Enseñanza de la aritmetica - Martín Nuñez

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Una propuesta metodológica
para Educación Básica.
Clemencia García de Clemente
índice
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1: LOS NÚMEROS
Clasificación
Desarrollo del concepto de número
Inicios del concepto de número
Desarrollo de tas habilidades de conteo
Actividad Sugerida
Significado del confeo
Otros usos de tos símbolos numéricos
CAPÍTULO 2: SIGNIFICADO DE LA ADICIÓN Y LA SUSTRACCIÓN
DE NÚMEROS NATURALES
Construcción del significado de la adición
Interpretaciones de la adición
Actividad Sugerida
Significados en ta comparación
Construcción del significado de ta sustracción
interpretaciones de la sustracción
Actividad Sugerida
CAPÍTULO 3: SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Banco Decimal
Construcción de números con el Banco Decimal
Actividad Sugerida
Valor absoluto y valor retattvo de un dígito
Actividad Sugerida
Comparación de números naturales
7
8
9
10
10
12
12
15
17
18
19
20
22
23
24
29
31
33
35
39
40
42
42
CAPÍTULO 4: OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Adición de números naturales
Actividad Sugerida
Sustracción de números naturales
Actividad Sugerida
Multiplicación de números naturales
Algoritmo de la multiplicación
Método de la rejilla
Actividad Sugerida
División de números naturales
Actividad Sugerida
División inexacta
Algoritmo de la división
Actividad Sugerida
Propiedades de las operaciones con números naturales
Propiedad conmutativa de la adición
Propiedad asociativa de la adición
Elemento neutro de la multiplicación
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Propiedad asociativa de la multiplicación
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adidón
CAPÍTULO 5: DIVISIBILIDAD
Construcción del conjunto de los factores o divisores de un número
Actividad Sugerida
Criterios de divisibilidad
*
Actividad Sugerida
CAPÍTULO 6: POTENCIACIÓN
Concepto de potenciación
Actividad sugerida
Método de descomposición de un número en el producto de sus factores
primos
Método del árbol de factores
Actividad Sugerida
Máximo común divisor de dos o más números (M.C.D.)
Mínimo común múltiplo de dos o mas números (m.c.m)
45
45
49
50
53
54
57
57
60
61
63
64
65
68
69
72
73
74
75
75
77
79
80
81
82
85
87
87
88
89
91
92
92
94
Método practico para calcular el M.C.D y el m.c.m de dos o más números
Actividad Sugerida
CAPÍTULO 7: FRACCIONES
Concepto de fracción
Actividad Sugerida
Fracciones impropias
Número Mixto
Actividad Sugerida
Fracción equivalente
Construcción de tracciones equivalentes
Construcción de una fracción equivalente a otra de denominador conocido
Actividad Sugerida
Simplificación de fracciones
Actividad Sugerida
Comparación de fracciones
Comparación de fracciones de igual denominador
Comparación de fracciones con igual numerador
Actividad Sugerida
Comparación de fracciones diferentes
Comparación de fracciones con -^
Actividad Sugerida
99
99
102
103
105
108
110
111
113
114
115
lió
116
117
118
118
119
120
122
CAPITULO 8: OPERACIONES CON FRACCIONES
Adición de fracciones
Sustracción de fracciones que tienen el mismo denominador
Adición de fracciones con diferente denominador
Sustracción de fracciones con diferente denominador
Adición de más de dos fracciones con diferente denominador
Actividad Sugerida
Multiplicación de fracciones
Multiplicación de un número natural por una fracción
Multiplicación de una fracción por un número natural
Actividad Sugerida
Multiplicación de dos fracciones
Actividad Sugerida
Multiplicación de fracciones impropias
125
125
126
127
128
129
130
132
132
133
135
135
138
139
Multiplicación de números mixtos
Actividad Sugerida
Fracciones inversas
Actividad Sugerida
Multiplicación de más de dos fracciones
Actividad Sugerida
División de fracciones
Operaciones combinadas con fracciones
Actividad Sugerida
CAPÍTULO 9: NÚMEROS DECIMALES
Fracción decimal
Número decimal
Escritura de un número decimal
Actividad Sugerida
Expresión decimal de una fracción
Actividad Sugerida
Decimales Equivalentes
Comparación de números decimales menores que la unidad
Operaciones con números decimales
Adición con decimales
Actividad Sugerida
Sustracción con decimales
Actividad Sugerida
Muftiplicación con decimales
Actividad Sugerida
División con decimales
División de un número decimal entre un número natural
Actividad Sugerida
División de un número natural entre un número decimal
Actividad Sugerida
División de un número decimal entre otro número decimal
Actividad Sugerida
Multiplicación de un número natural por la unidad seguida de ceros
(potencias de 10)
División de un número natural por la unidad seguida de ceros
Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros
Actividad Sugerida Multiplicación de números mixtos
140
141
141
143
143
146
147
152
153
155
155
156
158
160
160
162
163
163
166
166
167
167
168
169
174
175
175
177
178
181
181
183
184
185
185
186
División de un número decimal por la unidad seguida de ceros 186
Actividad Sugerida 187
CAPÍTULO 10: PORCENTAJE 189
Razón 189
Proporción Geométrica ] 91
Propiedad fundamentai de las proporciones 193
Actividad Sugerida 19á
Regla de tres simple 197
Actividad Sugerida 197
Porcentaje 199
Diferentes situaciones en las que utilizamos porcentaje 201
Actividad Sugerida 203
CAPÍTULO 11: OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN 20£
Numeral 205
Actividad Sugerida 206
Sistema de numeración de Conteo 207
Sistema de numeración Egipcio 208
Sistema de numeración Romano 21C
Sistema de numeración Maya 212
Sistema de numeración Hindú Arábico 216
Actividad Sugerido 218
Sistemas de numeración de base distinta de diez 219
Sistema de numeración de base 2 (binario) 220
Actividad Sugerida 224
Sistema de numeración de base 5 (quinario) 225
Actividad Sugerida 230
ÍNDICE ALFABÉTICO 233
CUADRÍCULA
Introducción
Este libro no es sobre matemática, pero sí sobre cómo
enseñarla a los niños.
Enseñando a enseñar Aritmética, fue escrito para satisfacer
una necesidad muy importante: ayudar a los docentes de los
primeros seis grados de básica, a entender mejor la matemática
que tienen que enseñar.
Si se sabe cómo se originó este libro se pueden entender
mejor sus objetivos. La principal razón para elaborarlo fue la firme
creencia de la autora de aue nadie puede explicar lo que no
entiende del todo. La motivación para escribirlo nació,
fundamentalmente, de la experiencia con docentes en ejercicio,
al ofrecerles talleres de capacitación, en los cuales siempre se
notaron sus ansias por entender el porqué de las normas, la razón
de algunos procesos, el significado de algunos conceptos, el
origen de algunas de las fallas de sus alumnos, etc. Todos estos
detalles, y muchos más, clamaron por la necesidad de
ofrecerles, en impreso, los modelos y métodos que se les
brindaban en los talleres.
El gran reto en la escritura de un libro para la enseñanza
en las primeras etapas de educación básica (1° a 6° grado), es
crear el balance apropiado entre las consideraciones
pedagógicas y aquellas de tipo teórico y de naturaleza
abstracta. Aunque este texto está focalizado, en primer lugar, a la
enseñanza de contenido y al uso extensivo de métodos y
diagramas, persigue tres objetivos: proveer ¡deas y modelos para
la enseñanza de la aritmética; asistir a los estudiantes de
educación integral en la comprensión de conceptos
matemáticos; y ayudarlos a conectar y recordar ideas y
contenidos matemáticos previamente estudiados.
Además de esos objetivos, la presentación de estos
contenidos en forma sencilla y con un vocabulario, en ocasiones
Introducción
0
muy poco formal, busca ayudar a aquellos padres que
necesitan aclararle conceptos y/o explicarte algún proceso a sus
hijos, sin sobrepasar los límites del nivel en el que éste se
desempeña.
La mente de los niños está ávida a razonar, a entender el
"porqué" para luego imitarlo. Entonces, ¿por qué no aprovechar
esa curiosidad en vez de hacerles repetir de memoria una serie
de pasos?
El objetivo principal de esta obra esofrecer una visión de la
aritmética que se enseña, proponiendo modelos e ideas que
ayuden al docente a entender los conceptos y procesos
matemáticos y a transmitirlos a los niños de tal manera que para
ambos partes, docente y niño, sea placentera la experiencia con
la matemática del curricula escolar. Para ello, además, se puso
especial interés en resaltar la aplicación de los diferentes
procesos a situaciones de la vida diaria a través de los problemas
resueltos y propuestos.
El libro consta de 11 capítulos que están organizados en
torno a los tópicos aritméticos del currículo de la educación
básica, al material y a los métodos instruccionales apropiados
para la enseñanza de dichos tópicos.
