Capitulo_03_Sears - Javier Palacios

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Se da un espectacular ejemplo de movi
miento cuando un volcán arroja fragmentos
de roca al aire. Tales erupciones se deben a
la liberación repentina de gas a alta presión
del interior del magma {roca fundida bajo
la superficie). Los fragmentos expulsados,
llamados tefra, alcarizan el tamaño de una
casa v salen despedidos del volcán con ra
pideces de cientos de metros por segundo.
É Si todos los fragmentos son
expulsados con la misma rapidez,
¿con que ángulo de expulsión caen más
lejos del volcán?
78
MOVIMIENTO
EN DOS O TRES
DIMENSIONES
i
cuando un bate golpea a una pelota de béisbol, ¿que determina dónde cae? ¿Có
mo describimos el movimiento de un carro de montaña rusa en una curva o el
vuelo de un halcón alrededor de un campo abierto? Si lanzamos un globo lleno de
agua horizontalmente desde una ventana, ¿tardará más tiempo en tocar la acera
que si sólo lo dejamos caer? `
No podemos contestar estas preguntas usando las técnicas del capítulo 2, donde
las particulas se movían sólo en linea recta. Tenemos que enfrentar el hecho de que
el mundo es tridimensional. Para entender el vuelo curvo de una pelota de beisbol,
la órbita de un satélite o la trayectoria de un proyectil, necesitamos ei :tender nues
tras descripciones del movimiento a situaciones en 2 y 3 dimensiones. Usaremos
aún las cantidades vectoriales de desplazamiento, velocidad y aceleración, pero
ahora tendrán dos o tres componentes y no estarán todas en una misma linea.
Veremos que muchos movimientos, importantes e interesantes, se dan en sólo 2 di
mensiones, es decir, en mi plano, 3' pueden describirse con dos coordenadas v dos
componentes de velocidad y aceleración.
También necesitamos considerar cómo describen el movimiento de una particu
la observadores diferentes que se mueven unos respecto a otros. El concepto de
velocidad relativo desempeñará un papel importante más adelante en este libro,
cuando estudiemos colisiones, donde eaploraremos los fenómenos electromagné
ticos, y cuando presentemos la teoria especial dela relatividad de Einstein.
3.1 I Vectores de posición y velocidad
En este capitulo fusionamos el lenguaje de vectores que aprendimos en el ca
pítulo l con el lenguaje de la cinematica del capitulo 2. Como anteriormente, nos
interesa describir el movimiento, no analizar sus causas, pero el lenguaje que
aprenderemos aquí resultara indispensable después cuando usemos las leyes del
movimiento de Newton para estudiar la relación entre fuerza y movimiento.
3.1 ] Vectores de posición y velocidad
Para describir el movimiento de una partícula en el espacio, primero hay que po
der describir su posición. Consideremos una partícula que está en el punto P en
cierto instante. El vector de posición F de la partícula es un vector que va. del ori
gen del sistema de coordenadas a P (Fig. 3.1). La figura también muestra que las
coordenadas cartesianas :r, y v z de P son las componentes sf, y y z de F. Usando
los vectores unitarios que presentamos en la sección 1.9, podemos escribir
r = si + ví + si (3.1)
Al moverse la partícula en el espacio, el camino que sigue es en general una cur
va (Fig. 3.2). Durante un intervalo de tiempo Ar, la partícula se mueve de Pl, donde
su vector de posición es F1, a Pg, donde su vector de posición es F2. El cambio de po
sición (desplazamiento) durante este intervalo es AF = F2 F, = (. tg x1): ¦ _
( yl yl I (_: 5.1 :;, ) Defiriimos la velocidad medía dm, durante este inter
valo igual que en el capítulo 2 para movimiento rectilíneo, como el desplazamien
to dividido entre el intervalo de tiempo:
II _? 1
|±|||s A _ .om, ri ri r (vector velocidad media) (3.2)
Í? _ fl
Observe que dividir un vector entre un escalar es un caso especial de rrrtdtipiiear un
vector por un escalar, 'lo cual vimos en la sección 1 7; la velocidad media Íi,,,,,d es
igual al vector de despluamiento ¿F multiplicado por l/Ar, el recíproco del inter
vaio. Cabe señalar también que la componente x de la ecuación (3.2) es
o,,,,_.,¿_,,. = (sig x1)i[i2 il] = Ax/dr. Esto no es más que la ecuación (2.2), la ex
presión para la velocidad media en una dimensión, que dedujimos en la sección 2.1.
Definimos la velocidad instantánea igual que en el capítulo 2; como el límite
de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a 0, y es la tasa ins
tant: .inea de cambio de posición con el tiempo. La diferencia clave es que tanto la
posición F como la velocidad instantánea 5 ahora son vectores:
5 = lím êï = É (vector velocidad instantánea) (3.3)ar ni .di dr
La oragaiiad del vector 5 en cualquier instante es la rapidez u de la partícula en
ese instante. La direccida de 5 en cualquier instante es la dirección en que se mue
ve la partícula en ese instante.
Conforme dr 2+ D, P, v Pg de la figura 3.2 sejuntan cada vez más. En el limi
te, ¿F se hace tangente a la curva. La dirección de AF en el límite es tambien la di
rección de la velocidad instantánea ii. Esto conduce a una conclusión importante:
en todo punto de ia trayectoria, el vector velocidad instantánea es tangente a ia.
irajvecioria (Fig. 3.3). "
79
IP'
3?
ri
' . .11
3 .rc
r
3.1 El vector de posición F del origen al
punto P tiene componentes x, y v z.
JJ
__ iiF2. rncd
o P'
\I
Trayectoria
'S'lu
3.2 La velocidad media É,,,,,,1 entre los
puntos P¡ y Pg tiene la misma dirección
que el desplazamiento dF.
F
¿ir
P.,
/“
51
O PI
 . li:
1
1.1
3.3 La velocidad instantanea ii es tangente
a la trayectoria en cada punto. Aqui, ii,
y ii; son las velocidades instantáneas en
los puntos P¡ y Pg, como se muestra en la
figura 3.2.
L_.._|ii
¡_
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
velocidad instantanea
BÚ c A ri r U L o 3 I Movimiento eii dos o tres dimensiones
y Suele ser más fácil calcular el vector velocidad instantánea empleando compo
3 nentes. Durante cualquier desplazamiento AF, los cambios dx, ay y nz en las tres
ii, U coordenadas de la partícula son las corn,ooneii.res de d.F. Por tanto, las componen
I y 2 respecto a if. Es decir,
CE
l
vi dx ¿ty ag
= _ _ = _ 3.4U” ar vi' dt UZ ai ( )' I
G (componentes de la velocidad instantánea)
3.4 Las dos componentes de velocidad para _, + _ _
müaimigntü gn g1p1an.¡, xy La componente ic de U es U, = dxfdt, que es la ecuación (2.3): la expresión para la
velocidad instantánea en movimiento rectilíneo que obtuvimos en la sección 2.2.
Por tanto, la ecuación (3.4) es una extensión directa de la idea de velocidad instan
tánea al movimiento en tres dimensiones.
Podemos obtener este mismo resultado derivando la ecuación (3.1). Los vectores
unitarios Í, ƒ, y k tienen magnitud y dirección constantes, así que sus derivadas
son cero; entonces,
+
_, dF dx dy, dz^= = 3.5U dr dr dt] + dik ( )
Esto muestra otra vez que las componentes de Ei son dxldt, dy/dr v daidt.
La magnitud del vector de velocidad instantánea Íi esto es, la rapidez está
dada en términos de las componentes i1_,, uy y ii, aplicando el teorema de Pitágoras
|a| = U = \/11,3 + 0,? + af (as)
La figura 3.4 muestra la situación cuando la partícula se mueve en el pla.no xy.
Aquí, 2 y U, son cero, y la rapidez (la magnitud de ii) es _
U = \/of I of
y la dirección de la velocidad instantánea íi está dada por el ángulo o: de la figura.
Vemos que
UM en al = *` (ai)
UI
(Siempre usamos letras griegas para los ángulos. Usamos o: para la dirección de la
velocidad instantánea a fin de evitar confusiones con la dirección H del vector de
posición de la partícula.)
El vector velocidad instantánea suele ser más interesante y útil que el de la velo
cidad media. En adelante, al usar el término “velocidad”, siempre nos referiremos al
vector velocidad instantanea Íi (no al vector velocidad media). Usualmente iii nos
molestaremos en llamar vector a É, el lector debe recordar que la velocidad es una
cantidad vectorial con magnitud y dirección.
Cálculo de velocidad media e instantánea
Se está usando im carrito robot para explorar la superficie de Marte. x = 2.0 m (0.25 misílti
El mddulo de descenso es el origen de coordenadasy la superficie 1, : ( L0 m¡S ) ¡ _¡_ {:ü_D25 Im Si ) ¡H
marciana circundante está en el plano xy. El carrito, que representa
iiios como un punto, tiene coordenadas x y ¿v que varían con el item a) Obtenga las coordenadas del carrito v su distancia respecto al
pg ¿ _:_›g|_'m módulo en if = 2.0 s. b) Ubtenga los vectores de desplazamiento y
tes i:,,, ii, y ii, de la velocidad instantánea íi son simplemente las derivadas de it, y
pablo
Resaltar
3.1 l Vectores de posición y velocidad 31
velocidad media del carrito entre t = 0.0 s vi = 2.0 s. c) Deduzca
ima expresión general para el vector de velocidad instantánea del
carrito v determine ese vector en t = 2.0 s. Exprese la velocidad
instantánea en forma de componentes v en terminos de magnitud' y
dirección.
SOLUCIÓN
IDEl'i|TIFlCAR¦ Este problema implica movimiento en una trayecto
ria bidimensional (o sea, en un plano). Por tanto, deberemos usar
las expresiones para los vectores de despluamiento, velocidad me
dia v velocidad instantánea que obtuvimos en esta sección. (En las
expresiones más sencilÍas de las secciones 2.1 y 2.2 no intervienen
vectores, v sólo son válidas para movimiento rectilíneo.)
PLÄNTEÄR: El camino del carrito se muestra en la figura 3.5. Usa
remos la ecuación (3.1) para la posición F, la expresión
dF F2 F, para el desplazamiento, la ecuación (3.2) para la ve
locidad media y las ecuaciones (3.5) y (3.6) para la velocidad ins
tantánea v su dirección. Las variables meta se indican en el
entmciado del problema.
EJECUTFiR¦ a) En el instante t = 2.0 s las coordenadas del carrito son
.v = 2.0 iii (0.25 me1)(2.cs)2 = 1.01 ii
2 = (in me)(2.cs) + (0.025 me3)(2.0 SP = 2.2 ia
La distancia del carrito al origen en este instante es
r = Vxg + 312 = \/(1.0 m)FF+ = 2.4 m
b) Para obtener el desplazamiento y la velocidad media, expresa
mos el vector F de posición en función de i. De la ecuación (3.1):
F = ¿ri + :vi
= [2.0m (0.25 mis2)r2]i
+ [(1.0 me)i + (0.025 mei)f3]j`
En el instante t = 0.0 s el vector de posición es
r, = (2.0 mn + (n_n so;
Por la parte (a) sabemos que, en t = 2.0 s el vector de posición F2 es
F2 = (l.0m)i + (2.2 m)_f
Por tanto, el desplazamiento entre t = 0.0 s y r = 2.0 s es
ar = F2 F., = (1.om)i + (2.2 m}j` (2.0 m)t
= ( 1.om)í + (2.2m)j.
