Disertacion-sobre-elementos-de-la-teora-de-polinomios-con-coeficientes-en-los-cuaternios-basada-en-un-artculo-de-Ivan-Niven

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Universidad Nacional
Autónoma de México
Facultad de Estudios
Superiores Acatlán
Disertación sobre elementos de la
teoŕıa de polinomios con
coeficientes en los cuaternios,
basada en un art́ıculo de Ivan Niven
TESIS
que para obtener el t́ıtulo de
Licenciado en Matemáticas Aplicadas y
Computación
presenta
Eduardo Antonio Gomezcaña Alanis
asesor
Fis. Manuel Valadez Rodŕıguez
Marzo de 2011
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
Su paciencia y profesionalismo abrie-
ron las puertas de un mundo donde
todas nuestras inquietudes hallaŕıan
refugio. Mi sincera admiración y respeto
Prof. Manuel Valadez.
Después del innombrable régimen, de la
arbitraria moral, de la confusa doctrina,
crecer con ustedes me ha permitido
descubrir quien soy en realidad. Gracias
Ximena, Miguel y David.
La hipótesis de considerar tu tole-
rancia como ilimitada me parece tan
descabellada que sólo he encontrado
otra explicación razonable: estás loco.
Tek’ma’tek Erick.
No soy capaz de encontrar palabras
adecuadas para quienes hicieron posible
un ambiente donde la libertad y la curio-
sidad gobernaban. Únicamente me queda
otorgar el reconocimiento que se merecen
Malinalli, Yolanda y Eduardo.
i
In order to make an apple pie from
scratch, you must first invent the
universe.
Carl Sagan
ii
Objetivo
Desarrollando la teoŕıa de polinomios canónicos en un anillo con división, por
analoǵıa con estos conceptos dados en el caso de campos, determinar la exis-
tencia y las caracteŕısticas de ráıces de un polinomio con coeficientes en los
cuaternios.
iii
Resumen
Al proponer los polinomios canónicos y el producto entre ellos, se pueden for-
mular dos teoremas análogos al clásico teorema de división. Las divisiones even-
tualmente llevan a definir lo que nosotros llamamos, Transformada de Ore. Ésta
es utilizada para buscar semejanzas entre las distintas factorizaciones de un po-
linomio canónico. El presente trabajo contiene una prueba de la existencia de
ráıces de un polinomio canónico con coeficientes en los cuaternios, basada en
la relación que mantienen dichas factorizaciones y se discute en él el problema
de encontrarlas utilizando un sistema de ecuaciones que involucra polinomios
reales en dos variables
iv
Índice general
Objetivo III
Resumen IV
1. Cuaternios 1
2. Polinomios canónicos 5
3. Algoritmos de división 9
4. Ideales y divisibilidad 13
5. Factorización prima 20
6. Ráıces 26
7. Ráıces elementales 29
Conclusiones 33
Bibliograf́ıa 34
v
Caṕıtulo 1
Cuaternios
Definición. Para cualesquiera a = (a0, a1, a2, a3) y b = (b0, b1, b2, b3) elemen-
tos de R4, definimos la suma
a+ b = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
y el producto
ab = (a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3,
a0b1 + a1b0 + a2b3 − a3b2
a0b2 + a2b0 + a3b1 − a1b3,
a0b3 + a3b0 + a1b2 − a2b1).
A R4 junto con estas operaciones, se le conoce como el conjunto de los cuater-
nios reales y se denota como H.
No es dif́ıcil comprobar la conmutatividad, la asociatividad y los inversos
en la suma. Si identificamos 0 = (0, 0, 0, 0), 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0),
j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1), 0 y 1 resultan ser las identidades de la suma
y multiplicación respectivamente, y se cumple i2 = j2 = k2 = −1; además,
podemos asegurar que el producto es no conmutativo al establecer
ij = −ji = k, jk = −kj = i y ki = −ik = j.
Teorema 1.1. En el conjunto de los cuaternios reales, existe un subconjunto
que es isomorfo a R y otro isomorfo a C.
Demostración. Basta considerar las imagenes de las aplicaciones a 7→ (a, 0, 0, 0),
para los números reales, y a+ib 7→ (a, b, 0, 0), para los números complejos. �
1
La anterior proposición nos permite afirmar que R ⊂ C ⊂ H y en consecuen-
cia, la suma o el producto entre los miembros de estos conjuntos no presenta
problema alguno. Además, el teorema siguiente permite dar por verdaderas las
dos leyes distributivas y la asociatividad del producto. Aśı, resulta útil expresar
un cuaternio real a = (a0, a1, a2, a3) como
a = a0 + a1i+ a2j + a3k.
Teorema 1.2. Existe un subconjunto en las matrices complejas de 2× 2, que
es isomorfo a los cuaternios reales.
Demostración. Tomemos (a0, a1, a2, a3) como un cuaternio real y consideremos
la aplicación inyectiva,
(a0, a1, a2, a3) 7→
(
a0 + a3i a1 + a2i
−a1 + a2i a0 − a3i
)
.
Hagamos ahora
U =
(
1 0
0 1
)
, I =
(
0 1
−1 0
)
,
J =
(
0 i
i 0
)
, K =
(
i 0
0 −i
)
,
de manera que éstas cumplen, I2 = J2 = K2 = IJK = −U . Solamente resta
observar que
a0U + a1I + a2J + a3K =
(
a0 + a3i a1 + a2i
−a1 + a2i a0 − a3i
)
,
para garantizar que la aplicación es un homomorfismo. El conjunto que busca-
mos es la imagen de la aplicación. �
Definición. Sea a = a0 + a1i + a2j + a3k un cuaternio real. Definimos por
conjugado de a, el cuaternio
ā = a0 − a1i− a2j − a3k.
Definición. Sea A un conjunto cualquiera. Si f : A → H, se define como el
conjugado de f a la función f̄ : A→ H, cuya regla está dada por
f̄(a) = f(a).
2
Proposición 1.1. El conjugado de una suma de cuaternios reales, es la suma
de los conjugados.
Demostración. Tomemos a = a0 + a1i + a2j + a3k y b = b0 + b1i + b2j + b3k
elementos de H. Entonces,
a+ b = (a0 + b0)− (a1 + b1)i− (a2 + b2)j − (a3 + b3)k
= (a0 − a1i− a2j − a3k) + (b0 − b1i− b2j − b3k)
= ā+ b̄.
�
Proposición 1.2. El conjugado de un producto de cuaternios reales, es el
producto de los conjugados en orden inverso.
Demostración. Tomemos a = a0 + a1i + a2j + a3k y b = b0 + b1i + b2j + b3k
elementos de H. Si ab = c0 + c1i+ c2j + c3k, entonces
c0 = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3,
c1 = −a0b1 − a1b0 − a2b3 + a3b2,
c2 = −a0b2 − a2b0 − a3b1 + a1b3,
c3 = −a0b3 − a3b0 − a1b2 + a2b1.
Tomemos ahora b̄ā = d0 + d1i+ d2j + d3k, obtenemos
d0 = b0a0 − b1a1 − b2a2 − b3a3,
d1 = −b0a1 − b1a0 + b2a3 − b3a2,
d2 = −b0a2 − b2a0 + b3a1 − b1a3,
d3 = −b0a3 − b3a0 + b1a2 − b2a1.
Lo anterior, nos permite concluir que ab = b̄ā. �
Teorema 1.3. El centro de H está compuesto únicamente por números reales,
en otras palabras, Z(H) = R.
