Fleitas Morales, Margalef Roig - Problemas de Topologia General-Alhambra (1983) - Rodrigo Yañez

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problemas' 
de 
topología 
general
G. Fleitas Morales 
J. Margalef Roig
ORIAL
PROBLEMAS DE 
TOPOLOGIA GENERAL
I . química
II. física
III. matemáticas
IV. biología
V. geología
ì Sección II I · Matematicas-1
G. FLEITAS M O RALES
Licenciado en Ciencias Matemáticas
J. MARGALEF ROIG
Miembro del Instituto «Jorge Juan» del C.S.I.C.
PROBLEMAS DE 
TOPOLOGIA GENERAL
Ihambra
Primera edición, 1970 
Segunda edición, 1980 
Reimpresión, 1983
© EDITORIAL ALHAMBRA, S. A.
R. E. 182
Madrid-1. Claudio Coello, 76 
Delegaciones:
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Bilbao-14. Doctor Albiñana, 12
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México
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03340 México, D. F.
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parte de este libro pueden reproducirse o transmitirse, 
utilizando medios electrónicos o mecánicos, por 
fotocopia, grabación, información, anulado, u otro 
sistema, sin permiso por escrito del editor.
ISBN 84-205-0192-1
Depósito legal: M. 21423-1983
Papel Alborán
Papelera del Mediterráneo, S. A.
Impreso en España - Printed in Spain
Selecciones Gráficas - Carretera de Irún, km. 11,500 - Madrid (1983)
p r o l o g o
Ocurre a veces que quien empieza a estudiar Matemáticas 
encuentra serias dificultades en sus estudios en los primeros años 
de la Licenciatura; ello puede deberse, en parte, a los muchos 
conceptos nuevos con que se encuentra, sin tiempo suficiente, 
en ocasiones, para asimilarlos de una manera profunda.
Es natural que esta asimilación, que precisa el sentido y al­
cance de los conceptos y orienta en su aplicación, se consiga a 
base de un gran esfuerzo intelectual, por el ejerciáio de los 
hábitos propios del pensar matemático. Esta participación activa 
del estudiante en la enseñanza es un ingrediente esencial en la 
mezcla de componentes que determinarán su formación mate- 
mática.
Uno de los objetivos de las clases prácticas es facilitar esta par­
ticipación activa del estudiante, lo que le plantea la necesidad 
de utilizar definiciones, teoremas, etc., para resolver ciertos pro­
blemas, obligándole así a realizar ese esfuerzo ya apuntado de 
precisar el sentido y alcance de los distintos conceptos aprendidos, 
y, a veces, sentir la necesidad de otros nuevos. El propio estudio 
de la teoría de una disciplina sirve eficazmente a este mismo fin, 
cuando este estudio se orienta adecuadamente, de modo que cada 
proposición, cada teorema, sea la contestación a una pregunta que 
previamente se ha formulado el estudiante, y que posiblemente 
él mismo ya se ha sabido contestar.
Problem as de Topología, aparte del indudable interés que 
ofrece la serie de ejercicios que contiene, puede ser una ayuda 
eficaz para orientar el estudio de quienes empiezan a andar por 
los caminos de la Topología.
Joaquín A r r e g u i .
I NDI C E
Capítulos Páginas
1. Espacios topológicos ........................................................................ 1
2. Snbconjuntos notables. Sucesiones.............................................. 18
3. Aplicaciones continuas .................................................................... 45
4. Producto de espacios ..................................................................... 65
5. Espacios conexos ............................................................................... 78
6. Espacios compactos .......................................................................... 106
7. Espacios métricos ............................................................................. 132
Vil
1capitulo________________________________________
Espacios topológicos
Un espacio topològico es el par formado por un conjunto X 
y una familia de subconjuntos de X, llamados «abier­
tos», tales que cumplen las siguientes condiciones:
1 ) Toda reunión (finita o no) de abiertos es abierto.
2) Toda intersección finita de abiertos es abierto.
3) El conjunto X y el conjunto vacío <}) son abiertos.
La familia T se llama «topología sobre el conjunto X», y el 
espacio topològico correspondiente lo anotaremos (X, T).
Dado un conjunto X y dos topologías, T¡, Tí, sobre él, dire­
mos que T, es más fina que Ti, y escribiremos T i> Tz , si todo 
abierto de Tz es un abierto de Ti. También diremos que T2 es 
menos fina que Tt.
1.1 Sea N el conjunto de los números naturales, y- sea T la familia 
de partes de N, formada por:
N, 4>, {1}. {1.2}, {1,2,3}, etc.
Demuéstrese que T es una topología sobre N.
1.2 Sean T y V dos topologías de un conjunto X. Demuéstrese que 
la familia r D 7", formada por los abiertos comunes a ambas, es también 
una topología de X.
Dése un ejemplo de un conjunto X y dos topologías T, T, sobre él, 
tal que la familia r U 7" no es una topología de X.
So lución :
1) TC\T' está formado por los abiertos que pertenecen a T y a T'. 
Luego :
a) X, 0 e r n r .
b) La reunión de abiertos de TC\T' pertenece a TC)T\ pues
pertenece a T y a T'.
c) La intersección de dos abiertos de T C\T' pertenece a T y a J ',
pues ambos pertenecen a T y a T'. Luego dicha intersección
pertenece a T CiT.
II) X ={fl,5 ,c}.
T={X,<l>,{a,b}] 
r= {X ,cfr,{d ,c}} .
T U T '= {X, <Í>, {a, b), {b, c}} no es topología, pues 
{ a ,b } n [ b ,c } = { b } ^ T U T \
'Son topologías sobre X.
1.3 Sea X un conjunto cualquiera. Demuéstrese que existe en X 
una topología, llamada indiscreta, menos fina que todas las posibles 
topologías sobre X, y otra, llamada discreta, que es la más fina.
So l u c ió n :
La topología indiscreta es la formada por X y <í>, y la discreta es 
la formada por todas las partes de X.
1.4 Sea T la familia formada por R\ <¡) y los subconjuntos 
de R2, definidos de la siguiente forma
Gk=-{(x,y)eR 2/ x > y + k}.
Pruébese que T es una topología sobre R̂ .
Solución :
I)
Rh 4̂ ET,
II) Consideremos la subfamilia
GkET, k E M C R .
Distinguiremos dos casos: que M esté acotado inferiormente, o que 
no lo esté.
a) Sea m =inf. M. Entonces
U Gk=Gm E T,
kGM
En efecto:
(%, 2/) e U Gjt = > 3 A: e M tal que (x, y) E Gj, =>kSM
=> x - y > k ^ m {x, y) E G^.
Luego
U G, C G^k&M
(x, y) E Gm x —y > rn => 3 A: G M, tal que x —y > k
pues, de lo contrario, x —y sería una cota inferior de M, mayor que m. 
Luego
( x , y ) E G k => i x , y ) E U Gk kSM
 ̂ G m C U G kkGM
b) M no está acotado inferiormente. Entonces
U Gk = R2 
keM
En efecto:
(x, y) E => " ^ k E M tal que x — y > k
pues, de lo contrario, M estaría acotado inferiormente por x —y. Luego 
( x . y ) E G k ( x . y ) E U G^kGM
III) Sean
Gk,. Gk, E T
y sea, por ejemplo,
fci=máx {ki,k2).
Entonces,
Gki C Gjfc2
pues
(x, y) E Gki <=> x —y > k i > k2 (x, y) E Gk, ·
Luego
F ig . L
(Por inducción resulta para una intersección finita.)
Sea un espacio topologico (X,T). Diremos que un subcon- 
junto C C X es un cerrado de dicho espacio topològico, si su 
complementario es abierto.
1.5 I) Demuéstrese que la familia G = {C¿}.^^, de cerrados de un 
espacio topològico (X, T), cumple las siguientes propiedades :
a) La intersección (finita o no) de cerrados es cerrado.
b) La unión finita de cerrados es cerrado.
c) Los conjuntos X y son cerrados.
n ) Demuéstrese que, dados un conjunto X y una familia ^ = 
de partes de X que cumpla las tres propiedades anteriores, existe una 
única topología en X que la tiene como familia de cerrados.
1.6 Constrúyase un espacio topològico no discreto ni indiscreto, 
en que los conjuntos abiertos sean idénticos a los conjuntos ce­
rrados.
Solución :
Sea X un conjunto con tres puntos, por lo menos. Sea
A e x ,
tal que
A t^X y
y sea B = CA
entonces formamos
r= { 0 ,X ,A ,B } 
y (X, T) cumple la condición pedida.
1.7 Dado un espacio topològico (X, T) y un subconjunto Y C X , 
demuéstreseque la familia de partes de Y:
Ty={AC\YIA e T}
es una topología sobre Y, Esta topología se llama topología relativa o 
subordinada por la topología T de X, y el espacio (7, Ty) se llama 
subespacio topològico de (X, T).
1.8 Sea un espacio (X, T) y dos subconjuntos Y,Z de X, tales que 
Z C y C X. Demuéstrese que la topología relativa de T a Z, J / , coin­
cide con la topología relativa de Ty a Z, {Ty)z·
1.9 Sea {Y,Ty) un subespacio de (X, J). Demuéstrese que
y e r ^ ( V B e 7 ' y = > B e D .
Solución:
<=) Y E Ty por tanto Y G T
=>) B E T y => B = y n B i ; (BiET) S E T
(dése una proposición análoga para cerrados).
Sea el espacio (X,T). Diremos que la familia de
elementos de T es una base de la topología T si 
Todo abierto de T es reunión de elementos de (B.
1.10 I) Sea (B={B¿}^^ una base de la topología T sobre X. De­
muéstrese que dicha base cumple las siguientes propiedades:
1) U Bi=X.
ÍGI
2) Para V B¿, By e © y ^ x E 8 ^ 0 By, 3 Bjt e (B 
tal que
x E B k C B in B f .
II) Sea familia de partes de un conjunto X, tal
que cumpla las dos condiciones anteriores. Demuéstrese que la familia T 
de partes de X, definida de la siguiente forma:
A E T <=> A es reunión de elementos de (B
es una topología sobre X. Dicha topología se llama engendrada por (Ô, 
y se escribe r((B).
Demuéstrese que dicha topología es la menos fina de X, que con­
tiene a la familia (B.
1.11 Sea R el conjunto de los números reales, y la familia de par­
tes de R de la forma:
a < b
donde
(ú, b) = { x E R¡a<.x<:b} .
Demuéstrese que dicha familia cumple las condiciones de base del pro-> 
blema anterior. La topología engendrada por dicha familia se llama 
topología usual sobre R; R, con dicha topología, se llama recta real, 
y lo anotaremos R,
1.12 Sea Q el conjunto de los números racionales, y la familia de 
partes de Q de la forma:
donde
a,bGQa < b
(fl, b) = { x E Q l a < x < b ] .
Demuéstrese que dicha familia cumple las condiciones de base. Q, con 
la topología engendrada por dicha base, se llama recta racional, <?.
1.13 Sea un conjunto X con dos topologías, Tj y 72· Sea B una 
base de la topología Ti, y supongamos que todo elemento de B es un 
abierto de Tz· Demuéstrese que Ti < T2·
1.14 Sea X un conjunto totalmente ordenado por una relación de 
orden < . Se considera la familia (B, de partes de X, de la forma
a < b
donde
(a, b)={x E X I a < x < b], (< -, a) = {x E X¡x < a),
{ a , - ^ ) = { x E X ¡ x > a } .
a) Pruébese que dicha familia cumple las condiciones de base. (La 
opología que engendra se llama topología del orden de X.)
b) Demuéstrese que la topología del orden es la menos fina sobre X 
que hace el orden continuo en el siguiente sentido:
i a c b ) ^ 3 U < ^ , 3 U b : { x E U < ^ , y E U b = ^ x <, y) 
abierto que contiene a a).
Solución :
La demostración del apartado a) es muy sencilla, y se deja para el 
ector. Veamos que [X, T((B)] hace continuo el orden:
Í a) 3 c :a < c ' b) 3 c : a < c, ______ J < ba < b \ c < b
i^nalicemos ambos casos:
a) Tomamos
C /a = (^ , c) e © ; m= {c , e (B
y se verifica
x E x < c
y E c < y
b) Tomamos
í / a = ( ^ , b ) E (S>; Ub={a, -> ) G (B
x < y
 ̂ se verifica
que si 
entonces
x E U ^ x < b 
y E = > y > a j
x < y ,
y < x o x = y
x < y
a < y < x < b o a < y = x < b. 
ion lo que llegamos a una contradicción de la hipótesis b).
Supongamos ahora una topología T sobre X que haga continuo elí orden, y vamos a ver:
r > J((B)
Para eUo basta ver que todo elemento de (B es un abierto de topología T,
Sea (a, —>) E (B. Entonces
b G (a ,-> ) a < b ;
a < b => 3í/'<·, U’»·.
X v E U ’b
donde
Veamos que 
En efecto, sea
Entonces
Luego
De donde
Análogamente, 
y, finalmente.
