Métodos de integración e integral indefinida

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 INSTITUTO TECNOLOGICO DE 
CERRO AZUL 
 
 
 
CALCULO INTEGRAL 
ALUMNO: 
 CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 
 
UNIDAD: 2 
Métodos de integración e integral indefinida. 
 DOCENTE: 
ING. RODOLFO ABDIEL CERON DELGADO 
 
CARRERA: 
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 
 
CERRO AZUL, VER .2022 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Métodos de integración e integral indefinida. 
2.1 Definición de integral indefinida. 
La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener 
una función. 
 
• Se representa por . 
• Se lee: integral de de diferencial de . 
• es el signo de integración. 
• es el integrando o función a integrar. 
• es diferencial de , e indica cuál es la variable de la función que se 
integra. 
• es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico 
real. 
• Si es una primitiva de entonces: 
• Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. 
 
Propiedades de la integral indefinida 
 (Marta, s.f.) 
1 la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de 
esas funciones. 
 
 
 
2 la integral del producto de una constante por una función es igual a 
la constante por la integral de la función. 
 
 
 
 
3 
 
2.2 Propiedades de integrales indefinidas 
Propiedades de la integral indefinida 
 
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas 
funciones. 
 
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 
 
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante 
por la integral de la función. 
 
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx 
 
 
Linealidad de la integral indefinida 
La primitiva es lineal, es decir: 
1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces 
para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF. 
2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una 
primitiva de f + g es F + G. 
La linealidad se puede expresar como sigue: 
 
La primitiva de una función impar es siempre par 
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son 
opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: 
F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-
a) = F(a): F es par. 
 
4 
 
 
La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0 
En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se 
escribe con la siguiente igualdad de integrales: 
 
Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. 
La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de 
una función periódica 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Integral_de_funci%C3%B3n_impar.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Integral_de_funci%C3%B3n_par.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Primitiva_de_una_funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica.png
 
5 
 
Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función 
periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no 
depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar 
utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! 
(cortando y superponiendo las áreas de color). 
En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede 
llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto 
G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por 
consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal. 
 
Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para 
simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces 
tenemos la relación: 
 
El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el 
rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). 
Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría 
axial alrededor de la diagonal y = x. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dica_area_constante.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Integral_de_la_rec%C3%ADproca.png
 
6 
 
El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una 
primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca. 
 
2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 
El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la 
diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la 
integración ni del límite inferior de la integración. Esto también significa que la 
solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del 
integrando dado. 
 
Ejemplo Integral Definida: 
 
 
Ejemplo Integral Indefinida: 
 
 
 
 
2.3.1 Directas. 
 
Las Integrales indefinidas Directas son probablemente las integrales con menor 
rango de dificultad que existen en la actualidad y esto se debe principalmente a que 
tal y como su nombre lo expresa, estas integrales se resuelven de manera directa 
gracias a fórmulas que encajan a la perfección. 
¿Que son las integrales indefinidas directas? 
El teorema fundamental del cálculo puede aplicarse a diversas funciones, sin 
embargo, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x), 
entonces tal función es el resultado de la antiderivada. 
https://sites.google.com/site/ittcalculointegrallogisticas2/home/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/DEFINIDA.JPG?attredirects=0
https://sites.google.com/site/ittcalculointegrallogisticas2/home/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/INDEFINIDA.JPG?attredirects=0
 
7 
 
Si la integral a resolver cumple el razonamiento anterior, entonces se puede llegar 
a la conclusión de que es una integral indefinida directa. 
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de 
integración, la integración directa es aplicable cuando identificamos la función 
primitiva de forma inmediata, esto es cuando conocemos la regla de derivación que 
al aplicarla nos permite hallar el integrado a partir de la función primitiva. 
Integrales indefinidas Directas: formula ∫x^n 
 
Ejemplos de Integrales indefinidas Directas 
Como ya se mencionó al principio, estas integrales se aprovechan de las fórmulas 
de derivación para encontrar un resultado ya definido con ayuda inversa de las 
derivadas, un ejemplo de esto se puede apreciar en la figura 1 que te presentamos 
a continuación: 
Figura 1: Integrales indefinidas Directas (Ejemplo 1) 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Integrales-indefinidas-Directas.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Integrales-indefinidas-Directas.jpg
 