Demostración. Esto es inmediato al observar que, si cualquiera de los coeficien-
tes que acompañan a i, j o k en un cuaternio real es un elemento distinto de
cero, será imposible que el cuaternio conmute con j, k o i respectivamente. �
Definición. Sea a = a0 + a1i + a2j + a3k un cuaternio real. Re(a) = a0
será parte real de a, mientras que la parte imaginaria de a será la expresión
Im(a) = a1i+ a2j + a3k.
3
A un elemento a = a0 + a1i + a2j + a3k de H, podemos expresarlo como
a = Re(a) + Im(a); aśı, ā = Re(a)− Im(a) y obtenemos inmediatamente que
a+ ā = 2Re(a) y a− ā = 2Im(a).
Además,
aā = āa = a20 + a
2
1 + a
2
2 + a
2
3,
lo que constituye un número real no negativo. Este hecho motiva la siguiente
Definición. La norma de un cuaternio real se define como el producto de éste
con su conjugado; esto es, aā y se denota por N(a).
Proposición 1.3. Todo elemento distinto de cero en H, tiene un inverso res-
pecto al producto.
Demostración. Tomemos un elemento a no nulo de H; afirmamos que el cua-
ternio ā/N(a) es su inverso. En efecto,
a
ā
N(a)
=
ā
N(a)
a = 1,
y esto nos permite escribir
a−1 =
ā
N(a)
.
�
De acuerdo con lo expuesto hasta ahora, H es un anillo con división según
la definición que aparece en el texto Álgebra Moderna de Israel Herstein [7].Polinomios con coeficientes en esta clase de anillos serán estudiados en los
caṕıtulos siguientes.
4
Caṕıtulo 2
Polinomios canónicos
Definición. Sea D un anillo con división y sea S el conjunto de los enteros no
negativos. Una sucesión en D es una función f : S → D. Para cada entero no
negativo i, escribimos
fi = f(i).
Para la función f usaremos la notación
f = (f0, f1, f2, ...)
y diremos que fi es la i-ésima entrada de f .
Definición. Si D es un anillo con división y f y g son sucesiones en D, entonces
para cualquier entero no negativo i, las sucesiones f + g y fg refieren a las
expresiones
(f + g)i = fi + gi,
(fg)i =
i∑
j=0
fjgi−j .
Proposición 2.1. Sea D un anillo con división. El conjunto de las sucesiones
en D, con las operaciones de la definición anterior, es un anillo. Este anillo se
denotará como D∞.
Demostración. La conmutatividad y la asociatividad de la suma son automáti-
cas al ser D un anillo; la sucesión 0 definida como 0i = 0 para todo entero no
negativo i, funciona como la identidad para la suma, con 0 el elemento nulo
de D. Para una sucesión f en D, definimos (−f)i = −fi, que resulta ser su
inverso para la suma.
5
Sean ahora f, g y h sucesiones en D, entonces
[(fg)h]i =
i∑
j=0
(fg)jhi−j
=
i∑
j=0
j∑
k=0
fkgj−khi−j
=
i∑
k=0
fk
i−k∑
j=0
gjhi−k−j
=
i∑
k=0
fk(gh)i−k
= [f(gh)]i.
También,
[f(g + h)]i =
i∑
j=0
fj(g + h)i−j
=
i∑
j=0
fj(gi−j + hi−j)
=
i∑
j=0
fjgi−j +
i∑
j=0
fjhi−j
= (fg + fh)i
y de manera análoga, [(f +g)h]i = (fh+gh)i. De lo anterior podemos concluir
que
(fg)h = f(gh), f(g + h) = fg + fh y (f + g)h = fh+ gh.
Por tanto, el conjunto de sucesiones en D es un anillo. �
Tomemos 0 y 1 como las identidades de la suma y multiplicación en D;
definimos, para cualesquiera enteros no negativos i y j,
δij =
{
0 si i 6= j
1 si i = j
y creamos la sucesión 1 donde
1i = δ0i,
6
la cual, para cualquier sucesión f en D, cumple
(1f)i =
i∑
j=0
δj0fi−j = fi =
i∑
j=0
fjδ(i−j)0 = (f1)i,
por lo que D∞ es un anillo con unidad.
Definición. Sea D un anillo con división. El elemento x de D∞ definido como
xi = δ1i,
lo llamaremos indeterminada, el cual es un elemento conmutativo de D∞.
Identificando x0 = 1 y x1 = x, y suponiendo que (xk−1)j = δ(k−1)j , tenemos
(xk−1x)i =
i∑
j=0
δj(k−1)δ(i−j)1 = δki.
Esto, nos permite afirmar que
(xk)i = δki.
Lo anterior justifica que, si f es una sucesión en D, se puede denotar for-
malmente como
f =
∞∑
i=0
fix
i.
Por eso, D∞ se nombra como el anillo de series formales de potencias en D.
Proposición 2.2. Si D es un anillo con división, entonces D se puede sumergir
en D∞.
Demostración. Basta identificar la aplicación a 7→ (a, 0, 0, ...) definida en cual-
quier elemento a de D. �
Definición. Sea D un anillo con división y f una sucesión en D. Decimos que
f es un polinomio canónico sobre D o simplemente un polinomio sobre D, si
existe un entero no nulo n tal que fi = 0 para todo i > n. En ese sentido, los
elementos nulo e identidad de D∞ son polinomios.
Definición. Sean D un anillo con división y f un polinomio no nulo sobre
D. Si n es un entero no negativo, fi = 0 para i > n y fn 6= 0, escribiremos,
n = ∂(f) y nos referiremos a él como grado de f . A las entradas de f con
i ≤ n, las llamaremos coeficientes de f , particularmente a fn lo llamaremos
coeficiente principal de f y, en caso de ser conveniente, se denotará λ(f). Si
λ(f) = 1, diremos que el polinomio es mónico.
7
Teorema 2.1. El subconjunto de D∞ constituido por los polinomios sobre D
es un anillo con unidad, el cual se denota como D[x].
Demostración. Solamente se necesita probar que las operaciones son cerradas
en el conjunto en cuestión, lo cual está probado en el siguiente teorema de
manera indirecta. �
Teorema 2.2. Si D es un anillo con división y f y g son polinomios no nulos
sobre D, entonces
1. f + g = 0 o ∂(f + g) ≤ máx{∂(f), ∂(g)}
2. ∂(fg) = ∂(f) + ∂(g)
Demostración. Si f + g 6= 0, tomemos i > máx{∂(f), ∂(g)}, entonces
(f + g)i = fi + gi = 0,
lo que prueba 1. Tomemos ahora k como un entero no negativo y nombremos
m y n a los grados de f y g respectivamente, entonces
(fg)m+n+k =
m+n+k∑
i=0
figm+n+k−i.
Para que figm+n+k−i 6= 0 necesitamos i ≤ m y m+ n+ k − i ≤ n. Obtenemos
m+ k ≤ i ≤ m, por lo que k = 0 y trae la forzosa implicación, i = m. Aśı
(fg)m+n = fmgn
y
(fg)m+n+k = 0 para k > 0.
�
Corolario. El producto de dos polinomios no nulos sobre D es no nulo.
Corolario. Si h es un polinomio no nulo de D, entonces fh = gh o hf = hg
implica f=g.
Por la asociación exhibida en la proposición 2.2 se tomará D ⊂ D∞. Como
los elementos asociados a D resultan ser polinomios, podemos (con el mismo
argumento) afirmar que D ⊂ D[x] ⊂ D∞.