Durante el intervalo, el carrito se movió 1.0 m en la dirección x y
2.2 m en la dirección +_v. La velocidad media en el intervalo de
i = 0.0 s a t = 2.0 s es el desplazamiento dividido entre el tiempo
transcurrido (ecuación 3.2):
__ ar ( 1.0 mi + (2.2 m)j`
”'“““_ si ` .iris oca
= ( [l.5tÍlmis)i` + (1.1 m›"s)_i
Las componentes de esta velocidad media son
o,,_,2,¡_,, ' (1.50 mis o,,,2,¡_,, = l.l mis
.v en 22
or: 128°2.5 '¿_\
T i=2ev
2.0
a 1.
1.5 F2 i.i¡
_ Í : 5 I
.pl vi ¦
(1.5 f¬~ "ri
__ ' t={l.Ds
.t (m)
0 0.5 1.0 1.5 2.0
3.5 Trayectoria de un vehiculo robot controlado por radio. En I = El
el carrito tiene vector de posición F2 v velocidad instantá .nea F2.
Asimismo, F| y dl' son los vectores en r = 1.0 s; F2 v ¡F2 son los
vectores en if = 2.0 s.
c) Por la ecuación (3.4), las componentes de la velocidad instaiitá
nea son las deiivadas de las coordenadas respecto a t:
teU, = E; = (~c.25 me2)(2i)
4v, = åf = 1.0 me + (0.025 me~“)(sf1)
Así, podeinos escribir el vector de velocidad instantánea ii como
ii = vxi + uyƒ = ( 0.50 mf's1)ti
+ (1.0 mis l (0.075 mƒs3)I2j,i
En t = 2.0 s, las componentes de la velocidad instantánea son
U, = ( 0.50 mfs1)(2.íl s) = 1.0 mis
v_._. = l.Ú rnƒs I (0.0ì'5ii1is3)(2.0 s)2 = 1.3 mis
La magnitud de la velocidad instantánea (es decir, la rapidez)
en t '= 2.0 s es
ii = V022 i F of = `~/( 1.í] mfs)2 + (1.3 iiiisli
= 1.6 mis
Su dirección respecto al eje +x está dado por el ángulo of, donde,
por la ecuación (3.7),
Uv 1.3 i
tano: U; _1'ÚmmÍS _ 1.3 así, ci = 123°
Una calculadora mostraría que la tangente inversa de 1.3 es
52°. pero, como vimos enla sección 1.3, hay que examinar un di
bujo del' vector (Fig. 3.5) para decidir su dirección. La respuesta co
rrecta para of es 52° + 180° = 123°.
EVALUAR: Tómese un niomento para comparar las componentes
de la velocidad rnedia que obtuvo en la parte (b) para el intervalo de
t = 0.0 s a i = 2.0 s(u,,,,,,2_2. = 0.50 mis, um,,2_,, = 1.1 mis) con
"o ,
img
IH
i
.i
¬
i
I
F
4.
í.i r 2
32 c A P ir U L o 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones
posición y velocidad instantánea en r = O_O s, l.i] s y 2.ll s se miies
tran en la figura 3.5. Observe que en todos los puntos el vector de
velocidad instantánea ii es tangente a la trayectoria. La magnitud
de Íi aumenta al avanzar el carrito, lo que indica que la rapidez del
carrito está aumentando.
las componentes de la velocidad instantanea en r = 2.0 s que obtu
vimos en la parte (c) (ox = 1.0 mis, ii, = 1.3 mis). La compara
ción muestra que, igual que en una sola dimensión, el vector de
velocidad niedia ó,,,,,,.¿, durante un intervalo no es igual a la velocidad
instantánea E al final del intervalo (véase el ejemplo 2 1).
l..o invitamos a calcular la posición, velocidad instantánea, rapidez
y dirección de movimiento en t = O_O s y i = 1.0 s. Los vectores de
De un ejemplo de situación en la que el vector de velocidad media ïi,,,,,2 en un in
tervalo serta igual a la velocidad instantánea íi al final del int.ervalo.
3.2 | El vector aceleración
Consideremos ahora. la aceleración de una partícula que se mueve en el espacio.
Al igual que en el movimiento rcctilíneo, la aceleración describe el cambio en la
velocidad de la partícula, pero ahora la generalizaremos para desciibir los cambios
tanto en la magnitud de la velocidad (es decir, la rapidez) como en la dirección de
la velocidad (o sea, la dirección en que se mueve la partícula en el espa.cio).
En la figura 3.6a, una partícula se mueve en una trayectoria curva. Los vecto
__ res ii, y íi2 representan las velocidades instantáneas de la partícula en el instante
U2 tl, cuando la partícula está en el punto Pl, y en r2, cuando está en P2. Las dos ve
locidades pueden diferir en magnitud y dirección. Definimos la aceleración ine
dia dm, de la partícula al moverse de P, a P2 como el cambio vecioriai de
velocidad, ¡E2 51 = A5, dividido entre el intervalo di: tiempo t2 il = dr:
`~¬.
a, 2
s 5 ïì Aïi _, .amd = % = E? (vector aceleracion media) (3.8)
2 _ 1
71 Pl 'Fined
ta)
ül añ La aceleración media es una cantidad vectorial en la misma dirección que el vec
tor Aii (Fig. 3.6a). Observe que U2 es la resultante de la velocidad original U] y
a2 el cambio Ari (Fig. 3.6b). La componente .ic de la ecuación (3.8) es
a,,,,,2__, = (U2, u1_,)l(t2 tì) =_Au_,fót, que no es sino la ecuación (2.4) para la
U1) aceleración inedia en movimiento rectilíneo.
Al igual que en el capítulo 2, definimos la aceleración instantánea ii en el
punto P, como el limite de la aceleración media cuando el pimto P2 se acerca a P,
y Ad y At se acercan a cero; la aceleracióii instantánea también es igual a la tasa
(variación) instantánea de cambio de velocidad con el tiempo. Como no estainos
limitados a movimiento rcctilíneo, la aceleración instantánea ahora es un vector:
F1 e
Pifi ff ,_
4 no dv , _
mi a = = E (vector aceleración instantánea) ' (3.9)
3.5 (a) el vector ¡img = dfiidi representa
la aceleración media entre P, y P2.
(b) Construcción para obtener
did = F2 tÍi2. c) Aceleración instantánea
Ei en Pl. El vector ii es tangente a la trayec
toria; fi apunta al lado cóncavo de esta.
El vector velocidad ii, como vimos, es tangente a la trayectoria de la partícula,
pero la construcción de la figura 3.óc muestra que el vector aceleración instantánea
fi de una partícula en movimiento siempre apunta hacia el lado cóiicavo de una tra
yectoria curva, o sea, hacia el interior de cualquier curva descrita por la partícula.
Tambien vemos que cuando ima partícula sigue una trayectoria curva, su acelera
pablo
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pablo
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pablo
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pablo
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pablo
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pablo
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3.2 I El vector de aceleración
ción siempre es distinta de cero, aun si se mueve con rapidez constarite. Quizá le pa
rezca que esto vacontra su intuición, pero más bien va contra el uso cotidiano de la
palabra “aceleración” para implicar que la velocidad a.umenta. La definición más
precisa de la ecuación (3.9) muestra que la aceleración no es cero cuando el vector
velocidad cambia de cuaiguier~ fomia, sea en su magnitud, dirección o ambas.
Para convencerse de que una partícula no tiene aceleración cero cuando se mueve en
una trayectoria curva con rapidez constante, piense en lo que siente cuando viaja en au
to. Si el auto acelera, usted tiende a moverse en dirección opuesta a la aceleración del auto
(veremos por que en el capítulo 4). Así, tendemos a movemos hacia atrás cuando el au
to acelera hacia adelante (aumenta su velocidad), y hacia el fiente cuando el auto desace
lera (frena). Si el auto da vuelta en un camino horizontal, tendemos a deslizarnos hacia
afuera de la cinva; por tanto, el auto tiene urra aceleración hacia adentro de la curva.
Norinalinente nos interesará la aceleración instantánea, no la media. Por
ahora, usaremos el termino “aceleración” para referirnos al vector aceleración
instantánea, ri.
Cada componente del vector de aceleración es la derivada de la componente
correspondiente de la velocidad:
_ do, _ dU,. _ dv, 3 lo
a“_dr a*`_dr a“_dt (`)
(componentes de la aceleración instantánea)
En terminos de vectores unitarios,
'i dUi^+dF"^+dUi¡É (311)a = _: _ .di dt J dr
La componente .ir de las ecuaciones (3.10) y (3.11), a_,. = du_,ia't, es un resultado
conocido: es la expresión de la sección 2.3 para la aceleración instantánea en una
dimensión, ecuación (2.5). La figura 3.7 muestra un ejemplo de vector acelera
ción que tiene componentes tanto ic como y.
Además, como cada"componente de velocidad es la derivada de la coordenada
correspondiente, expresamos las componentes ax, a¿,, y ri, del vector aceleración
ii como
.fria div rre;
a = a.= a,= (3.12)"í dri J” ¿iii r dr?
y el vector aceleración .Ti como
'J 'J_, d*.r,. d'y _., die= _ + , + Si 3.13F dr? I drí dig ( )
Cálculo de aceleración media e instantánea
*fi
i_¡_¡.¡_¡_n_ì¿_
r ri v ¡_
I I
3 T Cuando una rana salta, acelera tanto
hacia adelante como hacia arriba Por tanto,
su vector aceleracion tiene una componente
horizontal a ) y tambien una componen
te vertical ri
_ gr _ | |.| 1;; n: 
Veamos otra vez los movimientos del carrito robot del ejemplo 3.1. y que el vector velocidad es
Deterininamos que las componentes de la velocidad instantánea en _, 2
cualquier instante t son ti = o,t + in] = ( 050 niis )ti
_ dx _ + (1 0mis I (0 035 mis3)i2j_¡
ir, E ( 0.25 misó) (fit)
a) Obtenga las componentes de la aceleracion media en el interva
_ É _ 2 2 lo der = 0 0 s at = 2 0 s b) Determine la aceleracion instantanearr, dt 1.0 mis + (0.025 mis )(3t ) Em 2.0
pablo
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pablo
Resaltar
34 c xrir u L o 3 1 Movimiento en dos o tres dimensiones
soiucrón
IDENTIFICAIH ll PLANTEAR: En la parte (a), usaremos la ecuación
(3.8) para calcular las componentes de la aceleración media. Para
ello, primero deberemos utilizar las expresiones anteriores para de
terminar los valores de ti, y ir, aÍ principio y al final del intervalo.
En la parte (li) determinaremos las componentes de la aceleración
instantáiiea en cualquier tiempo t derivando respecto al tiempo las
componentes de la velocidad, como enla ecuación (3.10).