Luego
y, por tanto.
y e U '^
a E
u \ u'b e r . 
y e v ’i>
" o < y, por tanto y € (a, —>·).
(a ,-^ )= U í / 'f r e r
bSia,-^)
b) e r
(a, &)=(■«-, fc) o (a, - » ) e r .
( B e r ,
T((S>) c r . c . Q. D.
r c i í ’ p S ' b . í
W * con U r . M v . a y a, ,, M Í S
Solución :
Sean
X = R (< , el orden usual)
r = ( < - , - 1) u { 0} u (1, - ^ ) c K
En la topología relativa, el {0} es abierto, pues
{0 } = ( - i , i ) n y
pero no puede ser reunión de intervalos de Y de las formas 
( a , ^ ) ; ( ^ ,W ; (c,d).
Luego {0} no es abierto en la topología del orden de Y.
1.16 Sea
X = { 1 , 2, 3 ,4 ,5}
Demuéstrese que no existe ninguna topología en X que tenga por 
base a la familia
© = { { 1 ,2 } , {2,4,5} , {3 ,4,5} }
Solución ;
Supongamos que existe dicha topología T. Entonces,
{1 , 2 }, { 2 ,4 ,5 } e r 
y, por tanto,
{ l , 2 } n { 2 , 4 , 5 } = { 2 } e 7 ’
lo cual es absurdo, pues {2 } no se puede obtener como reunión de 
elementos de (B.
1.17 Pruébese que la familia de intervalos cerrados (B={[a, fc]} de 
R, donde a G Q , b E R —Q, y a < b , es base de una topología en R.
Demuéstrese que no lo es la familia
{la, b]}, con a ,b E Q, a c b
So lución :
a)
U [a ,b]CR
Ía,b2e(&
Esta inclusión es evidente. Veamos que 
En efecto,
C U [a, b\
ox E R - Q ;
si X E Q, entonces, 
siendo
si x E R — Qf se tiene que 
donde
y en ambos casos 
Luego
b) Sean 
Se tiene
^ E[x, y], 
y E R - Q , x < y ;
X E [y, x], 
y E Q , y < x \
x E U [a,b] [a.WGffl
R = U [a,b]ía.b]G(&
W, V e (ñ y sea x E V i ) W.
V = [a, 6], W=[c,d] y b^^c .
pues b E R - Q y c E Q . 
Supongamos a c c . Caben entonces los siguientes casos:
-f- X
c
vnw=w
v n w = w
d=b
V n W = [ c , b ] x E [ c , b ] E (S>
upongamos c = a . Caben entonces los siguientes casos:
-h
a=c
v n w = w
V nw=v nv=v
0 = 0 b=d
X
v n w=v
n = c
Si c < a , tenemos una discusión análoga al primer caso. Luego en 
Ddos los casos existe un elemento de (B contenido en V fl W, al cual 
pertenece.
Vamos a ver ahora que la segunda familia no es base. Sean
ntonces
V = [fl,ó], W=[b,d],
{ b } = v n w ,
no existe ningún elemento de (S> contenido en V fl W, al cual b 
, ertenezca.
Diremos que dos bases (B, ®', en un conjunto X, son equiva- 
^ntes si engendran la misma topología.
1.18 Demuéstrese que la condición necesaria y suficiente para que 
Ds bases (B, (B' del conjunto X sean equivalentes es que se cumplan 
s dos condiciones siguientes:
a) V JB e (B, V X e 3 B' e (B' : X G B' C B
b) y/ B' e y G 3 B E (S> : y E B C
1.19 Sea un espacio topològico (X, J), sea B una base de T y sea 
e x . Demuéstrese que la familia By={B¿ O 7}^ es una base de Ty.
1.20 Demuéstrese que la recta racional es un subespacio de la 
ícta real.
So lu ció n :
Demostraremos que la base B q, subordinada por la base B de R 
la base B' de <?, son equivalentes.
Sea
x E (a ,b )n O ^ a ,b E R
Entonces,
3 p ,q E Q: (p, q) C {a, b) „ x E (p, q) E B' 
Recíprocamente, sea
y E (p, q)E B' „ p, q E Q
entonces,
y E ip , q) = {p, q ) (^ Q E B ^
Sea un espacio topológico (X, T) y sea x E X. Diremos q i| 
un subconjunto V de X es un entorno de x si 
3 A E T : x E A C V , 
La familia 
Bix)={V (x)CX/V (x) entorno de x} 
se llama sistema de entornos de x.
1;21 Sean (X, r ) y x E X. Demuéstrese que el sistema de entorn^ 
B{x) satisface las cuatro propiedades siguientes:
a) V{x) E B{x) x E V{x),
b) Vi(jc), V2ix) E B{x) = > ViW n V2(x) E B(x).
c) V E B{x) y U D V => U E B(x).
d) UEB(x) 3 A C U y A E B(x) tal que V íG A se vei 
fica UEB(t).
1.22 Sea un conjunto X, y supongamos que en cada punto x E 
tenemos definida una familia de partes de X que anotaremos Bix), 
que satisface las cuatro propiedades del problema anterior.
Se define entonces la familia T de partes de X de la siguieni 
form a:
A E T < ^ y ^ x E A : A E B(x)
a) Demuéstrese que T es una topología sobre X.
b) Demuéstrese que en todo punto x E X se verifica que B(x) e
el sistema de entornos en x del espacio (X, T). |
c) Demuéstrese que dicha topología es la única en X, tal que se 
erifica la condición anterior.
1.23 Sea (X,T) y sea un subconjunto A C X . Demuéstrese que la 
ondición necesaria y suficiente para que A sea abierto es que sea 
ntorno de todos sus puntos.Sean (X, T) y x E X. Diremos que B(x) C B{x) es un sistema 
undamental de entornos o base de entornos de oí si;
V V(x) E B(x) = > 3 U(x) E B{x) : U{x) C V{x)
1.24 Sean (X, T) y x E X. Demuéstrese que los sistemas funda- 
lentales de entornos B(x) verifican las tres propiedades siguientes:
a) U G B(x) => x G U .
b) U y V G B ( x ) U n V D W E B(x).
c) U EB(x) 3 W e J ( x), y f tE W , BU EB(t) : U D Ü . 
rómese W tal que x E W C A C U , donde A E T, W E B{x).]
1.25 Sea un conjunto X, y supongamos que en cada punto_x E X 
snemos definida una familia de partes de X que anotaremos B{x), y 
ue satisface las tres propiedades del problema anterior.
Se define entonces la familia B(x) de partes de X de la siguiente
Drma:
V e B(x) ^ 3 U(x) e T { x ) : U(x) C V.
a) Demuéstrese que B(x) cumple las cuatro propiedades del proble- 
la 1.21, y, por tanto, es sistema de entornos de una topología T 
obre X.
b) Demuéstrese que B(x) es un sistema fundamental de entornos e B(x).
c) La familia B{x) construida es única tal que cumple a) y b). De­
muéstrese, por tanto, que la to p o lo g í^ r sobre X es la única tal que 
n cada punto x E X se tenga que B(x) sea sistema fundamental de 
titornos.
1.26 Sean (X,T) y x E X, Demuéstrese que
B(x)={A E Tlx E A}
una base del sistema de entornos B(x).
Dado (X, T) y a: G X, el sistema de entornos B(x) es únic( 
pero puede existir más de un sistema fundamental de entorno 
B{x), Diremos que dos sistemas fundamentales de entornos sd 
equivalentes si dan lugar a la misma topología (véase proble 
ma 1.25).
1.27 Sea la recta real R y x E R. Demuéstrese que los siguiente 
conjuntos son sistemas fundamentales de entornos de x en R, y, po 
tanto, equivalentes:
a) {{x—a, x + a)la E R, a > 0}=Ba*.
b) {[x—a,x + á\ laER, < j> 0 }.
c) {(x—a,x+á)la E Q, a > 0}.
d) {{x—a, x+a)la E I = R —Q, a > 0}.
Sean (X, T) y x E X. Diremos que B(x) es un sistema funda 
mental dé entornos abiertos si es un sistema fundamental d 
entornos y todos sus elementos son abiertos. Ejemplo: los sis 
temas a), c) y d) del problema anterior y el sistema del pro 
blema 1.26.
1.28 a) Sean (X, 7), una base B áe T y x E X. Demuéstrese qu< 
la familia
{ A E B j x E A}
es un sistema fundamental de entornos abiertos en x de T.
b) Sea (X, J), y supongamos que para todo x E X tenemos un sií 
tema fundamental de entornos abiertos B(x). Demuéstrese que la famiíj
{A e T/3x e X : A e B(x)} I
es una base de T.
1.29 Sea q E Z primo. Sean n E Z y la familia de conjuntos
Ur{n)={Z = n + mqrlm E Z)
obtenidos para cada r E Z+. Demuéstrese que dicha familia forma ui 
sistema fundamental de entornos abiertos de n, pero no formará, eí 
general, un sistema de entornos.
S olución :
I) Veamos que dichá familia cumple las tres propiedades del pr( 
blema 1.24.
a) n - n + O-q' € (Vr € Z+).
b) Sean
i/'iCn), V<'in)·, ri,r2€Z+ 
sea, por ejemplo,
ri=máx(ri,r2) 
intonces,
U',(ri) C U’-in).
En efecto:
Z e U’̂ tin) =>· Z = n + mq^=n+mq'■l-^·q^ = > Z e U't{n).
Luego
[/-•.(n) n í/'',(n)=í;'-,(n),
c) Zi € í/^íw) = > 3mi : Z i= n + miq''i.
;ea, entonces,
U' îZi)
se verifica que
l7^(Z,)Cl/^(n).
En efecto:
Z e t/''.(Zi) 3m e Z : Z = Z i+ m g ’·, = > 
Z=n+mi(3'’i+ffiq'’i=n+(mi+m )5fi =í> Z€ U h{ n)
Además, todo elemento de la familia es abierto por ser entorno de 
:odos sus puntos.
II) Veamos que, en general, no se verifica la condición 3) del pro- 
)lema 1.21. Sea, por ejemplo,
9=2, n = l 
U2(l )={Z=l+m^2Vm € Z }= {Z = l+ 4 m /m 6 Z }
Sea
V = t/2 (i)u {0 }D Í/2 (l).
Supongamos
V=U'(l), r e z +
¡ntonces,
0 = l+ m 2 '· = > r= 0 y m = —1
Luego
V =Z
Pero esto es absurdo, pues
2 í UKD
y, por tanto,
2 í V
según la definición de V.
Sea (X, T) y una familia 5 = {5,}.^^ de partes de X. Dire 
mos que S es una subbase de T si la familia formada por todas' 
las intersecciones finitas de elementos de S, o sea, 
{A /A = nSi , L C l L finito}
i GL
es una base de T.
1.30 Demuéstrese que los conjuntos de la forma
(< -, a), (¿7, -> ), a , b E R
forman una subbase de la recta real.
1.31 Sean un conjunto X, y una familia •S = {5¿}.^^, de partes de X|
a) Demuestrése que la familia de partes de X, definida de la 
forma siguiente,
{A/A= n 5.·, L C / , L finito}i&L
satisface las condiciones de base, y, por tanto, engendra una topología 
que anotaremos T{S),
b) Demuéstrese que dicha topología 7(5) es la menos fina de toda, 
las que contienen a S.
1.32 Dado un conjunto X, consideremos un subconjunto A fij< 
de X, y la familia de partes de X:
T(A) = {0 E (?(X)/0 D A } U {0}.
a) Pruébese que TÍA) es una topología sobre X.
b) Pruébese que
r(A i)>T(A 2) ^ A1 C A 2
Solución :
la) (f>E T{A) por definición, y
X D A X € T ( A )
Ib)
le)
lia)
0¿e r(A) M iiO iD A 
^ [J O i D A = > KJOiG T{A)
Oi, O2 e r(A) <í=í> Oi D A, O2 D A 
= > 0 i C \ 0 2 D A O i n 0 2 e t ( A )
7(Ai) > r(A2) => A2 e 7(Ai) A2 D Al
II Supongamos A2 D Ai. Entonces, para todo O E T{Ai) se ve­
rifica
0 3 A2D Al
luego
O e T(Ai) y J(Ai) > T(A2).
1.33 Sean B, B' dos subconjuntos no vacíos de un espacio topo- 
lógico X, y sea A un subconjunto de B O B', que es abierto (cerrado)
tanto respecto a B como a B'. Demuéstrese que A es abierto (cerrado)
respecto a B U B'.
Solución :
A = A iO B ̂ donde Ai, A2 son abiertos A = A2 n B 3
(A, n A2) n (B u B ')=(A i n A2 n B) u (Ai n A2 n b ')=
= (A n A2) U (A n Ai) = A U A = A .
Luego A es abierto respecto a B U B'. Análogamente, se demuestra 
para cerrados.
CAPITULO
Subeon¡untos notables. Sucesiones.