8
Caṕıtulo 3
Algoritmos de división
Lema 3.1. Si D es un anillo con división y f y d son elementos no nulos de
D[x], de tal forma que ∂(d) ≤ ∂(f), entonces existen polinomios ĝ y ǧ sobre D
tales que
∂(f − ĝd) < ∂(f) o f − ĝd = 0
y
∂(f − dǧ) < ∂(f) o f − dǧ = 0.
Demostración. Hagamos primero m y n los grados de los polinomios f y d
respectivamente. Escribimos
f = fmx
m +
m−1∑
i=0
fix
i y d = dnx
n +
n−1∑
i=0
dix
i.
Sabemos que m ≥ n. Podemos entonces definir los polinomios
ĝ = fmd
−1
n x
m−n y ǧ = d−1n fmx
m−n,
y observar que (ĝd)m = (f)m = (dǧ)m y en consecuencia
∂(f − ĝd) < ∂(f) o f − ĝd = 0
y
∂(f − dǧ) < ∂(f) o f − dǧ = 0.
�
9
Teorema 3.1. Si D es un anillo con división y f y d son elementos de D[x],
con d no nulo, entonces existen q̂ y r̂ elementos de D[x] únicos, tales que
f = q̂d+ r̂
y
∂(r̂) < ∂(d) o r̂ = 0.
Demostración. Supongamos que f = 0 o ∂(f) < ∂(d), podemos elegir en ese
caso q̂ = 0 y r̂ = f ; caso contrario, f 6= 0 y ∂(f) ≥ ∂(d), el lema 3.1 afirma que
podemos encontrar un polinomio g1 en D[x] tal que
∂(f − g1d) < ∂(f) o f − g1d = 0,
aśı, elegimos f1 = f −g1d y expresamos f = g1d+f1. Si f1 = 0 o ∂(f1) < ∂(d),
tomamos q̂ = g1 y r̂ = f1. En otro caso, f1 6= 0 y ∂(f1) ≥ ∂(d), definimos
f2 = f1 − g2d, donde g2 es algún polinomio en D[x] que cumple
∂(f1 − g2d) < ∂(f1) o f1 − g2d = 0.
Ahora f1 = g2d+ f2 y escribimos
f = (g1 + g2)d+ f2.
Nuevamente, si f2 = 0 o ∂(f2) < ∂(d), hacemos q̂ = g1 + g2 y r̂ = f2; en el otro
caso elegimos g3 como se hizo con g1 y g2 y definimos f3 de la misma forma que
f1 y f2. Continuando de la misma manera, podemos determinar un polinomio
fk, tal que
∂(fk) < ∂(d) o fk = 0.
Supongamos ahora que existen polinomios q′ y r′ sobre D de forma que
f = q′d+ r′
y
∂(r′) < ∂(d) o r′ = 0.
Aśı, obtenemos la ecuación
(q′ − q̂)d = r̂ − r′,
de la cual, si suponemos (q′ − q̂) 6= 0, concluimos que
∂(q′ − q̂) + ∂(d) = ∂(r̂ − r′),
lo que constituye una contradicción, debido a que ∂(r̂ − r′) < ∂(d). Entonces
q′ = q̂ y en consecuencia r′ = r̂. �
10
Ejemplo. Tomemos f = x2 − (i+ j)x+ k y d = x− i como polinomios sobre
H. Como
f = (x− j)(x− i) + 2k,
tenemos q̂ = x− j y r̂ = 2k. Resulta interesante que se pueda expresar
f = (x− i)(x− j).
El teorema 3.1 se deriva de encontrar reiteradamente el polinomio ĝ indicado
en el lema 3.1, podemos realizar el mismo proceso utilizando el polinomio ǧ y
se garantiza el
Teorema 3.2. Si D es un anillo con división y f y d son elementos de D[x],
con d no nulo, entonces existen q̌ y ř elementos de D[x] únicos, tales que
f = dq̌ + ř
y
∂(ř) < ∂(d) o ř = 0.
Supongamos todas las hipótesis del lema 3.1 añadiendo que el coeficiente
principal del polinomio d pertenezca al centro del anillo, Z(D); obtenemos
entonces que los polinomios
ĝ = fmd
−1
n x
m−n y ǧ = d−1n fmx
m−n
coinciden. Tomemos g = ĝ = ǧ, entonces
∂(f − gd) < ∂(f) o f − gd = 0
y
∂(f − dg) < ∂(f) o f − dg = 0.
Utilizando las demostraciones de los teoremas 3.1 y 3.2 y agregando la
discusión anterior, resulta inmediato el
Corolario. Si el coeficiente principal de d pertenece a Z(D), entonces los
polinomios q̂ y q̌ de los teoremas 3.1 y 3.2 son iguales.
Ejemplo. Consideremos los polinomios sobre H, f = x2 − (i+ 2j)x+ k − 1 y
d = x2 +1. Como el coeficiente principal de d es un número real y
f = (x2 + 1)− (i+ 2j)x+ k − 2,
tenemos q̂ = q̌ = 1. En este caso, también se cumple r̂ = ř = −(i+2j)x+k−2,
pues el polinomio d conmuta con todos los elementos de H[x].
11
En los teoremas 3.1 y 3.2, se expone lo que es posible nombrar división de-
recha y división izquierda. Resultan interesantes los polinomios involucrados en
estos teoremas y tenemos la necesidad de identificarlos, para ello nos remitimos
a la siguiente
Definición. A los polinomios q̂ y r̂, los conoceremos como el cociente y el
residuo, respectivamente, de la división derecha de f por d, mientras que los
polinomios q̌ y ř serán el cociente y el residuo, respectivamente, de la división
izquierda de f por d.
12
Caṕıtulo 4
Ideales y divisibilidad
Definición. Sea D un anillo con división. Decimos que J ⊂ D[x] es un ideal
de polinomios sobre D o simplemente un ideal de D[x], si cumple que:
1. Es un grupo respecto a la suma.
2. fg pertenece a J si f es un polinomio sobre D y g un elemento de J .
Es un hecho natural que los subconjuntos {0} y D[x] son ideales, a estos
los llamaremos el ideal nulo y el ideal unitario respectivamente.
Proposición 4.1. Sea D un anillo con división y sea g un elemento de D[x].
El conjunto J = {hg | h ∈ D[x]} es un ideal de D[x].
Demostración. Es evidente que 0 pertenece a J . Si f1 = h1g y f2 = h2g para
h1 y h2 elementos de D[x], entonces
f1 + f2 = h1g + h2g
= (h1 + h2)g.
Aśı, J tiene estructura de grupo bajo la suma.
Si suponemos ahora f1 y h como elementos de D[x] y f2 = hg, entonces
f1f2 = f1(hg)
= (f1h)g.
Concluimos que J es un ideal de D[x]. �
13
Definición. El ideal presentado en la proposición 4.1, se le conoce como el
ideal generado por g y se denota (g). También se dice que g genera J o que g
es un generador de J .
Definición. Sea D un anillo con división y sean J1 y J2 ideales de D[x].
Definimos la suma de ideales como
J1 + J2 = {h1 + h2 | h1 ∈ J1 y h2 ∈ J2}.
Proposición 4.2. Sea D un anillo con división y sean J1 y J2 ideales de D[x].
Entonces, los conjuntos J1 + J2 y J1 ∩ J2 son ideales.
Demostración. Es inmediato que 0 pertenece a J1+J2. Si f1 y g1 son elementos
de J1, f2 y g2 son elementos de J2 y tomamos f = f1+f2 y g = g1+g2, entonces
f + g = (f1 + f2) + (g1 + g2)
= (f1 + g1) + (f2 + g2).