EJECUTAR: Si sustituimos t = 0.0 s o t = 2.0 s en las expresiones
anteriores para ti, y o,., veremos que al principio del intervalo
(t = 0.0 s) las componentes de velocidad son
ii, = 0.0 mis ti, = 1.0 mis
y que al final del intervalo (t = 2.0 s) las componentes son
tr, = 2.0 mis ir, = 1.3 mis
(Úbserve que los valores ent = 2.0 s son los mismos que obtuvimos
en el ejemplo 3.1 _) Asi, las componentes de la aceleración media en
el intervalo son
nu, 1.0 mis 0.0 mis 0 5 WS2
a ; '¬ _mm ar 2.0 S 0.0 r
cv, 1.31 en 1.0 me,,,_,= uismri“ ti ar 2.0r 0.0s S
b) Con la ecuación (3.10), obtenemos
rr _ É = 0 50 mis? ri rr = (0 075 mis3)(2r)“" . :it ` 3*' dt `
Podemos escribir el vector aceleración instantanea Ei como
a = .r,t + a,,ï = ( 0.50 rivsut + (0.15 nvs3)r}`
En el instante t = 2.0 s, las componentes de la aceleración instan
tánea son
rr, = 0.50 mie rr, = (0.15 ave) (2.0 s) = 0.30 mie
El vector aceleración en este instante es
ii = ( 0.50 mis1)i + (0.30 rnisi)j
Para el carrito de los ejemplos 3.1 y 3.2, use resta de vectores para
obtener la dirección aproximada de la aceleración media en el inter
vale de t = 0.0 s a 2.0 s.
IDENTIFICAIR: La figura 3.6 muestra que la aceleración media en el
intervalo de r, a t2 tiene la dirección del cambio de velocidad aii. Da
dos los vectores velocidad al principio y al fmal del intervalo, pode
mos obtener gráficamente la dirección de aii, y, por tanto, de Íi',,,,,,,.
r _ QU2 cr 123
r tm) B = 12,9,
2.5 52'
li; iii
2fl,_ t=2Ds
1.5 _ pl
“I
LDL r=lDs
firr
t=00s
0.5
EnI L
O 0.5 1.0 1.5 2.0
r (ml
3.8 Trayectoria del carrito controlado por radio, mostrando la
velocidad y aceleración en t = 0.0 s (02 y E2), t = 1.0 s (ii, y ii,)
yt = 2.0 s (U2 y a2).
La magnitud de la aceleración en este instante es
a = H./of + of
= \/( 0.50 river + (0.30 ment = osa mie
La dirección de ii respecto al eje x positivo está dada por el ángulo
B, donde
'fl _ 0.30 mis?
[mg F del _ 0.5011 rei MU
p = isos 31° = 149°
EVALUAR: Lo invitamos a calcular la aceleración instantánea en
t = 0.0 s y t = 1.0 s. La figura 3.8 muestra el camino del carrito y
los vectores velocidad y aceleración en t = 0.0 s, 1.0 s y 2.0 s. Úb
serve que fi yd no están en la misma dirección en ningún meinento. El
vector velocidad es tangente a la trayectoria, y el de aceleración
apunta hacia el lado cóncavo de esta.
Determinación gráfica de aceleración media
PLANTEAR Y EJECUTAR: Por la figura 3.8, la velocidad 5,, en
t = 0.0 s apunta en la dirección +y y la velocidad E2 en r = 2.0 s
apunta en cierto ángulo entre la dirección x y la dirección +y.
Además, la magnitud de ïi2 es mayor que la de ó,,.
La figura 3.9 muestra cómo obtener la dirección de ¿tó = E2 ii,
restando gráficamente los dos vectores. El resultado apunta con un
ángulo pequeño arriba de la dirección x; la aceleración media
apunta en la misma dirección que dd.
3.2 I El vector de aceleración
EVALUilR¦ La dirección de aii en la figura 3.9 es muy cercana a la
dirección de fi , (la aceleración instantánea en el punto medio del in
tervalo) que se muestra en la figura 3.8. Tambien es interniedia cn
tre las direcciones de du y E2, las acelerac iones instantáneas al
principio y al final del intervalo, respectivamente. Así es como ca
be esperar que se comporte la aceleración media.
E ste procedimiento gráfico nonnalmente no nos ayuda a deter
minar valores numericos de la aceleración; para ello, necesitaremos
efectuar cálculos como los del ejemplo 3.2. No obstante, este mó
todo permite verificar si los cálculos son razonables. Además, nos
dice cosas importantes acerca del carácter del movimiento, como
veremos a continuación.
35
aa = a, ri,
¡li '_ le
3.9 Uso de resta gráfica de vectores para estimar la dirección de
una aceleración media.
Componentes perpendiculares y paralelas de la aceleración
En muchos casos es útil describir la aceleración de una partícula que se mueve en
una trayectoria curva en términos de componentes paralelas y perpendiculares a la
velocidad en cada punto (Fig. 3.10). En la figura, las componentes se rotulan a 2
y a.,. Para ver su utilidad, emplearemos la interpretación gráfica de la aceleración
(como en el ejemplo 3.3) y consideremos dos casos especiales.
En la figura 3.1 la, el vector de aceleración es paralelo a la velocidad íi,. El
cambio en Ei durante un intervalo pequeño Ar es el vector Ab' con la misma direc
ción que Ei y por tanto que 5,. La velocidad 52 al final de dt, dada por
ii2 = ii, + did, es un vector con la misina dirección que ii, pero de mayor magni
tud. Es decir, durante el intervalo At la partícula de la figtua 3.1 la se movió en linea
recta con rapidez creciente.
En la figura 3.1 lb, la aceleración E esperpendicular a la velocidad íi. En un iii
tervalo pequeñodt, el cambio dd es un vector casi perpendicular a ïi,, como se
muestra. Otra vez, 52 = fi , + Ad, pero aqui ii, y Í52 tienen diferente dirección. Al
acercarse dt a cero, el ángulo <,i› en la figura se acerca a cero, Aïi se hace per
pendicular a ii, y 52, y É, y 52 tienen la inisma magnitud. Dicho de otro niodo, la
rapidez de la partícula no canibia, pero su caniino se curva.
Así, cuando ii es paralela (o antiparalela) a fi, su efecto es alterar la magnitud
de ii pero no su dirección; cuando fi es perpendicular a ii, su efecto es cambiar la
dirección de fi pero no su magnitud. En general, Ei puede tener componentes tan
to paralela como perpendicular a F, pero lo anterior sigue siendo válido para las
componentes individuales. En particular, cuando una partícula sigue una trayecto
iia curva con rapidez constante, su aceleración siempre es perpendicular a ïi en
todos los puntos.
La figura 3.12 muestra una partícula que se mueve con trayectoria curva en tres
situaciones distintas: rapidez constante, creciente y decreciente. Si la rapidez es
constante, Fi es perpendicular, o normal, a la trayectoria y a ïi y apimta hacía el lado
cóncavo de la trayectoria (Fíg. 3. 12a). Si la rapidez aimienta, todavía hay ima com
ponente perpendicular de ii, pero también una paralela con la misma dirección que
ó (Fig. 3. l2b) y Íi apunta hacia adelante de la normal a la trayectoria (como en el
ejemplo 3.2). Si la rapidez disminuye, la componente paralela tiene dirección
opuesta a É y Ei apimta hacía atrás de la norinal (Fig. 3. l2c). Estas ideas nos ayuda
rán a describir la aceleración de un coche que toma ima curva (Fíg. 3.13). Usaremos
otra vez esas ideas en la sección 3.4 al estudiar el caso especial de movimiento en
un círculo.
/L Tangente
,en P
E
“"ì* * Trayectorí a
r1ril . “ ~._,_
"'*~..,__ FH "~¬,_ I
. .P "'¬ ¬¬` E
H *L I. X1
¬.,.__,ff Normal
ll Q”
3.10 La aceleración puede descompcnerse
en las componentes a, paralela a la trayec
toria (y a la velocidad), y a2 perpendicular
a la trayectoria (o sea, sobre la normal a la
trayectoria).
rra/
a, "2
7' _
(H)
2] sa
fi*
F2
\«ì
(bl
3.11 (a) Si fi es pmalela a Ei, la magnitud
de F aumenta, pero sudirección no cambia.
La partícula se mueve en línea recta con
rapidez eambiaiite. (li) Si d es perpendicu
lar a ó, la dirección de F cambia, pero su
magnitud no. La partícula se mueve en una
curva con rapidez constante.
_r_r¬
¬.r¬.|
pablo
Resaltar
Aceleracion paralela y perpendicular
pablo
Resaltar
pablo
Nota
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
BG c A r ir u Lo 3 l Movimiento en dos o tres dimensiones
E F ii
P P p
i
1
3.13 Los autos de carreras por lo regular
tienen al entrar en una curva y aceleran al
salir de ella. Así, el auto tiene una compo
nente de aceleración paralela o antiparalela
a la dirección del movimiento (que describe
el cambio de rapidez) y una componente
perpendicular a la dirección del movimien
to (que describe el cambio de dirección).
constante.
Para el carrito de los ejemplos 3.1 y 3.2, obtenga las componentes
paralela y perpendicular de la aceleración en t = 2.0 s.
IDENTIHCAR Y PLANTEAR: Para obtener las componentes parale
la y perpendicular, necesitanios conocer el ángulo entre el vector de
aceleración ri y el de velocidad ii. Podremos determinarlo porque
obtuvimos las direcciones de ii y 5 en los ejemplos 3.2 y 3.1, res
pectivamente.
EJ EEUTAH: En el ejemplo 3.2 vimos que, en t = 2.0 s la partícula
tiene uiia aceleración de magnitud 0.58 mis? con un ángulo de 149°
respecto al eje +.r. Por el ejemplo 3.1, sabemos que en ese instante
el vector velocidad tiene tm ángulo de 128” respecto al eje +x. Así, la
figura 3.8 muestra que el ángulo entre ri y ó es 1498 128° = 21°
(Fig. 3.14). Las componentes paralela y perpendicular de la acelera
ción son entonces
rr.. = rr en 21° = (ass mi. mear 21° = 0.54 nur?
rr, = rr retire = (css nvsijrsn sie = 0.21 tree
X/ '? ii yn?
71 / 7* / fi 2
il H No lenP
Normal en P Normal en P
(H) (bl lv)
3.12 Vectores de velocidad y aceleración para una part.ícula que pasa por un punto P de
una trayectoria curva con rapidez (a) constante, (b) creciente y (c) decreciente.
ãObserve que las dos cantidades
«fr fl ,Li
dr il dr
no son iguales. La primera es la tasa de cambio de la rapidez; es cero cuando
la partícula se mueve con rapidez constante, aunque cambie su dirección. La
segunda es la magnitud del vector aceleración; es cero solo sì la aceleración de
la partícula es cero, es decir, cuando esta se mueve en línea recta con rapidez
 
 mmri±
Cálculo de componentes paralela y perpendicular de la aceleración
ñ
_. .. Fl
a . `
*x
"K, fi Posición del carrito en t= 2.0 s
x
.1'›.FL ' HJ
3.14 Componentes paralela y perpendicular de la aceleración del
cariito en t= 2.0 s.
EVALUAR: La componente paralela ri., tiene la dirección de 5. o sea
que la rapidez está aumentando. Como la componente perpendicu
lar a 2 no es cero, se sigue que la trayectoria del coche es curva en
este instante: el carrito está dando vuelta.
_., 1 ¿..... . . _. .__ __ ,_ _ , .,____.... . _ _. . ..__|, ..,,., .. ._. . .._ . _. . . . .. . , . . . ..
3.3 l Movimiento de proyectiles 37
ll
Una esquiadora se mueve sobre una rampa de salto como se
muestra en la figura 3.15. La rampa es recta entre A y C y curva
a partir de C. La rapidez de la esquiadora aumenta al moverse
pendiente abajo de A a E, donde su rapidez es máxima, disminu
yendo a partir de ahi. Dibujo la dirección del vector aceleración
en E, D, E y F_
En el punto B, la esquiadora se mueve en linea recta con rapidez
creciente, asi que su aceleración apunta cuesta abajo, en la misma
dirección que su velocidad.