I
Sea (X, T) y un subconjunto M C X. Entonces, definimo^ 
los siguientes puntos:
a) x E X es interior a M si M és entorno de x. El conjunto!ode los puntos interiores a M se anota M, y se llama inte·: 
rior de M.
b) x E X es exterior a M si es interior a El conjunto) 
de los puntos exteriores a M se anota ExtM, y se llama ex· 
terior de M.
c) x E X es adherente a M si todo entorno de x contien^
algún punto de M. El conjunto de los puntos adherentes a Afl
se anota M, y se llama adherencia de M.
d) X E X es punto de acumulación de M si todo entorno
de X contiene algún punto de M distinto de x. El conjunto de
puntos de acumulación de M se escribe M' y se llama deriva·
do de M.
e) x E X es punto frontera de M si es adherente a M yl
a CM. El conjunto de los puntos frontera de M se anota FrM,|
y se llama frontera de M.
Diremos que M es denso en X si M = X.
Finalmente, diremos que x E X es aislado si existe un en­
torno suyo que no contiene otro punto de X, sino x.
2.1 Sea M =(0,1)U {2}, subconjunto de R. Demuéstrese que:
a) M = (0 , 1 );
b) M = [0 ,1 ]U {2} ;
c) M' = [0,1];
d) F rM = { 0 } U { l} U { 2 } ;
e) E x t M = ( ^ , 0 ) U ( l , 2 ) U { 2 , ^ ) ;
f) {2} no es punto aislado de R, pero sí lo es de (M, Tu).
O2.2 I) Demuéstrese que M es abierto, y que es el máximo abierto 
contenido en M.
o
I I ) Demuéstrese que M satisface las siguientes propiedades:
1) M C M ;
o
2) M=M;
3) M n N = M n N .
2.3 I) Demuéstrese que M es cerrado, y que es el mínimo cerrado 
que contiene a M.
II) Demuéstrese que M satisface las siguientes propiedades:
1) M C M ;
2) M = M;
3) M U N = M U N .
2.4 Demuéstrese que
M = M U M '.
2.5 Demuéstrese que
CM = CM.
2.6 Demuéstrese que
F r M = M n CM.
2.7 Demuéstrese que
F rM = M -M .
2.8 Demuéstrese que
Fr M =(M n C M) U (M -M ).
Solu ció n :
Sabemos que
F rM = M n C M
X E 'Pt M => X E M y x E
Caben dos casos:
Si
x E M ^ : x : G M n C M ^ e ( M n C M ) U ( M - M )
y si
x ^ M = > x E M -M =í> ;c e (M n C M) U (M -M ). 
Luego, en todo caso:
j c G ( M n C M ) U ( M - M ) .
Sea ahora
ÍC e (M n C M) U (M -M )
Caben dos casos:
a)
x E M - M = ^ x E M y x ^ M
x E M y x E CM => x E M y ,rG C M
a: e Fr M
b)
x E M C \ C M x E M y x E C M 
x E F r M
Luego
(M n C M) u (M -M ) C Fr M
2.9 I) Se considera en N la familia Ty formada por <i), N y todos 
los subconjuntos de N de la forma
A ,i={l, 2, ..., m}.
Pruébese que dicha familia esuna topología de N.
II) Se considera en N la familia Tj formada por 4>, N y todos los 
subconjuntos de N de la forma
n + 1, ...}.
P ru éb ese q u e es ta fam ilia es ta m b ién u n a to p o log ía d e N.
III) Determínese
{3,4}, {3,4} y Fr{.3,4}
en ambos espacios topológicos.
Solución :
I) a)
4>.NG Ti
b) Sea
An e Tu (Vn E M C N ) .
Sólo caben dos casos:
Si M no está acotado, entonces
U A r ,= N E Ti «ew
Si M está acotado, sea
m = ext sup M
y entonces
c) Sean 
y sea.
Entonces
II) a) 
b) Sea
U
nGM
Ant ^ 
n= m ín {n, m)
y A „ n A ^ = A „ e J i 
<Í>,N E Ti 
Bn ETz , ( y n E M C N )
y sea 
Entonces
c) Sean 
Sea, por ejemplo,
Entonces
m = ex t inf M
U B„=B„ e Ti
neu
n=máx (n,m)
B „ C B „ y B „ n B „ = B „ € T 2 
in ) En (N.Ti) es:
{3,4}=.^
{3 ,4}= A r-A 2= {3 ,4 ,5 ....}
En (N,T¿ es:
F r { 3 , 4 } = { 3 , 4 } - { 3 , 4 } = A ^ - A 2
{3,4}=.^
{3 ,4}= A r-B 5= { l,2 , 3,4}
F r{ 3 , 4 } = { 3 , 4 } - { 3 , 4 } = N -B 5
2.10 Sea un conjunto X. Se define la familia T formada por (¡>, X 
y todos los subconjuntos O C X , tales que X —0 es finito.
I) Pruébese que T es una topología sobre X.
II) Caracterícense los cerrados de (X, ¡T)·
III) Encuéntrese la adherencia de una sucesión arbitraria del espacio.
IV) Demuéstrese que V A C X se verifica que A ’ es cerrado.
So lu ció n :
I. a)
<t>,xer
b) Sean
o ¡ e r , (V ¿ e i)
Entonces 
es finito. Luego
c) Sean 
Entonces
es finito. Luego
X - u Oi= n (x-o¿) ¿e/ te /
KJOiET
iEl
Ou O2 e T
x-(Oi n Ü2)= (x - 0 i) u (X - 0 2 )
Oi n O2 e r
IL Los cerrados son los subconjuntos finitos de X, (j> y X.
IIL Sea A = {X„} una sucesión de X. Distinguiremos dos casos:
a) A finito. Como todo punto de X es cerrado, A es reunión
finita de cerrados y, por tanto, cerrado. Luego
~A=A
b) A infinito. Entonces el único cerrado que puede contener a A 
es X. Luego
~A=X
IV. Sea A C X .
a) A finito. Entonces A cerrado y
A="A = A 'U A.
Luego A' C A finito y, por tanto, cerrado.
b) A infinito. Entonces A '= X . En efecto, sea x E X, y vamos a
ver que si x ^ A' llegamos a un absurdo
% $ A' = > 3V* abierto tal que {V^—[x})nA=<l>;
(V^-{x})nA=<f> => V ^ n (A -{ ^ } ) = <fr;
V *n(A -{ '^}) = <í> A - { x ] C C V ^ finito.
2.11 Dése un ejemplo de dos subconjuntos abiertos A, B de R 
tales que los cuatro conjuntos:
A H B , B O A , A flB , A flB
sean distintos.
Solución :
A =(0,2)
B = (0 ,1 )U (2 , 3)
An B" =(0 , l ] ̂ ̂ ^
BnÁ'=(0,l) 0 1 2 3
A O B = [0 , 1 ]
'A n T = [ 0 , 1 ]U { 2 }.
2.12 Pruébese que para todo conjunto finito A de la recta real^ 
se verifica:
a) A cerrado;
b) A'=(f).
Solución :
I) En R todo punto x es cerrado, pues
x)U (x,->).
Luego A es reunión finita de cerrados y, por tanto, cerrado.
II) Sea A ={xi, ..., x„}
Xl í A'.
En efecto, existen los entornos
V2, V«
de Xl tales que
X2 í V2, í ........X „ í V«.
Sea
v = y 2 n v 3 n ... n V”.
Entonces V es un entorno de xi tal que 
(V-{xi})nA=<l>,
Análogamente, se prueba que los restantes puntos de A no perte·* 
necen a A'.
Luego
A n A ' = 4>
A = A = A U A' = > A'=<t>,
2.13 Dése un ejemplo de dos intervalos A y B de la recta real,
tales que
A H B q : AH B.
Solución :
- i ---------- l ·B = [1 , 2 ) q ̂
A riB = { l }
A C ) B = (t>
2.14 Póngase un ejemplo de un subconjunto de la recta real que 
no sea ni abierto ni cerrado.
Soluc ión : Q.
2.15 Se considera el subconjunto de la recta real
A = [0 ,1 )U (1 ,3)U {5}
con la topología subordinada por la usual.
I) Dígase si {5} es abierto o cerrado en (A, T^).
II) Dígase si (1, 3) es abierto o cerrado en (A, T̂ )·
III) Calcúlese la adherencia de [0 ,1) en (A, T/[).
IV) Véase si [O, i] es un entorno de {0} en (A,T/),
Solución :
I)
{5} = {5}riA y {5 } cerrado en ( / l ,r ) .
Luego
Luego
{5} cerrado en {A,Ta)·
{5} = (4, 6 ) n A y (4, 6 ) abierto en (K, T).
{5} abierto en (A,Ta)·
Luego
{5} es abierto y cerrado en (A, T^). 
n ) Es abierto y cerrado:
(1, 3 )= ( l ,3 )n A 
(1, 3) = [ l ,3 ] r iA
ni)
[0,1) = [0 ,1 ]H A 
Luego [0 ,1) es cerrado en (A, 7^), y
[0,1) = [0,1)
IV)
OG [O, i )C [0 , i]
y [O, i ) = ( - i , i ) r i A 
es abierto en A. Luego [O, i] es un entorno de O en (A, 7^).
2.16 Pruébese:
I) Fr A C A A cerrado.
II) Fr A=<^ <=> A abierto y cerrado.
III) ( F r A ) n A = 0 A abierto.
So lución :
I) A cerrado <=> A = A ;
A = A FrA = A n C A = A D C A C A .
Supongamos ahora
Fr A = A n C A C A.
Entonces A = A , pues, de lo contrario, llegaríamos a un absurdo 
xE~A y x ^ A = > x E ' Á y x E Q A
X E A y X E QA 
x E F t A C A = > x E A.
II) A abierto cerrado C ^ = C ^ ·
A cerrado <=> A = A .
A ab ie rto y ce rrad o A = A y QA = CA. 
Por ta n to ,
Fr A = A n C A = A n C A = 0.
R ecíp ro cam en te ,
FrA = <í>CA = > A cerrado, según I),
V. com o F rC A = FrA =<í)C C A
también resulta cerrado, y, por tanto, A abierto.
UD FrA = F rC A
(Fr C n A=(í> Fr C A C C A C ^ cerrado <=> A abierto.
2.17 Sea A = subconjunto de R. Hállense A y A.
Solución :
Sabemos que
A = A U A '.
Vamos a ver que O E A'. En efecto, dado entorno de O, se
verifica
3 qt> 0 : O e ( - a ,o : ) C yo
y, por tanto,
iVO^{0}) n A ^ 4 > .
(compruébese).
Por otra parte,
x : ^ 0 => A'.
En efecto, caben dos casos:
a)
1x E A => x = — , n\
Tomamos
/ 1 1 \---------, --------- I = v ^
V Wl + 1 Hi — 1 /
V es evidente que
{Vx- { x ))C\A=4>
luego
A\
b)
x ^ A.
Caben los siguientes casos:
a)
x < 0 => X í A' (compruébese).'
b)
X € (0 ,1] —A ==> 3 «1, « 2 · — < x < —
ni n2
) n A = cl>.
\ni n2 j
c) x > l, lo que da
X í A'. (compruébese).
Luego
A '={0} y A = A U { 0 }
o
A = <l), puesto que A no contiene ningún intervalo abierto.
2.18 Sea T la familia formada por R, (l> y los subconjuntos de 
de la forma
—̂)» a E R 
Véase que T es topología y hállese
[4,10)', {8 }', Z'.
Solución :
T es topología sobre R :
I) <t),RE T.
II) Sea
Entonces
xei^ AS/
si acotado inferiormente, y
U ( a , , - ^ ) = H
KSI
si no está acotado inferiormente.
III) Sean
( ¿ , - > ) e r
y supongamos a < b . Entonces
(6 ,-> )= (* , - ^ ) e r .
Calculemos [4,10)'. Sea a € R, en los cinco casos siguientes :
a < 4 ; VV·: ,(V >-{a}) D [4 ,1 0 )= [4 ,10); 
a = 4 ; VV«: (V— {o}) O [4 ,10 )= (4 ,10); 
a > 4 y a < 1 0 ; V V·: (V »-{a}) H [4,10) D (/3 ,1 0 )-{a};
----------^ ^ --------- h -
4 10 p a ’
a = 10; VV«: (V— {a}) D [4.10) D (;8 , 10);
-------- >■
4 p 1 0 = a
a > 10; 3 V»=(/3 , - ^ ) (10 < /3 < a):(V «-{a}) fi [4, 1O)=0.
--------- (-H ------------ ) — p < a
4 P a 10
Luego en los cuatro primeros casos, a es punto de acumulación 
de [4,10), y en el quinto no lo es. Luego
[4 ,1 0 ) '= ( ^ , 10].
Calculemos ahora {8 }'. Sea a € R, en los siguientes tres casos;
a) o, < 8 : VV»; (V»-{a}) O {8 } = {8 }.
b) a = 8 ; 3V» ^V»=(i3,-^)) : (V8- { 8 }) fl {8 }=<<,.
— ( -------------1--------------------- p < 8
B 8=0
c) a > S ; 3V - (V«=03,-> )) : (V— {a}) 0 {8 } = (i>.
