Copia de Geometría en el Espacio Semana 19b Resolución - Patricia Torres

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PRE
UNIVERSITARIO
19b
GEOMETRÍA EN EL 
ESPACIO
Problemas del 01 al 22
MATERIAL DE 
ESTUDIO
PROBLEMA 01
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. Si dos rectas son coplanares, entonces las rectas son paralelas.
II. Si una recta L es perpendicular a un plano, entonces todas las rectas
paralelas a la recta L son perpendiculares al plano.
III. Si un poliedro es regular, entonces en cada vértice existen igual
número de caras y aristas.
A) VFV B) FVV C) VVV
D) FFF E) VFF
RESOLUCIÓN 01
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones
I. Si dos rectas son coplanares, entonces las rectas son paralelas.
II. Si una recta L es perpendicular a un plano, entonces todas las rectas
paralelas a la recta L son perpendiculares al plano.
III. Si un poliedro es regular, entonces en cada vértice existen igual
número de caras y aristas.
Las rectas pueden ser
secantes.
I. FALSO
II.
Por teorema
VERDADERO
III.
Por definición de poliedro
regular, los ángulos poliedros
son congruentes
VERDADERO
Clave: B
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PROBLEMA 02
Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B, de baricentro G,
ubicado en un plano H, se traza la perpendicular GP a H, además se
traza la perpendicular PQ a BC (Q ∈ BC), si mACB = mGPQ y AC =
 u, entonces la longitud de PQ (en u) es.
A)

2
B)

3
C)
2
3
D)

4
E)
3
4
Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B, de baricentro G,
ubicado en un plano H, se traza la perpendicular GP a H, además se
traza la perpendicular PQ a BC (Q ∈ BC), si mACB = mGPQ y AC = 
u, entonces la longitud de PQ (en u) es.
Clave: C
Piden: PQ = x
∆GPQ ∆ACB :
Se traza la mediana CM
C
x
GQ 2a→ =
A
B
QM
G
P