En D, la esquiadora sigue una trayectoria curva, asi que su ace
leración tiene una componente perpendicular. También hay una
componente en la dirección del movimiento porque su rapidez aún
va en aumento. Por tanto, el vector aceleración apunta adelante de
la normal a su trayectoria en el punto D.
La rapidez de la esquiadora no cambia instantáneamente en E;
es masmna en este punto, asi que su derivada es cero. Por tanto, no
hay componente paralela de Ei, y la aceleración es perpendicular al
movimiento.
Por último, en F, la aceleración tiene una componente perpendicu
lar (porque la trayectoria es curva aqui) y una paralela opuesto a la
dirección de movimiento [porque la rapidez está disminuyendo).
Aceleracmn de una esquiadora
'_ "' '. 'I 4 ' ._`_I I
_, . _ ll.. . _.
`\
Dirección del
movimiento
. an.
a x
_ E Norrnal en E
' Normal en .D Nomial en F
\ /
C 5 E Ei _
3.15 La dirección de la aceleración de la esquiadora es diferente
en distintos ptmtos de la trayectoria.
Por tanto, el vector aceleración apunta hacia oo div de la normal a la
trayectoria. `
En la siguiente sección examinaremos la aceleración de la es
quiadora después de abandonar la rampa.. _
í.
__ rn ii .¡.p.||.g¡4. . ..¡.¡._,_
|IrH ¬ r
' H
Considere los fragmentos de roca volcánica de la fotografia con que inicia el
capitulo. Cada fragmento pierde rapidez al subir hasta el punto máxiino de su tra
yectoria y luego se acelera al descender desde ese punto. ¿Qué dirección tiene la
aceleración de un fragmento en el punto mas alto de su trayectoria?
3.3 | Movimiento de proyectiles
Un proyecül es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue
una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravita
cional y la resistencia del aire. Una pelota bateada, un balón lanzado, un paquete
soltado de tm avión y una bala disparada de tm rifle son proyectiles. El camino que
sigue un proyectil es su trayectoria.
Para analizar este tipo de movimiento tan común, partiremos de un modelo 3.1
idealizado que representa el proyectil como una partícula con aceleración (debida
a la gravedad) constante en magnitud y dirección. Haremos caso omiso de los 3_2
efectos del aire y la curvatura y rotación de la Tierra. Como todos los modelos, ós 3 3
te tiene limitaciones. La curvatura de la Tierra debe considerarse en el vuelo de '
misiles de largo alcance, y la resistenciadel aire es crucial para un paracaidista.
_\lo obstante, podemos aprender mucho analizando este sencillo modelo. En el
resto del capitulo, la frase “movimiento de proyectil” implicará que se desprecia
Acl v
DHL NEPhys cs
Resolución de problemas de
movimiento de proyectiles
Dos pelotas due caen .
Cambio de la velocidad en .ir
3.4
3.5 Componentes dela velocidad inicial
3.6
Aceleraciones .ry y de proyectiles
Practica de tiro al blanco I II”mk ìfl¿ILìll.I'
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
Proyectil
ss,
:FI
Ud
“fo
: _1_
Ú 1
3.15 El movimiento de un proyectil siempre
se da en un plano vertical que contiene al
vector de velocidad inicial EG.
l
3.1? Independencia del movimiento hori
zontal y vertical. La bola roja se deja caer
desde el reposo y la amarilla se proyecta
horizontalmente aÍ mismo tiempo; las ima
genes sucesivas cn esta fotografia cstrobos
cópica estan separadas por intervalos de
tiempo iguales. En un instante dado, ambas
bolas ticnen la misma posición y, velocidad
y y aceleración y, a pesar de tener diferente
posición rr y velocidad Jr.
c .a P i r U L o 3 I lkflovimiento en dos o tres dimensiones
la resistencia del aire. En el capitulo 5 veremos que sucede cuando la resistencia
no puede despreciarse. .
Primero, observamos que el movimiento de un proyectil esta limitado a un pla
no vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial (Fig. 3.16). La ra
zón es que la aceleración debida a la gravedad es exclusivamente vertical; la
gravedad no puede mover un proyectil lateralmente. Por tant.o, este movimiento es
óidioreirsiorrol. Llamaremos al plano de movimiento plano aqv, con el eje .r hori
zontal y el _v vertical hacia arriba.
La clave del análisis del movimiento de proyectiles es que podemos tratar las
coordenadas x y y por separado. La componente .r de la aceleración es cero, y la
componente y es constante e igual a g. (Recuerde que, por definición, g siempre
es positiva pero, por la.s direcciones de coordenadas escogidas, o_,, es negativa.)
Asi, podemos orrolizor ' et oroviou`eo.ro de tor ,oroyecfii como toro combinación de
o zovr`rrrien.to lrorizonrol con velocidad constante _v nr.ovion`enro verricol con ocefe
rocióa constante. La figura 3.17 muestra dos proyectiles con diferente movimiento
.rr pero idéntico movimiento y; uno se deja caer desde el reposo y el otro se proyec
ta horizontalmente, pero ambos caen la misma distancia en el mismo tiempo.
Asi, podemos expresar todas las relaciones vectoriales de posición, velocidad
y aceleración con ecuaciones independientes para las componentes horizontales y
verticales. El movimiento real es la superposición de los dos movimientos. Las
componentes de Ei son
o_,. = 0 o_,. = g (movimiento de proyectil, sin resistencia del aire) (3.14)
Por lo regular, usaremos g = 9.8 rnfsï. Dado que las ac eleraciones x y _v son cons
tantes, podemos usar las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) directamente.
Por ejemplo, suponga que en r = 0 la partícula. está en el punto (xü, yo) y sus
componentes de velocidad tienen los valores iniciales ou, y om.. Las componentes
de la aceleración son o_,. = 0, o,_, = g. Considerando primero el movimiento .r:,
sustituimos o_,. en las ecuaciones (2.8) y (2.12). Obtenemos
u_,. = uu, (3.15)
,t = rn», l o0_,r (3.16)
Para el movimientoy, sustituirnos y por Jr, U., por o_,., o,¬,,. por um., y o,, = g por o,,:
Uy = UÚ1: _ gr1 ' °
1
F : .lio 'l` Uoyf _ E31 (2 (3 13)
Por lo general, lo mas sencillo es tomarla posición inicial (en r= U) como origen;
asi, .rn = yf, = 0. Este punto podría ser la posición de una pelota cuando abandona
la mano del lanzador, o la de una bala cuando sale del cañón de urs arma.
La figura 3.18 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa por)
el origen en r = 0. La posición, velocidad, componentes de velocidad y acelera
ción se muestran en una serie de instantes equiespaciados. La componente ,rr de
la aceleración es 0, asi que o_,. es constante. La componente y es constante pero no
cero, asi que ta, cambia en cantidades iguales a. intervalos iguales. En el punto
mas alto de la trayectoria, o_,. = 0.
Tambien podemos representar la velocidad inicial ii@ con su magnitud UU (la ra
pidez inicial) y su angulo rr@ con el eje +;r:. En terminos de estas cantidades, las
componentes um. y o,¿,_,. de la velocidad inicial son
um, = of, cos or@ u,¬,,_. = ou sen o,¿, (3.19)
pablo
Resaltar
3.3 l Movimiento de proyectiles
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ii
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Usando estas relaciones en las ecuaciones (3.15) a (3.18) y haciendo xü = yo = 0,
tenemos _
x = (vn cos or,¡¡, ) r (movimiento de proyectil) (3.20)
l .y = (UD sen o:,¡,)r ïgfi (movimiento de proyectil) (3.21)
_ 11,, = og cos os, (movimiento de proyectil) (3.22)
oy = un sen os, ~ gt _ (movimiento de proyectil) (3.23)
Estas ecuaciones describen la posición y velocidad del proyectil de la figura 3.18
en cualquier instante r. _
Podemos obtener mucha información de estas ecuaciones. Por ejemplo, en
cualquier instante, la distancia r del proyectil al origen (la magnitud del vector de
posición F) está dada por
r ='\/,ri + yi (3.24)
La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad) en cualquier instante es
s=vfi+fi pm)
La dirección de la velocidad, en terminos del ángulo of que forma con el eje +x,
esta dada por
U .±ma=ä am)
+El vector de velocidad U es tangente a la trayectoria en todos los puntos.
Podemqs deducir una ecuación para la forma de la trayectoria en términos de x y
_velirnintu1do r. De las ecuaciones (3.20) y (3.21), que suponen xü = yu = 0, obtene
mos r = rri(o.¡, cos org) y
_ y = (rar a,,)r de (3.21)
UH CDS CEU
89
3.18 Trayectoria de un cuerpo proyectado
con una velocidad inicial ìiü y un ángulo or@
sobre la horizontal con .resistencia del aire
insignificante. 'La distancia R es el alcance
horizontal, y h es la altura máxima.
ealrtPbys cs
3.7 Práctica de tiro al blanco ll
im@
\. í n nun _ ¿.11_4±_í í
90
_v i_ m_}
l till
_|_
Sin resistencia
¡fl ji) j __¿c”Í l ül1¬Eì
fi I 1 l le reo son `\,__ son "* l mi
_5{} Con resis I" ._ "H
tencia del I' ,
'" ¡UU é* aire '
3.20 La resistencia del aire tiene un efecto
aeurnulativo considerable sobre el movi
miento de una pelota de beisbol. En esta
simulación, permitimos que la pelota caiga
por debajo de la altura desde la cual se
lanzó (por ejemplo, la pelota podria ha
berse lanzado desde un acantilado).
lÍ_Íonsideremos otra vez a la esquiadora del ejemplo conceptual 3.5.
¿Que aceleración tiene en los puntos G, H c I de la figura 3.21 des
,ones de dejar la rampa? Desprecie la resistencia del aire.
_
La aceleración de la esquiadora cambió de un punto a otro mientras
c .rr P i r U L o 3 l Moviniierrto en dos o tres dimensiones
3.19 Fotografia estroboscópica de una pelota que rebota, donde se aprecian trayectorias
parabólicas despues de cada rebote. Las imagenes sucesivas estan separadas por intervalos
de tiempo iguales, como en la figura 3.1?. Cada cresta de la trayectoria esta mas abajo
que la anterior debido a la perdida de energia durante el “rebote”, o choque con la super
ficie horizontal.
No se preocupe por los detalles de esta ecuación; lo importante es su forma gene
ral. Las cantidades U0, tan of, ,, cos ou, y g son constantes, asi que la ecuación tiene
la forma
'fl
y = bt _ cx"
donde h y c son constantes. Ésta es la ecuación de una pro rióoio. En el movimien
to de proyectiles, con nuestro modelo simplificado, la trayectoria siempre es una
parábola (F ig. 3.19).
Va dijimos que la resistencia del aire no siempre es insignificante. Si debe in
cluirse, las ecuaciones son mucho mas complejas; los efectos de dicha resistencia
dependen de la velocidad, por lo que la aceleración no es constante, La figura 3.2tl
es una simulación computarizada de la trayectoria de una pelota con o,, = Sii rm' s
y or@ = 53.1”, sin resistencia del aire y con una resistenciaproporcional al cuadrado
de la rapidez de la bola. Vemos que el efecto de la resistencia es muy grande; la
altura rnartima y cl alcance se reducen y la trayectoria ya no es parabólica.