— I------------ 1------------------ 1--- 8 < p < a
S P a
Luego en el primer caso a es punto de acumulación de {8 }, y en 
el segundo y tercero no lo es. Luego
{8 }'= (^ , 8).
Calculemos, finalmente, Z'. Sea a G en los siguientes dos casos :
a) a E Z , VV» se tiene (V^»-{a}) fl Z <<>.
b) a ^ Z , VV« se tiene iV— { a } ) n Z 9 <̂t>.
Luego, en todo caso, a es punto d̂e acumulación de Z, y R = Z \
2.19 Sean (X, T) y un subconjunto A C X .
I) Pruébese, mediante un contraejemplo, que la relación
Ext A U A 7 ̂(í>
no es, en general, cierta.
II) Hállese una condición suficiente para que lo sea (A, abierto).
III) Pruébese que esta condición no es, en general, necesaria.
So lución :
I) Sean
(X, 7 )= K , A = Q.
Entonces,
Q = <f̂f Ext Q = (l) y Ext U = 0.
II)
oA abierto A =A .
Luego
A C Ext A U A = Ext A U A C Ext A U A = > Ext A U A 0
pues Ext A U A contiene A 7 ̂ (A, abierto).
III) Un contraejemplo es el siguiente: Sean (X,T) = R y A = [0, I f
cerrado y no abierto. Entonces,
A = (0 ,1); Ext A = (< - , 0) U (1, -^ ) .
LuegoExt A U A = i ? - { 0 ,1}
Ext A U A = R
Ext A U A = R t̂ (I>
2.20 Sean (X, T) y un subconjunto abierto A C X . Pruébese que
A f lB C A O B (V B C X )
y póngase un ejemplo en que no se verifique la igualdad. Póngase 
también un ejemplo en que se verifique la igualdad.
Solución :
x E A n T .
Para todo entorno V* se verifica que V* fl A = W* es un entorno de x.
Luego
w ^ n B=V* n ( A n B ) 9 <̂l>
X e A n B.
Ejemplo en que no se verifica la igualdad:
(X, T)=R, A = (0 ,1) abierto, B = [0 ,1].
Entonces
A riB = (0 , l ) C A n B = [0 ,1].
Ejemplo en que se verifica la igualdad: En todo caso en que 
AOB=<í>, A abierto
pues, entonces.
A riB = <í) = A n B = <í).
2.21 Demuéstrese que si A, B son subconjuntos cualesquiera de
(X, 7), se verifica :
A - B D A - B
y búsquese un ejemplo en que no se verifique la igualdad. 
S o lu c ió n :
A C ( A - B ) \ J B => A C (A - B )U B = í
= > A C A - B U B A - B C A - B . 
Ejemplo en que no se verifica la igualdad:
(X ,T)=H , A =(0,1), B = [l,2 ].
Entonces
A - B = [0 ,1 )C A -B = [(),1].
2.22 Pruébese que la condición necesaria y suficiente para que un 
subconjunto A de (X, T) sea denso fen X, es que 'i B E T y B^ff>, se 
verifique que
AnB9^4>,
Solución :
Sea A denso en X, o sea, A =X .
Sea B e r tal que y vamos a ver que, de suponer A 0 B = (̂ ,
llegamos a un absurdo. En efecto,
A n B = 4> A C C B 9^X y CB cerrado A C C B t ^ X
Recíprocamente, supongamos que ̂B E T tal que B 9^ 4>, se veri­
fica AC\B^ij>t y vamos a ver que si en estas condiciones es
A t*í:X, llegamos a una contradicción. En efecto:
A C A => A 'n C A = (i>
C A abierto, CA9^4>.
2.23 I) Tomamos el conjunto 2i de las rectas paralelas al eje OX, 
como subbase de una topología en R̂ , Calcúlese en (R̂ t T[Xi]) la adheren­
cia y el interior de
II) Sea ahora el conjunto ^ 2 formado por el anterior 2i y la recta 
¿e ecuación x = l . Calcúlese la adherencia y el interior de A en
TC2]).
So l u c ió n :
| a| y////Ẑ
F ig . 2. F ig . 3.
I)
A = U r,lKa^2
siendo la recta de ecuación y'=a
o
A=4>
pues ningún abierto no vacío puede estar contenido en A.
n)
A = U r , 
siendo la recta de ecuación y=a.
A = {p = {x , y ) ¡x = l ,
En efecto, los puntos de la forma
(l.yo). 1 <!/o< 2Opertenecen a A, ya que
(1, yo) e (*=1) n (í/=j/o)={(l, yo)} c A 
(x=l ) r \ ( y=yo) abierto.
Ningún otro punto de A pertenece a A,
2.24 En R se definen los conjuntos
V„*= y l \ y - x \ ó í / > n | .
I) Demuéstrese que la familia
B = {Vn^lxGR, n G N }
es base de una topología sobre R.
n) Hállese en dicha topología la adherencia de
A = { x l x > 2 } .
Solución :
D U Vn-=R.
x GRn E N
II) Dados
se tiene:
V„f., e B y :x: e n
V^n*i= ( X l- — , *1 + — Ì U (n i, - > )
‘ \ ni m i
yn¡2— i *2------ > X2-̂ -----Ì U(n2,—
' V «2 TliJ
x e i x i — í-,* i+ — Ì u(mi,->) n
. V «1 n i !
n ( Xi, X2+— Ì U («2, = A. \ «2 «2 /
Es posible construir un intervalo abierto 
(%-€, x + e)=B*
tal que
C A. (compruébese).
Se tiene que
3 n : — < € n
Podemos tomar «=m áx (n, nj, Wj)· Entonces
ID
BÍ/„ U (n. - ^ ) C A: b \,„ U (n, e B.
A = {x ! x > 2 } .
Veamos quje A = R ,
T{B) => 3 C H 
v„*eB => v„*= u (n ,-> ) =>
= í- V„’̂ C \A J ^ 4> ^ HC\ A 4,.
2.25 Sea i : (?(X) —> 6 (̂X), aplicación con las siguientes propiedades:
a) X^=X;
b) A íC A ;'
c) (A‘>'=A¿;
d) (A n B y = A ín B ¿ .
Pruébese que la familia
r= {A E (P (X )/A í= A }
.0es una topología sobre X, y en ella A=A* para todo subconjunto 
A de X.
Solución :
I) Veamos que T es topología:
a) <f) G T pues C 4> 0*=<^;
X E T pues X í=X.
b) Veamos primero que
A C B C B*.
En efecto:
A C B ^ A H B = A (A n B )í= A « n B i= 
=A¿ Ai C B‘.
Sean, entonces, Aj e T;
entonces 
según b), y
luego
Luego
y
c)
(UAy>'CUAy
Ay C U A,· =í> >^/=A/ C (U Ay)‘ 
UA,··· C(UA,)··.
(UA;V = UA;
u Aj e T.
Al, A2 e r (A, n A2)í=Aií n A2-=
=Al n A2 => Al n A2 e r.
n ) Veamos que A' es el máximo abierto contenido en A, con 
lo que
A '= A .
a) A ‘ es abierto, pues
(A 0 '= A ' y Ai C A.
b) Sea A 'C S C A tal que
B‘=B.
Entonces,
B = B ‘ C A ‘.
Luego
A ‘=B.
Diremos que un espacio (X, T) es tipo Tj si para todo par de 
puntos x , y E X, existe un entorno tal que y existe
un entorno tal que x ^ V y (puede ocurrir que C/* Pl 7 ̂cf)). 
Diremos que un espacio (X, T) es tipo 72» o de Haussdorff, 
si para todo par de puntos x , y E X , existen dos entornos C/*, 
yy tales que U^nVy=(f),
2.26 Demuéstrese que todo espacio Tj es Ti.
2.27 Demuéstrese que si (X, T) es Ti e Y es un subconjunto de X, 
entonces (Y, Ty) es f i .
Demuéstrese el resultado análogo para espacios T2·
2.28 Demuéstrese que un espacio (X, T) es Ti si, y sólo si, todo 
elemento íc E X es cerrado.
2.29 La recta real es un espacio T2.
So lución :
Sean a,bER ^ y supongamos, por ejemplo, a < b . Existe c E R tal 
que a < c < b . Tomamos
V - = ( ^ ,c ) , Vb=(c,-^)
y se verifica:
c) n (c,->)=<í>.
2.30 Sea (X, T) un espacio Ti, y sea un subconjunto Y de X. De­
muéstrese que la intersección de todos los conjuntos abiertos que con­
tienen a y es el propio Y.
Solución :
Sea A dicha intersección. Entonces Y C A . Además, Y D A :
En efecto, veamos que si
x E A y x ^ Y 
llegaríamos a una contradicción:
 ̂ y E Y, 3Uy abierto, x ^ Uy por ser X, Ti.
Sea
B = u u y . ySY
Entonces x ^ B, y, por otra parte,
y C B, abierto = > A C B, de donde x E B (contradicción)
Sea un espacio (X,T) . Una sucesión de puntos de X es la 
imagen de una aplicación 
n f { n) =anEX, 
La anotaremos
{ ^ n } n G N
Sea lina sucesión de (X, T). Una subsucesión de
es la sucesión imagen de la aplicación producto:
N — ^ N — X 
k ----------rik ------------- ^ a„,
donde g es una aplicación estrictamente creciente. La anotare- 
mos
Diremos que una sucesión de (X, T) converge hacia
a G X, y escribiremos 
\iman=a o {(?„} —> a 
si
^V (a )E B (a ), 3 i/E Z + , E V(a).
2.31 Sea (X, T) un espacio indiscreto. Demuéstrese que toda suce­
sión de puntos de X converge hacia todo punto de X.
2.32 Sea (X, T) un espacio discreto. Demuéstrese que la sucesión
de puntos de X converge hacia a E X si, y sólo si:
3 V E N, V n"^v : an=a.
2.33 Sea (X, T) un espacio Tzt y una sucesión puntos
de X. Demuéstrese que si límite, éste es único. (Supón­
gase que tiene dos, y lléguese a un absurdo.)
2.34 Sea X un conjunto infinito, y sea T la familia de partes de X 
formada por X, <f>, y los subconjuntos de X cuyo complementario es 
numerable.
I) Demuéstrese que T es una topología sobre X. 
n) Caracterícense las sucesiones de (X, T) que son convergentes.
III) Demuéstrese que existen sucesiones en X que no admiten sub­
sucesiones convergentes.
Solución :
I) Demostración análoga a la del problema 2.10.
II) Una sucesión de (X, T) es convergente si, y sólo si, todos sus 
elementos son iguales desde uno en adelante, o sea, si:
3 a E X , S p E N , V n^p : a„=a
^í=) Inmediato, {a„}—> a
=>) es numerable. Luego
es entorno de a. Luego
3 p E N , y ^ n ^ p : a n E (X -{a„}„^^) U {a} ^ a„=a.
III) Como X es infinito, podemos tomar sucesiones en que todos 
sus elementos sean diferentes, y ninguna subsucesión suya puede ser 
convergente.
2.35 Pruébese que en la recta real un subconjunto G es abierto si,
y sólo si, para toda sucesión de elementos de jR, tal que
converge a un punto x E G, se verifica que:
3noE N :>ín>no, x„E G . [1]
Solución :
=>) Supongamos G abierto, y [Xn}^^j^C R, tal que 
M - > xE G = V ^ .
Entonces,
3mo E N, Vm^wo : E G =V ^
^í=) Supongamos que toda sucesión que converge hacia un punto 
de G cumple la condición [1], y que G no es abierto. Veamos que 
entonces llegaremos a una contradicción.
Si G no es abierto, entonces R —G no es cerrado, y
3 x E G : x E R - G
Se verifica que
' tiEiN
es base del sistema de entornos de ac (compruébese).
Como X E R — G, entonces, para todo n E N se verifica:
n(R-G)9^4>
y elegimos
/ 1 1 \%----- , ::c + —\ n n I
V rio no J
con lo cual tenemos una sucesión {xnin^N 
X n ^ G , V n e iV .
Veamosque
{xn} —̂ x E G .
En efecto:
VV^ V^D 
luego
V rz^Tío ' i ^ --------------------------» Ì ^\ riQ no!
Pero el hecho de que
{ X r ^ } - ^ x E G y x „ ^ G , yfn E N 
contradice la hipótesis.
2.36 Sea R con la topología T formada por R, (f), y los subcoi 
juntos cuyo complementario es numerable (problema 2.34). Pruébese qt 
en esta topoogía no se verifica la equivalencia del problema anterio
So lución :
Sea x E Q y una sucesión tal que
{x„} - > xGC>.
Entonces (problema 2.34),
3wo, "in' r̂iQ : Xn=x E Q
y, sin embargo, Q no es abierto, pues su complementario no es nume­
rable.
Sean (X, T) y una sucesión en X. Diremos que a E X
e s un valor de adherencia de dicha sucesión si
v n V w E iV , 3 m ^ n : a m E V \
2.37 Sean (X, T) y la sucesión en X. Sea A el conjunto
de valores de adherencia de dicha sucesión, y sea
I) Demuéstrese que
II) Demuéstrese que
A C{a„}.