8 
 
Tal y como se puede apreciar en el primer ejemplo, la integral que debemos resolver 
es ∫sec^2(x)dx, como primer paso, debemos analizar que clase de integral es, al 
revisar el formulario de derivadas de funciones trigonométricas, encontramos que la 
derivada de Tang (x) = Sec^(x). 
Con lo anterior cumplimos la regla que vimos al principio del artículo (si se conoce 
de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x), entonces tal función es el 
resultado de la antiderivada.) 
Al encajar perfectamente podemos invertir el resultado de la antiderivada y obtener 
que ∫sec^2(x)dx = Tang (x) +C. 
 
Lo anterior solo refleja el mejor escenario de la integración, sin embargo, en 
integrales indefinidas directas, existen propiedades que resuelven casos que no 
están ayudados por formulas de derivación, esto se puede apreciar en el siguiente 
ejemplo, el cual nos muestra la descomposición de la integral para su resolución 
final en base a la formula ∫x^n dx = x^n+1 / n+1. 
La integral indefinida directa que resolveremos se puedeapreciar en la figura 2 que 
se aprecia a continuación: 
Figura 2 
En la integral podemos observar que los términos se están sumando, con lo cual 
podemos descomponer la función en integrales individuales tal y como se puede 
ver a continuación, únicamente se separaran los terminos que estan divididos por 
signo de suma o resta y se descompuso en integrales individuales. 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/barra-separadora-1-e1475115507872.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/1-1.png
 
9 
 
Figura 3 
Ahora ya podemos aplicar nuestra formula ∫x^n dx = x^n+1 / n+1. 
La formula nos dice que para resolver una integral en donde x se encuentre elevada 
a una potencia, se debe sumar un 1 a dicha potencia y para que la formula se 
cumpla, también se debe agregar el valor n+1 al denominador, convirtiéndola así 
en una fracción. 
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Figura 4 
En la figura 4 se puede apreciar que la formula se cumple el primer termino, 
dándonos como resultado x^4/4, lo mismo sucede en el tercer termino, el cual nos 
da como resultado x^2/2. 
Para resolver el segundo y el cuarto termino, primero debemos quitar los numeros 
que nos estorban y esto se puede conseguir al sacarlos de la integral, tal y como se 
apreciar en la figura 4. 
En la figura 5 podemos observar que tras sacar el 3 de la integral y resolver la ∫x^2 
dx, nos queda un 3 que multiplica y un 3 que divide, por lo cual, estos se 
eliminan. 
Figura 5 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/2-2.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/3.png
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/4.png
 
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Finalmente obtenemos el resultado de nuestra integral indefinida directa, 
recordemos que en las integrales indefinidas siempre se agrega al resultado un 
signo de suma y una constante que puede ser plasmada como C. 
 
 
2.3.2 Cambio de variable. 
 
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante 
un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método 
preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de 
variable más conveniente. 
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas. 
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la 
cadena. 
 
 
 
FORMULAS DE INTEGRALES 
https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/5.png
 
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Ejemplo: 
1. 
 
 
 
2. 
 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/formulas.jpg?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/5.jpg?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/2.jpg?attredirects=0
 
12 
 
 
 
3. 
 
4. 
 
 
 
5. 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/6.jpg?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/4.jpg?attredirects=0
 
13 
 
 
6. 
 
 
2.3.3 Por partes. 
El método de integración por partes permite calcular la integral de un 
producto de dos funciones aplicando la fórmula: 
 
 
 
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como . 
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen 
como 
. 
 
 
Caso 1 
 
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/3.jpg?attredirects=0
https://sites.google.com/site/cicmolinahelvira/unidad-ii-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-2-con-cambio-de-variables-o-sustitucion/1.jpg?attredirects=0
 
14 
 
En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la como . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.4 Trigonométricas. 
 
Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a 
exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes casos. 
Ejemplo 
 
 
 
 
 
2.3.5 Sustitución trigonométrica. 
http://1.bp.blogspot.com/_nQGELevo12U/S7FKkMzV4yI/AAAAAAAAAwo/p660AEiZjHQ/s1600/inttrig7.jpg
 
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La sustitución de las funciones de trigonometría por alguna función algebraica se 
conoce como sustitución trigonométrica. 
 
Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que 
podrían transformar toda la expresión en una forma aún más críptica. Algunos de 
estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonométricas a lugar. 
 
Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustitución 
trigonométrica esla mejor opción. 
 
Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un triángulo, y 
debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser 
sustituidas por una función trigonométrica. 
 
También es importante estar al tanto de las identidades y fórmulas trigonométricas 
para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una funcion tal que, 
 
 
 
Un error común que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es 
reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposición errónea. También 
podemos ver que existe una expresión de raíz cuadrada en el integrando la cual 
podría resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminación sería una buena 
elección. 
 
 
 
Como podemos ver en la figura anterior la expresión de la base del triángulo es 
representada por y x representa la altura del triángulo. Por tantouna sustitución 
trigonométricasería una mejor opción. 
 
Supongamos ahora 
 
sin = x/ 3 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura19.PNG?attredirects=0
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura20.PNG?attredirects=0
 
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utilizando lafórmula sin = longitud del triángulo dividido por la hipotenusa del 
triángulo 
 
 x = 3 sin … (1) 
 
 
El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3) 
 
Ahora diferenciando la ecuación número (1) obtenemos 
 
• dx = 3 cos d 
• 
• = 3 cos 
• 
• Ahora el nuevo integrando se convierte 
• 
• Simplificando esta obtenemos 
• 
• Finalmente nos da + c como respuesta. 
 
Es esencial que antes de uno proceder con la solución, sea dibujado un bosquejo 
aproximado de los lados del triángulo para que en ningún paso ocurra una 
sustitución incorrecta. Además, si el valor de x es igual a cero o el valor de es igual 
a cero entonces tal triángulo no puede existir. 
 
Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones 
trigonométricas son las siguientes, 
 
es sustituido asumiendo que x = p sin 
 
es sustituido asumiendo que x = p tan 
 
es sustituido asumiendo que x = p sec 
 
Estas son sustituciones estándares que pueden ser tomadas como normas para la 
sustitución trigonométrica. 
 
En el caso que la variable sea precedida por un término coeficiente, entonces ese 
coeficiente pasa a ser el denominador del términoconstante que precede a la 
función trigonométrica en el lado derecho. 
 
Si tenemos algún tipo de expresión cuadrática bajo la raíz cuadrada entonces 
convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la solución del 
problema. 
 
17 
 
 
Vale la pena saber que sólo en los casos donde el denominador no produce una 
raíz real, podemos usar una función tangente como sustitución. 
 
Sin embargo, hacer que una funcióntrigonométrica sustituya una función algebraica 
no es la única solución, el problema también puede resolverse utilizando las reglas 
simples de integración, ya que existen muchas maneras de resolver un integrando 
específico. 
 
Ejercicios 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura49.PNG?attredirects=0
 
18 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura50.PNG?attredirects=0
 
19 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura51.PNG?attredirects=0
 
20 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura52.PNG?attredirects=0
 
21 
 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura53.PNG?attredirects=0
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura54.PNG?attredirects=0
 
22 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura55.PNG?attredirects=0
 
23 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura56.PNG?attredirects=0
 
24 
 
 
 
 
 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura57.PNG?attredirects=0
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-indefinida-y-metodos-de-integracion/2-3-calculo-de-integrales-indefinidas/2-3-5-por-sustitucion-trigonometrica/Captura58.PNG?attredirects=0
 
25 
 
2.3.6 Fracciones parciales. 
 
El método de las fracciones parciales o fracciones simples se utiliza en álgebra y 
cálculo matemático para descomponer una expresión racional, quedando una suma 
algebraica de fracciones más sencillas. 
Siendo los sumandos fracciones simples, se facilita el cálculo de operaciones tales 
(Zapata, s.f.)como derivadas e integrales, entre otras. 
Considérese la siguiente expresión algebraica racional, la cual consta de los 
polinomios P(x) y Q(x) en el numerador y denominador, respectivamente: 
 
Se desea escribir esta expresión como la suma de fracciones más pequeñas. Para 
ello hay que notar que el polinomio Q(x) en el denominador es un trinomio cuadrado, 
el cual se puede factorizar rápidamente, como producto de dos factores: 
x2+x−12= (x+4)(x−3) 
Por tanto, la expresión anterior queda así: 
 
