla y se encuentra con cinco nativos del
lugar, pregunta al primero deellos si es creyente del dios "Poder". Este responde a la
pregunta; el segundo,eltercero el cuarto informan queel primero negó ser creyente;
pero el quinto informa queel primero es realmente creyente. ¿Cuántos de los cinco nativos
son creyentes del dios “Poder”?
AJ1 B)3 C)5 D)4 E)2
Resolución
Supongamos queel primero es creyente del dios "Poder". Entonces sus afirmaciones
fueron:
bo
70
Centro Preuniversitario UNMSM.
 
 
1%. nativo z no soy creyente(falso),
3", 4*.mativo —: primeronegósercreyente (verdadero),
5. nativo : pfimero es realmente creyente (verdadero).
Deaqui, se tiene un creyente y cuatro nocreyentes.
Supongamosqueel primero es no creyente del dios “Poder”. Entonces sus afirmaciones
fueron:
1%nativo : nosoycreyente (verdadero),
2, 3%, 4%. nativo: primeronegó sercreyente (verdadero),
5* natwo primero es realmente creyente (falso)
De aqui, se obtiene un creyente y cuatro no creyentes
De ambos casos, siempre se tiene con respecto a los cinco nativosde lz eta
Creyentes $ *
Nocreyentes
Clave: A
Problema 3
En un concurso de Lógico Mátemiático se presentan cinco alumnos: Sofía, Rosa, Raúl,Carlos y Tania, los cuales responden verdadero (V) o falso (F) a una prueba de cinco
preguntas, obteniéndoselos siguientes resultados:
 
 
 
 
 
 
bomaiumos] Soria
|
Rosa
]
mau
|
caros
|
Tania
t v F F v F
a F F F V v
3 V v F F v
4 F v v F v
5. v F ” v F 
Si uno deellos contestó todas correctamente, otro falló en todas y los otros tresfallaron
respectivamente, en uno,en dosy en tres preguntas,¿quiénes ocuparonlos dosúltimos
lugares?
A) Sofía y Rosa B) Rosay Raúl C) Raúl y Tania
D) Raúl y Carlos E) Sofía y Carlos
Resolución
Observando el cuadro de resultados,las respuestas de Rosa y Carlos son opuestas.Esto significa que unode ellos contestó todas correctamente y el otro falló en todas.
Observando las respuestas de Rosa y Tania, no coinciden solamente en la segundapregunta, De aqui, deducimos que Rosa contestó correctamente todaslas preguntas yTania se equivocó solamente en una pregunta. Asisetiene
Rosa i 1". lugar,
Tania: 2% lugar,
Carlos 5*, lugar.
—————- APTITUD MATEMÁTICA
Ahora comparando las respuestas correctas de Rosa conlas respuestas de Sofía y de
Raúl deducimos: Sofía: 4*.lugar,
Raúl 3% lugar.
Asi, Sofía y Carlos ocuparon los dos últimoslugares.
Clave: E
Problema 4
Un juez estaba convencido que cuatro de los cinco sospechosos: Raúl, Martín, Javier,
Manuel o Frank eran los asesinos de "Lolita". Cada sospechosohizo unaafirmaciós
 