Aceleración de una esquiadora, continuación
vierte en un proyectil. Asi, en los puntos G, H e I, y de hecho en rorios'
los puntos despues de dejar la rampa, la aceleración de la esquiadora
apunta verticalmente hacia abajo y tiene magiitud g. Por mas comple
ja que sea la aceleración de una partícula antes de convertirse en pro
yectil, su aceleración como proyectil esta dada por o_,. = U, o._,, = g.
estaba en la rampa pero, apenas la esquiadora deja la rampa, se con
3.3 l Movimiento de proyectiles 91
_ lr u '._ _
1.' 1 _',¬_._ ___.s ~
. _,. _ . _ L
. .r _._|
\
Dirección del
____ movimiento
B I ' J i
ri'
HG _, A Egg r
"¬¬¬¬.
C af af a' 5 ff 5
' D E F ' ' 3.21 Llna vez que la escjuiadora
Estrategia para
fesgjyygf pfDb|Ema5
Il|ü`ÍA¦ Las estrategias que usamos en las secciones 2.4 y 2.5 pa
ra problemas de aceleración constante en línea recta también
rr
S1I"I. "E11 ELQUI.
IDENTIFICAR ios conceptos pertinentes: El concepto clave que
debemos recordar es que durante todo el movimiento de un pro
yectil, la aceleración es hacia abajo y tiene magritud constante g.
Este alerta a aspectos del problema en los que no intervenga el
movimiento de proyectiles. Por ejemplo, las ecuaciones para
el movimiento de proyectiles no son válidas durante el lanza
miento de una pelota, porque ahí actúan sobre la pelota tanto la
mano del lanzador como la gravedad. Las ecuaciones sólo entran
en juego una vez que la pelota abandona la mano del lanzador.
PLANTEAR eiproofeoro con los pesos siguientes:
l. Defina su sistema de coordenadas y dibuje sus ejes. Nor
malmente lo mas facil es colocar el origen en la posición
inicial (i = ll) del proyectil. (Si el proyectil es urra pelota
lanzada o un dardo disparado por una pistola, la posición
inicial es donde la pelota abandona la mano del larrzador
o sale del cañón de la pistola.) Tambien, suele ser reco
mendable tomar el eje x como horizontal y el eje y hacia
arriba. Asi, la posición inicial es rn = O y yü = 0, las
componentes de la aceleración (constante) son o,, = 0,
oy = g.
2. Haga una lista de las cantidades conocidas y_desconoei
das, y decida cuáles incógnitas son las variables meta, En
¿_ algunos problemas se dan las componentes (o la magnitud
y dirección) de la velocidad inicial y se pide obtener las
tiene movimiento de proyectil,
su aceleración es constante y
hacia abajo.
coordenadas y componentes de velocidad en tm instante
posterior. O bien podrían darle dos puntos de la trayecto
ria y pedirle calcular la velocidad inicial. En todo caso,
usara las ecuaciones (3.20) a (3.23). Asegúrese de tener
tantas ecuaciones como variables meta por determinar.
3. Suele ser útil plantear el problema con palabras y luego
traducirlo a simbolos. Por ejemplo, ¿cuándo llega la par
tícula a cierto punto? (O sea, ¿con qué valor de fi) ¿Dón
de está la partícula cuando la velocidad tiene cierto valor?
(¿Cuánto valen ,ey y cuando o_,, o of tiene ese valor'.?') En el
punto más alto de la trayectoria, u,, = O. Asi, la pregunta
“¿cuándo alcanza el proyectil su punto mas alto'?“ se tra
duce a “¿_cuanto vale r cuando e_,. = t)*?" Asimismo,
“¿cuándo vuel_ve e1proyecti_l a su altura inicialít" se tradu
ce a “¿euánto vale rcuando y = y¿,'?"
EJECUTAR io soirrción.' Use las ecuaciones (3.20) a (3.23) para
obtener las variables meta. (También podrían ser útiles otras
ecuaciones que se dan en la sección 3.3.) Al hacerlo, resista la
tentación de dividir' la trayectoria en segmentos y analizarlos in
dividualmentc. No hay que volver a comenzar, con nuevos ejes
y nueva escala de tiempo, cuando el proyectil llega a. sn altura
rnartima. Lo más fácil suele ser configurar las ecuaciones (3.20)
a (3.23) al inicio y usar los mismos ejes y escala de tiempo du
rante todo el problema. .
EVALUAR io respuesta: Como siempre, examine sus resulta
dos para ver si son lógicos y si los valores numéricos son ra
zonables.
I
rr.
¦
E
l
mi.L1 ` _'
l
ii
.ilímL
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1...
_¡¬
F
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I
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.ZE_....._L.....l_._
|
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'|
¦ “¬¬_
I'
1.
" .
|l1 K*
Un acróbata en motocicleta se larma del borde de un risco. Justo en
el borde, su velocidad es horizontal con magnitud 9.0 mis. Obtenga
la posición, distancia del borde y velocidad de la moto despues de
íl.5t`l s.
IDENTIFICAH: Una vez que el acróbata se separa del risco, es un
proyectil. Por tanto, su velocidad en el borde es su velocidad inicial.
PLANTEAH: El sistema de coordenadas se muestra en la figura
3.22. Escogemos el origen en el borde del risco, donde la moto se
convierte en proyectil, así que .ru = O y yu = 0. La velocidad inicial
es puramente horizontal (cs decir, cn, = D), asi que sus componen
tes son r.†,¿,,, = nu cos orü = 9.0 mis y og. = U0 sen org = 0. Para de
terminar la posición de la moto en r = 0.50 s, usamos las
ecuaciones (3.20) y (3.21), que danx y y en función del tiempo. Da
dos estos valores, caleularemos la distancia del origen con la ecua
ción (3.24). Por último, determinaremos la velocidad ent = 0.50 s
con las ecuaciones (3.22) y (3.23), que dan o, y 11,, en función del
tiempo.
EJECUTAR: ¿Dónde está la moto en r = 0.50 s? Por las ecuaciones
(3.213) y (3.21), las coordenadas son
.r = emi = (9.0 mts) (0.50 s) =. 4.5 m
y = šgft = â (9.snvr2)(0_scs)2 = rom
El valor negativo de y indica que en este instante la motocicleta es
ta debajo de su punto inicial.
¿A que distancia esta ahora la moto del origen? Por la ecua
ción (3 24),
r = \/si + yt \/(4.5 m)2 + ( 1.2m)2 = 4.7 rs
¿Qué velocidad tiene en r = 0.50 s'? Por las ecuaciones (3.22) y
(3.23), las componentes de la velocidad en ese momen_to son
1.1,, = on, = 9.0 mts
U, _ gr = ( ss mrr1)(o.sos) = 4.9 me
La moto tiene la misma velocidad horizontal o_.,. que cuando aban
donó el risco en t = 0, pero ademas hay urra velocidad vertical u,,
92 c a Pi r n Lo 3 l Movimiento en dos o tres dimensiones
Cuerpo. proyectado horizontalmente '
F
rr¬¬¬_, ¬ ; . _,åxjffrtecr¿si f
1 ¬ 1 ¡_ " te r,dd__
He; c: El
H
¬__¿__ . üu
" . ..|
|
.. .. _.. ._..; _ ..
_ H ¬" fl' |' r.›_= gr __ e
l 1 U
l
f
3.22 Trayectoria de un cuerpo proyectado horizontalmente.
hacia abajo (en la dirección y). Si usamos vectores unitarios, la
velocidad en I = 0.50 s es
s = 11,2 + s,.} = (9.on¬.e)i + t 4.9 m.›s)j`
Tambien podemos expresar la velocidad en temrinos de magni
tud y dirección. Por la ecuación (3.25), la rapidez (magnitud de la
velocidad) en este instante es
u = Vuf + of
= \/(9.0 ar<.=.)1 + ( 4.9 nvsìt = rea me
Por la ecuación (3.26), el ángulo or del vector velocidad es
vrcr = arctan
Ut
4.9 mi.
= me = “'29”
La velocidad está dirigida 29” debajo de la horizontal.
EVALUAR: Nuestras respuestas ilustran el hecho de que la grave
dad no altera el aspecto horizontal del movimiento; la motocicleta
se sigue moviendo horizontalmente a 9.0 mis, cubriendo 4.5 m en
0.50 s. Dado que la moto tiene cero velocidad inicial vertical, cae
verticalmente igual que un objeto que se suelta desde el reposo,
descendiendo una distancia de jgti = 1.2 m en 1150 s.
. _ .. .. _ .r . _ _ r. . __ ._ . ¡_ ._ . _. 4 . _ __ _ . |. _.. ..._ .. . . . _ . ._. | . . ..
Un betcador golpea una pelota de modo que esta adquiere una ra
pidez inicial ou, = 37.0 mts con un ángulo inicial oq, = 53.1”, en
un lugar donde g = 9.3[l misi (Fig. 3.23). a) Calcule la posición
de la bola y la magnitud y dirección de su velocidad cuando
r = 2.00 s. b) Determine cuando la pelota alcanza el punto más
'l
Altura y alcance de una pelota j
alto y su altura ir en ese purito. c) Dbtenga el olcorrce irorizorrrol
R, es decir, la distancia horizontal desde el punto de partida hasta
donde la pelota cae al suelo. En las tres partes, trate la pelota co
mo proyectil. i
3.3 I Movimiento de proyectiles 93
3"
r=2 .Olla U
si .r:=4 fl.4m
_ï_í,_, . ,_.ï
y = 39.6 m
«e .tfiip
.â
G
un = are me
ar., = 511°
lr=
r, = 3.02 s
U1
________É__________
% %
r=t5IÍl4s
R=l 4mage) _É?. *
3.23 Trayectoria de una pelota bateada, tratada como proyectil.
SÚLUCIÚN
IDENTlFICAR¦ Como muestra la figura 3.20, los efectos del aire so
bre el movimiento de una pelota de béisbol no son insignificantes
pero, porsencillez, los despreciaremos en este ejemplo. Así pues,
usaremos las ecuaciones del movimiento de proyectiles para descri
bir el movimiento.
PLANTEAR: Usaremos el mismo sistema de coordenadas que en la
figura 3.13. Así, podremos usarlas ecuaciones (3.20) a (3.23) sin mo
dificaciones. Las variables meta son (l) la posición y velocidad de la pc
lota 2.00 s despues de perder contacto con el bate, (2) el tiempo
transcurrido entre que la pelota sale del bate y alcanza su altura m.:ãorir:na
cuando o¿,. = U y la coordenaday en ese momento y (3) la coorde
nadar: en el momento en que la coordenaday es igual al valor inicial yü.
La bola se golpea tal vez 1 m sobre el suelo, pero supondremos
que parte del nivel del suelo (yo = fl). La velocidad inicial tiene
componentes
' r›,,, = a,,¢sr rr, = (src mrs)r¬.m 531° = 22.2 me
o¡,_,, = oí, sen off, = (37.0 mfs)sen 53.1” = 29.6 mis
EJECUTAR: a) Queremos obtener .r, y, n,,, y of en el instante
r = 2.00 s. Por las ecuaciones (3.20) a (3.23),
.r = u,,,,r = (22.2 me.)(2.eorr) = 44.4111
_ 1 2y nm.: šgr
'Ir
1._'.
= (2s.s me) (zoo rr) å(s.so mfst)(2.co s)t
= asta sr
.(:....._.
É?