Los diversos contenidos se presentan, en su mayoría,
mediante actividades y orientaciones tal como las que se
utilizarían al enseñárselos a los niños. Se proponen actividades
que contribuyen a reforzar el aprendizaje de los conceptos y la
aplicación de los algoritmos y propiedades estudiadas.
Al inicio de cada capítulo se señalan los objetivos que se
pueden lograr uno vez concluida la lectura y realización de las
actividades propuestas en él. Estos objetivos están redactados en
términos de logros sobre el cómo, con qué y cuándo enseñar los
diferentes tópicos. Asimismo, al final de cada capítulo, se ofrece
una autoevaluación con propósitos formativos.
Considerando dos hechos claves: por una parte las
recomendaciones del uso de juegos para la enseñanza de la
matemática, presentes en el actual diseño curricular; y por la
otra, los resultados favorables reportados por casi todos los
docentes que han aplicado los juegos contenidos en mi libro El
juego como método de enseñanza de la matemática;
Introducción
en cada uno de los capítulos se recomiendan los juegos
convenientes para el logro de la adquisición de las destrezas
respectivas. Estas recomendaciones se fundamentan, en primer
lugar, en las razones antes señaladas, y además, en la
posibilidad aue ofrece el uso de juegos en la enseñanza de la
matemática, no sólo de evitar la formación de actitudes
desfavorables, sino de mejorar actitudes negativas ya formadas.
A manera de ayuda visual, a lo largo del texto aparecen
destacados en recuadros azules conceptos, resumen de
procesos, normas y propiedades, para que éstos se consideren
como contenidos claves de cierre en las diferentes actividades.
A! final del libro se le ofrece a! usuario una cuadrícula, la
cual podrá reproducir, para ser utilizada como modelo didáctico
en dos ocasiones: como apoyo para el Sistema de Numeración
Decimal (como Banco Decimal), y para otros sistemas de
numeración de base diferente de diez.
AGRADECIMIENTOS
Muchos de los créditos de este libro deben ir a varios
colegas educadores cuya colaboración hizo posible la
consolidación de este libro,
Ellos tomaron buena parte de su valioso tiempo y
combinaron conocimientos matemáticos con las experiencias
vividas con docentes en ejercicio, para ofrecerme sugerencias
sobre la presentación de diversos contenidos, por lo que quiero
hacer público mi extenso agradecimiento a cada uno de ellos.
En primer lugar, a mis compañeras y amigas, las
profesoras Ana María Rodríguez y Tañía León, quienes aportaron
un valioso material, el cual me sirvió de base para la realización
de varios capítulos. Asimismo, al colega y amigo Luis Rojos quien
dedicó tiempo y esfuerzo en la búsqueda y selección de una
buena parte de los ejercicios propuestos en las Actividades
Sugeridas.
Muy en especia! quiero agradecer a mi compañero y gran
amigo, el profesor Rafael Eduardo Mendoza M., quien no sólo
aportó un preciado material para la mayor parte de los capítulos
de esta obro sino que además estuvo siempre presente con la
paciencia para releer cada uno de ios contenidos y ayudarme
Introducción
a adaptarlos al estilo más claro y uniforme posible. A él mi más
fraterno agradecimiento.
Quiero agradecer a la Universidad Nacional Abierta (UNA)
por seleccionar este libro como uno de los textos para los
estudiantes de la carrera Educación Integral, Espero se cumpla el
propósito que tuve al preparar esta obra: "ayudar a enseñar la
aritmética".
Más que agradecimiento es una manifestación de orgullo
el señalar los créditos que corresponden en este libro a mis hijos
mayores: Mauro y Rosa. El primero, sin ser un docente, lleva el
"maestro" en la sangre y en el corazón, y gracias al conocimiento
que tiene de los docentes de básica - por las múltiples
experiencias vividas en los talleres de capacitación para
docentes - tomó la trascripción de mis manuscritos y se avocó a
adaptar cada ejemplo, a reorganizar las instrucciones y a aclarar
las explicaciones, siempre con la idea de facilitar a los docentes
la enseñanza de cada contenido. Y a Rosa, que
afortunadamente para mí es una "pluma de oro" y se ocupó,
además de la trascripción de algunos manuscritos, de la
corrección de estilo de toda la obra y sobre todo, se propuso el
reto de querer entender cada una de las presentaciones como si
fuese una simple mortal con la necesidad de aclarar o explicar
el contenido a un niño, y cuando no logró entenderlo, exigió más
explicaciones hasta llevarme a la reformulación de algunos
contenidos.
Finalmente, ambos dedicaron horas y horas a la lectura
de los capítulos, donde de nuevo corrigieren detalles. A ellos dos
creo que deberían agradecer siempre todos aquellos docentes y
padres que puedan ayudarse con este material. Por mi parte un
¡adelante!, sigan así y que Dios los bendiga.
Tuve la suerte de contar con Karina Di Battista, una joven
diseñadora quien puso especial interés en darle al libro la
presentación que pudiera hacer agradable, desde la portada
hasta el final del contenido, un texto referido a números (como
ella misma dijo). Asimismo, tuvo la paciencia para diagramar y
diseñar con infinita creatividad y talento los gráficos y objetos que
yo le presenté apenas en bosquejos. A ella mis más sinceros
agradecimientos.
Introducción
Para escribir un libro como éste son muchas las horas que
a lo largo de varios años hay que dedicar para identificar
necesidades, analizar situaciones y reunir experiencias. Ese
tiempo siempre es sustraído de aquel que nos une a los que más
querernos y con los que quisiéramos y debiéramos compartir
cada momento. El logro de esta meta sólo es posible cuando
este tiempo se nos concede. Por todo ese tiempo
generosamente otorgado debo agradecer a mi pequeña Luisa
María y sobre todo a José, mi esposo, quien no sólo me cedió
todos esos ratos, sino que además me animó a continuar hasta
llegar a la culminación de este anhelado trabajo.
Los números
El hombre en su evolución ha intentado construir un
mundo que se adapte a sus necesidades y, en base a esto
hacerlo más confortable. Cuando el humano adquirió la
habilidad de hablar, fue probablemente inevitable que los
sonidos que producía (palabras) fueran asignados a conjuntos de
objetos con el fin de describir la dimensión de los conjuntos. Sin
embargo, hubo épocas en que no io hicieron y algunas culturas
que todavía existen no tienen nombres para números mayores
que tres. Los conceptos matemáticos se desarrollan a la par que
fos otros aspectos de una civilización.
Antiguas culturas, en sus estados iniciales del desarrollo
matemático, usaban sonidos (palabras o nombres) diferentes
para los números que designaban la cantidad de objetos en
conjuntos de diferentes cosas. Por ejemplo, en una tribu de la
Columbio Británica tenían siete conjuntos de nombres numéricos:
un conjunto para los animales y objetos planos; uno para el
tiempo y los objetos redondos; uno para los humanos; uno para
los árboles y los objetos alargados; uno para las canoas; uno
para las medidas y uno para los objetos que no estaban en
alguna de las seis categorías anteriores. La categoría aparte para
las canoas era un indicador de la importancia que tenían éstas
para esa tribu. Un paso hacia la abstracción del concepto de
número era la existencia dei conjunto de palabras (o nombres
numéricos) para nombrarla cantidad en conjuntos de objetos
que no eran de una de las seis categorías específicas.
Actualmente, en varios idiomas hay diversas expresiones
que indican el concepto de "dos": Un par de medias, una pareja
de esposos; una yunta de bueyes, unos gemelos, un dúo y todas
las palabras con el prefijo "bi° (bifocal, bipolar, ambidiestro,
bicameral, etc.).
El uso de un conjunto de palabras (únicas en cada
idioma) para nombrar los números fue un gran avance para el
desarrollo de la matemática. El poder contar frutas, barcos.
i
LOÍ números
<1
carros, juguetes, personas, animales, con las mismas palabras,
reconoce que conjuntos de cuatro barcos, cuatro animales,
cuatro personas, etc., poseen una característica o propiedad
común que la expresamos con un mismo sonido
(con la misma palabra). Esta propiedad la llamamos cardinalidac
-el número de elementos en un conjunto- a ese sonido le damos
e! nombre del número. El concepto del número debe consolidar»
en el niño a través de actividades naturales y en determinada
secuencia acorde a su proceso de desarrollo cognitivo.
Clasificación
Antes de adquirir el concepto de número el niño debe ser
capaz de clasificar. En muchas actividades del quehacer diario
todos clasificamos, (por ejemplo: cuando unos objetos son platos
y otros cubiertos; unos animales son domésticos y otros son
salvajes; tenemos objetos útiles e inútiles, juguetes electrónicos y
no electrónicos, etc.) por lo tanto es importante conducir al niño
hacia objetivos de clasificación. Hay algunas actividades más
complejas que otras y deben proponerse a los niños de las más
fáciles a las más complejas. Por ejemplo; hacer que:
• Seleccione objetos que tengan una característica específica: •
se le presentan al niño objetos de diversos colores (en este
caso la característica sería el color) y se le pide que agrupe o
seleccione los de determinqdo color.