 2a x
6a
=
∴ x =

3

Por teorema de las 3⊥:
GQ BC→ ⊥
3a
3a 2a
2n
n
RESOLUCIÓN 02
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A) 4,8 B) 4,9 C) 5,0
D) 5,1 E) 5,2
PROBLEMA 03 
Se traza BD ⊥ a la región triangular isósceles ABC donde m∠BAC = 120,
AB = 12m y BD = 8m. Calcule la distancia (en m) entre AD y BC.
RESOLUCIÓN 03 
Se traza BD ⊥ a la región triangular isósceles ABC donde m∠BAC = 120,
AB = 12m y BD = 8m. Calcule la distancia (en m) entre AD y BC.
Se traza el plano perpendicular a BC
x = 4,8
Clave: A A 
B C 
D 
• 30 
8 
M 
8 
12 
En el  TMA por relaciones métricas:
H 
/
/ 
x 
30 
/
/ 
12 
6 
T 
10 
Se proyecta BC en el plano: el punto M
Se proyecta AD en el plano: es AT
MH es la distancia x pedida
6(8) = 10x
PROBLEMA 04
ABC-DEF es un prisma regular, cuya cara lateral es una región
cuadrada, M y N son los puntos medios de AB y EF respectivamente.
Si la altura del prisma mide 4 u, entonces la distancia entre MN y CD
es
A) 1,45 B) 1,73 C) 2,0 D) 2, 73 E) 3
RESOLUCIÓN 04
Clave: B
ABC-DEF es un prisma regular, cuya cara lateral es
una región cuadrada, M y N son los puntos medios
de AB y EF respectivamente. Si la altura del prisma
mide 4 u, entonces la distancia entre MN y CD es
A
M
B C
D
E F
N
4
4
4
4
d MN;CD = x
B
N
C
2
A
M
2
2
4
x2
En ∆ABC: 
2x = 2 3
x = 3
●
●
PROBLEMA 05
Dos ángulos diedros consecutivos P – AB – Q y Q – AB – R miden 30
y 45 respectivamente. La región hexagonal regular CDEFGH,
contenida en la cara PAB, es proyectada sobre la cara QAB y esta a
su vez se proyecta sobre la cara RAB. Si CD = 4 u, entonces el área
(en u2) de la región poligonal proyectada sobre la cara RAB es
A) 3 2 B) 6 2 C) 9 2
D) 15 2 E) 18 2
RESOLUCIÓN 05
Clave: E
Dos ángulos diedros consecutivos P – AB – Q y Q – AB – R miden
30 y 45 respectivamente. La región hexagonal regular CDEFGH,
contenida en la cara PAB, es proyectada sobre la cara QAB y esta a
su vez se proyecta sobre la cara RAB. Si CD = 4 u, entonces el área
(en u2) de la región poligonal proyectada sobre la cara RAB es
A
B
P
Q
R
C
D
Teorema: SQ = (SP).cos30
SR = (SQ).cos45
 SR = (SP).cos30.cos45
SR = (6. 
42 3
4
).
3
2
.
2
2
 SR = 18 2
SP
SQ
SR
SP área de la región CDEFGH
SQ área de la región proyectada en la 
cara QAB
SR área de la región proyectada en la 
cara RAB
SR = ?
30
45
PROBLEMA 06
Un cuadrado ABCD y un triangulo equilátero BFC están contenidos en
planos perpendiculares. Si AB =4 u, entonces la distancia (en u) del punto
D al segmento que une los puntos medios de AB y FC es.
A) 2 2 B) 3 C) 3 2
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN 06
Un cuadrado ABCD y un triangulo equilátero BFC están contenidos en
planos perpendiculares. Si AB =4 u, entonces la distancia (en u) del
punto D al segmento que une los puntos medios de AB y FC es.
Clave: D
F
B
C
D
N
4
2
2
22
4
2
2 3
2 5
2 52
x
4
x = ?
Δ MDA : MD = 2 5
DC ⊥ CF
AB ⊥ BC
Δ NCD : ND = 2 5
Δ NBM : NM = 4
Δ NDM : isósceles
x2 + 22 = (2 5)2
x = 4
AM
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PROBLEMA 07
En un ángulo triedro O-ABC, los ángulos AOB, BOC y AOC miden 45, 60 y
45 respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo diedro opuesto a la
cara AOB?.
A) cos-1 (1/ 5) B) cos-1 (1/ 3) C) cos-1 (2/3) D) cos-1 (1/ 6)
E) cos-1 (2/5)
RESOLUCIÓN 07
Clave: A 
En un ángulo triedro O-ABC, los ángulos AOB, BOC y AOC miden 45, 60
y 45 respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo diedro opuesto a
la cara AOB?.
O
x
B
A
C
60
4545
a 2
a
a
∆ABC: 
2a
a 2
a 3
cosx = a/a 3
x = cos-1 (1/ 3)
m∠BAC = 90
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En un ángulo triedro de vértice O se ubican en cada arista
los puntos A, B y C . En el plano que contiene a la cara AOB
se construye el cuadrilátero ADBO no convexo en O, tal que
m∠BDA = m∠OCA, y m∠OAD = m∠CAO, se traza EF paralela
a DB , E es punto medio de BO y F un punto de AD. Si DB =
7u y EF = 5u ,entonces CO (en u) es
A) 3.0 B) 2.5 C) 1.0
D) 2.5 E) 4.0
PROBLEMA 08
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D
B
O
A
E
θ
a
7
F
a
5
x
C
En un ángulo triedro de vértice O se ubican en cada arista los puntos
A, B y C . En el plano que contiene a la cara AOB se construye el
cuadrilátero ADBO no convexo en O, tal que m∠BDA = m∠OCA, y
m∠OAD = m∠CAO, se traza EF paralela a DB , E es punto medio de
BO y F un punto de AD. Si DB = 7u y EF = 5u ,entonces CO (en u) es
. OC= x
. Se traza OH paralela a DB ( H 𝜖AD)
H
⟹ DBOH es un trapecio 
m∠OHA = m∠BDA= 
θ
.  OHA
m∠HOA = m∠COA= r
.  OCA
S ∠ = 180
⟹
r
r
≅  OCA Por ALA
⟹ x = 3OH= CO
3
. DBOH: EF =
AB+OH
2
⟹ 5 = 