A = O A „
nSN
S o l u c ió n :
I) Inmediato.
II)
a G n An <=>
nGN
V n e N , VV«, 
a es valor de adherencia de
Luego
n : í „ = A .
tiGN
2.38 Pruébese que, en todo espacio topològico X, la reunión de un 
subconjunto abierto A y su exterior, es denso en X.
S o l u c ió n :
o o
Ext A = CA; B = A U ext A = A U C ^ .
Sea C un abierto cualquiera de X.
I) Si A n C 7 ̂(f),. entonces
BnC9^<t>,
II) Si A nc=<í>, entonces
C C C A .
Luego
o
C c e A y C abierto => C C ^ A B n C 9 <̂f> 
y en todo caso,
BnC9^ct>.
Luego
¥ = X .
2.39 Diremos que un espacio es separable si existe un subconjunto 
suyo, denso en él y numerable.
I) Demuéstrese que en todo espacio separable X, el subconjunto
de todos los puntos aislados del mismo es finito o numerable.
II) Demuéstrese que la recta real es separable.
III) Demuéstrese que todo subespacio abierto de un espacio sepa­
rable es separable.
S o l u c ió n :
I) Sea A un subconjunto numerable tal que
A*=X
y sea B el conjunto de los puntos aislados de X. Entonces, B C A ,
pues todo punto aislado es un abierto. Luego B es numerable.
II) Q es denso en Jí y es numerable.
III) Sea A denso en X y numerable. Sea Y abierto un subconjun­
to de X.
Entonces A O 7 es numerable y denso en Y (compruébese).
2.40 Sea A un subconjunto denso en un espacio topològico X, y 
sea U un abierto.
Pruébese que
U C (A C\U).
S o l u c ió n :
Sean x E U y W un entorno abierto de x. Entonces, 
W n Í7 7 ^ y abierto
Luego:
( A n c / ) n \ y = A n y x e A C ^ u .
2.41 Sea X un espacio topològico. Pruébese que las tres propo­
siciones siguientes son equivalentes:
I) Para todo par de puntos distintos x ,y E X se verifica que :
3 : y ^ U ^
3 V y : x ^ V y ,
II) Todo punto 1/ de X es un subconjunto cerrado.
IID Para todo punto x € X se verifica que :
n V^={x).
V̂ GB(x)
Solución:
I) II) Para todo punto x E X, ningún otro punto y E V es 
adherente a x pues:
3 Vy : x ^ V y ,
Luego
{T} = {x}.
II) III) Si
n
VxgB(x)
contuviera otro punto yT^x^ entonces,
x ^ { y ) y (y) 9^ {y}·
in) = > I) Si X9^y, entonces
2/ í n
V̂ SB(x)
Luego
3V^ : y
Análogamente, 3 Uy : x ^ Uy..
2.42 Un punto a E R se dice que es adherente por la izquierda 
a un subconjunto A C R , si a E À y existe un intervalo de la forma 
id, Ò), a < b , tal que
(a, b) n A=(t>.
Demuéstrese que el conjunto de los puntos adherentes por la izquierda 
de un subconjunto A de R es numerable.
II) Demuéstrese que todo subconjunto bien ordenado de R es 
numerable.
S o l u c ió n :
I) Establecemos la aplicación inyectiva:
a —> q E Q tal que q E (a, b),
II) Sea A un subconjunto bien ordenado de K. Entonces, todo punto
de A es un punto adherente por la izquierda de A, pues si a E A , el
conjunto
Aa={x E A¡x > a}
tiene primer elemento b, y (a ,b )n A = <i) 6 Aa=<l>, con lo que existe 
b > a tal que
(a, b)nA=<l>.
Luego A es un subconjunto de un conjunto numerable, y, por tanto, 
numerable.
2.43 Demuéstrese que en un espacio separable X, toda familia de 
abiertos no vacíos y disjuntos de X es numerable.
S o l u c ió n :
Sea Y numerable tal que Y = X y sea {Ai).^j una familia de abiertos 
no vacíos y disjuntos de X.
Entonces,
V iGZ, 3 x i E Y : x¿E Ai.
La aplicación:
I Y
i Xi
es inyectiva, pues los abiertos son disjuntos. Luego I es numerable.
c a p it u l o o
Aplicaciones continuas
Sean dos espacios topológicos (X, T), {Y, T ) y una aplicación 
f : X Y.
Diremos que f es continua en x E X si
V 3 : f{U^) C
Diremos que f es continua si lo es en todo punto x E X.
3.1 Sean dos espacios (X, T), (Y, T), y una aplicación
f : X ^ Y.
Demuéstrese que las siguientes proposiciones son equivalentes:
I) / es continua.
II) Para todo abierto B E T' se verifica que f^KB) E T,
III) Para todo cerrado C de (Y, T') se verifica que f~KC) es un 
cerrado de (X, T).
3.2 Sea una aplicación continua f de (X, T) en (Y, y sea un 
subespacio {A, T^) de (X, 7). Demuéstrese que la aplicación
fU : A - > y
es continua.
3.3 Sean tres espacios (X, T), (Y, T) y (Z, T") y dos aplicaciones 
continuas
f : X Y; g : Y Z.
Demuéstrese que la aplicación producto:
h = g o f : X Z
es continua.
3.4 Sea un espacio (X, T). Demuéstrese que la aplicación identidad;
1;, : X ^ X
es continua.
3.5 Sean un espacio (X, T) y un subespacio (A, T^). Demuéstrese 
que la aplicación inclusión:
i : A X
es continua.
3.6 Sean dos espacios (X, T), (Y, T) y un punto a E Y . Demués­
trese que la aplicación constante:
f : X Y tal que f(x)=a x E X
es continua.
3.7 Sea una aplicación continua
f : (X, D (y, n
y sea
im f C M C y.
Demuéstrese que la aplicación
f : (X, T) (M, J'm)
es entonces continua.
Sean dos espacios {X,T), { Y , T ) y una aplicación 
f : X ^ Y 
Diremos que f es un homeomorfismo si es biyectiva, y tanto 
/ como su inversa 
son aplicaciones continuas. 
Diremos que un espacio (X, T) es homeomorfo a otro (Y, T) , 
si existe una aplicación 
f : X - ^ Y
que es un homeomorfismo. Entonces, escribiremos:
( x , r ) « ( y , n .
3 . 8 Demuéstrense las siguientes propiedades:
I) Para todo espacio (X, T)̂ se verifica
(X ,7 0 « (X ,D
(véase que la aplicación identidad es un homeomorfismo).
ID Si ( X ,7 0 « ( y ,r 0 ,
entonces
( y , n - ( x , r ) .
(véase que si f : X —̂ Y es un homeomorfismo, entonces f -^ :Y —> X es 
también un homeomorfismo).
nD Si
( x , D - ( y , n y i Y .n ^ iz ^ T " ) ,
entonces
(véase que si f\X —> Y es un homeomorfismo, y g\Y —̂ Z es un 
homeomorfismo, entonces h=g o f : X ~ ^ Z es un homeomorfismo).
3.9 Sean dos aplicaciones f, g, continuas de un espacio (X, T), en 
un espacio T2, (Y, T'), Demuéstrese que el subconjunto de X :
A = { x G Xlf(x)=g(x)}
es cerrado.
So lu ció n :
Veamos que es abierto. Para todo punto G CA se verifica: 
f(xy7^g(x) => tales que V/U) fl V«(*)=<í>
fvéase que podemos tomar tales que sean entornos abiertos).
Se verifica que
w =/-i (v/(̂ )) n g-1 (v̂ M) ̂ <f>
puesto que x € W.
Además, W es abierto por ser intersección finita de abiertos.
Veamos que
W C C A .
Sea y G W. Se sigue que
m e Vfix); ^y) e V*<*)
por tanto,
f(y)^g(y); v^A.
Luego
2 /e C A .
3.10 Sean un espacio topològico (X, T) y un subconjunto D denso 
en X. Sean un espacio topològico 7*2» ^0 y <̂ os aplicaciones continuas
f, g de (X, T) en {Y, T). Demuéstrese que si
entonces
S o lu c ió n : 
Supongamos que
entonces
/ | d = « | d
f=g·
fT^g
3 x i € X : f{xi)9^g(xi).
Sean los subconjuntos de X:
A=={xEXlf(x)9^g(x)}; x^E A 
B={xEXIf(x)=g(x)}DD.
Según el problema anterior, B es cerrado, luego A =CB es abierto. 
Luego,
AnD9^<t)
y podemos tomar z E DC\ A, que verificará: 
ftz)=g(z); f{z)^g{z)
y llegamos a un absurdo.
3.11 Sea un espacio (X, T) con una base numerable (cumple el 
segundo axioma de numerabilidad), y consideremos una aplicación
f : X R.
Sea
M = { x E Xlf(x) es máximo local}
(f(x) es máximo local si existe V* tal que:
Pruébese que /(M) C R es numerable.
Solución :
Sea la base numerable de (X, T), Vamos a construir una
aplicación inyectiva:
z = m -------- ^ B„
z e r tM ) : x e M ; * e M = > 3V^ : V y e % ):$/(*)
Tomamos B„ tal que* e B„ C V*
y veamos que la aplicación ^ es inyectiva. En efecto, si
z=f(x) - > B„ 
z'=f(x’) B„,
y suponemos B„=B„., resulta
* e B„. =!> « x X « * ') 
x ' e B „ = ^
de donde
Kx)=Kx^
y, por tanto,
z= z '.
3.12 Sea el conjunto
X ={a, b ,c ,d}
con la topología
r = {X. {a}, {fc}, {a. b}, {b. c. d}].
Consideremos la aplicación:
f - . X ^ X
descrita en el siguiente diagrama
Pruébese que:
I) / no es continua en c.
II) f es continua en b.
So lución :
I) Se tiene
m = b .
Dado V^={b}, se verifica que
f(Vc)(¡:{b}.
En efecto, VV^ se verifica
V cD {b ,c ,d } y m = c ^ { b ) .
II) Se tiene
m = d .
El único entorno de d distinto de X es 
Vd = {b, c,d}
y existe
V^={0 }
tal que
f(V^)=f({b})={d} C Vá={b, c, d}.
3.13 Sea un conjunto X con tres topologías T x < T 2 <Ti , y sea una 
aplicación
f : (X, Ti) (X, Ti).
Demuéstrese que si dicha aplicación no es continua, tampoco lo es 
la siguiente:
f : (X, Ti) - > (X, J 3).
So l u c ió n :
Si
f : (X, Ti) - > (X, T2)
no es continua, entonces
3 U E T 2
tal que
f- i(C O Í r , .
Además,
í / e T2 = > í/ e T j .
Luego 
tal que
3.14 Sea un conjunto X con dos topologías Ti, T2. Demuéstrese que 
Ti > T2 si, y sólo si, la aplicación identidad
1;̂ : (X, TÙ (X, T2)
es continua.
3.15 Demuéstrese que
f : { X , T ) ^ {Y, r ) 
es continua si, y sólo si, para todo subconjunto M de X se verifica;
K M ) C f m . [1]
So lución :
I) Supongamos f continua y sea Ai C X. Se verifica
Luego
y /->(«M» cerrado.
Por tanto,
II) Supongamos que para todo subconjunto M de X se verifica la 
condición [1].
Sea C cerrado de (Y, T). Entonces,
/ ( /-1(0 ) C /( /-1(0 ) C C=C.
Luego
/ - i ( 0 C / - i / ( / - K 0 ) C / - i ( 0 
y, por tanto, / - ^ O es cerrado.
3.16 Demuéstrese que
/ : (X, T) - > (7, r ) 
es continua si, y sólo si, para todo subconjunto N de y se verifica:
o
f - K N ) c f m · [1]
Solución :
I) Supongamos / continua, y sea N un subconjunto de Y, Entonces,
N C N
Luego
f -K m c f-KN) y f -K m abierto
y, por tanto,
o
f - m c / ^ .
n ) Supongamos que para todo subconjunto iV de 7 se verifica la 
condición [1].
Sea A abierto de (7, T). Entonces,
/- i(A )= /-i(A )C /-i(A ).
Luego /-1 (A) es abierto.
3.17 Sea un homeomorfismo
f : (X, T) - > (y, n .
Demuéstrese que para todo subconjunto M de X se verifica:
I) f(M') = [/(M)]'.
O
II)
Solución :
I) Sea % E M'. Entonces,
Kx) e [/(M)]'.
En efecto,
V 3 : f{U^) C
pues f es continua. Luego
pues f es inyectiva, y no puede existir otro punto distinto del % cuya 
imagen sea f{x). Luego,
<!> 7̂ n M] c m ^ -{x })] n m ) c n m )
^ K x ) E [ m ) Y \ /(MO c [/(M)]'.
Mediante el mismo razonamiento con la imagen inversa y el con­
junto f(M) resulta:
f - K u m Y ) c u - H m Y = M ' .
Luego
[/(M)]' C KM').