• Organice objetos sobre la base de una determinada
característica; Se le dan al niño objetos de diferentes formas o
colores y se le pide que los sepqre en grupos, de tal manera
que en cada grupo queden los de una mlsrna forma o color.
• Hagan la réplica de un patrón dado: Se le representa a los
niños un conjunto de objetos con diversas características
formando un determinado patrón, y se les pide que hagan
una réplica o duplicado de ese patrón. Por ejemplo se les
presenta un arreglo rectangular, con las Cartas Lógicas, todas
del mismo color, y ellos deben hacer un arreglo similar.
Los números
• Continúen un patrón o secuencia: Se le ofrece a los niños una
fila de objetos que guardan algún patrón y se les pide que
elijan cuál objeto sigue en la secuencia. Para ejercitar este
tópico se le puede pedir a los niños que consigan objetos
clasificables por alguna característica, y luego hacer que los
arreglen o agrupen y señalen cuál fue el criterio de
agrupación.
También se pueden señalar las características más
comunes, para que luego las identifiquen. Estas son:
• Forma: cuadrada, triangular, circular, rectangular
• Tamaño: grande, pequeño
• Color: amarillo, rojo, azul,...
• Función: cortar, cubrir o abrigar, escribir, etc.
• Textura; rugoso, liso, áspero
• Material: madera, vidrio, plástico, papel.
Se sugiere la conveniencia del uso del juego con cartas
lógicas, primero para Identificar sus atributos (forma, tamaño,
color y diseño) y las respectivas categorías en cada uno de ellos
y, posteriormente para realizar con ellas los juegos: La tengo; La
figura escondida y el Dom-tren-lógico.
Una consecuencia casi inmediata a la clasificación es el
contar y ésta a su vez lleva al concepto de número.
Desarrollo del concepto de número
y las relaciones pertinentes
El concepto de Número es complejo y multifacético. Por
tanto, una completa comprensión de este concepto involucra
múltiples ideas, relaciones y habilidades: relaciones de más y
menos que; canteo y su significado, relaciones con otros
números, reconocimiento de patrones de organización de
objetos sin contar (como en los dados y el dominó),
combinaciones de números en el contexto de las partes y el
todo, etc. Para todas ellas es importante ofrecerle al niño una
buena variedad de actividades que lo ayuden a construir y
diferenciar esas múltiples ideas de Número.
Los números
Inicios del concepto de número
Este concepto, en muchos casos, se inicia en ei hogar.
Cuando los padres ayudan a sus pequeños a contar sus dedos,
los juguetes, las personas que están sentadas en la mesa o
cualquier otra cantidad pequeña de conjuntos de objetos, están
introduciéndolo en el concepto de número. Además, preguntas
sobre quién tiene más y / o si hay suficiente para todos, pueden
ser parte de la vida diaria de un niño a edades tan tempranas
como los dos o tres años.
Esto nos indica, y hay evidencias de ello, que el niño a
muy temprana edad tiene adquirida cierta comprensión de
alguna de las formas del concepto de número y del conteo,
Un desarrollo gradual del concepto más completo de
número se iniciará con esas primeras ideas que, sobre conteo y
número, trae el niño antes de entrar a la escuela. Estas ideas lo
ayudarán a afianzar, expandir y aumentar ei concepto que ha
venido desarrollando desde antes de los años escolares.
Desarrollo de las habilidades de conteo
Contar involucra por lo menos dos experiencias o
habilidades diferentes. En primer lugar, el aprendiz deber ser
capaz de producir verbalmeníe la lista de las palabras propias
del conteo, en orden: uno, dos, tres.,.
En segundo lugar, debe ser capaz de conectar esa
secuencia de palabras, una a una, con los objetos del conjunto
que esté contando. A cada objeto le deben hacer corresponder
uno y sólo uno de los términos de! conteo.
* * * * * * *Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete
10 Los números
I
Estas dos habilidades no involucran "conocimiento" en sí
mismas. Por lo menos hasta ell 5 ó más, la secuencia del canteo
en palabras es aprendida de memoria (después del 15 hay un
patrón que ayuda: diez y seis, diez y siete,...). El procedimiento de
decir sólo una palabra de la lista de conteo por cada objeto,
debe ser practicado.
En preescolar con frecuencia los niños tienen errores o
fallas en una o ambas habilidades: dejan algún objeto sin contar
y lo saltan, u omiten algunos de los términos o palabras de la
secuencia del conteo (Ej. saltan del cinco al ocho, del diez al
catorce). Es importante entrenar ei conteo oral y ejecutar
actividades de conteo dirigidas.
La experiencia y la orientación son factores de gran
importancia en el desarrollo de las dos habilidades señaladas,
Muchos niños al Negar a la escuela son capaces de contar
hasta 10 ó más. Pero con los niños que llegan a la escuela sin
estas experiencias del hogar, es necesario realizar más prácticas.
Se debe tener en cuenta que el tamaño del conjunto (por
cantidad de objetos) es un factor que influye en el éxito del niño
al contar. Secuencias más largas de conteo requieren de más
práctica para aprendérselas. Por otra parte las primeras 15
palabras de la secuencia del conteo no tienen ningún patrón o
recurrencia de repetición y muchos niños no reconocen el patrón
de los "diez y _".
Contar un conjunto de objetos que se pueden mover a
medida que se cuentan es más fácil que contar objetos que no
se pueden mover o tocar. Contar un conjunto que está ordenado
de alguna manera según algún patrón (peloticas en una
cuerda, objetos alineados en filas o columnas) es más fácil que
contar un conjunto de objetos dispersos de cualquier forma. No
se tiene mayor ganancia haciendo difíciles las actividades del
conteo. Por consiguiente, con los niños que aún están
aprendiendo a contar- esto es, apareando las palabras orales
del conteo con los objetos- debe dárseles conjuntos de chapas,
piedritas o tacos que ellos puedan mover, o dibujos de
conjuntos con los objetos arreglados de alguna manera para
que se les facilite contarlos.
LOÍ números
Actividad Sugerida \
El docente puede jugar con los niños a: "quién pesca el
error". Hace que los niños lo observen contar loselementos de un
conjunto y comete errores como: contar un objeto más de una
vez; dejar de contar algún objeto, equivocarse en la secuencia
del conteo, señalar o mover los objetos que se cuentan más
rápido o más lento que la secuencia del conteo.
Significado del conteo
Hoy una gran diferencia entre ser capaz de contar
memorísticamente (como se ha dicho hasta ahora) y conocer
el significado de lo que el conteo indica o informa. Cuando
se cuentan los elementos de un conjunto, el último número
nombrado es el nombre de la cantidad de objetos del conjunto,
esto es, su cardinalidad. A pesar de que los niños tienen, desde
muy pequeños, cierto concepto de cantidad, ellos no asocian
tan de inmediato este concepto con el acto de contar. Cuando
los niños comprenden que la última palabra del conteo nombra
la cantidad que tiene el conjunto; entonces se dice que tienen o
han adquirido el principio de cardinolldad.
El niño aprende en primer lugar, en forma memorística y
verbalizada la secuencia de los "nombres" del conteo. Luego se
le dan a conocer los símbolos o dígitos que son "llamados" con
esos nombres. Al presentarle al niño los símbolos numéricos es
procedente hacer la asociación con el significado genérico de
lo que es un símbolo (una representación que tiene el mismo
significado para todo el que lo percibe, generalmente por la vista
o el oído). Se pueden exponer los niños a una experiencia viva,
en la cual se enfrenten u observen símbolos (de tránsito, de
restricciones, de existencia de servicios en las cercanías, etc.) o
mostrarle esos símbolos en el aula y hacerlos identificar su
significado. Después de esas actividades se les señala que los
números de los que ellos conocen los nombres tienen cada uno
un símbolo que los representa.
I os númet»
Este puede ser un buen momento para presentarle al niño
conjuntos (gráficos y verbalizados) que no tengan elementos,
para introducir el nombre "cero" y el símbolo correspondiente (0).
Señalar que el cero indica ausencia de cantidad; que es el
número con el que se índica el "cuánto hay en el conjunto",
cuando éste no tiene elementos, está vacío. Posteriormente,
cuando han adquirido el concepto de cardinalidad de los
conjuntos, se les pide asociarle el número o símbolo que
representa la cantidad de elementos que hay en un conjunto.
Es necesario enseñar al niño tanto a leer como a escribir
los símbolos que representan los números. Esta tarea es similar a
la enseñanza de las letras del alfabeto. Si bien tradicionalmeníe
se hacía que el niño repitiera páginas y páginas escribiendo la
secuencia numérica (los símbolos), dicha actividad resultaba
rutinaria y aburrida; se recomienda reemplazarla por el uso del
juego Lograr el 20. Se puede iniciar realizando primero el juego
hasta el 10; y posteriormente hasta el 20 ó más.