Conociendo la suma de fracciones, esta manera de escribir la expresión conduce 
fácilmente a esta otra: 
 
Resta hallar los valores de A y B, para que la expresión original quede expresada 
como la suma de estas dos fracciones más pequeñas. Para el ejemplo mostrado, 
los valores son: A = 3 y B = 2, y el lector puede confirmar que, en efecto, la suma: 
 
Equivale a la expresión original: 
 
Ya que: 
 
26 
 
 
¿Cómo se calculan las fracciones parciales? 
Hay métodos para el cálculo de los coeficientes que deben ir en los numeradores 
de las fracciones simples, que dependen de la forma de la expresión racional 
original, es decir, de la forma de P(x)/Q(x). 
En primer lugar, hay que recordar que, cuando el grado de P(x) es menor que el de 
Q(x), se trata de una expresión racional propia, y si ocurre lo contrario, es 
una expresión racional impropia. 
Los métodos para descomponer en fracciones simples se refieren a expresiones 
algebraicas propias, si no lo son, primero deben reducirse, llevando a cabo la 
operación de división P(x)/Q(x). 
Seguidamente, la meta es encontrar los numeradores de cada una de las 
fracciones, para lo cual se distinguen cuatro casos, que depende de la factorización 
del denominador Q(x). 
Caso 1: los factores de Q(x) son lineales y no repetidos 
Si los factores de Q(x) son lineales y no repetidos, es decir, son de la forma (x-ai): 
Q(x) = (x -a1)(x-a2)…(x-an) 
Con a1 ≠ a2 ≠ a3 … ≠ an, es decir, todos los factores de Q(x) son diferentes, la 
expresión racional se escribe como: 
 
Los valores de A1, A2, A3… An, deben determinarse. La expresión racional mostrada 
al comienzo es un ejemplo de este caso. 
Caso 2: Q(x) tiene factores lineales repetidos 
Si Q(x) consiste en un factor repetido de la forma (x−a)n, con n ≥ 2, la 
descomposición en fracciones parciales se lleva a cabo así: 
 
Tal como en el caso anterior, los coeficientes deben ser determinados mediante 
procedimientos algebraicos. 
 
27 
 
Caso 3: Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido 
Si al factorizar Q(x) aparece un factor cuadrático irreducible, de la forma ax2+bx+c, 
para dicho factor hay que incluir, en la descomposición, un sumando con esta forma: 
 
Deberán hallarse los valores de A y B. 
Caso 4: Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible y repetido 
Suponiendo que la factorización de Q(x) contenga un factor cuadrático irreducible y 
repetido, de la forma (ax2+bx+c)n, se deben incluir los siguientes sumandos: 
 
Como siempre, deben calcularse los coeficientes necesarios. Los ejemplos a 
continuación muestran los procedimientos algebraicos que se requieren. 
Ejemplos de fracciones parciales 
Ejemplo 1 
La siguiente expresión racional propia: 
 
ya viene con el denominador factorizado, consistente en dos factores lineales no 
repetidos, por lo que Q(x) es: 
Q(x)= (x+2)(x−1) 
Entonces, la descomposición en fracciones parciales buscada corresponde al caso 
1, pudiendo escribirse: 
 
Para hallar los valores respectivos de A y B, se procede efectuando la suma a la 
derecha de la igualdad: 
 
Igualando numeradores: 
A(x−1) + B(x+2) = 3x 
Aplicando propiedad distributiva y agrupando términos semejantes: 
 
28 
 
Ax – A + Bx + 2B = 3x 
(A + B)x +(−A+2B) = 3x 
El coeficiente (A+B) se iguala a 3, puesto que ambos acompañan, a uno y otro lado 
de la igualdad, al término que contiene “x”. Por su parte, el coeficiente (−A+2B) se 
iguala a 0, ya que a la derecha de la igualdad no hay otro término semejante. 
Se forma entonces el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 
A+B=3 
−A+2B = 0 
Cuya solución es: 
A=2 
B = 1 
Por lo tanto: 
 
El lector puede comprobar la igualdad, llevando a cabo la suma de fracciones de la 
derecha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Bibliografía 
Ap, R. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/calculointegralraulap/unidad-2-integral-
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Desconocido. (s.f.). Sites Google. Obtenido de 
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