7+OH
2
Clave: A 
.  OHA
OH = 3 
RESOLUCIÓN 08
PROBLEMA 09
En un poliedro convexo la suma de las medidas de los ángulos
internos de todas las caras es 2880, si al poliedro se le extraen
dos caras adyacentes la figura obtenida presenta 14 aristas,
entonces el número de caras del poliedro es
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN 09
Dato: Si = 2880
En un poliedro convexo la suma de las medidas de los ángulos
internos de todas las caras es 2880, si al poliedro se le extraen dos
caras adyacentes la figura obtenida presenta 14 aristas, entonces el
número de caras del poliedro es
360(V - 2) = 2880
V = 10
Al extraer dos caras adyacentes
la cantidad de aristas disminuye
en uno, entonces:
A – 1 = 14
A = 15
Teorema de Euler:
C + V = A + 2
C + 10 = 15 + 2
∴ C = 7
Clave: C
PROBLEMA 10
En un hexaedro regular ABCD – EFGH, los puntos N y M son puntos
medios de DC y FG, respectivamente. Si O es el centro de la cara EFGH,
entonces la medida del ángulo que determinan las rectas AO y MN es
A) arc cos B) arc cos C) arc cos
D) arc cos E) arc cos
1
3
2
3
4
5
5
8
3
5
RESOLUCIÓN 10
En un hexaedro regular ABCD – EFGH, los puntos N y M son
puntos medios de DC y FG, respectivamente. Si O es el centro de
la cara EFGH, entonces la medida del ángulo que determinan las
rectas AO y MN es
Clave:B 
A
B
G
C
HE
F
O
D
M
a 2
2
a
a
N
a 6
2
Trazar por O una paralela a MN y es DO.
Sea a la longitud de la arista del hexaedro
regular
AO = OD =
a 6
2
 AOD:
a2 =
a 6
2
2
+
a 6
2
2
− 2
a 6
2
a 6
2
cos a
a2 =
6a2
4
+
6a2
4
−
6a2
2
cos a
3 cos a = 2 cos a =
2
3
a = arc cos
2
3
aº
22
PROBLEMA 11
En un prisma hexagonal regular, la distancia entre dos
diagonales cruzadas ortogonales y congruentes es l. ¿Cuál es
el volumen del sólido determinado por el prisma hexagonal?
A)
3l3
2
B) 3l3 C) 5l
3
2
D)
9l3
2
E) 6l3
23
C D
Sea V el volumen del sólido
determinado por el prisma hexagonal
regular.
Las diagonales AC y FD son
cruzadas y congruentes.
Los planos ACC y FFD son paralelos.
Luego, AF = l y AC⊥AC.
AACC es un cuadrado → AA = l 3
Finalmente, V = 6
l2
4
3 l 3
V =
9l3
2
|RESOLUCIÓN 11
En un prisma hexagonal regular, la distancia entre dos
diagonales cruzadas ortogonales y congruentes es l. ¿Cuál es
el volumen del sólido determinado por el prisma hexagonal?
l 3
A
B
F
E
A
B
C D
E
F
l
l 3
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Todas las caras de un tronco de prisma recto son regiones
trapeciales.
II. No existe un tronco de prisma recto que tenga una sola cara lateral
trapecial.
III.No existe un tronco de prisma recto de bases congruentes.
A)VFF B) FVF C)FFV D)VVV E)VVF
PROBLEMA 12
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Todas las caras de un tronco de prisma recto son regiones trapeciales.
II. No existe un tronco de prisma recto que tenga una sola cara lateral
trapecial.
III. No existe un tronco de prisma recto de bases congruentes.
RESOLUCIÓN 12
I. Falso
Algunas caras pueden 
ser triangulares.
II. Falso III. Verdadero
Si las bases son 
congruentes también 
serian paralelos, lo cual 
es una contradicción.
Si existe, algunas caras 
pueden ser triangulares.
Clave: C 
PROBLEMA 13
En una pirámide cuadrangular regular, el punto medio de la
altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 3 u y 4
u respectivamente. Entonces la longitud de la altura de la
pirámide es
A) 9 3 B) 10 2 C) 11 2
D) 12 2 E) 13 2
En una pirámide cuadrangular regular, el punto medio de la altura dista
de una cara lateral y de una arista lateral 3 u y 4 u respectivamente.
Entonces la longitud de la altura de la pirámide es
Clave: D 
RESOLUCIÓN 13
t
t
34
V
A
B C
D
O
8
6
a
2a
P
E
F
M
I
T
VO = 2t = ?
Por teorema de los puntos medios:
OE = 8OT = 6 y
Sea: AD = 2a OM = a y AO = a 2⟹
∆VOM:
1
62
=
1
a2 +
1
4t2
……(1)
∆VOA:
1
82
=
1
2a2
+
1
4t2
……(2)
De (1) y (2): t = 6 2
∴ VO = 2t = 12 2
28
PREGUNTA 14
En un tronco de pirámide regular triangular, las aristas laterales miden
12 u y determinan con la base mayor ángulos de 60. Si los lados de la
base menor miden 2 3 u, calcule (en u3) el volumen del sólido limitado
por el tronco de pirámide.
A) 348 B) 358 C) 368
D) 378 E) 388
29
En la figura O y O’ son baricentros de la bases
y resulta:
En un tronco de pirámide regular triangular, las aristas laterales
miden 12 u y determinan con la base mayor ángulos de 60. Si los
lados de la base menor miden 2 3 u, calcule (en u3) el volumen
del sólido limitado por el tronco de pirámide.
Clave: D
RESOLUCIÓN 14
Si AB = BC = AC = ,
Como AO = 8,
A
D 2 3
DO′=
2
3
2 3.
3
2
= 2 = HOAH =
12
2
= 6,
AO =
2
3