Para reforzar las actividades de conteo y la asociación del
símbolo numérico correspondiente a la última "palabra" de la
secuencia de conteo, se puede usar el juego Bingo de sumo (el
azul), en la modalidad por grupos, de tal manera que todos los
jugadores visualicen y puedan contar los puntos de los dados
lanzados.
Otra habilidad relacionada con el concepto de número es
la adquisición de los conceptos de "más", "menos" y "la misma o
igual" cantidad. Casi todos los niños al iniciar la escolaridad son
capaces de identificar donde hay "más" al presentarles dos
conjuntos con cantidades obviamente diferentes de elementos.
Sin embargo son necesarias actividades que refuercen estos
conceptos.
Originalmente la comparación entre conjuntos se hacía
básicamente por el apareamiento uno-a-uno de los elementos
de los conjuntos a comparar. Si en un conjunto sobraban
elementos ese era el que tenía "más"; si se podían aparear
exactamente, los dos conjuntos tenían la "misma" cantidad, o
eran iguales en términos de su cardinalidad. Pero, se ha
encontrado que la mayoría de los niños usan, intuitivamente, el
conteo más que el pareo cuando van a comparar.
Los números
13
Es conveniente tenef presente que para el niño es más
familiar la expresión "tener mas", "ser mayor" que la expresión
similar con "menos"; ya que esta última es de poco uso en las
expresiones cotidianas. El niño ha oído y dicho "te dieron más",
"somos más", "es mayor que."; pero ha tenido poca experiencia
con expresiones sobre "menos". Esto sugiere que el mqestro al
practicar las comparaciones, si los niños han dicho al comparar
dos conjuntos A y B, cual tiene más (sea el A) de inmediato les
pregunte sobre el conjunto B, para forzarlos a decir "el B tiene
menos".
Los símbolos para es "menor que°(<) y es "mayor que"(>)
generalmente causan dificultad en los niños para su correcta
identificación y uso. Se acostumbra a dar a los niños un par de
números cercónos y pedirles que escriban entre ellos el símbolo
para su correcta comparación. Una ayuda para la correcta
identificación y uso de estos símbolos, es asociar la boca abierta
de un cdimán
apuntando hacia el número mayor y los ojos del caimán hacia
el menor (en el otro extremo). También es útil la referencia
directa al símbolo; señalar que un extremo del símbolo es abierto
(y debe apuntar hacia el más grande) y el otro cerrado(debe
apuntar hacia el más pequeño). Es necesaria la práctica para
fijar el significado y uso correcto de los símbolos de comparación
(<,=,>}, para esto se recomienda el juego Captura.
Al inicio, en primer grado, el docente puede quitar del
juego Captura las paletas con el símbolo =; e Introducir dicho
símbolo cuando llegue a las expresiones escritas de adición. En
ese momento, al presentar expresiones como 3+5=8, es
importante destacar que tal expresión significa que a un lado del
símbolo = hay la "misma" cantidad que en el otro lado.
Otros usos de tos símbolos numéricos
Et uso más frecuente que se da a los símbolos numéricos,
es la representación de la cardinalidad de los conjuntos;
esto es, la representación de cantidades.
Sin embargo, cuando queremos indicar el orden efe
llegada de los participantes en una carrera, los niveles de una
edificación, etc, también se usan números que no indican
cantidad. Decimos por ejemplo: el amarillo llegó de primero, el
verde de segundo, el rojo de tercero, etc. Para los nombres:
primero, segundo, tercero, etc; se usan símbolos r,2°,3°
respectivamente, acompañados de un pequeño círculo que se
escribe arriba y a la derecha. Así el"!0" se lee; el primero;
el "2°" se lee: el segundo, etc.
Ai niño se te debe insistir en la diferencia entre el número
como cardinal (o indicador de cantidad) y el número como
ordinal (o indicador de orden). Una característica importante
de los números ordinales es la existencia obligatoria de los
anteriores para que pueda existir uno determinado, Para nombrar
o tener un tercero (3°) deben existir o haber existido el primero (1 °)
y el segundo (2°).
Encontramos también números que no indican cantidad ni
orden.
Tal es el caso que se observa en los números que
tienen las personas y los objetos de la figura anterior, en todos
ellos se usan los números para identificar y diferenciar entre las
personas y objetos, según la situación.
Los números
Por ejemplo, eí número 14 de la camiseta de un jugador
simplemente lo distingue del resto de tos jugadoíes, ningún oto
puede tener ese símbolo; otro jugador tendrá cualquier otro
número para identificarlo; los carros en una competencia tienen
asignados un número para identificarlos.
Esto nos dice que un tercer uso práctico de los símbolos
numéricos es para identificación y discriminación entre
elementos que tienen algún aspecto común, sea de
actividad o de ubicación,
Significado de la adición y \sT\
sustracción de númenps.naturales J
Para poder desempeñamos en el mundo que nos rodea
es tan necesario el dominio del idioma como conocer cuándo y
cómo sumar, restar, multiplicar o dividir,
Tanto el pre-concepto como e! concepto de número,
desarrollados en tos niños en sus primeros años, proveen de un
marco para la introducción de las operaciones con números
naturales. Parael desarrollo de los procedimientos operacionales
o algoritmos se debe Introducir al alumno en los conceptos
formales de un sistema de numeración. Sin embargo, en este
capítulo sólo presentaremos la noción del significado de adición
y sustracción para ¡o que no hace falta todavía e! sistema de
numeración.
Antes de llegar a los procedimientos para la realización de
cada una de las operaciones, se debe trabajar con el niño en la
comprensión del significado de ellas. Este significado se debe
desarrollar a través del análisis de situaciones cotidianas. La
selección de una operación apropiada, por parte del niño,
dependerá de su experiencia con una variedad de situaciones.
Considerando que hay varios tipos de situaciones para cada una
de las cuatro operaciones, los niños deben tener experiencias
que los hagan capaces de clasificar cada tipo de situación
como una interpretación de (a operación apropiada.
Más adelante veremos ejemplos para cada caso.
Además, las experiencias deben ser de tal tipo, que el niño
realmente pueda esperar vivir o presenciar tales situaciones
(deben ser del mundo o del medio que se vive). Por consiguiente,
el maestro debe estar consciente de las diferentes
interpretaciones para las operaciones fundamentales y
prepararse para proponerle a sus alumnos, de manera
sistemática, esas interpretaciones. Sólo así se puede pretender
que el niño sepa cuándo; sumar, restar, multiplicar o dividir.
[a sustracción de números naturales
<£,
Los procedimientos de cálculo, denominados algoritmos,
combinan los conceptos aprendidos en pasos breves y precisos
que dan como resultado un nombre estándar para el
número resultante. Si los algoritmos se desarrollan de manera
gradual y significativa, pueden llegar a ser de gran apoyo para
las habilidades de desempeño funcional del individuo, Pero, si por
el contrario ellos se desarrollan rápida y mecánicamente, pueden
hacerse muy difíciles de usar y muy fáciles de olvidar.
Los algoritmos que los niños aprenden se han desdrrollado
para hacerles las cosas más fáciles. Las explicaciones que se den
a los estudiantes para justificar y destacar los significados de las
operaciones y los procedimientos o algoritmos para realizarlas,
harán que se les haga más fácil el recordarlos y extenderlos a las
diversas situaciones en las que ellos se apliquen. La utilidad del
algoritmo debe ser inducida por el docente al presentarle al
niño las situaciones cotidianas y a partir de ellas hacer
surgir la necesidad del uso del mismo.
Construcción del significado de la adición
La adición debe introducirse con situaciones donde los
objetos puedan ser manipulados para encontrar la respuesta
(chapas, botones, creyones, etc.). Los niños deben ser capaces
de asociar un número con el conjunto apropiado de objetos que
él representa; además deben ser capaces de contar
significativamente dichos objetos.
Los primeros conceptos sobre adición se refieren encontrar
el número total de objetos que hay en dos conjuntos; sin
embargo, deben aprender que no tienen que contar los números
en los dos conjuntos para encontrar el total, sino que después de
haber contado los objetos del primer conjunto pueden continuar
la secuencia del conteo con los objetos del segundo conjunto.
Adquirir seguridad con expresiones numéricas simples
{como; 2 + 1 = 3 ; 3 + 2 = 5)y aprender que la adición puede
ser usada para diversas situaciones, en un primer momento
parece diferente.
Significado de la aáüún y la aütrocoón de número; naturales
Interpretaciones de la adición
• Combinaciones', supóngase que Pedro tiene tres metras y su
hermano le regala dos metras. ¿Cuántas metras en total tiene
ahora Pedro?
Al inicio es válido que el niño cuente para encontrar el
total, es decir, cuántas metras hay en el nuevo conjunto (las
que le regalaron). Es posible que comience a contar los
elementos del segundo conjunto, por eiemplo: él tenía tres
metras, las del primer conjunto, y ahora contará "cuatro
metras y cinco metras", para así llegar al total. El niño
entendió que ya tenía tres objetos en su primer conjunto y que
sólo tiene que continuar contando los que agrega.