II) Como f es continua (problema 3.16) y biyectiva:
O o
f-iífÍM)] C f H {M )= M
y
o
' K m c K m .
Como es continua y (/“ ')“ '= / :
KM) c K m .
Luego O
l m = K M ) .
3.18 Sean dos espacios (X, J), (Y, T) y una aplicación / ; X —> Y.
Sea un número finito de cerrados de X, C\, Cit · ·» tales que su 
reunión es X, y las aplicaciones
/ : (Ci, Ta,) (y, n 
/ : (C2, Te,) - > (y, r )
f : (C„, Tc„) (y, r ) 
son continuas, entonces f : (X, T) —> (y, T') es continua.
Solución :
Sea C cerrado de (Y, T). Entonces :
f-KC)=[f-KC) n Ci] u ... u [f-KC) n c „ j ; 
f~KC) n Ci es cerrado en (C¿, Tq.) y C¡ cerrado de X. Luego
f-KC) n
es cerrado de X (problema 1.9).
Luego f~KC) es reunión finita de cerrados y, por tanto, cerrado.
3.19 Dése un resultado análogo al del problema anterior, sustituyen­
do cerrados por abiertos.
3.20 Sea una aplicación f :(X, T ) ( Y , V). Sea % = {U^} una base
de entornos en y ‘̂ = {V/(· )̂} una base de entornos en f{x). Demuéstrese 
que la condición necesaria y suficiente para que f sea continua en es 
que para todo E exista un e ^ tal que
flU^] C VfM,
3.21 Sea una aplicación
f : (X, T) (y, r ) .
Sea B = una base de T',
Demuéstrese que la condición necesaria y suficiente para que f sea
continua es que para todo Bí E B se verifique que
f-KBi) E r .
Solu ció n :
I) La condición es necesaria por ser B{ E T.
II) La condición es suficiente; en efecto:
yi A E T : A = U Bi =^f~KA)=f~K U Bi)= U /-i(B¿)íG/, »€/, íG/,
y /-1(A) e T por ser reunión de abiertos.
3.22 I) Sea f una aplicación del espacio (X, T) en el espacio (7, 7')» 
y sea S={Si}.^j una subbase de (Y,T), Entonces / es continua si, y 
sólo si, para todo l E I se verifica que f~KSi) es abierto.
II) Sea / una aplicación de (X, T) en R. Pruébese que si para todo
A 6 i? se verifica que los conjuntos
X),
son abiertos, entonces f es continua.
Solución :
I) a) Si f es continua, los f-KSi) son abiertos, pues los son 
abiertos.
b) Supongamos que para todo ¿ E / se verifica que f~KSi) es abierto.
Sea A un abierto de (Y, T). Entonces :
f-i(A )= /-i[ u ( n 5,. ,.)]= u ( n f-KSjj))
ieJ ieF. i s J íg f .
es abierto de (X, T).
Luego f es continua.
II) Basta tener en cuenta que los conjuntos ( ^ , X) y (X, -> ) forman
una subbase de R (problema 1.30).
3.23 Sea f : R —̂ R una aplicación estrictamente creciente
(x < y = > f( x ) < f( y ) )
y sobre. Demuéstrese que f es un homeomorfismo.
Solución :
I) / es inyectiva, por ser estrictamente creciente. Luego f es bi­
yectiva.
ID f(x) < fiy) => x < y , pues de lo contrario :
si % = 2/ se verifica f(x) = fiy)
y si % > 2/ se verifica fix) > f(y).
Luego la imagen inversa de cualquier intervalo abierto es un inter­
valo abierto y, por tanto, abierto. Luego f es continua (problema 3.21).
n i) Análogamente, M es continua, pues la imagen de un intervalo 
abierto es un intervalo abierto.
3.24 I) Sean [a, ó], [c,d] dos intervalos cerrados de la recta real, 
con la topología relativa. Sea
f : [a.b] [c,d]
una aplicación estrictamente creciente y sobre.
Demuéstrese que f es un homeomorfismo. (Razónese análogamente al 
problema anterior, considerando la base relativa.)
II) Enúnciense y resuélvanse resultados análogos para intervalos abier­
tos, intervalos semiabiertos y aplicaciones estrictamente decrecientes y 
sobreyectivas.
3.25 Demuéstrese que la recta real es homeomorfa a todo intervalo 
abierto.
Solu ció n :
I) La recta real es homeomorfa al intervalo (—1,1) mediante la apli­
cación
f : R ( - 1 ,1 )
a:
i + M
que es estrictamente creciente, y sobre (véanse los problemas anteriores).
II) Todo intervalo abierto (a,b) es homeomorfo al intervalo (—1,1) 
mediante la aplicación:
(a,b) ( - 1 ,1 )
2x - i b + a)
b — a
que es estrictamente creciente y sobre.
III) Todo intervalo (fl, ^ ) es homeomorfo a un intervalo (c, c/) con­
tenido en ( — 1,1), mediante el homeomorfismo de I), y análogamente para 
todo intervalo (<—, a).
3.26 Se llama recta completada R al conjunto formado por R y 
dos puntos, que llamaremos +oo y — oo, con una relación de orden
definida de la siguiente forma:
x ,y € R => x ^ y en R si x ^ y en R 
-CK>^x(yx€R)
-hoo^xi^xER)
Dotamos a H de la topología del orden (problema 1.14).
Demuéstrese:
I) K es homeomorfo al intervalo [—1,1] y, por tanto, compacto 
(Cap. 6).
II) La recta real es un subespacio de K, y es denso en R.
Solución :
I) Establecemos la aplicación —̂ [ —1,1]:
f(x)=— — si x E R 1 + 1̂ 1 
f ( - o c ) = - l 
f( + oc) = l
que es estrictamente creciente y sobre. Luego tanto ella como su inversa 
son continuas (compruébese de manera análoga al problema 3.24). 
Luego R es homeomorfo al intervalo [ — 1,1].
II) La recta real es un subespacio de R, pues la base relativa sobre R 
es la base de la recta real (problema 1.19).
Cualquier entorno de —oo es de la forma 
Luego todo entorno de —oo corta a R.
Análogamente para +oo. Luego R es denso en R.
3.28 Sean un conjunto Y, una familia de espacios (Xi, T¿), y una 
familia de aplicaciones
U : X. y i E /.
Pruébese que la familia de partes de Y:
T = { G C Y jf rK G )E T i, V ¿ e /}
es una topología sobre Y (se llama topología final de las aplicaciones 
anteriores), y que es la topologíamás fina sobre Y que hace continuas 
las aplicaciones f(.
So lución :
I) Vamos a ver que T es topología:
a)
y e r y a q u e f r W = X i ^ Ti ' i i e i 
4> ^ T pues frK<t>)=<l> ^ T¡ > í i e i .
b)
e r , X e A = > U e r .
kgaEn efecto;
f rH u G ,)= u fi-HGO ^ Ti Vi e /.
\eA x ga
c)
G¡f G2 E T = > “ Gi r\ G2 E T
ya que;
fi-HGi O G2)= frK G i) n f rK G 2) e v¿.
II) Cada úna de las fi son, evidentemente, continuas. Sea otra topo­
logía Ti sobre y tal que las sigan siendo continuas; entonces,
G E Ti frKG) e Tf Vf e / =r> g e t 
y r es más fina que Ti.
3.29 Sean un espacio (X, T), un conjunto Y, y una aplicación bi­
yectiva
f : X Y,
Demuéstrese que Ti es una topología sobre Y tal que f es homeo­
morfismo si, y sólo si. Ti es la topología final T(f) para la aplicación / 
(problema 3.28).
Solución ;
I) La condición es necesaria. Sea A E 7'i; entonces,
f-KA) E T
y, por tanto, A pertenece a la topología final T{f).
Sea ahora A E T{f); entonces,
/-i(A) E T y fif-KA)) = A,
Luego A pertenece a Luego Ti = T(f).
II) Sea ahora Ti = T{J) y / biyectiva, y vamos a ver que / es homeo­
morfismo.
En efecto, para todo A E Ti=T(f) se verifica que
f -KA) E T,
luego f es continua.
Y para todo A E T se verifica que
f(A) E Ti ya que f -Kf(A))=A E T, 
luego f-^ es continua.
3.30 Sea la aplicación f : R —̂ R
x - l ;fix) =
Estúdiese su continuidad. 
S o lu c ió n :
iU - 5 ) , x > 3 .
Estudiemos la continuidad de f en x = 3. Se tiene /(3) = 2. Sea 
un intervalo abierto de centro 2 y radio 1 ; entonces, para todo entorno 
de 3, se verifica que
pues
/(V3) Cf W2 
( 3 , - > ) n
/ ( ( 3 , - » n V 3 )n W 2 = 0 . 
Luego f no es continua en x = 3.
En los restantes punios f es continua, por serlo x —l y ———, por ser 
monótonas crecientes (problema 3.24).
3.31 Sea la aplicación / : i l —>H , definida de la siguiente forma:
m = 2 x ; (V^e(<-.01)
(Vxe[0,->)).
Demuéstrese que f es continua.
Solución :
C i = ( ^ ,0 ] 
C2=[0,->)
son cerrados en R, y
Ci U C 2 = R
f\ci es continua (monótona creciente, problema 3.24).
Análogamente, f\c2 es continua.
Luego f es continua (problema 3.18).
3.32 Sea una aplicación
F : «2 - > K
continua en
\x — XQ\^a, |í/-2/o|^íJ
tal que verifica las siguientes condiciones:
D
Fixof 2/o)=0.
ID
F(x* —) : 2/o+íí] R
es inyectiva para todo
X G [jcq—a, XQ+a\.
IID
Pix^ - ) : [2/o-"í*»2/o+<í] ^
es estrictamente mayor que cero en
[vo-o^ yo)
y es estrictamente menor que cero en
(2/0, yo+á].
Entonces;
3 f : [xq-B, xq+0] lyo-fif í/o+^l
continua en
(acQ—8 , ^0 +^)
tal que
a) f{xo)=yo'f
b) Fix, fix))=0 y/xE [XO-Ò, ^0+ 8].
Solución :
Consideramos
F ( - , y o - á ) : [xo-a, XQ+a]-^ R 
F(—, 2/o+<*) · [xo^Of xo+a]—̂ R,
Sabemos que ambas funciones son continuas, y que
Fixo,yo—á) > 0 y F(xo,yo+fl) < 0
luego :
38i > O tal que en [xq- B u ̂ a+ 8 i], F ( - , y^-a)
es estrictamente mayor que cero y
3 8 2 > O tal que en [xo-dz, xq+ 82], /? ( - , y^+a)
es estrictamente menor que cero.
Sea
6= min (81, 82): [*0- 8, *0+ 8] C
Tomamos
*' ^ [*0- 8, *0+ 8]
entonces,
F(x', - ) : b/o-a, j/j+a] r
es continua y
F (x ' ,yo -a )> 0 , f(A r'.j,o+«)<o
luego (problema 5.16)
3 í/' ^ [j/o“ «*» í/o+o] tal que j/ ')= 0
además y* es ùnico, tal que
V" ^ yo+à\> Fix', 2/')=i>;
puesto que Fix', — ) es inyectiva.
Por tanto, hemos construido una aplicación f :
f : [ x o S , x o + ^ ] [yo— a,yo+á¡
X ' y '
que cumple
a) f(xo)=yo
b) F(x, f(x ))=0 y / x E [%0-S, xo+8]
(compruébese).
Veamos ahora que f es continua en
(x q— 8, 5Cq+8).
Sea
x 'E (x o -d ,x o + 8 ); f(x l=y'. 
Por la construcción de f se tiene
y '^ v o - a \ y '9^yo+(^
luego
y ' E (z/o—fl, 2/0 + a).
Sea
2/' + €] C (t/o-íi, 2/o+a).
Consideramos
F ( - , !/ '-€ ) : [^0-8» ^0+8] - > R
F ( - , 2 / ' + €) : [ X O - 8 . X O + 8 ] K
ambas son continuas, y
Fix', ! / '- € ) > p, Fix\ y' + €) < O
[por ser F{x\ — ) inyectiva].
Luego :
3 8 i > 0
tal que en
[3:' —8i, x ' + 8i] C ^0 + 8],
Fi — ,y' — €) es estrictamente mayor que cero,
y
3 82>0
tal que en
[ * ' - 82 , * '+ 6 d C [ a í ,- 8 , *0+61,
F( —,y '+ « ) es estrictam ente menor que cero.
Sea
8 , = m ín (82, 82); [ * ' - 8 , , * '+ 8 ,1 C [*o~ 8 , *0 + 8 ]
Veamos que
« x " ) e [ y '- € , !/' + €] 
en efecto, f{x") es el cero de la aplicación
- ) : [yo-a, 2/o+a] ^
y
F (x '\ y ' -e )> 0 ; F(x'\y' + € ) < 0
luego
K x" )G [y '-e ,y ' + €],
Observaciones
I) Las hipótesis:
a) F continua en
b)
F(xo,yo) = 0
c)
3Fy(x , y)
(derivada parcial respecto a y) en un entorno de (xq, yo),
d)
2/0) ^ O y z/) continua en (:j:o» 2/0)
implican las hipótesis del problema anterior, como consecuencia del 
teorema de Rolle.