Si ahora h es un polinomio en D[x], entonces
hg = h(g1 + g2)
= hg1 + hg2.
El hecho de ser J1 ∩ J2 un subgrupo es inmediato. Supongamos entonces
que h es un polinomio sobre D y g es un elemento de J1 ∩ J2, entonces hg
pertence J1 y por el mismo argumento también pertence a J2 y eso concluye
la prueba. �
Teorema 4.1. Sea D un anillo con división y J un ideal de D[x]. Entonces,
existe un elemento g de J tal que J = (g).
Demostración. Si J es el ideal nulo, basta tomar g = 0. Supongamos que J es
distinto del ideal nulo, entonces el principio de buen orden garantiza que existe
un polinomio g en J con
∂(g) ≤ ∂(f),
para todo polinomio no nulo f que pertenezca a J . Afirmamos que g es el
elemento que se pide; en efecto, supongamos que f está en J , el teorema 3.1
garantiza la existencia de polinomios q y r sobre D, con r = 0 o ∂(r) < ∂(g) y
f = qg + r.
De la definición de ideal, la expresión anterior afirma que r debe pertencer a J
y de la particular forma en que fue elegido el grado de g, concluimos que r = 0,
aśı J = (g) como deseábamos. �
14
Corolario. Si J es un ideal no nulo de D[x] y h es un elemento de J que
cumple J = (h), entonces h = cg para algún elemento c de D.
Demostración. Como (g) = J = (h), entonces existen polinomios c1 y c2 en
D[x] que satisfacen
g = c1h y h = c2g.
Las expresiones anteriores afirman que c1c2 = 1, hecho que únicamente puede
suceder si c1 y c2 pertencen a D. �
Corolario. Si J es un ideal no nulo de D[x], existe un elemento g′ en J ,
mónico, tal que J = (g′). Además, este polinomio es único.
Demostración. Definimos g′ = c−1g, donde c es el coeficiente principal de g; el
polinomio g′ obviamente genera J .
Si h es un generador de J , sabemos que h = cg′, para algún c perteneciente
a D; como g′ es mónico, el coeficiente principal de h es c, si queremos que h
sea mónico, necesariamente c = 1 y esto concluye la prueba. �
Definición. Sea D un anillo con división y sean f y g polinomios sobre D.
Decimos que g divide a f , que g es divisor de f , que f es divisible por g o que
f es múltiplo de g y escribimos g|f , si existe un polinomio q sobre D para el
cual f = qg.
Definición. Sea D un anillo con división y sean f y g polinomios sobre D.
Decimos que un polinomio d sobre D es un divisor común de f y g, si d|f
y d|g. También decimos que d es un máximo común divisor si es múltiplo de
cualquier divisor común de f y g.
Teorema 4.2. Sea D un anillo con división y sean f y g elementos de D[x].
Entonces, existe un máximo común divisor de f y g.
Demostración. Tomemos d el generador del ideal (f) + (g), entonces existen
polinomios q1 y q2 en D[x] tales que
f = q1d y g = q2d.
Por otro lado, podemos expresar
d = d1f + d2g
para d1 y d2 polinomios en D[x]; si d0 es un divisor común, entonces, para
algunos polinomios p1 y p2 en D[x], se tiene
f = p1d0 y g = p2d0,
15
quedando
d = d1f + d2g
= d1p1d0 + d2p2d0
= (d1p1 + d2p2)d0,
lo que significa que d0|d. �
Corolario. Todo máximo común divisor de f y g, genera el ideal (f) + (g).
Demostración. Basta notar que si d y d′ son máximos comunes divisores de f
y g, entonces d′ = cd para algún elemento c en D. �
Definición. Sea D un anillo con división y sean f y g polinomios sobre D. Por
un múltiplo común de f y g entendemos un polinomio h sobre D que satisface
f |h y g|h. Decimos que es un mı́nimo común múltiplo si divide a cualquier
múltiplo común de f y g.
Teorema 4.3. Sea D un anillo con división y sean f y g elementos de D[x].
Entonces, existe un mı́nimo común múltiplo de f y g.
Demostración. Elegimos h como el elemento que genera (f) ∩ (g). Si h0 es un
múltiplo común de f y g, éste debe pertencer a (f)∩ (g) y de aqúı h|h0. Basta
notar que h es un múltiplo común, pues pertence a (f) ∩ (g). �
Corolario. Todo mı́nimo común múltiplo de f y g, genera el ideal (f) ∩ (g).
Demostración. Igual que en el máximo común divisor, basta notar que h′ = ch,
para algún elemento c de D, siendo h y h′ mı́nimos comunes múltiplos. �
Proposición 4.3. Sea D un anillo con división y sean f y g elementos de
D[x]. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. f |g.
2. g es un mı́nimo común múltiplo de f y g.
3. f es un máximo común divisor de f y g.
Demostración. La prueba es directa a partir de las definiciones. �
Ejemplo. Consideremos los polinomios f = x2 + i y g = x2 + j sobre H.
Son máximos comunes divisores de f y g todos los polinomios de grado cero,
mientras que son mı́nimos comunes múltiplos de f y g,
(i+ j)x4 − 2x2 − i+ j y x4 + (i+ j)x2 + k.
16
Para definir el mı́nimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos
polinomios f y g, es natural usar los generadores de los ideales (f) ∩ (g) y
(f) + (g) respectivamente; dichos polinomios no son únicos si éstos resultan ser
no nulos, en ese caso es necesario tomarlos mónicos. Finalmente, denotaremos
[f, g] al mı́nimo común múltiplo y (f, g) al máximo común divisor.
Definición. Sea D un anillo con división y sean f y g elementos de D[x].
Diremos que f y g son primos relativos si (f, g) = 1.
Proposición 4.4. Sea D un anillo con división y sea d un polinomio mónico
sobre D. Si f = q1d y g = q2d para algunos polinomios q1 y q2 sobre D,
entonces d = (f, g) si y sólo si (q1, q2) = 1.
Demostración. Supongamos que d = (f, g), entonces existen polinomios d1 y
d2 sobre D tales que
d = d1f + d2g
= d1qd+ d2q2d
= (d1q1 + d2q2)d.
Lo que nos lleva a (q1, q2) = 1.
Rećıprocamente, si (q1, q2) = 1, podemos escribir d1q1 + d2q2 = 1 para
algunos polinomios d1 y d2 sobre D, entonces
d = d1q1d+ d2q2d
= d1f + d2g.
Concluimos que d ∈ (f) + (g) y por esto, debe generar (f) + (g).�
Para simplificar la notación escribiremos, para f y g, el grado del mı́nimo
común múltiplo como ∂[f, g] y del máximo común divisor como ∂(f, g), siempre
que tenga sentido.
Lema 4.1. Sean D un anillo con división, d0 un elemento no nulo de D[x],
d1 un múltiplo de d0 y, para un entero no negativo k, sea
dk+1 = qkdk + dk−1
para algunos polinomios qk sobre D. En ese caso, se cumple
∂[dk, dk−1] + ∂(d1, d0) = ∂(dk) + ∂(dk−1).
17
Demostración. Procedemos por inducción. Si k = 1, la proposición 4.3 garan-
tiza el resultado. Supongamos cierta la igualdad
∂[dk, dk−1] + ∂(d1, d0) = ∂(dk) + ∂(dk−1).
Hagamos ddk+1 = [dk+1, dk], con esto obtenemos
ddk+1 = dqkdk + ddk−1,
como dk|ddk+1 y dk|dqkdk, concluimos que dk|ddk−1, de donde ddk−1 es un
múltiplo común de dk y dk−1, además debe ser un mı́nimo común múltiplo; lo
anterior nos permite expresar
∂[dk+1, dk]− ∂(dk+1) = ∂[dk, dk−1]− ∂(dk−1)
= ∂(dk)− ∂(d1, d0).