Al presentarles situaciones con números mayores como
tres y cinco, llegará un momento en que el niño se dé cuenta
que es igual 3+5 que 5+3 y que es más fácil cuando se
considera primero el conjunto mayor, en este caso el que
tiene 5 y q pqrtir de allí cuenta "seis, siete, ocho". Para esto
deben proponerse diversas situaciones con diferentes
combinaciones de números.
• Conjuntos que no se reúnen (estáticos)', si en el jardín de la
casa de la abuela hqy cuatro matas de rosas y en la casa
del frente de la abuela hay tres matas de rosas, ¿cuántas
matas de rosas hay entre las dos casas?
En esta situación no se puede pensar en reunir las matas
para saber cuántas hay (porque no son objetos
inmediqtqmente tangibles), están fijos y distantes, pero sí se
pueden contar y decir cuántas hqy en total.
Sí se tienen dos bolívares en un bolsillo y cinco en el otro,
no es necesario sacar las monedas y reunirías para saber
cuánto se tiene entre los dos bolsillos. Si se quiere saber la
suma de los niños de dos escuetos de una localidad, no es
necesario reunir todos los niños para poderlos sumar.
Estos ejemplos caracterizan adiciones estáticas; que
eventualmente, si al niño no se les identifican como tales,
puede que sólo piense en la adición cuando puede reunir los
objetos a sumar.
Significado de lo adición y ia sustracción de números naturales
Como incremento: Una interpretación de la adición
involucra problemas de incremento, totes como: una planta
medía dos centímetros (2cm) de alto y creció tres (3 cm) más
¿Qué tamaño tiene la planta ahora? También las situaciones
de aumento de la temperatura (por ejemplo, cuando se tiene
fiebre). En todos estos casos no hay objetos que contar, pero
si es necesario usar la adición.
Todas las situaciones antes señaladas ocurren en la vida
real y es necesario proponérselas a los niños en la etapa de
desarrollo del significado de la adición. Los dos primeros tipos de
situaciones (combinaciones y estáticas) se deben proponer a los
niños desde el primer grado. Las situaciones de incremento se
deben presentar cuando ya tienen alguna noción de medición,
lo cual ocurre generalmente en segundo grado.
Independientemente de la interpretación, el niño debe
tener ayudas que le permitan manipular material, moverse en su
entorno, observar y contar si se quiere que aprendan a usar la
adición para resolver problemas. Lo importante no es que el niño
distinga entre las diferentes interpretaciones; lo importante es que
el docente las distinga y guíe al niño a través de experiencias
que reflejen cada interpretación.
Actividad Sugerida
Material: Chapas de refresco, o cualquier otro tipo de
objetos contables.
Combinaciones'. En el patio hay tres perros durmiendo,
(Se indica a los niños que coloquen tres chapas para
representarlos) Llegan dos perros más a dormir la siesta, (hacer
que coloquen dos chapas más), Digan cuántos perros hay ahora
durmiendo (Vean las chapas y encuentren la respuesta).
Estático'. En mi cuadra hay dos edificios rojos
(sacar dos chapas para representarlos). En la cuadra de enfrente
hay otro edificio rojo (poner una chapa en un lugar separado de
las dos primeras, para mostrar este último edificio). ¿Cuántos
edificios rojos hay en total cerca de mi casa?
(Vean las chapas y encuentran la respuesta).
Significado de lo adición y la sustracción de números naturales
Los primeros modelos deben ser concretos (monipulables)
y pictóricos, Luego se asignarán los símbolos y se llevará al niño a
la representación simbólica.
La introducción del símbolo de adición (+) para indicar
la vía apropiada de responder a; ¿cuánto hay en total?, es
importante. Hacer énfasis en esto ayuda a) niño a encontrarle
algún significado a la adición. Matemáticamente cuando se
escribe 2+3=5, lo que se intenta comunicar es que 2+3 es el
mismo número que 5.
Suponga que hay 2 ponquesitos en un plato y 3
ponquesitosen otro plato. Si se nos plantea la pregunta:
¿Cuántos ponquesitos
hay en total?
El número que da la respuesta es 2+3 o es 5; si se asocia
el signo "=" con la expresión "es igual a"; esto ayuda tanto al
significado del signo igual como al de la operación de adición.
Con frecuencia el símbolo igual se introduce, se lee, y se espera
que automáticamente el niño entienda su significado.
SI 2+3 es el mismo número 5 o se le presenta 2+3 = 5,
que se lee "dos más tres es Igual a cinco", los niños deben
enfrentarse a las dos expresiones 2+3 = 5y5=2+3afinde
ayudarlos a desarrollar un significado apropiado de igualdad.
Se debe comenzar con sumas menores que 10. Para los
pequeños la expresión 5+2 está asociada con 5 objetos y 2
objetos; posteriormente ellos entienden que es lo mismo que 7.
Luego 5+2=7.
Las sumas básicas más fáciles de aprender son; en primer
lugar, aquellas en la que se suma 1; le siguen la suma de dobles,
como 3+3=6. Estas deben enseñarse primero y posteriormente
las sumas básicas de mayor dificultad como 4+5=9.
Significado de la adición y la sustracción de números naturales
Otra actividad que debe hacerse es la construcción de las
familias de sumas básicas iguales a un mismo número (todas
tienen un mismo nombre), Por ejemplo:
Familia del 5
0+5
1+4
2+3 (Todas estas tienen el nombre 5)
3+2
4+1
5+0
El significado de la adición del cero debe representarse,
por lo menos pictóricamente. Supongamos aue se tienen dos
platos, uno con 2 galletas y otro con 3 galletas; entonces se dice
que en total se tienen 5 galletas.
2 + 3 = 5 galletas
Luego, si se tiene un plato vacío y otro con 3 galletas,
entonces se dice que en total se tienen 3 galletas.
O 3 = 3 galletas
En cualquier caso, como los platos se pueden
intercambiar, se puede afirmar que 0 + 3 = 3y3 + 0 = 3.
Es necesario verbalizar situaciones y asociar la expresión
matemática que las simboliza.
Significados en la comparación
22 -
La relación de comparación involucra dos conjuntos o
cantidades y la diferencia entre ellos. Se puede hacer referencia
a ellos como el menor conjunto, el mayor conjunto y la diferencia
Significado de la adición y la uiitroccián de números naturales
(en cantidad). Hay varias vías de modelar la relación
de diferencia.
Relaciones de diferencia
8
^A
aw
diferencia
a b
La noción de comparación se puede tratar a través de la
adición, si se conoce el menor de dos conjuntos y la diferencia
entre ellos; entonces la adición indica o dice cuánto tiene el
conjunto mayor. Por ejemplo-, si Luis tiene 5 años y la diferencia
de edad con su primo Juan, que es mayor que él, es de 3 año\
entonces la edad de Juan es 5-f3, es decir 8 años/
En la gráfica se presentan 3 modelos diferentes que se
asocian con relaciones similares, mediante las cuales se puede
establecer la misma relación de^ comparación y pueden
asociarse a diversas situaciones.
Construcción del significado de la sustracción
Al corto tiempo de empezar a enseñar la adición el
docente debe introducir la sustracción. Como es de suponer, hay
diversos tipos de situaciones que pueden ser interpretadas como
sustracción; pero desafortunadamente estas no son
tan intuitivas como las de adición. A menos que las experiencias
para su aprendizaje sean cuidadosamente diseñadas, los niños
pueden tener serias dificultades para decidir que un problema
requiere sustracción y luego escribir la expresión matemática
apropiada. En resumen, la enseñanza de la sustracción requiere
de una atención especial.
Significado de la adición y \a Hiitracdón de números naturales c
Interpretaciones de la sustracción
• Quitar, entregar o sustraer. Esta es la interpretación más
fácil y natural de aprender, por lo tanto debe ser la
primera (más no ía única). Los niños en este
momento ya están acostumbrados a asociar objetos y
números, y este tipo de asociación debe continuarse
en el desarrollo de la sustracción, Al considerar la
situación de "quitar" o "entregar" o "sustraer" se pueden
plantear situaciones como la siguiente:
Carlos tenía 5 naranjas y regaló 2 . ¿Cuántas naranjas
tiene él ahora?
El niño debe tomar 5 objetos contables (chapas, tapas,
fichas, etc), luego retirar 2 y contar cuántos quedaron. Es
conveniente proponer o plantear situaciones que se pueden
extender de una situación a la siguiente.
También usar los nombres de los niños de la clase y
hechos convenientes que el docente conoce que ocurren en sus
familias y en la cultura del lugar.
Se debe guiar o animar a los niños para que primero
caractericen las situaciones y las dibujen; sólo cuando el
docente sienta que es el momento apropiado, hacer que
escriban la expresión matemática apropiada. Se inicia con
situaciones de adición y de allí pasar a una de sustracción.
Un ejemplo sería el siguiente:
Habían 2 pajaritos posados en una rama. De inmediato
llegaron 3 pajaritos volando y se posaron sobre la misma rama.