'C2li'H
$2»
U_r = Um = .
tr., = om. gt = 29.6 mis (9.80 n1ƒs2)(2.Dl}s)
= 10.0 1'1'L(S
La componente y de la velocidad es positiva, o sea que la bola toda
vía va en ascenso (Fig. 3.23). La magnitud y dirección de la veloci
dad se obtienen de las ecuaciones (3.25) y (3.26): _
o = \/of + u_.f = X/(22.2 mƒs)2 + (lili) rnƒs)i"
= 24.3 me 't
(10.0 ma.)
Ut = fl1`Cl&11 = HICÉELH Ú.¿l SÚ = 24.29
La dirección es 24.2” sobre la horizontal.
b) En el punto más alto, la velocidad vertical ey es cero. ¿Cuándo
sucede esto? Sea ese instante tj; entonces
. U). : 0 : Un). _ gfj
Ue; 29.6 misr, 2 3.02 s
g 9.80 rnƒs .
La altura Ir es el valor dey cuando .t = tj = 3.02 s:
l
dl Z Uüvfl _ Egfjg
= (2s.sma)(r.o2r) år rs@ rrve)(r_o2rj1
= 44.7 m
U bien, podemos aplicar la fórmula de aceleración constante (ecua
ción 2.13) al movimiento _) ¬:
I si = U_U, 1 + 2er lr ni) = ref ìslr _ rs)
I'
.|_|.¡
¡__
ïiíííêr _L_íi_.í_ .4..4.. ¿__. ini;_Éï_
'
"'IIu.
94 c .tt P i 'r U Lo 3 l lvlovimicnto en dos o tres dimensiones
En el punto mas alto, oy = U y y = lr. Sustituyendo esto y con
yn. = U, tenemos
U = o,¿,_,f Ego
ua? (2s›.s mi .ot
tr = '_ _, _ 44.7 m
Eg 2(9.S0 mfs“)
c) Dbtendrcmos el alcance horizontal en dos pasos. Primero, ¿cuándo
cae la bola al suelo? Esto ocurre cuando y = t). digamos, en tg; entonces
l l
F = U : Ue; 32 _ ããfaï : 1' 2.(Uo_v T El iii
Ésta es una ecuación cuadratica en ty. Con dos raices:
200,. 2(29.ó mis)
t¡=ll y t2 ' _, _6.04sg 9.8Cirrris"
Hay dos instantes en los que y = U; ty = 0 es cuando la bola porte
del suelo y tg _= ó.U4 s es cuando regresa. Esto es exactamente el
doble del tiempo que tarda en llegar al punto más alto, asi que el tiem
po de subida es igual al de bajada. (E sto sicrnpre sucede si los puntos
inicial y final están a la misma altura y se puede despreciar la resis
tencia del aire; lo demostraremos en el ejemplo 3.10.)
El alcance horizontal R es el valor de .r cuando la bola vuelve al
suelo, o sea, en r = 6.04 s:
R = emi; = (22.2 mis) (6.04 s) = 134 m
La componente vertical de la velocidad cuando la bola toca el
suelo es
u_,. = r.›,,__,, gr; = 29.6 mis (9.30rnfs2)(6.U 4 s)
= 29.6 mts
Es decir, o_,_ tiene la misma magnitud que la velocidad vertical inicial
om. pero dirección opuesta (hacia abajo). Dado que o_,. es constante,
el ángulo of = 53.1? (debajo de la horizontal) en este punto es el
rregativo del angulo inicial org = 33.1”.
EVALUAR: ¿Son lógicos nuestros resultados numéricos? La altura
maxima lr = 44 7 m de la parte (lr) es aproximadamente la mitad
de la altura a la que esta el techo del Skydomc de Toronto sobre el
campo de juego. El alcance horizontal R = 134 m de la parte (c) es
mayor que la distancia de 93.6 m entre irorne y la barda del jardín
derecho en el Pacific Bell Park de San Francisco. ¿Puede demostrar
que, cuando la pelota llega a esta barda, esta 31.? m sobre el suelo?
(Esta altura es más que suficiente para librar la barda, asi que el ba
tazo es un jonrón.)
Si la bola pudiera seguir viajando debojrr de ,su nivel original
(por un agujero de forma apropiada), podría haber valores negati
vos de y correspondientes a tiempos mayores que ó.ll4 s. ¿Puede
calcular la posición y velocidad 7.55 s después del inicio (la última
posición de la Fig. 3.l8)? Los resultados son
.t = 168 m y = 55.8 rn
rr, = 22.2 rn/s rr., = ffl 4.4 mis “
Vale la pena señalar que, en el mundo real, una pelota bateada
con la rapidez y ángulo iniciales que usamos aqui no alcanzará ni la
altura ni la distancia que calculamos. (Si lo hiciera, los jonrones se
rían mucho mas comunes y el béisbol sería un juego mucho menos
interesante.) El motivo es que la resistencia del aire, que no se tomó
en cuenta en el ejemplo, es en realidad un factor importante a las
velocidades que suelen tener las pelotas lanzadas y bateadas.
....=............
La cuidadora y el mono
Un mono listo escapa del zoológico. La cuidadora lo halla en urr
arbol. Como no logra atraerlo, apunta su ritle con un dardo sedante
directamente al mono y dispara (Fig. 3.24). El astuto mono se suel
ta en el instante en que el dardo sale del rifle, pensando caer al
suelo y escapar. Demuestra que el dardo siempre golpea al mono,
sea cual sea su velocidad de salida (siempre que llegue al mono
antes de que éste llegue al piso).
IDENTIFICAR: En este ejemplo, tenemos dos objetos que se mue
ven eomo proyectiles, el dardo sedante y el mono. Los objetos tie
nen posición y velocidad iniciales distintas, pero entran en
movimiento de proyectil al mismo tiempo. Para demostrar que el
dardo golpea al mono, debemos probar que hay un instante en que
ambos tienen las mismas coordenadas .r y y.
PLANTEAR: Escogemos las direcciones .r y y acostumbradas, y co
locamos el origen en el extremo del cañón del rifle. Primero usare
mos la ecuación (3.20) para encontrar el tiempo r en el que las
coordenadas x,,,,,,,,_, y x,,,,,,,,, son iguales. Luego usaremos la ecuación
(3.21) para verificar si y,,,,,,,,, y y,,,,,,,,_, también son iguales en ese ins
tante; si lo son, el dardo golpeara al mono.
EJECUTAR: El mono cae verticalmente, asi que .r:,,,,,,,,,, = si en todo
momento. En el caso del dardo, la ecuación (3.213) nos dice que
rr,,,,,,,,, = (ug cos u¿,)r. Cuando las coordenadas .r son iguales,
ri = (un cos orf,)r, o
cl
r = Í
Uü CÚS IÍEU
Para que el dardo golpeo al mono, debe cumplirse que _y,,,,,,,,, = y,,,,,,,,
en este instante. El morro esta en caida libre unidimensional; su po
sición esta dada por la ecuación (2.12) cambiando debidamente los
simbolos. La figura 3.24 muestra que la altura irricial del m_ono es ri
tan oo, (el carcto opuesto de ,pu triangulo recto con angulo off, y cate
to adyacente cl), y obt.cnemos
l
ymnü = ri tan oq, _ šgig
pablo
Resaltar
Altura maxima y distancia maxima(ayuda)
pablo
Resaltar
3.3 l Movimiento de proyectiles 95
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3.24 El dardo con sedante golpea al mono que cae.
Para el dardo usanios la ecuacion (3.21):
l 2}"aan:1a = (Un SÚU fïnlf _ E31'
Vemos que, si d tan au = (uu sen ou) r cuando las dos coordenadas
.r son iguales, entonces y,,.,,,,,,, = y,j,,,,,,,, y el dardo habrá acertado.
Para demostrar que esto sucede, sustituimos tpor dí ( ug cos org), el
instante en que .t,,,,,,,,, = r,,,,,,,,,; asi,
cf
(uf, sen aült = (UU sen tr,¿,) = dtan oz@
Para un proyectil lanzado con rapidez ou y ángulo inicial ofü (entre 0
v 90°), deduzca expresiones generales para la altura máxima ii y el
alcance horiaontalR (_Fig. 3.18). Para una tr", dada, ¿que valor de co;
da la altura máxima? ¿Y alcance niártimo'?
IDENTIFICARE Éste es realmente el mismo ejercicio que las partes
lb) v (c) del ejemplo 3.8. La diferencia es que buscamos expresio
nes genetalespara li v R. Tambien nos interesan los valores de of.)
que dan los valores tnartimos de fi jr R.
F|Jt|'t|TEåH¦ igual que en el ejemplo 3.3, usa_rr1os el sistema de coorde¬
na :las de la figura 3.18. Por conveniencia, escogemos como origen la
V gy _; _
_.,± tr_š›¬_¿ ¡ r I
EVALUAR: Hemos demostrado que, cuando las coordenadas Jr son
iguales, las y también lo son; un dardo dirigido a la posicion inicial
del mono siempre lo golpea, sin importar on. Este resultado tam
bién es independiente de g, la aceleracion debida a la gravedad. Sin
gravedad (g = U) , el mono no se movería, y el dardo viajaria en li
nea recta para golpearlo. Con gravedad, ambos “caen” la misma dis
tancia fågtïj por debajo de sus posiciones con g = D ¬_v el dardo de
todos modos golpea al mono.
Altura y alcance de un proyectil
posicion inicial del proyectil. Para determinar la altura lr en el punto
más alto de la trayectoria, usaremos la ecuacion (3.23) para obtener el
tiempo t, en el que oy = D, y luego obtendremos la coordenada y en
ese instante con la ecuacion (3.21). Para determinar R, primero usare _
mos la ecuacion (3.21) para determinar el tiempo tg en el que jr = U (es
decu, cuando el proyectil regresa a su altura inicial) y luego sustituire¬
mos tg en la ecuacion (3.20) para determinar la coordenada .tr en tg.
EJECUTAR: Por la ecuacion (3.23), el tiempo tj en el que tr, = U esta
dado por la ecuacion
Un SÉ 11 ÚÍU
'UJ_¬±Í l[]SÚÍ'|Il1'[j_gÍ] :H Í| ' 'T
___
"'I.
96 cr .Pi r U Lo 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones
Luego, por la ecuacion (3.21), la altura en ese instante es
og sen org) 1 (og sen crgï
Pr = ug sen org gs 2 z
1 z
UD San lllffl
2s
Si variamos org, el valor maximo de Fr se da con sen org = l y org = 90°;
o sea, cuando el proyectil se lanza verticalmente. Esto es lo espera
do. Si se lanza horizontalmente, como en el ejemplo 3.7, org = 0 y la
altura máxima es ¡cerol
Si queremos deducir una expresion general para el alcance R,
primero obtenemos el tiempo tg cuando jr = 0. Por la ecuacion
(3.21), rg satisface la ecuacion
1 , 1
(ug sen o±,g)rg 2 grg = tg og sen org šgrg = 0
Las dos raices de esta ecuacion cuadratica en tg son tg = 0 (el lanza
miento) v tg = (2110 sen org ) tg. El alcance R es el valor de x en el
segundo instante. Por la ecuacion (3.20),
211 sen
R = (ug cos crg)%2
Ahora podemos usar la identidad trigonométrica 2 sen org cos ag == sen
Eog para reescribir esto como
2ug sen Zag
R = í
3
El valor máximo de sen 2:: ag es 1;. esto ocurre cuando 2. :tg = 90°, o
org = 45°.'Este angulo da el máximo alcance para una velocidad irri
cial dada.
l
Imagine que lanza una pelota desde su ventana a 8.0 m del suelo. Cuan
do la pelota abaridona su mano, se mueve a 10.0 mis con un ángulo de
20° debajo de la horizontal. ¿A que distancia horizontal de su ventana
tocará la pelota el piso? Haga caso omiso de la resistencia del aire.