II) Es inmediato también que f es única en su género, pues F{Xy - ) 
es inyectiva para
V flc e [xQ—üy XQ+a] .
3.33 Póngase un ejemplo de un espacio topològico X y dos sub­
conjuntos propios suyos A y B, tales que A abierto y no cerrado, B
cerrado y no abierto, y A homeomorfo a B con sus topologías rela­
tivas.
Solución ;
X ={a, b,c}
con la topología
C A = {a}
^ l B = {c}.
3.34 Sea un homeomorfismo
f : X Y.
y sea
A C X .
Demuéstrese que
/ : A f(A)
es un homeomorfismo.
capit u lo * t ______________________________
Producto de espacios
4.1 I) Sean n espacios
(XuTi), (X2,T2), .... (X„,r„). 
X = X i XX 2X .. .X X „
Sea
y las proyecciones:
Pj : X - > Xi 
P2 : X X2
p„ : X - > X„.
Demuéstrese que la familia de partes de X:
B = { G iX . . .x G J G iE T i}
verifican las condiciones de base para una topología sobre X (proble­
ma 1.10). El espacio (X, T), donde T es la topología engendrada por la 
base anterior, se llama espacio producto de los «w» espacios anteriores,
II) Demuéstrese que las proyecciones son continuas, y que T es la 
topología menos fina sobre X, tal que las proyecciones son continuas.
4.2 Dada una familia de espacios {(Xf, , definimos sobre
|x .
ie i
la topología T engendrada por la subbase (problema 1.31):
SM PrKGdH e /„ G,· e r j .
El espacio (X, T) se llama espacio producto de los (X,·, T,·).
I) Demuéstrese que una base de (X, T) está formada por la familia
ie i
65
donde todos los salvo un número finito, F CI , son el total Xy, o sea : 
Gy=Xy (V; e I - F ) .
II) Demuéstrese que en el caso finito (/ finito) esta topología coin< 
cide con la definida en el problema 4.1.
III) Demuéstrese que las proyecciones : X —> X¿ son continuas, y 
que T es la topología menos fina sobre X tal que hace las proyecciones 
continuas.
IV) Demuéstrese que la familia de partes de X:
JJgí/g.· e Ti I
iGI ^
cumple las condiciones de base para una topología sobre X, y que la 
topología T{Bi) que engendra es más fina que T.
Solución :
I) Una base de la topología T es la que tiene como elementos 
(problema 1.31):
B = [ n Pr H G i V F C I finito,, Gi E T¡} = í g f
GjlGj=Xj{yí iE I - F l . G ^ E T j
¡ E l
(compruébese).
n) Es consecuencia de I).
III) Sea abierto de (Xj, T¡). Entonces
pr^ {Gi) E S C T .
Luego Pi es continua.
Supongamos ahora X con una topología T' tal que las proyecciones 
Pi sean continuas. Entonces, para todo elemento Pi~KGi) de la subbase 
de T se verifica que Pi~KG¡) E T . Luego (problema 1.31) T es más 
fina que T.
IV) a.'
U (nG í)= X
pues
xG/
b) Sea
Entonces
x¡ e G¡ n Hi e t ¡
7(fí]) es más fina que T, pues, según I), todo elemento de B pertene­
ce a B\,
En el caso en que 7 no es finito:
G ¡e T ¡ , G ¡7^X¡0ii)
i s l
es de Bi y no es de B.
4.3 Sea
x = ] [ x i
í GJ
con la topología producto, y una aplicación:
f : (y, r ) - > X.
Entonces f es continua si, y sólo si, para todo i G I se verifica que 
fi=Pi o f : (Y, T) (X,, T¡)
sea continua.
So l u c ió n :
I) Supongamos f continua. Entonces, para todo i E /, fi=Pi o f es 
producto de aplicaciones continuas, y, por tanto, continua.
II) Supongamos fi continua (V í E /). Entonces, para todo abierto
U n Pi-KGi) 
í e j í g f .
de (X, r ) se verifica:
M [ u n Pi-KGú]= u n f-^pcKGd=
ÍGJ ÍGJ iGFf
= u n (p,/)-i i G i ) = u n u - K G d e r.
/ e / ¿eF^ j G J IGF.
Luego f es continua.
4.4 Sean X, y abiertos de ií" C9 n la topología relativa, y sea una 
biyección.
/ : X - > y.
Demuéstrese la siguiente equivalencia:
f es homeomorfismo -«=> 
y^=fi(xK
: ; /í= P /o f
y^=fnix\
: ; gi = Pi o f-^
x^=gniy\ •••,2/”)
son continuas, y
son continuas.
S olución :
=>·) f es continua, por ser homeomorfismo. Luego, según el pro­
blema anterior, es continua (Vi*).
es continua, por ser f homeomorfismo. Luego, según el proble­
ma anterior, es continua, V¿.
'<=) fi, gi Vf son continuas, por hipótesis. Luego, según el proble­
ma anterior, f y g=f~^ son continuas.
4.5 Sean
X = {a ,ó ,c} , rx = { X ,0 ,{ a } , {b,c}}
Y={u,v}, Ty ={Y,<I>},
Hállese la topología producto de X x Y .
Solu ció n :
Recordamos que, en el caso finito, la topología producto es la que 
tiene por base
En nuestro caso:
B = { X x r , {a }x Y , {b ,c }x Y ] .
4.6 Sean (Y,T') un espacio T2 y una aplicación continua:
f : iX ,T ) ( r , r ') .
D e m u é s tre se q u e el g rá fico d e f:
G f = { ( x , f ( x ) ) l x e X } c X x Y 
es cerrado en X x Y con la topología producto.
S o lu c ió n :
Veamos que X x Y —Gf es abierto. En efecto:
{ x , y ) E X x Y - G i = > y j^ fix ) = > avy , 
abiertos : Vy fl
abierto de X
abierto de X X 7.
Se verifica que
pues, de lo contrario:
G /n /- i(V « * ))x V y = 0 ,
VKx) n yy
4 . 7 Sean un espacio (X, r ) y la diagonal de X x X : 
A ={(% ,x)/xGX }.
Demuéstrese que A, con la topología relativa de la producto, es 
homeomorfo a (X, T).
S o lu c ió n : 
Sea
f es una aplicación biyectiva (compruébese). Veamos que es continua; 
sea G un abierto de (X, T) :
f-^(G)={(x, x)lx E G } = G x C n A abierto en A.
Veamos que f es abierta (la inversa es continua). Sea H un abier­
to de A:
/ / = M n A 
donde M es abierto de X x X , o sea,
M = U Gi‘XG2S donde Gi‘, G ^E T. 
i e i
Luego
H=i U Gi^xGzOHA. 
i e i
Entonces :
H= U (Gi‘XG2*riA); 
i e i
f{H)= U f iG ι iχ G ^ n ^ )= U G lifi G 2 * e r .
ÍGI ÍGI
Luego f(H) es abierto en (X, T) y / - i es continua.
4.8 Sea una aplicación continua
f : (X, T) (y, n
y sea V el grafo de f en X x y con la topología producto. Demuéstrese 
que (X, 7) y r son homeomorfos.
Solución :
f : X Y
es continua. Luego:
g= iix ,f ) : X - > x x y
X - > (x, fix)
es continua. Establecemos, entonces, la aplicación:
h
X ------------ ^ r
^ -------- ^ ix4ix))
h es biyectiva (compruébese). Además, h es continua, por serlo g (pro­
blema 4.3). Veamos que h es abierta; sea G un abierto de iX,T):
hiG)={ixJix))lxE G } = ( G x y ) f i r abierto en F.
4.9 Sean las aplicaciones
/ : (X, T) (y, n
g : (X, T) (Z, n .
D efin im os en to n ce s la ap licac ió n
(f,g) : X - > y x z
ifix), g{x)).
Pruébese la siguiente equivalencia:
f,g continuas <=> (/, g) continua
Solución :
Si pi, P2 son las proyecciones:
Pi : Y X Z “ > Y 
P2 : Y X Z Z.
Entonces,
f= P io {f ,g )„ g= P 2 °(/,g ) 
y la equivalencia anterior resulta como consecuencia del problema 4.3.
4.10 Demuéstrese que si X, Y son espacios T2, entonces, X x 7 es 
también un espacio
So lución :
Sean
tales que 
Entonces 
Supongamos 
Entonces,
y
donde
(a ,ó ) , ( c , d ) G X x y 
(a, b)9^{c, d), 
a ^ c ó 0 9 ̂d.
3U% : í /« n V^=(^
(í/‘*xy)n(v^xy)= < />
iU^xY) es entorno de (a, Z?)
(V«^xy) es entorno de (c, í/)·
Luego X x Y es
4.11 I) Sea una aplicación contìnua
f
X X Y z.
Demuéstrese que las aplicaciones
h : X - ^ Z { b E Y )„ f a i Y - > Z ( a e X )
X - > f(x» b) 2/ - > Kdf y)
son continuas.
II) Póngase un ejemplp de una aplicación
f
X x Y z
que no sea continua y que las aplicaciones fb, fa sí lo sean.
So lu ció n :
I) Vemos que fi, es continua, en todo punto xq E X, En efecto :
f es continua en (xq» W * luego para todo entorno existe Û o x
entorno de (xq, b) tal que :
fiU^oX Û ) C
Luego
fbiU-o) C VK^,.b)=VW,
Análogamente, fa es continua.
II) f : R X R - > R
xy
x^+y^
« 0 ,0 )= 0
no es continua en (0,0), y sí lo son
W * ) = - ^ (V fce R ) 
f a ( y ) = - ^ (V a e R ). fl2 + 2/2
4.12 Sean dos espacios, Xi, Xz, y sea x E Xj. Demuéstrese que
{x}X X 2«X 2.
4.13 Sean tres espacios, Xi, X2, X3. Demuéstrese que
Xl X X2 X X3 « Xl X (X2 X X3) « (Xl x X2) X X3 ·
4.14 Sean A , B dos subconjuntos de dos espacios X, 7 , respectiva­
mente. Demuéstrese que:
A X B = A X B .
So lución :
I) A x B C A x B , En efecto, sea
( x , y ) E A x B .
Sea Vy, Entonces, para todo entorno se verifica que 
v^ xvy r)A xB 9^ 4> = > V*nA9^(t>·
Luego
X E A .
Análogamente,
y E B .
Luego
{x, y ) E A X B .
II) a x b c a x b .En efecto, sean
{x,y)E'AXB, y sea m^>y\ 
Entonces existen V·*, Wy tales que:
{X,y) ^ V^xwycu(^^y^
(problemas 4.1 y 1.28).
Entonces:
X e ' a => V^nA9^<l> 
y e lT = > wy DB 7̂
Luego
^ ^ ( v x x w y ) n ( A x B ) c n ( a x b )
{ x , y ) ^AXB.
4.15 Sean A, B dos subconjuntos de dos espacios X, Y, respectiva­
mente. Demuéstrese que
o
"^ A ^ = A X B .
4.16 Sea una base de (X, 7), y sea {B'j}.^^ una base
de (Y, T'). Demuéstrese que la familia:
{B iX B 'i i ie i , j e n
es una base de X x Y .
4.17 Pruébense las siguientes equivalencias:
I) (X, 7^ es 72
I I ) y / x e x : n v^={x}
III) A={(x,í/) e X x X / x = y } C k x X es cerrado.
Solución:
I) = > n ) Siempre se verifica
{ x } C n
VsGB(x)
Veamos qüe
y E n y=x,
v^esix)
En efecto, si y^^x, se verifica:
3VX y y : vxf i yy=<í> 2/ í í/ í nV*GBU)
II) ==> in ) Veamos que X X X —A es abierto. En efecto, sea
( x , l / ) e X x X - A 
entonces x ^ y y, según II):
n V ^ = :{x}^ {y]= n
VxGBÍx) VySB(y)
Luego existe Vi* tal que 
Luego existe Vi ̂ tal que
V,*n Viy=<<)
V i^ x V iy C X x X -A ,
con lo que X x X —A es abierto.
Ili) I) Sean x,y E X tales que X9^y. Entonces,
(x , y)E X x X - ¿ ^
que es abierto, según III).
Luego existe V^xVy tal que
V ^ X V y C X x X -A
\ , por tanto,
vxnvy=<í),
con lo que (X, T) es
4.18 Póngase un ejemplo en que la proyección no sea cerrada. 
Solución :
Tomamos en R? el conjunto
C‘=[(x , y)ER2lx-y=l ]
C es cerrado (imagen inversa de un cerrado mediante una aplicación 
continua) y su proyección sobre cualquier eje es
R - { 0 ]
que no es cerrado en R.
4.19 Sean dos espacios topológicos X, 7 , y sea A un subconjunto 
cerrado de X X 7 . Sea B(x) el sistema de entornos de x E X, y sean
A [ x ] = { y e Y K x , y ) € A } C Y
/
J) Pruébese que
A[V^Í= .U A [t]C Y
A[x]= n A[V*].