 3
2
=
 3
3
 3
3
= 8  = 8 3
También: h =
12 3
2
= 6 3
El volumen del sólido será entonces :
V =
h
3
S + S′ + SS′ (S y S’ son áreas de
las bases)
V =
6 3
3
(8 3)2 3
4
+
(2 3)2 3
4
+ 48 33 3 V =
6 3
3
63 3 = 378 u3


F
B
M
C
O
6 H 2
O’
60
3012
h
E
PROBLEMA 15 
En un cilindro de revolución, AB es una generatriz, BC es diámetro de una
base de centro O. Si el área de la superficie total es 88π u2 y el área de la
región triangular AOC es 20 u2, entonces AO (en u) es
A) 29 B) 2 101 C) 3 24
D) 2 20 E) 49
RESOLUCIÓN 15 
En un cilindro de revolución, AB es una generatriz, BC es diámetro de una
base de centro O. Si el área de la superficie total es 88π u2 y el área de la
región triangular AOC es 20 u2 , entonces AO (en u) es
Clave: B 
CB O
A
x
Calcule AO = x 
R
2πR2 + (2πR)h = 88π
Dato: ST = 88π
R2 + Rh = 44 …(1)

De (1) y (2) 
AAOC = 
Rh
2 Rh = 40 …(2)
R
h
20 = 
Rh
2
R = 2
ABO: teorema de Pitágoras
x = 2 101
AAOC = 20
ST = 88π
h = 20
PROBLEMA 16
En un tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular, los ejes mayores
de las bases elípticas son perpendiculares; las generatrices mínima y
máxima miden a y b (a < b) y el ángulo que determinan el eje del tronco de
cilindro oblicuo con el eje mayor de una base elíptica mide 75. Determine el
volumen del sólido limitado por el tronco de cilindro.
A)
𝜋
64
(𝑏 − 𝑎)²(𝑎 + 𝑏) B)
𝜋
128
(𝑏 − 𝑎)²(𝑎 + 𝑏) C)
𝜋
32
(𝑏 − 𝑎)²(𝑎 + 𝑏)
D)
𝜋
8
(𝑏 − 𝑎)²(𝑎 + 𝑏) E)
𝜋
4
(𝑏 − 𝑎)²(𝑎 + 𝑏)
En un tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular, los ejes
mayores de las bases elípticas son perpendiculares; las generatrices
mínima y máxima miden a y b (a < b) y el ángulo que determinan el eje
del tronco de cilindro oblicuo con el eje mayor de una base elíptica mide
75. Determine el volumen del sólido limitado por el tronco de cilindro.
RESOLUCIÓN 16
Clave: B
En los triángulos rectángulos AOB y COD (15, 75):
Luego: OH =
a
4
; OM =
b
4
2r =
b
4
−
a
4
, entonces r =
b−a
8
V = 𝜋r2 .EJE
O
B
D
C
A
a
rr
H
75
b
M
V =
𝜋
128
b − a 2(a+ b)
15
V =
𝜋
64
b − a 2
a+ b
2
Trazar OH ⊥ CD , OM ⊥ AB
PROBLEMA 17
En una esfera de longitud de radio R, está inscrito un cono circular recto
de capacidad máxima. Calcule la longitud de la altura del cono.
A)
R
3
B)
2R
3
C)
3R
2
D)
4R
3
E)
R
4
RESOLUCIÓN 17
En una esfera de longitud de radio R, está inscrito un cono circular
recto de capacidad máxima. Calcule la longitud de la altura del cono.
Clave: D
Calcule la longitud de la altura del cono: BH = R + h
A
B
CH
O
r
R
Teorema: Vcono = 
π r2(R + h)
3
. . . (1)
R
h
R
BH = R + 
R
3
= 
4R
3
(2) en (1): V = 
π R2 − h2 (R + h)
3
= 
π(R − h) R + h
2
3
El cono es de capacidad máxima
△OHC, teorema de Pitágoras
R2 = r2 + h2 ⇒ r2 = R2 - h2 . . . (2)
Teorema: 
R + h
2
= 
R − h
1
⇒ h = 
R
3
r
PROBLEMA 18
En un tronco de cono de revolución, dos generatrices
diametralmente opuestas son perpendiculares, las áreas de las
bases están en la relación de 1 a 4. Si el radio de la base mayor
mide 6. Halle la capacidad del trono de cono.
A) 59 π B)60π C) 61 π D) 62 π E) 63 π
RESOLUCIÓN 18
En un tronco de cono de revolución, dos generatrices diametralmente
opuestas son perpendiculares, las áreas de las bases están en la
relación de 1 a 4. Si el radio de la base mayor mide 6. Halle la
capacidad del trono de cono.
A
CB
DO
O’r=3
R=6
3=h
3
90°
Se cumple: 
Q =
h
3
π(R2 + r2 + Rr)
Reemplazando:
Q =
3
3
𝜋(62 + 32 + 6(3))
Q = 63𝜋
PROBLEMA 19
Dado un huso esférico de área S y ángulo diedro de medida 60, calcule el
área de la superficie esférica de mayor radio, tangente al huso y a las caras
de dicho diedro.
A)
7S
3
B)
5S
3
C)
4S
3
D)
S
3
E)
2S
3
RESOLUCIÓN 19
Clave: E 
 R2 = 
3S
2
R
S
O
A
B O
A
B
T30
30
M
N
r
2r
r
Shuso = S
4R2
60
360
= S
(3r)2 = 
3S
2
r2. = 
S
6
 Ssup. esf. = 
2S
3
r
Dado un huso esférico de área S y ángulo diedro de medida 60, calcule el
área de la superficie esférica de mayor radio, tangente al huso y a las
caras de dicho diedro.
Un dodecágono regular ABCD… está inscrito en una
circunferencia de centro O. El volumen del sector esférico
generado al girar el sector circular AOB, alrededor de la recta
OC, es (2 + 3) u3. Calcule el volumen (en u3) del anillo esférico
generado al girar el segmento circular AB, alrededor del mismo
eje OC.
A) 1/4 B) 1/2 C) 1
D) 3/2 E) (2 - 3)
PROBLEMA 20
Un dodecágono regular ABCD… está inscrito en una circunferencia
de centro O. El volumen del sectoresférico generado al girar el
sector circular AOB, alrededor de la recta OC, es (2 + 3) u3. Calcule
el volumen (en u3) del anillo esférico generado al girar el segmento
circular AB, alrededor del mismo eje OC.
RESOLUCIÓN 20
Clave: A