IDENTIFICAR: Al igual que en nuestro cálculo del alcance horizontal en
los ejemplos 3.3 y 3.10, estamos tratando de hallar la coordenada hori
zontal de un projrectil cuando esta a tm valor dado de y. La diferencia
en este caso es que este valor dey no es igual a la coordenaday inicial.
PLANTEAR: Una vez mas, escogemos el eje x como horizontal, jr el
y, hacia arriba. Colocamos el origen de coordenadas en el punto en
que la pelota abandona la mario, asi que xg = 0, yg = 0 (Fig. 3.26). Te
nemos ug = 10.0 mƒs jr org = 20°; el angulo es negativo porque
og esta debajo de la horizontal. La variable meta es el valor de Jr en el
punto en que la pelota llega al suelo; es decir, cuando jr = 8.0 m.
Alturas inicial y final distintas
EVALUAR: La figura 3.25 se basa en una fotografia compuesta de 3
trayectorias de una bola proyectada desde un cañon de resorte con
ángulos de 30°, 45° y 60°. La rapidez inicial og es aproximadamente
igual en los 3 casos. Los alcances son casi iguales con los ángulos
de 30° y 60°, y el de 45° es el mayor que ambos. ¿Puede demostrar
que para tura og dada el alcance es igual para un angulo inicial org que
para 90° org?
Comparando las expresiones para tg jr tg, vemos que tg = Ztg; es
decir, el tiempo de vuelo total es el doble del que toma llegar a la al
tura máxima. Se sigue que este último es igual al tiempo que t.oma
regresar a la altura original, como afirmamos en el ejemplo 3.3.
ÉNo recomendamos memorizar las expresio
nes anteriores para h jr R; son aplicables solo en las circuns
tancias especiales que describimos. En particular, la
expresion para R sólo puede usarse cuando las alturas de
lanzamiento y aterrizaje son iguales. En muchos de los
probemas de este capitulo no pueden aplicarse estas
ecuaciones.
 
o""
' .Í'¦.`
1' 'o
'.... ísuljï
Un ooo CI.I
É
I1
I' or
¡ol o¡.' '.
I 1
3.25 Un ángulo de disparo de 45° (en morado) produce el alcan
ce horizontal maximo. El alcance es menor con 30° (azul) jr 60°
(verde).
'E
y Ventana
2 4 6 3 10
Uni/utiriiirg
_ IlÍ1'.U:_20ü
_g_
._¿|__
_6_
g ì_ _______________ __ Eìflsls
3.26 Trayectoria de una pelota lanzada con cierto angulo debajo
de la horizontal.
3.3 | Mevif menta ae prayeeares 97
Dado que las alturas inicial y final de la pelota son distintas, no po
demos usar la expresion para el alcance horizontal del ej emplo
3.10. En vez de ello, usamos primero la ecuacion (3.21) para hallar
el instante if en que la pelota llega a y = 8.0 m, jr luego calcula
mos el valor de ,rr en ese instante, con la ecuacion (3.20).
EJECUTAR: Para determinar t, reescribimos la ecuacion (3.21) en la
forma estándar de una ecuacion cuadratica en tz
l
šgri ¬ (og sen orgjr' + y = 0
Las raices de esta ecuacion son
l
og sen org ± \/( ug sen og): 4(šgj,v
¡_ __
ria)
ug sen org ± 'R/ug: seng org ~ 2_gy
. g
[(10.0 mr's)sen( 20°) A
_ ±\/(ron mrS)1sea2 ( 2o°) 2{s,s spas) ( so m)
_ as avs?
Podemos desechar la raiz negativa, pues se refiere a tm tiempo previo al
lanzamiento. La raiz positiva nos dice que la pelota tarda 0,98 s en lle
gar al suelo. Por la ecuacion (3.20), la coordenadax en ese instante es
r = (ug cos ctgjt = (10.0 n1f's)[cos( 20°]jl:D.9S s)
= 9.2m
La pelota toca el suelo a una distancia horizontal de 9.2 m de la
ventana,
EVALUAR: La raíz t = 1.7 s es un ejemplo de solucion “ficticia”
a una ecuacion cuadrática. Ya vimos esto en el ejemplo 2.3 de la
seccion 2.5; le recomendamos repasarlo.
Con el origen que escogimos, teníamos alturas inicial jr final
yn = 0 y jr = 8.0 m. ¿Puede demostrar, con la ajmda de las ecua
ciones (3.16) y (3.18), que se obtienen los mismos valores de I jr x
si se coloca el origen en el suelo, inmediatamente abajo de donde la
pelota abandona la mano?
En el ejemplo 3.9, suponga que el dardo sedante tiene una velocidad de salida re
lativamente baja, de modo que el dardo alcanza su altura máxima en un punto P
antes de golpear al mono (véase la Fig. 3.27). Cuando el dardo está en P, ¿el mo
no estara en el punto A (más alto que P), en el punto B (ala misma altura que P)
o en el punto C (mas abajo que P)? Haga caso omiso de la resistencia del aire.
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3.2? lvlisma situacion que en el ejemplo 3.9, pero con velocidad de salida baja.
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3.28 Determinacion del cambio de veloci
dad, añ, de una partícula que se mueve en
mi circulo con rapidez constante.
l.'¬ |
és†`:rPliyš cs
4.1 iviagnitud de aceleracion
centripeta
cf rx Pi TU i. o 3 I Movimiento en dos o tres diriiensiones
3.4 | Movimiento en un circulo
Cuando una particula se mueve en una trayectoria curva, la direccion de su velocidadcambia. Como vimos en la seccion 3 .2, esto implica una componente de aceleracion
perpendicular a la trayectoria, aun si la rapidez es constante. Aquí caleularemos
la aceleracion para el caso especial importante de movimiento en un círculo.
Movimiento circular uniforme
Cuando una partícula se mueve en un círculo con iuptdez constante, tiene un movi
miento circular uniforme. Un auto que da vuelta a una curva de radio constante
con rapidez constante, un satelite en orbita circular y un patinador que describe un
círculo con rapidez constante son ejemplos de este niovimiento. No hay compo
nente de aceleracion paralela (tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidez
cambiaría, La componente de ace le racion_ perpendicular (normal) a la trayectoria,
que causa el cambio de direccion de la velocidad, tiene una relacion sencilla con
la rapidez de la partícula y el radio del circulo. Ahora deducirenios esa relacion.
Primero observamos que este problema es distinto del moviiniento de proyectil
que vimos en la seccion 3.3, donde la aceleracion era constante, tanto en magni
tud (g) como en direccion (hacia abajo). En el movimiento circular uniforme, la
aceleracion siempre es perpendicular ala velocidad; al cambiar la direccion de esta,
cambia la de la aceleracion. Como veremos, el vector de aceleracion en cada punto
de la trayectoria apunta al centro del círculo.
La figura 3.28.21 muestra una partícula que se mueve con rapidez constante en una
trayectoria circular de radio R centrada en O. La partícula se mueve de P, a Pg en un
tiempo At. El cambio vectorial en la velocidad oí? se muestra en la figura 3.2Sb.
Los ángulos rotulados aqii en las figuras 3.28a y 3.28b son iguales porque Ei, es
perpendicular a la línea OP, y íig es perpendicular a. OPg, y los triángulos ÚP,Pg
(Fíg. 3.28a) y Op,pg (Fig. 3.28b) son semejantes. Los cocieiites de lados corres
pondientes son iguales, así que
j j At? _, U1
í= o [Avi = os
U] R R
La magnitud rr,,,,,,, de la aceleracion media durante At es entonces
, _ |å°|..U1er
"'°° At R at
La magnitud tr de la aceleracion r`nstutittiri.eu d en el punto P, es el líniite de esta
expresion conforme Pg se acerca a P,:
_¶,nM_nger
ll P a iìifl R .ot _ R ely@ at
Sin embargo, el límite de As/At es la rapidez u, en P, .Ademi is, P, puede ser cual
quier punto de la trayectoria, asi que omitimos el subindice y ri representa la rapi
dez en cualquier punto. Asi,
. "
2
U I 'I' F Í 1tt,,,,, = (movimiento circular uniforme) (3.23)
R
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Rectángulo
Aceleracion centripeta o radial
3. ii l Movimiento en un circulo
Agregamos el subindice “tad” para recordar que la direccion de la aceleracion ins
tantánea siempre sigue un radio del círculo, hacia su centro. Esto es congruente III ITII :IIPTIÉII. Ii lv ii'h&fl§__ 
ÉIIÉJ P'
. 1.;
con lo dicho en la seccion 3.2: el vector aceleracion apunta al lado ctincavo de la flrad '
trayectoria circular, o sea, hacia adentro del circulo (nunca hacia afuera). Dado ¬
que la rapidez es constante, la aceleracion siempre es perpendicular a la velocidad
instantáriea. Esto se muestra en la figura 3.28c; compárela con la figura 3, 12a.
En conclusion, en ei nraviniiento circular rtniƒartne, la magnitud a de la
Er 'rd ü
ii' _.ran amd
_, |
ara cl
|III| | III| |IlI Il
 '
fi amd |
aceieracion. instantanea es igual al cuadrada de la velocidad v divitiidti entre
ei radio R del circulo; sn direccion es perpendicrtiar a ïi jr hacia adentra so'
ore el ratito. Puesto que la aceleracion siempre apunta al centro del circulo, se
I I'le llama aceleracion centripeta (“que busca el centro”, en griego), La figura
3.29 muestra las direcciones de los vectores de velocidad y aceleracion en va
rios puntos para una partícula con movimiento circular uniforme. Compare es
3.29 Para una partícula en movimiento
circular uniforme, la velocidad en cada
está dirigida hacia el centro.to con el movimiento de proyectil de la figura 3.18, donde la aceleracion
sienipre es vertical hacia abajo y no perpendicular a la trayectoria, .excepto en
un punto.
También podemos expresar la magnitud de la aceleracioii en un movimiento
punto es tangente al circulo y la aceleracion
___,_,.¡....
fl r il rr
circular uniforme en terminos del periodo T del movimiento, el tiempo de una re
volucion (una vuelta completa al circulo). En un tiempo T, la partícula recorre una
distancia igual a la circunferencia 2rrR asi que su rapidez es
2rrR
tt =i
T (3.29)
Al sustituir esto en la ecuacion (3.2 S), obtenemos la expresion alterna
41r2R
a,.,,,, = T (movimiento circular uniforme) (3.30)
¡I
Un automovil BMW Z4 tiene “aceleracion lateral” de 0.87g, que es
(0.$'i')(9.S miel) = 8.5 miso. Ésta es la aceleracion centripeta niáxima
que puede lograrse sin salirse de la trayectoria circular derrapando.
Si el auto viaja a 40 mis (I44 lrmfli), ¿cuál es el radio miniino de
curva que puede describir? (Suponga que no hay peralte.)