Esto prueba el lema. �
Teorema 4.4. Sea D un anillo con división y sean f1 y f2 elementos no nulos
de D[x]. Entonces,
∂[f1, f2] + ∂(f1, f2) = ∂(f1) + ∂(f2).
Demostración. Del teorema 3.1, existen polinomios q1 y f3 sobre D de tal
manera que f1 = q1f2 + f3 con f3 = 0 o ∂(f3) < ∂(f2). Si f3 6= 0, repetimos
el proceso para f2 y f3; esto es, f2 = q2f3 + f4 para algunos polinomios q2
y f4 sobre D, con f4 = 0 o ∂(f4) < ∂(f3). Podemos continuar de la misma
forma, aunque no indefinidamente, eventualmente hallaremos un polinomio fk
que cumpla fk−1 = qk−1fk.
Por la forma en que está construido el polinomio, fk debe ser un divisor
común de f1 y f2; además, todo divisor común de f1 y f2 lo divide, aśı fk es
un máximo común divisor.
Ahora es posible aplicar el lema anterior para obtener
∂[f1, f2] + ∂(fk−1, fk) = ∂(f1) + ∂(f2),
pero ∂(fk−1, fk) = ∂(fk) = ∂(f1, f2) y eso completa la prueba. �
Ejemplo. Tomemos f = x2 − (i + j)x + k y g = x2 + (i − j)x − k como
polinomios sobre H, entonces [f, g] = x3 − jx2 + x − j y (f, g) = x − j. Este
caso exhibe con claridad que
∂[f, g] + ∂(f, g) = ∂(f) + ∂(g).
La anterior fórmula implica un hecho importante pues, en caso de ser f y g no
nulos, (f, g) 6= 0 y ∂(f, g) ≤ mı́n{∂(f), ∂(g)}. Lo que nos lleva directamente a
concluir que [f, g] es también no nulo.
18
Proposición 4.5. Sea D un anillo con división y sean f, g y h elementos no
nulos de D[x]. Entonces,
λ(h)[fh, gh] = [f, g]h.
Demostración. Elijamos H1 = [fh, gh] y H2 = [f, g], como H2h es un múltiplo
de fh y gh, tenemos H1|H2h. De la naturaleza de H1 es posible afirmar que,
si Hh = H1, para algún H en D[x], entonces H|H2.
Sin embargo, H debe ser un múltiplo común de f y g, por lo que H2|H y
podemos garantizar que, para algún elemento c de D,
cH1 = H2h.
Como H1 y H2 son mónicos, podemos concluir que c debe ser el coeficiente
principal de h. �
Proposición 4.6. Sea D un anillo con división y sean f, g y h elementos de
D[x]. Entonces,
[[f, g], h] = [f, [g, h]].
Demostración. La prueba se basa en hacer notar qué ideales se generan. Para
esto, tomemos H1 = [f, g] y H2 = [g, h] y veamos que
(H1) ∩ (h) = [(f) ∩ (g)] ∩ (h)
= (f) ∩ [(g) ∩ (h)]
= (f) ∩ (H2).
Esto prueba el enunciado. �
19
Caṕıtulo 5
Factorización prima
Definición. Sea D un anillo con división y sea p un polinomio no nulo sobre
D. Llamamos a p irreducible si, ∂(p) ≥ 1 y, si p = fg entonces ∂(f) = 0 o
∂(g) = 0. Si además p es mónico, diremos que p es primo.
Definición. Sea D un anillo con división y sean f y h elementos de D[x].
Definimos la h-transformada de Ore de f como el polinomio
Oh{f} = λ(f)λ(h)q,
donde qh = [f, h].
Debemos notar que, en caso de ser f y g no nulos, el teorema 4.4 afirma
∂(Oh{f}) = ∂(f)− ∂(f, h);
además, los coeficientes principales de f y Oh{f} coinciden. Un hecho inme-
diato de la definición, resulta ser la igualdad
Oh{f}h = λ(f)λ(h)[f, h].
Definición. Sea D un anillo con división y sean f y g elementos sobre D[x].
Decimos que f es semejante a g y escribimos f ∼ g si
f = Oh{g},
para algún polinomio h sobre D, primo relativo a g.
20
Lema 5.1. Sea D un anillo con división. Si h1 y h2 son elementos de D[x],
entonces
Oh1{f} = Oh2{f},
siempre que el elemento f de D[x] sea divisor de h1 − h2.
Demostración. Tomemos hh1 = [h1, f ], entonces para algún polinomio q sobre
D,
hh1 = hqf + hh2.
Es posible concluir que λ(h2)
−1λ(h1)hh2 = [h2, f ]. De aqúı que deba cumplirse
Oh1{f} = Oh2{f}.
�
Lema 5.2. Sea D un anillo con división y sean h1 y h2 elementos no nulos de
D[x]. Entonces,
Oh1{Oh2{f}} = Oh1h2{f},
para cualquier f elemento de D[x].
Demostración. De las proposiciones 4.5 y 4.6, es posible deducir la igualdad
[h1,Oh2{f}]h2 = λ(h2)[h1h2,Oh2{f}h2]
= λ(h2)[h1h2, f ].
Hagamos que hh1 = [h1,Oh2{f}], y con esto
Oh1{Oh2{f}} = λ(f)λ(h1)h,
pero si Hh1h2 = [h1h2, f ], podemos escribir h = λ(h2)H, con lo que afirmamos
Oh1{Oh2{f}} = Oh1h2{f}.
�
Teorema 5.1. Sea D un anillo con división y sean f y g elementos de D[x].
Si f ∼ g, entonces g ∼ f .
Demostración. Si h el polinomio primo relativo a g que hace f = Oh{g},
entonces existen h1 y g1 en D[x] tales que
h1h+ g1g = 1,
21
del lema 5.1 sabemos que, Oh1h{g} = O1{g}. Como O1{g} = g, del lema 5.2
resulta
g = Oh1{f},
de donde se sigue que ∂(g) = ∂(f)− ∂(h1, f). Ahora, debido a la equivalencia
entre f y g, tenemos ∂(g) = ∂(f). Luego, (h1, f) = 1. �
Teorema 5.2. Sea D un anillo con división y sean f, g y h elementos no nulos
de D[x]. Si f |gh, entonces Oh{f}|g.
Demostración. Sabemos que f |gh y h|gh, entonces gh es un múltiplo común de
f y h; de esto, cualquier mı́nimo común múltiplo de f y h debe dividir a gh, en
particular debe hacerlo Oh{f}h y de aqúı resulta inmediato que Oh{f}|g. �
Lema 5.3. Sea D un anillo con división y sean f, g y h elementos no nulos de
D[x]. Entonces,
Oh{[f, g]} = [Oh{f},Oh{g}]
Demostración. Solamente es necesario notar que
([h, f ]) ∩ ([h, g]) = (f) ∩ (g) ∩ (h)
= ([f, g]) ∩ (h),
para poder concluir [h, [f, g]] = [[h, f ], [h, g]], lo cual hace inmediato el lema.
�
Teorema 5.3. Sea D un anillo con división. Si f, g y h son elementos no nulos
de D[x], entonces
Oh{fg} = OH{f}Oh{g},
para algún H elemento de D[x].