2
3
R2h = (2 + 3) … (1) Dato: Vsect. esf. AOB = (2 + 3) u
3
30
30R
H
F
h
Se pide: Van. esf. AB  Van. esf. AB = 
1
6
(AB)2h
Van. esf. AB = 
1
6
(R 2 − 3)2h
Van. esf. AB = 
1
6
R2(2 − 3)h … (2)
De (1) y (2): Van. esf. AB = 1/4
A
B
C
D
O
Parte del sector 
esférico generado
Parte del anillo 
esférico generado
PROBLEMA 21
Hallar el área de la superficie que se genera al girar un hexágono regular 
de lado a ,alrededor de un eje que contiene a un lado
A) 3𝜋𝑎2 3 B) 4𝜋𝑎2 3 C) 6𝜋𝑎2 3
D) 8𝜋𝑎2 3 E) 9𝜋𝑎2 3
Hallar el área de la superficie que se genera al girar un hexágono 
regular de lado a ,alrededor de un eje que contiene a un lado RESOLUCIÓN 21
Clave: C 
a
h
O
L
Aplicando el Teorema de Pappus :
S = (perímetro hexágono )* 2𝜋ℎ = 6𝑎 ∗ 2𝜋(
𝑎
2
3)
S = 6𝜋𝑎2√3)
44
PREGUNTA 22
Una región triangular equilátera, de lado 6a; L es una recta
coplanar con ABC, paralela con AC y contiene a B. Hallar el
volumen del sólido generado por la rotación de la región ABC
alrededor de L.
A) 84  a3 B) 60  3 a3 C) 90  a3
D) 108  a3 E) 72  3 a3
45
G: baricentro
Una región triangular equilátera, de lado 6a; L es una recta
coplanar con ABC, paralela con AC y contiene a B. Hallar el
volumen del sólido generado por la rotación de la región ABC
alrededor de L.
Clave: B
RESOLUCIÓN 22
V: volumen del sólido generado
por ABC
GB =
2
3
.
6a
2
3 = 2a 3
V =
(6a)2 3
4
.2 .2a 3
V = 108a3
A
C
G
6a
L
B