IDENTIFICAR 'I' PLANTEAR: Puesto que el coclie sc mueve en una
curva es decir, im segmento de circulo con rapidez constante,
podemos aplicar las ideas del movimiento circular uniforme. Espe
cíficamente, podemos usar la ecuacion (3.28) para obtener la varia
ble meta R (el radio de la curva) eii términos de la aceleracion
Aceleracion centripeta en un camino curvo
EJECUTAR: Nos dan a,,,,,, y ti, así que despejamos R de la ecuacion (3.28):
U2 (40 ITL›"S lg _
R 2 l9(l iii (unos 600 ft)
flrgd I`l`ltlS
EVALUAR: Nuestro resultado muestra que el radio de giro requeri
do R es proporcional al crrariratio de la rapidez. Por taiito, incluso
una reduccion pequeña en la rapidez puede reducir R considerable
mente. Por ejemplo, si tr disminuye en un 20% (de 40 a 32 mis), R
disminuirá en un 36% (de 190 m a l20 m).
Otra forma de reducir el radio requerido es peraitar la curva. ln
centripeta dada a,.,,,, y la rapidez tr. vestigaremos esta opcion en el 'capitulo 5.
ii ¡_
pablo
Resaltar
pablo
Rectángulo
Aceleracion centripeta o radial
Fâí
ïfiì
I
l
a,,,,».
I \ã E atan
5 Í Y'
100 c a PÍT U L o 3 I lvloviiriiento en dos o tres dimensiones. "ff,
En un juego mecanico, lospasajeros' viajan con rapidez constante
en un circulo de 5.iÍI m de radio, 'dando una vuelta cada 4.0 s. ¿Qué
aceleración tienen? _
soiucióu _
IDENTIFICAH T PLANTEÄIR La rapidez es constante, asi que es mi pro
blema de movimiento circular uniforme. Nos dan el radio R = 5.0 m y
el periodo T= 4.0 s, asi que podemos usar la ecuación (3.30) para calcu
lar ii. Como alternativa, podriamos calcular primero la rapidez u con la
ecuación (3.29) v luego obtener la aceleración con la ecuación (3 28).
EiECl.IT.¿tH¦ Por la ecuación (3.30),
_ ímziìomi ' 12 mfs2
and (4.0 sf
Verificaremos esta respuesta usando la ecuación (3.28) después de
calcular la rapidez v. Por la ecuación (3.29), la rapidez es la circun
ferencia dividida entre el periodo T:
4.
/I i____Ii mí.. I "'_':_
Í.. ._
 
Aceleración centripeta en un juego mecánico
211 R 2rr(5.0 ni)
¬* : _ _ 7.9 1111"U r 4.0 s S
La aceleración centrípeta es entonces
U2 (7.9 II1i"S)2`
u.,,,,¡==T? = ìüm =12rn.fs2
(Jbteneinos el mismo valor de om, con ambas estrategias.
EVALUAR: Al igual que en el ejemplo anterior, la dirección de ii "
siempre es hacia el centro del circulo. La magnitud de E es mayor
que g, la aceleración debida ala gravedad asi que este juego mecá
nico sólo es para los audaces. (Algunas montañas rusas someten a
sus pasajeros a accleraciones de hasta sig.)
____ 
Movimiento circular no uniforme
En esta sección, hemos supuesto que la rapidez de la partícula es constante. Si la
rapidez varia, tenemos un movimiento, circular no uniforme. Un ejemplo es un
carrito de montaña rusa que frena y se acelera al moverse en un lazo vertical. En
el movimiento circular no umforrne, La ecuación (3.28) nos sigue dando la com
ponente iudiul de la aceleración and = UEIR, siempreperpendiciiiur a la velocidad
instantánea y dirigida al centro del circulo. Sin embargo, dado que la rapidez u
ii _.U tiene diferentes valores en diferentes puntos, c,,,, no esconstante. La aceleración
radial centri eta) es mayor donde v es mayor.
¿Iran = amd i (
flrad 'amd atan
ñ if rii' fl ›U1
Í
I'.| amd iai flfñlj amd
3.30 Particuia que se mueve en tui lazo ver ›
tical, como un carrito de montaña rusa, con
rapidez variable. La componente radial de la
aceleración um, es mózima donde la rapidez
es maxima (en la base del lazo) y minima
donde la rapidez es ininima (en la parte su
perior). La componente tangencial de la ace
leración, . :i,,,,, tiene la misma dirección que
E cuando la particula se esta acelerando
(cuando va de bajada] y opuesta a É cuando
está frenando (cuando va de subida).
En el movimiento circular no uniforme también hay una componente de acelera
ción paralelo a la velocidad instantanea. Ésta es la componente ii., que vimos en la
sección 3.2, y aqui la llamamos um, para subrayar que es i†i:iri.geiii'e al circulo. Por
lo dicho al final de la sección 3.2, sabemos que um, es igual a. la tasa de cambio de
la rapidez. Entonces
U2 diíii _ _
ti,,,,j = E y um, = QÍ (movimiento circular no uniforme) (3.31)
El vector aceleración de una partícula que se mueve con rapidez variable en un
circulo es la suma. vectorial de las componentes de aceleración radial v tangencial.
Esta última tiene la dirección de la velocidad si la partícula esta acelerando, v la
dirección opuesta si esta frenando (Fig. 3.30).
En el movimiento circular uniforme, la aceleración no tiene componente tan
gencial, pero la componente radial es la magnitud de diÍii'dt.Ya dijimos que, en ge
neral, dii/dr| y d|É|/dr no son iguales En el movimiento circular uniforme, la
primera es constante e igual a oi'/R; la segunda es cero.
pablo
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3.5 l Velocidad relativa
Suponga que, en la parte inferior del lazo, el carro de la figura 3.30 experimenta
una aceleracion cuatro veces mayor que en la parte superior. Compare las rapide
ces en esos dos puntos del lazo.
3.5 | Velocidad relativa L
Sin duda el lector ha observado que un auto que avanza lentamente parece mo
verse hacia atrás cuando usted lo rebasa. En general, si dos observadores miden la
velocidad de un cuerpo, obtienen diferentes resultados si un observador se mueve
relativo al otro. La velocidad que un observador dado percibe es la velocidad re
lativa a ol, o simplemente velocidad relativa. La figura 3.31 muestra una situa
cion en la que entender la velocidad relativa es en extremo importante.
Primero consideraremos la velocidad relativa en línea recta, y luego la generali
zaremos a un plano. Recuerde que en el movimiento rectilíneo (unidimensional),
velocidad se refiere a la componente del vector velocidad sobre la línea de movi
miento, y puede ser positiva, negativa o cero.
Velocidad relativa en una dimension
Una mujer camina con velocidad de 1.0 mis por el pasillo de un vagon de ferroca
rril que se mueve a 3.0 rnfs (Pig. 3.32a). ¿Qué velocidad tiene la mujer? Es una
pregunta sencilla, pero no tiene una sola respuesta. Para un pasajero sentado en un
tren, la mujer se mueve a 1.0 ntfs. Para un ciclista parado junto al tren, la mujer se
mueve a 1.0 mis l 3.0 mis = 4.0 m/s. Un observador en otro tren que va en la
direccion opuesta daria otra respuesta. Debemos especificar quién es el observador
y dar la velocidad relativa a el. La velocidad de la mujer relativa al tren es 1.0 ntfs,
relativa al ciclista es 4.0 mis, etc. Cada observador, equipado en principio con un
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3.31 Los pilotos de acrobacias aereas
enfrentan un complicado problema de ve
locidades relativas. Deben estm pendientes
de su velocidad relativa al aire (a fin de
mantener un flujo de aire sobre las alas
suficiente para la sustentacion), su veloci
dad relativa a los otros aviones (para mari
tener una formacion cerrada sin chocar) y
su velocidad relativa al público (para que
los espectadores no los pierdan de vista).
3.32 (a) Una mujer camina dentro de rm
tren, (ln) En el instante que se muestra, la
posicion de la mujer (particula P) relativa
al marco de referencia A es diferente de su
posicion relativa al marco de referencia B,
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pablo
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#1 _
TÚZ c A Pit u L o 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones
metro y un cronomet.ro, constituye lo que llamarnos un marco de referencia. Así,
un niarco de referencia es un sistema de coordenadas más una escala de tiempo.
Llamemos A al marco de referencia del ciclista (en reposo respecto al suelo) y
B al del tren en movimiento (Fig. 3.32b). En el movimíeiito rectilíneo, la posicion de
un punto P relativa al marco de referencia A está dada por la distancia x,s,,, (la po
sicion de P respecto a A), y la posicion respecto al marco B está dada por rggg. La
distancia del origeii de A al origen de B (posicion de B respecto aA) es x,,,_,,. Vemos
en la figura que
fiirvn = Para + Para (3 32)
Esto nos dice que la distancia total del origen de A al punto P es la distancia del
origen de B a P más la distancia del origen de A al origen de B.
La velocidad de P relativa al marco A, denotada con u,,,,,, es la derivada de x,s,,,
respecto al tiempo. Las otras velocidades se obtienen igual, así que la derivada res
pecto al tiempo de la ecuacion (3.32) nos da la relacion entre las velocidades:
flïarn _; (Alfara, _,_ fiiïatgi
tir dt tir
o sea
Ugg, = om + v_,,g_., (velocidad relativa en una línea) (3.33)
Volviendo a la mujer en el tren, A es el marco de referencia del ciclista, B es el del
tren, y el punto P representa a la niujer. Usando la notacion anterior, tenemos
u,.,,,. = 1.0 mis t›,.g,_., = 3.0 mts
Por la ecuacion (3.33), la velocidad Ugg, de la mujer relativa al ciclista es
Ugg, = 1.0 mis + 3.0 mi s = 4.0 mis
lo cual ya sabíamos.
En este ejemplo ambas velocidades son ala derecha, e implícitamente toma
mos esta direccion como positiva. Si la mujer camina a la izquierda relativa al
tren, t.i,=,,, = 1.0 mis, y su velocidad relativa al ciclista es de 2.0 mts, La suma de
la ecuacion (3.33) siempre es algebraica, y cualquiera de las velocidades puede
ser negativa.
Si la mujer se asoma por la ventana, le parecerá que el ciclista estacionario se
mueve hacia atrás; llainamos u,,,,,. a la velocidad del ciclista relativa a ella, Es evi
dente que esta es el negativo de uP,,,. En general, si A y B son dos puntos o marcos de
referencia cualesquiera,
(3.34)Uma : "Usa
Estrategia para _ _
¡ E5|_]|1,,rE¡f pmblpmag re|at|va
IDENTIFICAR ios conceptos pertinentes: Siempre que lea la referencia; además, casi siempre será preciso incluir el marco de re
frase “velocidad relativa a” o “velocidad con respecto a”, segura ferencia de la superficie terrestre. (Frases como “el automovil viaja al
mente le resultarári útiles los conceptos de velocidad relativa. norte a 90 knifli" se refieren implícitamente a la velocidad del auto
movil relativa a la superficie terrestre.) Use los rotulos para identifi
FLANTEAR elpiuoienra: Ronile todos los iiiarcos de referencia del carla variable meta. Por ejemplo, si quiere obtener la velocidad de un
problenia. Cada objeto en movimiento tiene su propio marco de coche (C) con respecto a un autobús (B), la variable meta será uggg.
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pablo
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.__.n.
.|.n.3.5 I Velocidad relativa 1Ú3
EJECUTAR ia soittcidn_' Despeje la variablerrieta empleando la ecuacion (3.33) a cualquier cantidad de marcos de referencia. Por
ecuacion (3 .3 3). (Si las velocidades no tienen la misma direccion, ejemplo, si hay tnes nrarcos A, B y C, podemos escribir de inmediato
será preciso usar la forma vectorial de esta ecuacion, que