Demostración. Sabemos que fg = λ(f)λ(g)[fg, g]. Del lema 5.3 podemos ob-
servar que, para algún polinomio q sobre D,
Oh{fg} = qOh{g}
pero
Oh{g}h = λ(g)λ(h)λ(g)−1λ(h)−1Og{h}g
y
Oh{fg}h = λ(f)λ(g)λ(h)λ(g)−1λ(f)−1λ(h)−1Ofg{h}fg,
concluimos entonces que
λ(f)λ(g)λ(h)λ(g)−1λ(f)−1λ(h)−1Ofg{h}f = qλ(g)λ(h)λ(g)−1λ(h)−1Og{h}.
22
Hagamos H = λ(g)λ(h)λ(g)−1λ(h)−1Og{h} y como [f,Og{h}] = [f,H],
OH{f}H = λ(f)λ(g)λ(h)λ(g)−1[f,H]
= λ(f)λ(g)λ(h)λ(g)−1[f,Og{h}]
= λ(f)λ(g)λ(h)λ(g)−1λ(f)−1λ(h)−1Ofg{h}f
= qH,
de lo cual q = OH{f}, tal como deseábamos. �
Corolario. Si h es primo relativo con el producto fg, entonces
f ∼ OH{f} y g ∼ Oh{g}
Demostración. Como (h, fg) = 1, es fácil ver que (h, g) = 1; además, podemos
determinar elementos q1 y q2 de D[x] que cumplan: q1h + q2fg = g. En ese
caso, g divide a q1h y con ello, debe ser algún múltiplo de [h, g] lo cual hace
posible encontrar polinomio h1 sobre D que satisfaga
h1Og{h}+ q2f = 1,
luego (H, f) = 1 y eso es suficiente para terminar la prueba. �
Teorema 5.4. Sea D un anillo con división, sea f un elemento de D[x] y sea
p un polinomio primo sobre D. Si f ∼ p, entonces f es primo.
Demostración. Como p y f son semejantes, entonces existe un polinomio h
sobre D primo relativo a f tal que p = Oh{f}. Tomemos ahora alguna facto-
rización de f ; esto es, f = f1f2 y usando el resultado del teorema 5.3, para
algún H elemento de D[x],
p = OH{f1}Oh{f2}.
Según el corolario al teorema citado, f1 ∼ OH{f1} y f2 ∼ Oh{f2} esto
implica que ∂(Oh{f2}) = ∂(f2) y ∂(OH{f1}) = ∂(f1), lo cual es suficiente para
garantizar que f debe ser primo. �
Un resultado inmediato al utilizar el teorema 5.4 y el teorema 5.2 es la
Proposición 5.1. Sea D un anillo con división, sean g y h elementos de D[x]
y sea p un polinomio primo sobre D. Si p|gh entonces, p es divisor de h o
Oh{p} es un divisor primo deg.
23
Teorema 5.5. Sea D un anillo con división y sea f un elemento no nulo de
D[x] con ∂(f) ≥ 1. En ese caso, existen polinomios primos p1, p2, . . . , pk sobre
D tales que
f = cp1p2 . . . pk
para algún elemento c de D.
Demostración. Partamos de suponer f irreducible. Entonces, basta expresar
f = λ(f)λ(f)−1f , pues en ese caso λ(f)−1f es primo.
Supongamos ahora que f es no irreducible. Podemos entonces encontrar
elementos g y h en D[x] con f = gh, ∂(g) < ∂(f) y ∂(h) < ∂(f). Entonces,
tenemos la igualdad λ(f) = λ(g)λ(h). Si g y h son irreducibles, expresamos f
como
λ(f)[λ(f)−1gλ(h)][λ(h)−1h];
caso contrario, repetimos el proceso en g y h de la misma manera que para f .
Como el grado de estos polinomios decae en el proceso, esto no puede continuar
indefinidamente. Se obtiene entonces, la expresión deseada. �
Definición. A la expresión f = cp1p2 . . . pk del teorema 5.5, se le dirá fac-
torización prima de f , mientras que los polinomios pi serán llamados factores
primos de f .
Ejemplo. El polinomio f = x2 + 1 sobre H, se puede factorizar como
f = (x− i)(x+ i) y f = (x− j)(x+ j).
Este ejemplo muestra que, a diferencia de los campos, no podemos asumir que
las factorizaciones sean únicas. A pesar de ello, las diferentes factorizaciones de
un polinomio guardan cierta relación.
Teorema 5.6. Sea D un anillo con división y sea f un polinomio sobre D. Si
f = c1p1p2 . . . pk y f = c2q1q2 . . . ql son factorizaciones primas de f , entonces
k = l y cada factor primo pi es semejante a un factor primo qj .
Demostración. Es un hecho evidente que c1 y c2 deben coincidir con el coefi-
ciente principal de f , en consecuencia son iguales y
p1p2 . . . pk = q1q2 . . . ql.
Tomemos s como el entero positivo más grande tal que ql|ps . . . pk, si s = k,
obtenemos
p1p2 . . . pk−1 = q1q2 . . . ql−1,
24
si no, el polinomio ps+1 . . . pk es primo relativo a ql y, según el teorema 5.2 y
la proposición 5.1, el polinomio
Ops+1...pk{ql}
es primo y divisor de ps, pero este último es primo, aśı
ps = Ops+1...pk{ql};
de esta expresión, ps ∼ ql, además
psps+1 . . . pk = Ops+1...pk{ql}ps+1 . . . pk
= [ps+1 . . . pk, ql]
= Oql{ps+1 . . . pk}ql.
Aplicando repetidamente el teorema 5.3 y viendo su corolario, podemos
expresar
Oql{ps+1 . . . pk} = p′s+1 . . . p′k,
donde pi ∼ p′i para s+ 1 ≤ i ≤ k. Ahora podemos establecer
p1 . . . ps−1p
′
s+1 . . . p
′
k = q1 . . . ql−1
y repitiendo el procedimiento anterior, concluimos lo esperado. �
Ejemplo. Para el polinomio sobre H, f = x3 + jx2 + x+ j tenemos las facto-
rizaciones
f = (x+ i)(x− i)(x+ j) y f = (x+ j)(x− k)(x+ k).
Podemos observar que las igualdades
Ox−k{x− i} = x+ k y Ox+k{x+ i} = x− k,
informalmente hablando, nos permiten pasar de una factorización a otra.
25
Caṕıtulo 6
Ráıces
Definición. Sea D un anillo con división. Con cada polinomio f sobre D
asociamos una función f [ : D → D definida por
f [(a) =
n∑
i=0
fia
i
donde los fi’s son los coeficientes de f . Esta función recibe el nombre de la
evaluación derecha de f .
Definición. Sea D un anillo con división. Si f es un elemento de D[x] y c un
elemento de D, diremos que c es una ráız derecha de f si cumple que f [(c) = 0.
También podemos definir la evaluación izquierda de f , f[ : D → D, como
f[(a) =
n∑
i=0
aifi.
Ésta, le da sentido a las ráıces izquierdas.
Las propiedades que se exhibirán tienen el mismo valor para los dos tipos
de ráıces, basta introducir, por analoǵıa, los resultados ya expuestos, aśı, sólo
se trabajará con la función, f [. Como resultado de esto, la notación se sim-
plificará y f(a) querrá decir f [(a), mientras que al usar el término ráız nos
estaremos refiriendo a una ráız derecha.
Se debe tener especial cuidado en las evaluaciones de un producto entre
polinomios, pues si g y h son polinomios sobre D y c es un elemento de D, no
es posible afirmar que
(gh)(c) = g(c)h(c),
26
aunque es verdadera la igualdad
(g + h)(c) = g(c) + h(c).