¿Cuántos pajaritos están sobre la rama ahora? (El alumno debe
poner dos chapas, luego tres chapas más y preguntarse
¿cuántas hay en total?)
Significado de la oditión y la mitracoán de números naturales
Habían 5 pajaritos sobre la rama. Tres de los pajaritos se
fueron volando ¿Cuántos pajaritos están todavía posados
sobre la rama?
(Deben poner 5 chapas; luego quitar o separar 3; y preguntarse
¿Cuántos quedaron?)
Si los niños realizan esta actividad repetidas veces,
entonces ellos construirán en forma natural la relación entre
adición y sustracción.
Después de estas experiencias con la idea de retirar o
sustraer, que van desde |o concreto hasta lo simbólico, los niños
estarán en condiciones de trabajar a partir de la representación
pictórica y de allí pasar a la simbólica, sin tener que usar objetos
concretos.
Por ejemplo:
Habían cinco sombreros. Se descartaron 2 de ellos. ¿Cuántos
sombreros quedaron disponibles?
Aditiva: El segundo tipo de situación de sustracción suele
identificarse como "aditiva" porque se refiere a
expresiones como: cuánto debe agregarse a lo que ya se
tiene para obtener determinada cantidad. Por ejemplo,
Juan tiene 2 cuadernos y necesita 5. Para muchos niños
esta parece una situación de adición; y si no se les
proporciona un desarrollo apropiado, ellos simplemente
efectuarán adiciones de cualquier par de números que
vean u oigan. La estrategia en este caso es hacer
énfasis sobre "lo que se necesita".
Es cierto que esta situación está directamente
Significado de la adkián y lo tuitrocdán de números naturales 25
relacionada con una expresión de adición de la forma
a + b = c, donde a y c son conocidos y b no lo es.
Pero, en este caso la expresión numérica debe ser
2 + ? = 5.
Al inicio, los niños deben reproducir las situaciones usando
material tangible para contar y encontrar la respuesta, El
docente puede siempre escribir expresiones numéricas y hacer
preguntas que se refieran a ellas; a pesar de que los niños se
concentren en la manipulación del material concreto y en
responder a las preguntas. Después de varias actividades ellos
aprenderán a relacionar esta interpretación con una situación de
sustracción y a escribir la expresión numérica correspondiente.
Veamos algunos ejemplos:
Francisco tiene 6 barajitas de la misma página de un
álbum, y una página completa lleva 10 barajitas. ¿Cuántas
barajiías más necesita para llenar la página?
Los niños colocarán 10 chapas o barajitas (o cualquier tipo
de objeto manipulable) porque eso es lo que se necesita en
total. Luego deben separarlas en dos montones, uno que
represente las barajitas que se tienen y otro las que no se tienen,
Luego contarán y dirán cuantas más se necesitan. Él docente
escribirá la expresión 1 0 - 6 - 4 mientras hace preguntas al
respecto.
¿Cuántas barajitas llenan Iq página? - R=10.
Marca las que tienes y cuenta las que no tienes, o sea, las
que necesitas para llenar la página.
¿Cuántas necesitas para llenar la página? - R=4.
Representaciones gráficas de las situaciones que se
plqntean pueden ayudar mucho a los niños a resolver este tipo de
problema de sustracción.Significado de lo r acción cíp
Dibuje todo lo que Ud, necesite para hacer que el gráfico
represente el problema o situación planteada. En algún
momento Ud, querrá que los niños interpreten directamente este
tipo de situación como un problema de sustracción y que
entiendqn que por sustracción es la manera más eficiente de
encontrar la respuesta. Si, por ejemplo, alguien quiere comprar
un televisor que cuestq 230.000 bolívares y sólo tiene ahorrados
Bs.7748, esa persona querrá saber cuánto más necesita ahorrar;
pero no se le ocurrirá contar para saberlo ni tampoco sumará las
dos cantidades. Usted probablemente usaría una calculadora
pero tendrá que pensar en realizar una sustracción.
Comparativa; El tercer tipo de situación de sustracción, la
comparativa, involucra problemas tales como: Jaime tiene
5 metras y Pedro tiene 2. ¿Quién tiene más? ¿Cuántas
más?. Al principio los niños resuelven estos problemas por
apareamiento de uno a uno. Veamos un ejemplo:
Jaime
Pedro
Dos de las metras de Jaime se pueden aparear, Tres de
sus metras no tienen pareja.
También esta interpretación de la sustracción debe ser
tratada cuidadosamente, con situaciones muy bien planificadas.
Unos fundamentos basados en el apareamiento, uno a uno para
la comparación de dos conjuntos, pueden ser usados para
ayudar a los niños con esta interpretación.
El docente que procede con la pregunta ¿Cuál es más
grande? (O mayor) y sigue con ¿Cuánto más? o ¿Cuánto mayor?
provee al niño con un procedimiento para resolver este tipo
de problema.
Significado de la adición y la sustracción de números naturales 27
Veamos otro ejemplo:
Luis y Carlos cumplen anos el mismo día. Luis cumple
cinco años y Carlos cumple tres. ¿Quién es mayor? ¿Cuánto
mayor?
Carlos Luis
Luis es 2 años mayor
• Partición: Un cuarto tipo de situación de sustracción, el
de partición, involucra el separar o partir un conjunto de
objetos en dos partes,
Por ejemplo:
Aquí hay 5 copas. Si dos de ellas son largas y las otras son
cortas ¿Cuántas copas son cortas?
Los niños comienzan con un número dado de objetos,
luego separan por alguna característica y cuentan la cantidad
de objetos. Finalmente, revisan para ver cuántos quedaron sin
separar. Con las copas, ellos encontrarían que hay dos conjuntos
uno de 2 y otro de 3 copas.
• incremento: El último tipo de sustracción , involucra un
decrecimiento. No siempre se eslá ante la presencia de
objetos concretos que se pueden contar. De todas las
medidas se puede reportar algún tipo de incremento
negativo o decrecimiento. Por ejemplo: la pérdida de
peso, el acortar el largo de los pantalones, la disminución
de temperatura cuando hace mucho frío o cuando se
Significado dft ta qdfcBfi y la antroajón de número naturales
toma una medicina para la fiebre. Lo que se quiere es que los
niños se den cuenta que se necesita hacer una sustracción en
este tipo de situaciones. La semiila de esta interpretación puede
ser plantada mediante el uso de una cadena de clips a la que
se le determina la longitud inicial (teniendo como unidad de
medida el clip) y luego se disminuye la longitud retirando algunos
clips; luego el docente pregunta: ¿Cuánto mide ahora?
Veamos otro ejemplo, ahora intangible:
Ayer en la tarde estaba haciendo un día muy soleado. El
termómetro de la casa mostraba 30° C, pero en la tarde llovió y
la temperatura bajó a 27° ¿Cuántos grados varió la temperatura?
Ejercicios como el anterior deberían trabajarse con
alumnos de grados más avanzados. Hay que recordar que los
alumnos del primer grado de básica aún no conocen el sistema
de numeración y sus ejercicios al inicio no deberían superar
adiciones o sustracciones cuyos resultados sean mayor a 10.
Los cinco tipos de situaciones ocurren en la vida real y
deben ser por tanto, explorados por los niños. Se debe poner
atención en la idea básica de sustracción reflejada en cada
situación y poner mucho cuidado en no referirse a ia operación
de sustracción únicamente como una situación de quitar o
entregar, ya que esa es sólo una de las cinco interpretaciones.
( Actividad Sugerid
El docente debe plantearle a sus alumnos expresiones
matemáticas como: 3 + 2=[] y leérselas como "tres más dos
igual a algo", debe pedirle además a los niños que describan
una "situación" acorde con la expresión o que pueda relatarse a
través de elia. Por ejemplo, para esta expresión podría narrarse la
siguiente situación: "hay tres estudiantes varones y dos
estudiantes hembras en la última fila. ¿Cuántos estudiantes en
total están en la última fila?".
A partir de esta, animar a los niños a que traten de inventar
cada uno una situación diferente para la misma expresión
matemática. La complejidad de la expresión matemática puede
variar con la habilidad del grupo.
Significado de la adición y la sustracción de números naturales
Si lo situación presentada por un niño no se adapta a la
expresión matemática planteada, muéstrele al alumno la
expresión matemática que describe mejor su situación. Por
ejemplo, si se ha propuesto la expresión 4 + Q = 7 , y un niño
propone como situación " si yo quería siete lápices y sólo
conseguí cuatro ¿Cuántos lápices más necesito?" , el maestro
debe responder; "su situación está muy bonita para la expresión
matemática 7 - 4 = [] , pero, ¿No podrías intentar narrar una
situación para la expresión propuesta 4 + Q =7"?
Una respuesta o situación correcta sena: " Yo tenía cuatro
lápices y mi mamá me puso otros en la cartuchera. Cuando abrí
la cartuchera encontré siete lápices. ¿Cuántos lápices me puso
mamá en la cartuchera?".