+Raúl : “Yonolamaté”.
«Martín: *Raúl miente”.
«Javier "Martin miente”.
«Manuel : "Martiniamató”.
«Frank “Manueldice la verdad”.
Si solamente una de las afirmacioneses cierta, ¿quién no es el asesino?
A) Raúl B) Frank C) Martin D) Manuel E) Javier
Resolución
Las afirmaciones dadas por los cinco sospechosos son equivalentes a decir
m
+ Raúl 5 Nola maté.
«Martin: Raúl la mató.
sJavier Raúl no la mató.
« Manuel Martin la mató.
«Frank: Martín la mató.
Supongamosquela afirmación de Raúl es verdadera, entonceslas de los demás son
falsas. De la falsedaddela afirmación de Javier se deduce que Raúlia matóy esto es un
absurdo conlaafirmación verdadera de Raúl. Así, esta posibilidad queda descartada.
Supongamosque la afirmación de Martin es verdadera, entonces las de los demás son
falsas. De estas falsedades deducimos:
+ SegúnRaúl —: Raúllamató
+ Según Martin —: Raúllamató
+ Según Javier: Raúllamató
+ Según Manuel: Martínnolamató
+ Según Frank : Martinnolamató
De aqui,se tiene que Martín noes el asesino de “Lolita” y los otros cuatro sonlos asesinos.
Siguiendo el razonamiento, en forma análogarealizado para Raúl, se descarta la veracidad
de las afirmaciones de Javier, Manuely Frank,
Clave: €
7
Centro Preuniversitario UNMSS —>”——__
3,2. CRIPTOARITMÉTICA
La criptoaritmética no es más que un juego. No se sabe en que época se creó, pero los
aficionadosa las variedades comenzarona interesarse porellas en el primer congresointernacional de recreación matemática que se reunió en Bruselas en 1935.
3.2.1. Concepto de Criptoaritmética
Es el proceso de encontrarelvalor de las cifras que están representadas porletras o porotros simbolos; los cuales intervienen en la formación de números, en las operacionesaritméticas y otros, teniendo en cuenta las propiedades de las mismas.
3.2.2. Caracteristicas
a) A cada letra le corresponde unay solamente una cifra o viceversa.b) Aletras iguales le corresponden cifras iguales
<) Silas cantidades vienen expresadas por otros simbolos que no sonletras, cada simbolo
no equivale necesariamentea cifras diferentes.
Observación. La letra "O" no representa necesariamente el cero, salvo indicación explicita,
3.23. Tipos
3.2.3.1. Criptoaritmética con Letras
A) En la formación de números
Sonexpresiones simples equivalentes a una cantidad determinada. El valor de cadaletra se halla igualando al número representado por su valor posicional.
Ejemplo1
Si CEPUSM= 241896,calcular PEPE.
A) 2828 B) 1414 C) 2626 D) 1515 E) 1717
Resolución
CEPUSM = 241896 
 
P=1 M=6 > PEPE=1414
 
>APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
SiTGNORANTES = 8531493206
Calcular: NO + TENER+GENTO
A) 61756 8) 56 816 C) 61 526 D)70516 E)70716
Resolución
IGNORANTES = 8531493206 
Serealiza la equivalencia de valores:
I
6
N
8
5
3
 
R
A
Se reemplazan dichosvalores y se obtiene:
E. paNO+TENER+GENTO
1+20304+50381= 70716
Clave: E
B)Enlas operacionesaritméticas
Sepresentan como suma,resta, multiplicación, división, etc., o como una operación
combinada.
Método de Solución
Cadauno de los problemasse analizan y resuelven en formaparticular ya que no existe
un método definido.
Ejemplo 3
Calcular P +
R
+E,si se cumple: PREF 2+4+6+...+42.
AJí B) 14 0)12 D) 23 E) 18
Resolución
Luego de efectuar la operación: 2+4+6+...+42=2(1+2+...+21)
21x 22
7 JF21x22=462 
 
Centro Preuniversitario. UNMS» ——_—A>——————
 
 
 
 
Se tiene:
PRE = 462
! 11] SP+R+E=4+642=12
Clave: €Ejemplo4
Hallar el valor de "B"en: ABE + 33A = 800
AJ3 B)5 0)4 D)6 E)7
Resolución
ABB+
Se expresa la suma en forma vertical:
—
337.
800
De las unidades: Delas decenas:
B+A=10 B+3+1=10
=>B=6>3A=4
466 +
74 Comprobación: 334
800
Clave: DEjemplo 5
Si: PRE x M = 3496
PRE x S = 2185
Hallar: PRE x SM
A) 25 864 B) 36 545 0) 25346 D) 28 356 E) 65.467
Resolución
Escribiendoverticalmente: Reemplazando:
PREx PRE x
SM SM
PRExM 3496PRExS 2185
ABCDE 25346
Nota: PRE=437; 5M=58
Clave: €
 
[AAPTITUD MATEMÁTICA
3.2.3.2. Criptoaritmética con otros Simbolos
Ejemplo 6
Si se tiene la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras que faltan (todos los
asteriscosrepresentan a cifras diferentes).
5,
39 140
A)24 8) 36 C)27 D)28 E) 32
Resolución
A cadafila de la multiplicación se le asigna con unaletra.
 
5x—e(A)
8)
39140 —»(0)
La primera cifra del resultado (C) es "0"
Pero ¿de dónde sale este "0"?
Es elresultado de multiplicarla cifra (*) de (8) por la primera cifra de (A), es decir, (*) (5)
que acaba en *0”,lo cual nos indica que: os
(06-20
Entonces, necesariamente (*) = 4 para no caeren contradicción con el enunciado.
Ahora porsimple inspección se calcula