Supongamos ahora que h(c) = 0, de la definición del producto entre polinomios,
(gh)(c) =
m+n∑
i=0
 i∑
j=0
gihi−j
 ci
=
m∑
i=0
n∑
j=0
gihjc
i+j
=
m∑
i=0
gi
 n∑
j=0
hjc
j
 ci
= 0,
siendo m = ∂(g) y n = ∂(h). Hemos probado el
Teorema 6.1. Sea D un anillo con división, sean g y h elementos de D[x] y
sea c una ráız de h. Entonces c también es una ráız de gh.
Corolario. Sea f un elemento de D[x] y sea c un elemento de D. Entonces,
(x− c)|f si y sólo si f(c) = 0.
Demostración. Sólo es necesario observar que c es ráız del polinomio x− c, lo
demás es consecuencia directa del teorema. �
En este punto, es necesario enfocar la atención hacia el anillo con división
que nos incumbe: el anillo con división de los cuaternios reales. La teoŕıa hasta
ahora desarrollada, nos permite probar un hecho interesante de H.
Proposición 6.1. Sean f y g elementos de H[x]. Entonces,
fg = ḡf̄ .
Demostración. Solamente es necesario observar que
(fg)i =
i∑
j=0
ḡi−j f̄j
=
i∑
j=0
ḡj f̄i−j
= (ḡf̄)i. �
27
Teorema 6.2. Si f es un polinomio mónico sobre H, entonces f tiene una
ráız.
Demostración. Supongamos que n = ∂(f), entonces
(f̄f)i =
i∑
j=0
f̄jfi−j ;
si sucede que j = i − j, el producto f̄jfi−j es un número real; supongamos
ahora lo contrario, esto es j 6= i − j, en ese caso la expresión f̄jfi−j + f̄i−jfj
aparece en la suma y de nueva cuenta tenemos un real. Concluimos entonces,
que los coeficientes del polinomio f̄f son todos números reales.
Según el teorema fundamental del álgebra, podemos expresar,
f̄f = (x− c1) . . . (x− c2n)
para algunos números complejos ci. Pero f tiene una factorización prima de
polinomios sobre H, a decir f = q1 . . . qk, por lo que
f̄f = q̄k . . . q̄1q1 . . . qk.
Del teorema 5.5, debe existir un cuaternio real c tal que qk = x − c y en
consecuencia (x− c)|f , lo que implica que f(c) = 0. �
Es claro que, si f no es un polinomio mónico, el procedimiento también
garantiza una ráız para él. En conclusión, todo polinomio canónico sobre H
tiene una ráız.
28
Caṕıtulo 7
Ráıces elementales
Definición. Sea f un elemento de H[x]. Las funciones fα, fβ : R2 → H, se
definen de forma que
(fαx+ fβ)(u, v)
sea el residuo de la división derecha de f por x2 − ux+ v.
Teorema 7.1. Si f es un elemento de H[x] y c es un miembro de H, entonces
c es ráız de f si y sólo si
(fαc+ fβ)(u0, v0) = 0,
donde u0 = c+ c̄ y v0 = cc̄.
Demostración. Como c anula el polinomio x2 − u0x + v0, del teorema 6.1 te-
nemos
f(c) = (fαc+ fβ)(u0, v0).
De aqúı es inmediato el resultado. �
Definición. Sea f un elemento de H[x]. Definimos las funcionesMf : R2 → R
y Nf : R2 → R, como
Mf = τ1fαfα + fαfβ + fβfα
y
Nf = τ2fαfα − fβfβ ,
donde τ1 y τ2 son las proyecciones canónicas de R2. Una pareja (u0, v0) de
números reales se dice ráız elemental de f si
Mf (u0, v0) = 0 y Nf (u0, v0) = 0.
29
Definición. Sea f un elemento de H[x] y sea (u0, v0) una ráız elemental de f .
Una ráız c de f se dice asociada a (u0, v0) si
c2 − u0c+ v0 = 0.
Teorema 7.2. Si f es un elemento de H[x] y c es una ráız de f , entonces
existe una ráız elemental de f a la que está asociada c.
Demostración. Definamos a la pareja (u0, v0) de números reales por u0 = c+ c̄
y v0 = c̄c, como (fαc+ fβ)(u0, v0) = 0, entonces
(fαfαc+ fαfβ + c̄fαfα + fβfα)(u0, v0) = 0
y
(c̄fαfαc+ fβfαc− fβfαc− fβfβ)(u0, v0) = 0.
Las anteriores ecuaciones nos llevan directamente a
Mf (u0, v0) = 0 y Nf (u0, v0) = 0.
�
Corolario. Cualquier otra ráız elemental a la que c esté asociada, genera un
residuo de f nulo.
Demostración. Tomemos (u1, v1) como una ráız elemental a la que está aso-
ciada c y supongamos que fα(u1, v1) 6= 0. Como es posible obtener expresiones
para u0 y v0, tenemos
(u0fαfα + fαfβ + fβfα)(u1, v1) = 0
y
(v0fαfα − fβfβ)(u1, v1) = 0.
Al ser (u1, v1) una ráız elemental, es inmediato que (u1, v1) = (u0, v0). �
Proposición 7.1. Si f es un elemento de H[x] con ∂(f) ≥ 2, entonces
fα(u, v) =
n−1∑
i=0
n−1∑
j=0
aiju
ivj y fβ(u, v) =
n−1∑
i=0n−1∑
j=0
biju
ivj ,
para aij y bij elementos de H.
30
Demostración. Se procederá por inducción sobre el grado de f . Si ∂(f) = 2,
escribiendo f = f0 + f1x+ f2x
2, obtenemos las expresiones
fα(u, v) = uf2 + f1 y fβ(u, v) = −vf2 + f0
y éstas, resultan ser lo esperado.
Supongamos el resultado válido para los polinomios de grado n y tomemos
∂(f) = n + 1. Si escribimos f =
∑n+1
i=0 fix
i, al polinomio g =
∑n+1
i=1 fix
i−1 lo
expresamos como g = q(x2−ux+v)+gα(u, v)x+gβ(u, v), para algún polinomio
q sobre H y tomando u y v reales. Aśı,
f = q(x2 − ux+ v)x+ gα(u, v)x2 + gβ(u, v)x+ f0
= [qx+ gα(u, v)](x
2 − ux+ v) + ugα(u, v)x− vgα(u, v) + gβ(u, v)x+ f0
= [qx+ gα(u, v)](x
2 − ux+ v) + [ugα(u, v) + gβ(u, v)]x+ [−vgα(u, v) + f0],
de donde
fα(u, v) = ugα(u, v) + gβ(u, v) y fβ(u, v) = −vgα(u, v) + f0
lo que prueba la proposición. �
Con la anterior proposición, podemos resaltar que las funciones Mf y Nf
son polinomios en dos variables con coeficientes reales. El tema es tratado con
detalle en el libro de Alexander Kurosh [10] y, con los resultados expuestos en
dicho texto, se puede afirmar que el número de ráıces elementales es finito. Se
asumirá esto de aqúı en adelante.
Teorema 7.3. Sea f un elemento de H[x] y sea (u0, v0) una ráız elemental
de f . Si fα(u0, v0) 6= 0, entonces existe una y sólo una ráız de f asociada a
(u0, v0).
Demostración. Definimos
c =
(
1
fα
fβ
)
(u0, v0).
Al ser (u0, v0) una ráız elemental, se comprueba que
c+ c̄ = u0 y c̄c = v0
y de aqúı c es una ráız asociada a (u0, v0).