A continuación le presentamos algunas expresiones
matemáticas con situaciones que se adaptan a las mismas;
Q+ 4 -9
Carlos tenía unas galletas en una bolsíta. Pasó por la
cocina y María le puso otras cuatro galletas. Cuando abrió la
bolsiía en el recreo encontró nueve galletas ¿Cuántas galletas
tenía Carlos antes de pasar por la cocina?
Mi perra tuvo cinco perritos; mi hermano vendió algunos y
ahora sólo quedan en mi casa dos cachorritos ¿Cuántos perritos
vendió mi hermano?
Luisa agarró un racimo de uvas de la frutera, cuando se
había comido cuatro uvas dejó sobre su plato las que le
quedaban y dijo que eran nueve ¿Cuántas uvas tenía el racimo
que Luisa agarró de la frutera?
Juan tomó ocho fotos de un mismo tema y envió cinco
para un concurso ¿Cuántas fotos de ese tema le acedaron a
Juan para otro concurso?
Para cada una de las expresiones matemáticas se puede
solicitar a los niños que narren otras situaciones.
Significado de ta adición y ¡a mstrocdón de mjnieros ngturak
Sistema de numeración decimal J
Para representar cantidades de elementos se utilizan
símbolos como los estudiados en el capítulo 1, es decir: números.
Asimismo, necesitamos una serie de normas o reglas con el fin
de ordenar y diferenciar estas cantidades.
En nuestro sistema numérico tenemos diferentes símbolos
para representar cada número del O al 9. Afortunadamente, se
detuvo la invención de nuevos símbolos y se decidió establecer
unas reglas para combinar los símbolos que ya se tenían al tener
que representar cantidades mayores que nueve.
El conjunto de símbolos y reglas que se emplean para
construir números asociados a cualquier cantidad, constituye un
Sistema de Numeración.
Después de realizar las primeras actividades de conteo y
de adición por agrupación se orienta al niño a agrupar cuando
tenga diez objetos y se le dice que a ese grupo-se le llama
decena'.
Como ya se tenía el símbolo 1 para Indicar un objeto fue
fácil usarlo para indicar 1 decena; pero había que hacer algo
para distinguir entre 1 decena y 1 unidad, Lo que se hizo fue
cambiar de posición el 1. Con el invento del símbolo "O", para
representar el cero, se podía escribir 10 para representar una
decena y cero unidades. Pues bien, el símbolo O fue necesario
para el desarrollo completo de los sistemas de numeración
posicional.
En un sistema de numeración, al número que indica la
cantidad de unidades de un orden que se agrupan para formaruna unidad del orden inmediato superior se le llama Base del
Sistema de Numeración. En nuestro caso ese número es diez, es
por esto que nuestro sistema se llama Sistema de Numeración
Decimal. Luego; "diez" unidades de primer orden constituyen
Sistema de numeración décima!
una unidad de segundo orden, e igualmente "diez" unidades del
segundo orden conformarán una unidad de tercer orden y así
sucesivamente.
Fia 3.1 <******
c <******D
******
U
3° 2° 1°
orden orden orden
La representación que se tiene en la figura 3.1 la
llamaremos Cartel de Valor.
Las unidades de cada orden tienen un nombre:
• la del primer orden es la Unidad (U)
• la del segundo orden es la Decena (D) (diez unidades)
» la del tercer orden es la Centena (Q
(diez decenas = 100 unidades)
• la del cuarto orden es el Millar o Unidad de Mil [Um]
(diez centenas = 1000 unidades)
« la del quinto orden es la Decena de Mil(Dm)
(10.000 unidades)
» la del sexto orden es la Centena de Mil (Cm)
(100.000 unidades)
• la del séptimo orden es la Unidad de Millón (UM)
(1.000.000 unidades)
• la del octavo orden es la Decena de Millón (DM)
(10.000.000 unidades)
• la del noveno orden es la Centena de Millón (CM)
(100,000.000 unidades)
• la del décimo orden es el Mí/tordo (Mili.)
(Mil Millones de unidades = 1.000.000.000)
5n el Sistemo de Numeración Decimal, diez unidades de
un orden cualquiera constituyen una unidad del orden inmediato
superior y viceversa: de una unidad de un orden cualquiera se
pueden obtener diez unidades del orden inmediato inferior.
La ampliación hasta los diferentes órdenes se debe ir
explicando al alumno según el nivel de educación básica
en que se encuentre.
Sistema de numeración decimal
Es fácil inferir que nuestro sistema de numeración viene a
ser una especie de sistema de codificación en donde,
por ejemplo, el número 235 indica que se tiene 2 centenas,
3 decenas y 5 unidades.
Fig. 3.2
. _f\<~\s
oecs
****
2 3 5
Los niños pueden entender la idea de un código si hay
objetos concretos involucrados y si ei proceso de agrupación se
realiza con ellos como parte de la instrucción. Para este proceso
se puede pensar en diferentes modelos concretos; uno de ellos
es el Banco Decimal.
Banco Decimal
A continuación describiremos un material sencillo pero
muy completo para la representación de números, la agrupación
y posteriormente la ilustración de operaciones de adición y
sustracción en nuestro sistema de numeración. A ese material o
modelo le damos el nombre de Banco Decimal, el cual se usará
combinado con el Cartel de Valor.
Con el Banco Decimal podemos representar por diferentes
figuras las unidades de los distintos órdenes, lo cual facilitará la
construcción de números en forma concreta a fin de preparar al
niño para el concepto abstracto.
Para la construcción del material del Banco Decimal sólo
se necesita una hoja cuadriculada de la cual se recortarán 18
cuadritos para representar las unidades, 10 barras de diez para
representar las decenas y 4 cuadrados de diez por diez para
representar las centenas. Como el tamaño del cuadrito debe ser
manipulable por el niño se ofrece, al final de este libro, una
cuadrícula que puede ser reproducida para entregarla a cada
alumno. Una vez recortada la cuadrícula corno se indicó (en 18
Siitema de numeíactón decimal
33
cuadritos, 10 barras y 4 cuadrados), cada alumno puede utilizar
una hoja para improvisar un sobre y en él guardar su material. El
material se llama Banco Decimal porque en ese sobre podrá
cambiar las unidades de un orden por las equivalentes de otro
orden, tal como se cambian los billetes en el banco.
Veamos entonces cómo se utiliza la cuadrícula del Banco
Decimal para formar las unidades de 1°, 2° y 3° orden
(unidades, decenas y centenas);
Rg. 3,3
D = 1 unidad, o unidad de primer orden
I l I l = 10 unidades = 1 decena, o unidad de
segundo orden
= 100 unidades = 10 decenas = 1 centena,
o unidad de tercer orden
El docente debe estar pendiente porque con facilidad el
alumno puede cometer errores al cortar las barras de las
decenas (cortarlas con más o menos de diez cuadritos). De igual
manera el cuadrado de diez por diez que representa la centena
debe llevar exactamente las unidades correspondientes.
En cuanto al Carie/ de Valor, el mismo tiene como
objetivo ayudar a visualizar el valor "relativo" que, según la
posición, tienen los dígitos que conforman un numeral. Este
consiste de unos espacios o casillas, en disposición horizontal con
las iniciales de los órdenes o valores de posición que se
nombraron anteriormente, los cuales van colocados de derecha
a izquierda como se muestra en la siguiente figura:
Fig. 3.4
UM Cm Dm Um D U
Sistema de numeración decimal
Construcción de números con el Banco Decimal
En nuestro sistema de numeración es más fácil mostrarle a
los niños el 12 que el 10, porque 12 objetos se pueden mandar a
agrupar en una decena de ellos y quedan 2 objetos sin agrupar,
En el numeral 12 es claro que la posición del 1 tiene un
significado y que el numeral completo significa 1 decena y 2
unidades. Si al niño se le representa la idea en concreto los
símbolos tienen entonces sentido para él, por esto es
conveniente el uso del Banco Decimal para la construcción de
números. En el caso del número 12 se hace que los niños tomen
del Banco Decimal 2 cuadritos (unidades) y 1 barra (decena). Si
bien la barra y los dos cuadrrtos muestran claramente las doce
unidades, es conveniente hacer que cada niño dibuje sobre una
página completa el Cartel de Valor con las casillas de las
unidades y las decenas, y coloque sobre la casilla
correspondiente el material concreto. Debajo de cada casilla
debe anotar el símbolo numérico que indica la cantidad de
unidades que hay en cada una.
Observemos la siguiente agrupación:
d D Q De estas 12 unidades cambiaremos 10 unidades por
d Q Q 1 decena en el Banco Decimal
n a a --"'" " "' "
a n a a a a
a a a
a D a
a D a
y la agrupación anterior podemos representarla en el Cartel de Valor.
D u
n El número doce (12)
, está formado por 1 decena
y 2 unidades
1
Sistema de numeración decimal
El maestro debe hacer er et peonan la representación
correspondiente al ejercicio, tal como se muestra en la figura
anterior. Sin embargo, no debe mostrar desde el inicio el
ejercicio completamente terminado; por el contrario, debe ir
dibujando cada paso a medida que rnparte las instrucciones
(primero el Cartel de Valor, luego la cotocación del material del
Banco Decimal y finalmente la escritura de los símbolos
numéricos correspondientes).