V*GB( x)
II) Póngase un ejemplo én que B C X x 7 es abierto, y
Blx]?^ n B[V-].
S o l u c ió n :
I) Para todo y E A[x] y para todo V^E.B{x) se verifica.: 
(x } y )E A y x E
luego
y e A[V*], y A M C A[V^] C A[V^].
Luego
A M C n A[V*].
v*eB(x)
Sea ahora
y E n A[V*];
VxeB(x)
entonces, para todo Wy y para todo V·* se verifica
tyy n A[V^1 7 ^ (¡).
Luego
(V * x íV y )n A 7 <̂í>
(compruébese).
Luego
l /e A W = A M
(compruébese).
II) Consideramos en R2 la bola abierta de centro (3, 3) y radio 1. 
Entonces :
B[3] = (2,4) = [2 , 4]
B[V3]= U B[í]=(2,4)(VV3)
n B[V3]=(2,4)5¿[2,4].
ViSBO)
4.20 Sean dos espacios X, 7 y un subconjunto A, cerrado de X x 7 . 
Demuéstrese que
A [x]=AM .
(Véase el problema anterior.)
Solución :
n vv*
V»GB( x)
- n A[V^] C A[V^] V V* ==> A[x] C V V*V*GB(x)
(problema 4.19), luego
A[x]C n A[V*]=AM AM=AM. 
v*eB(x)
4.21 Demuéstrese que el conjunto 
M = {{x ,y )eR 2 ly= x2]
con la topología relativa de es homeomorfo a R, 
S o lu c ió n :
M es el grafo de la aplicación continua
R - ^ R
X — > x^
(problema 4.8).
Espacios conexos
Diremos que un espacio (X, T) es no conexo si existen dos 
abiertos no vacíos A, B tales que
A D B = <f> y A U B = X .
Un espacio (X, T) es conexo si no verifica la condición an­
terior.
5.1 Demuéstrese que las siguientes proposiciones son equivalentes:
I) (X, T) es conexo.
II) No existen dos subconjuntos cerrados, no vacíos, tales que
A n B = <l>; A U B =X .
III) Los únicos subconjuntos de X que son abiertos y cerrados 
son X y 4>.
IV) No existen dos subconjuntos no vacíos A,B de X tales que:
X = A U B; (X riB )U (A nB )= < í).
Solución :
D II)
Supongamos que II) no es cierto. Entonces, existen A, B cerrados, 
tales que
X = A U B ; A riB =<^.
Luego
X = C A U CB; C A n C B = C(A UB) = (̂
donde
CA, CB abiertos, CA9^<í) 
y no sería cierto I).
II) = > IV)
Supongamos que IV) no es cierto. Entonces, existen dos subcon­
juntos A, B de X tales que
A 9 (̂f>, Byéz4>, A U fí = X, ( Á n B ) U i A n B ) = (l).
Luego
AC\B = <f> => A C A = > A cerrado 
B D A = 0 = > B C B => B cerrado
luego
X = A U B ; A, B cerrados; A 9^ (¡), B <¡>, A O B = J H B = (J>
y no se verificaría II).
IV) III)
Supongamos que III) no es cierto. Entonces existe A abierto y 
cerrado, tal que
A t^ X ; A9^4>
X = A U C A ; A 9 ĉí>; C A 9^ <f> 
~ A n C A = A n C A=(^
A n c A = A n c A = ( } >
con lo que IV) no sería cierto.
III) = > I)
Supongamos que I) no es cierto. Entonces, existen dos abiertos A, 
B, tales que
X = A U B ; A D B = (̂ ; A 9 (̂l>; B 9 <̂f)
A es abierto y cerrado ; A 9^ 4>; A 9^ X
y III) no sería cierto.
5.2 Dado el espacio topológico (A, 7), donde
A = {a, b, c, d , e] 
r= { A ,0 ,{ fl} , {c,d], { a , c , d l {b,c, d,e}]
véase si:
I) (A, T) es conexo.
II) H^{b,d,e}y co n la to p o lo g ía re la tiv a , es co n ex o .
So l u c ió n :
I) (A, T) no es conexo, pues {a} es abierto y cerrado.
II) La topología relativa es
{H, Tu) es conexo, pues los únicos abiertos y cerrados son H y 4>·
5.3 Sean (X, T) conexo y una aplicación 
f : X Y
c o n tin u a y sob re . E n to n ce s {Y, T ) es conexo .
So lución :
Supongamos que (Y, T ) no es conexo. Entonces, existen dos abiertos 
Al, Al tales que
r = A iU A 2 ) . , . .
. _ . \ Al, AiT^ (l>»
Al n A2 = 0
Entonces,
X = /- i ( y ) = f - ‘(Ai u A¿=f~KAi) U /-'(A j) 
f-i(A¡) n f-KA¡)=f-KAi n A¿=4>
/-1(A|), f~KA¿ abiertos, por ser f continua
y, por ser f sobre:
/-KAi), f-KA2)9^<í>,
Luego (X, T) no sería conexo.
5.4 Sean un espacio (XfT) y una familia de subconjuntos conexos 
tales que existe un conexo Sh de la familia, con la
c o n d ic ió n ̂ ^ r. y ^V iG / SiOSfi^íl).
Entonces, U S¡ es conexo.
Solu ció n :
Supongamos que US,· no sea conexo. Entonces, existen A, B tales
que
U 5 ,= A U B ; A n B = <l>; A,B9^<¡)\i e i A, B abiertos en U
¿E/
A , B abiertos en U = > A = A i C \ i U S¿),
i G l i E I
B = Bi n ( U Si) donde Aj, Bj E T.ie i
Entonces
V ¿ e / : 5 ¿ C A ó S i C B
pues, de lo contrario,
Si={A n Si) u (B n Si) ; (A n 5¿) n (B n 5,)=<í»
A n 7 ̂<í), B n 7 ̂<í)
A n 5i= Al n ( U Si) D Si=Ai fi Si abierto en Si
i G l
B O tS, = Bi O ( U S¡) O Si— B\ O Si abierto en Si 
i G l
y Si no sería conexo.
Entonces,
S h C A ó ShCB.
Supongamos
5;,C A .
Caben entonces los siguientes casos:
a)
3 i € I : S i C B = > S i nSh=<f ^ ·
b)
V ¿ G / : 5 ¿ C A = > U S i C A => B = it).
Í GI
5.5 Sean un espacio (X, T) y una familia de subconjuntos conexos 
de X, tales que
ns,9^4>-i e i
Entonces, es conexo.iGl
Solución :
Es consecuencia del problema anterior, tomando un 5/, cualquiera 
de la familia
5.6 Sean un espacio (X, T) y una familia finita de subconjuntos 
conexos {5i, ..., S„] de X, tales que cada uno corta al siguiente,
o sea,
SKriSK+i9^4> ViC = l, . . . , n - l .
n
Entonces U Sj ̂ es conexo.
1
So l u c ió n :
Lo demostraremos por recurrencia:
a) n=\. La reunión sería que es conexo por hipótesis.
b) Supongamos n- \
S=
conexo, y sea conexo tal que
*^ «- 1 n ^
n
Entonces U U es conexo, según el problema anterior.
1
5.7 I) Sean (X, T), (7, T) dos espacios conexos. Demuéstrese que
X x y con la topología producto es conexo.
II) Sean (Xi. TO, (X2, TJ, (X„, espacios conexos. Demués 
trese que Xi X X2 X .. . X X„ con la topología producto es conexo. (En 
particular, R" es conexo.)
Solu ció n :
I) Sea a E X . Entonces { a } x Y es conexo (problemas 4.12 >
5.3). Por la misma razón:
>í yEY, X x { y ) ^ X conexo.
Se verifica que
x x y = ( { a } x y ) U ( U ( x x { i / } ) )
y
V i / G y, ({a} X y) n ( X x { y } ) = { ( « , y)}9̂ <t>.
Luego (problema 5.4) X x Y es conexo.
II) Por recurrencia :
a) X\ es conexo.
b) Supongamos X\X conexo. Entonces,
X\ X ... X Xjt x Xk-\-i ^ (Xi X · ■ · X Xjt) X Xk+i 
(problema 413) es conexo, según I).
5.8 Demuéstrese que los únicos subconjuntos de la recta real que 
son conexos son los puntos y los intervalos.
Solución :
I) Todo subconjunto X de jR que no sea ni un punto ni un inter­
valo es no conexo. En efecto:
3 a , b € X y 3 c € R a < c < b tal que c ^ X.
Luego
X = [ ( ^ ,c ) n X ] U [ ( c , - > ) n X ]
y X no es conexo.
II) Todo punto es conexo. Vamos a ver ahora que todo intervalo es 
conexo. Sea X un intervalo cualquiera de R, y supongamos que X no es 
conexo.
Entonces se verifica que:
X = A iU B i; A iD B i = 0 ;
A i= X H A ; B i= X D B ,
donde A, B abiertos de R,
Como existe íJi G Ai, y, como Bi9^4>, existe ¿?i G Bi, y
ai bu pues AiDBi=<l), Supongamos a\<b\ y sea
í2 = ext sup{x G A Ja i^ x < Z?i} = ext sup (Ai fl [ai, ¿O).
Dicho extremo superior existe, pues
A i'n [a i, W 
está acotado (problema 6.17). Además,
a G [ai, b{] => a i^ a ^ b i = > a G X
pues X es un intervalo. Vamos a ver que esto es una contradicción, 
pues
a ^ Al y Bu
En efecto:
a) Si a G Al C A, entonces, a < bu pues bi G Bj,
Luego
a € A D (<—, bi) ab ie rto = > 3 € > 0 : [a—€,a + e] C A fl (<—, b{) 
a <i a + e <. hi a + e E X
por ser X intervalo
a + e G X I 
a + e E A )
a + eE A\=AC\X y < a + e <
y a no podría ser el extremo superior del conjunto anterior. 
h) Si a E B iC B ; entonces ai < a, pues ai E A i .
Luego
a E (ai, —>) n B abierto = > 3 e > O
tal que
[a —6, a + e] C(ai, —>)DjB 
Vjc G [a —e, a] : ai < a — e ^ x ^ a => x E X
por ser X intervalo.
Luego
[« -€ , a] C X I ^ a] C ñ ,= X n B
[ a —€, a ] C B ;
[a—€, a] n Ai=<í> 
y a —e es una cota superior del conjunto anterior
Al n [ai, ¿?i)
y a > a —€. Luego a no puede ser el extremo superior de dicho con­
junto.
5.9 Demuéstrese que la recta racional no es conexa.
Solución :
Resulta como consecuencia del problema anterior.
5.10 Dótese al conjunto de los números reales de una topología 
menos fina que la usual, y de otra más fina que la usual, de tal forma 
que en ambos casos R siga siendo conexo. (Para el segundo caso, tómese 
la topología que tiene como base los intervalos abiertos y los intervalos 
racionales y hágase una demostración análoga a la del problema 5 .8 ).
5.11 I) Sean un espacio (Z,T) y un subconjunto conexo Y de Z. 
Sea Z = A U B una partición de Z por abiertos no vacíos. Demuéstrese 
que Y C A ó Y C B .
II) Sean un espacio (Z, T) y un subconjunto conexo Y de Z. De­
muéstrese que si X es otro subconjunto de Z tal que
y c x c y ;
enotnces X es conexo. En particular, 7 es conexo.
Solución ;
I) Si no fuera Y Q A ó Y C B , entonces
Y r\A9^4>, Y nB9^(t>
y
Y = (Y n A ) U ( Y D B ) ;
Y DA, y n B son abiertos en Y distintos de (̂ , tales que
(y n A) n (y n b ) = y n (a n b)=(#>
e y no sería conexo.
II) Supongamos X no conexo. Entonces,
x = ( A n x ) U ( B n x ) ; AnxT^4>, b o x ^ ^ ^
es una partición de X por abiertos (A, B abiertos de Z). Entonces, 
según I):
y c A f i x ó y c B H x .
Supongamos y C A D X, con lo que
( B n x ) n y = B n y = ( í >
y
(l>9^ B n X C T (pues X C ? ) .
Luego existe
x E B O X tal que x E ?
y
BDY=4>,
siendo B entorno de x, y llegamos a una contradicción. Luego X ha 
de ser conexo.
5.12 Sean (X, J), (Y, V) dos espacios conexos, A C X, B C Y , sub­
conjuntos propios de X y de Y. Demuéstrese que el complementario en 
X X y de A X B es conexo.
Solución :
Sean x\ ^ A, B. Entonces,
{ % i} x y « y y X x { i / i} « X
son conexos (problemas 4.12 y 5.3). Péura cada elemento y E Y —B for­
mamos X X {2/} *=5# X , conexo. Sea
Ai = [ U (X x { 2/} ]U ({^ ;} x y ) v g y - b
Al es reunión de espacios conexos tales que cada uno de ellos cor­
tan a [x i} x Y ^ Y, conexo. Luego (problema 5.4) Ai