Supongamos que c fuera otra ráız asociada a (u0, v0), entonces debe cumplir
con (fαc
′ + fβ)(u0, v0) = 0 y debido a que fα(u0, v0) 6= 0, resulta c′ = c. �
31
El teorema anterior hace una sugerencia importante acerca de los polinomios
cuadráticos. Una descripción de las ráıces de los polinomios mónicos de grado
dos con coeficientes reales, aparece en el
Lema 7.1. Sea f un elemento de H[x] y sean u y v números reales. Si tomamos
f = x2 − ux+ v, entonces el número de ráıces de f es infinito si u2 < 4v. En
caso contrario, el número de ráıces es dos.
Demostración. Tomemos primero c como un cuaternio real y definamos el cua-
ternio d = c− 12u, entonces
f(c) = c2 − uc+ v
= d2 − 1
4
u2 + v.
Aśı, basta resolver la ecuación d2 − 14u
2 + v = 0 para encontrar una ráız de
f . Tomemos d = d0 + d1i + d2j + d3k como un cuaternio real, utilizando el
producto e igualdad entre cuaternios, obtenemos
d20 − d21 − d22 − d23 =
1
4
u2 − v
d0d1 = d0d2 = d0d3 = 0.
Supongamos que u2 < 4v, entonces d0 = 0 pues el cuadrado de un número
real no puede ser negativo. Aśı, los cuaternios que cumplan d21+d
2
2+d
2
3 = v− 14u
2
serán ráıces del polinomio.
Si u2 ≥ 4v, sin importar si d0 = 0 o d0 6= 0, tenemos que d1 = d2 = d3 = 0 y
las ráıces se pueden determinar por d20 =
1
4u
2−v. Esto termina la prueba. �
Teorema 7.4. Sea f un polinomio sobre H. Entonces, f tiene un número
infinito de ráıces si y sólo si alguna de las ráıces elementales, (u0, v0), que
anulan a fα, cumple u
2
0 < 4v0.
Demostración. Supongamos (u0, v0) como una ráız elemental que anula a fα,
esto es fα(u0, v0) = 0. Si u
2
0 < 4v0, entonces el polinomio x
2−u0x+v0 tiene un
número infinito de ráıces y, al ser (u0, v0) una ráız elemental, éstas coinciden
con las de f .
Supongamos ahora que f tiene una cantidad infinita de ráıces. Como el
número de ráıces elementales es finito y las ráıces elementales que no anulan a
fα tienen asociada una y sólo una ráız, debe existir una ráız elemental (u0, v0)
tal que fα(u0, v0) = 0. Al suponer u
2
0 ≥ 4v0, las ráıces constituyen, de nueva
cuenta, un conjunto finito, por lo que debemos asumir lo contrario, es decir
u20 < 4v0. �
32
Conclusiones
Al introducir los polinomios y el producto entre ellos sobre un anillo con
división por analoǵıa a los mismos conceptos en un campo, fue posible extender
el algoritmo de la división. Sin embargo, la no conmutatividad tiene como
consecuencia la existencia de dos algoritmos distintos. Se logró probar con
esto, un criterio para determinar la igualdad de los cocientes a pesar de ser los
residuos resultantes diferentes.
La existencia de los algoritmos de la división izquierdo y derecho, trae co-
mo un hecho natural las definiciones de divisibilidad izquierda y divisibilidad
derecha, y con éstas los conceptos de mı́nimo común múltiplo y máximo común
divisor para cada forma de divisibilidad. Aunque solamente se trabajó con la
división derecha sin hacer mención a la izquierda, todos los resultados se pueden
reformular sin mayor problema, un ejemplo de esto consiste en utilizar ideales
derechos para la divisibilidad izquierda en lugar de ideales izquierdos.
Se logró probar que un polinomio sobre un anillo con división se puede ex-
presar como el producto de polinomios primos y se mostró, a través de ejemplos,
que esta expresión puede no ser única. Sin embargo, la transformada de Ore (re-
sultado de la existencia de los mı́nimos comunes múltiplos) permitió observar,
que las diferentes factorizaciones están formadas por factores semejantes. Como
consecuencia de esto, se pudo concluir que los polinomios sobre los cuaternios
reales tienen siempre una ráız.
El problema de obtener las ráıces de un polinomio sobre los cuaternios
reales, se sustituyó por resolver un sistema de polinomios reales en dos variables.
Las soluciones de dicho sistema; las ráıces elementales, deben tener asociada
una ráız, dos ráıces o un número infinito de ráıces de un polinomio. Con esto, el
número de ráıces de un polinomio queda determinado por su número de ráıces
elementales. Según Ivan Niven [12], este número no puede exceder (2n − 1)2,
cuando el grado del polinomio es n.
33
Bibliograf́ıa
[1] Birkhohff, G., y MacLane, S. Álgebra Moderna, cuarta ed. Editorial
Vicens-Vives, 1970.
[2] Brand, L. The roots of a quaternion. The American Mathematical
Monthly 49 (1942), 519–520.
[3] Cohen, N., and De Leo, S. The quaternionic determinant. The Elec-
tronic Journal of Linear Algebra 7 (2000), 100–111.
[4] De Leo, S., Scolarici, G., and Solombrino, L. Quaternionic eigen-
value problem. Journal of Mathematical Physics 43 (2002), 5815–5829.
[5] Eilenberg, S., and Niven, I. The “Fundamental Theorem of Algebra”
for quaternions. Bulletin of American Mathematical Society 50 (1944),
246–248.
[6] Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Algebra, seventh ed. Addison-
Wesley, 2002.
[7] Herstein, I. N. Álgebra Moderna, segunda ed. Editorial Trillas, 1990.
[8] Hoffman, K., y Kunze, R. Álgebra Lineal, segunda ed. Prentice Hall,
1990.
[9] Johnson, R. E. On the equation χα = γχ+ β over an algebraic division
ring. Bulletin of American Mathematical Society 50 (1944), 902–905.
[10] Kurosch, A. G. Curso de Álgebra Superior, primera ed. Editorial MIR,
1987.
[11] Lang, S. Undergraduate Algebra, third ed. Springer, 2004.
34
[12] Niven, I. Equations in quaternions. The American Mathematical Monthly
48 (1941), 654–661.
[13] Niven, I. The roots of a quaternion. The American Mathematical Monthly
49 (1942), 386–388.
[14] Ore, Ø. Theory of noncommutative polynomials. Annals of Mathematics
Second Series 34 (1933), 480–508.
[15] Rotman, J. J. A First Course in Abstract Algebra, third ed. Prentice
Hall, 2006.
[16] Shilov, G. E. Linear Algebra, first ed. Dover Publications, 1971.
[17] Topuridze, N. On the roots of polynomials over division rings. Georgian
Mathematical Journal 10 (2003), 745–762.
[18] Topuridze, N. On roots of quaternion polynomials. The Journal of
Mathematical Sciences 160 (2009), 843–855.
[19] Valadez Rodŕıguez, M. Álgebra Lineal. Productos Internos y Teoremas
de Estructura, segunda ed. Ediciones Acatlán, 2003.
[20] Warner, S. Modern Algebra, first ed. Dover Publications, 1990.
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	Portada
	Resumen 
	Índice General
	Capítulo 1. Cuaternios
	Capítulo 2. Polinomios Canónicos
	Capítulo 3. Algoritmos de División
	Capítulo 4. Idealesy Divisibilidad
	Capítulo 5. Factorización Prima
	Capítulo 6. Raíces
	Capítulo 7. Raíces Elementales
	Conclusiones
	Bibliografía