La representación física del 1 0 es un grupo de diez objetos,
pero requiere una atención especial para convencer a ios niños
que 1 0 significa 1 decena y O unidades. Las actividades iniciales
con valor de posición deberían hacerse con números del 1 1 al
1 9 y luego dedicar una atención especial para los números 1 0,
20, 30, ya que ellos tienen O en las unidades.
Veamos otros ejemplos de construcción de números con
el Banco Decimal empezando por un número del primer orden y
siguiendo con órdenes superiores:
(Es importante aclarar que cuando se trabaje en la formación de
números hasta el orden de fas decenas el cartel de valor sólo
debe tener las casillas hasta ese orden).
Para la construcción de un número del primer orden,
sugiérale a los alumnos que coloquen, por ejemplo, cinco
cuadritos en el lugar de las unidades para representar al
número cinco,
D
Luego, para formar un número del orden de las decenas,
pídale a los alumnos que coloquen siete cuadritos en el lugar de
las unidades y una barra en el lugar de las decenas de manera
que se forme el número 17.
Flg. 3.7 D u
G
Sistema de numeración decimal
Para un número del orden de las centenas, se les puede
sugerir a los alumnos que coloquen tres cuadritos en el lugar de
las unidades, cinco barras en el lugar de las decenas y dos
cuadrados en el lugar de las centenas, y hacerles leer que se
forma el número 253.
FIg. 3.8
D U
Para formar otro número se puede pedir a los alumnosque
coloquen dos cuadrftos en las unidades, que no coloquen nada
en las decenas y que coloquen un cuadrado en las centenas y
se les hace ver que el número que se forma es el 102, que tiene
cero en las decenas.
Es importante señalarle al alumno que al no existir figuras
en alguna de las casillas del Cartel de Valor esto se indica
colocando el dígito cero (0) en el lugar correspondiente al
momento de escribir el número.
Rg. 3.9
1
D
O
U
Veamos otro ejemplo donde hay otra casilla vacía en el
Cartel de Valor, la de las unidades; como en la figura 3.10.
Fig. 3.10
Sistema de numeración decimal
D U
O
i37)
Mientras los niños realizan este ejercicio en concreto con el
Banco Decimal, el docente lo debe representar en pictórico y en
simbólico, dibujándolo en la pizarra, tal como se representa en la
figura 3.10,
La representación con el material concreto del Banco
Decimal debe realizarse sólo con los números hasta el orden de
las centenas. Para representar números de orden mayor que las
centenas se acostumbra hacer el Cartel de Valor sin las casillas;
colocando sólo en disposición horizontal las iniciales de los
valores de posición. Se inicia a la derecha con las unidades (U) y
se continúa hasta el mayor orden que se quiera llegar.
Las iniciales que se usan para abreviar los órdenes son
convencionales, nosotros usaremos las que se señalaron para
cada uno de los órdenes al comienzo del capítulo. El Cartel de
Valor quedaría como se presenta a continuación;
Cartel de Valor
Dmill. Umill. CM DM UM Cm Dm Um C D U
Para trabajar con el Cartel de Valor sin las casillas, se le
pueden dictar a los alumnos varias cantidades con sus
respectivos valores de posición. Por ejemplo: 5 centenas de mil,
1 unidad de mil, 7 decenas y 9 unidades. Con estos datos los
alumnos deben construir el número, ubicando los respectivos
dígitos en las posiciones correspondientes dentro del Cartel de
Valor; recordando colocar el cero (0) en los valores de posición
que no tuvieran dígito asignado.
Finalmente el alumno
Cm Dm Um C D U debe escribir la cantidad
5 0 1 0 7 9 tQnto en numer0
como en letras.
501.079 Quinientos un mil, setenta y nueve unidades.
Sistema de niift'erocn
Actividad Sugerida
Para trabajar con el Banco Decimal se sugieren algunas
actividades:
1.- Pídale a los alumnos que saquen del Banco Decimal 14
cuadritos y que los coloque en el Cartel de Valor, recordando
que no pueden poner más de nueve unidades de un mismo tipo
en la casilla correspondiente del Cartel. Si quieren representar las
catorce unidades en el Cartel de Valor, los niños deberán
cambiar diez unidades por una decena en el Banco Decimal
(el sobre).
Observemos la siguiente agrupación:
D De estas 14 unidades cambiaremos 10 unidades
n por 1 decena en el Banco Decimal.
D G D
D
D
Le quedarán cuatro cuadritos como unidades sueltas y
una barra como única decena, lo que hace en conjunto el
número 14.
U
a
D
a
El número catorce (14)
está formado por 1 decena
y 4 unidades
Sistema de numerocióti decimal 39
2.- Pídale a sus alumnos que saquen del sobre del Banco
Decimal tres cuadrados, cuatro barras y tres cuadrrtos.
Identifíqueselos como tres centenas, cuatro decenas y tres
unidades, tal como se presenta en la figura 3.12
Fig. 3.12
v...
centenas
D
n = 343
D
4 3
decenas unidades
El número total de unidades de esa agrupación es 343.
Es importante que el docente haga la debida
correspondencia entre tos símbolos que representan tos números
y las palabras que se utilizan para nombrarlos, respetando la
correcta ortografía.
Así, en el ejemplo anterior el número 343 se escribe:
trescientos cuarenta y tres o trescientos cuarentitrés.
Valor absoluto y valor relativo de un dígito
4o;,
Desde su inicio, todos los órdenes del sistema de
numeración deben referirse al Cartel de Valor, ya que éste nos
indica los valores relativos que representan las cifras según su
posición en dicho cartel.
Un ejemplo para ilustrar la afirmación anterior nos lo da el
número: 133. Observa que el valor que representa el símbolo 3
en sí mismo es "absoluto" (indica 3 unidades). Sin embargo, el 3
que está más a la izquierda tiene un valor de 30, por representar
3 decenas o 3 unidades del segundo orden; este valor es el
Sistema de numeración decimal
"valor relativo" a la posición que ocupa el dígito en el número.
Fig. 3.13
1 3 3
Vamos a identificar el valor relativo de los dígitos
de un número.
Por ejemplo:
En el número 2.457:
El valor relativo del 2 es 2 x 1000 = 2000 unidades.
El valor relativo del 4 es 4 x 100 = 400 unidades.
El valor relativo del 5 es 5 x 10 = 50 unidades.
El valor relativo del 7 es 7 x 1 =7 unidades.
Esto significa que el número 2.457 se puede escribir como la
siguiente suma:
2.457 - 2.000 + 400 + 50 + 7
Lo cual es conocido como la forma expandida del número.
Veamos otro ejemplo;
Se puede preguntar el valor relativo de sólo alguno de los
dígitos que conforman un numeral.
Por ejemplo, se puede pedir a los alumnos que
identifiquen el valor relativo de los dígitos resaltados en otro color
(O señalados con una flecha).
En el número 783.272
El valor relativo del 7 es 7 x 100.000 = 700.000 unidades
El valor relativo del 3 es 3 x 1.000 •=' 3.000 unidades
El valor relativo del 2 es 2 x 100 = 200 unidades
El número escrito en forma expandida será:
783.272 = 700.000 + 80.000 + 3.000 + 200+70 + 2
Sistema de numeración decimal
Al)
Actividad Sugerida
En cada uno de los siguientes números señala el valor
relativo de posición de los números resaltados en azul, y escribe
el número en su forma expandida.
1) 7.910
2) 45.305
3) 1.237
4) 11.922.558
5) 607.572
Comparación de números naturales
42
Desde que se introduce al niño en el concepto de número
y en el significado de éste como cardinal de un conjunto, se le
conduce también a la comparación de esos cardinales. Se le
orienta en actividades de asociación uno a uno, o
apareamiento, para determinar qué cantidad es mayor. Esas
estrategias para la comparación son apropiadas con cantidades
menores que 10; pero para la comparación de cantidades
mayores es necesario señalarle otro procedimiento.
Como nuestro sistema de numeración es posicional, se
sabe, por ejemplo, que en el número 349 el 3 tiene un valor
mayor que el 4 y que el 9, pues el 3 representa 3 centenas, que
son 300 unidades, y el 4 representa 4 decenas, que son 40
unidades, mientras que el 9 sólo representa 9 unidades.
Por esta característica de nuestro sistema de numeración
se puede aplicar el siguiente procedimiento para comparar
números naturales:
Si los números son de diferente orden, por ejemplo, uno del
orden de las decenas y otro del orden de las centenas, es mayor
el de mayor orden. Si se tienen que comparar números como 79
y 113, se tiene que 79 < 113 por ser 113 del orden de las
centenas y 79 del orden de las decenas.
Sistema de numeración decimal
También se puede mostrar al alumno que:
79 tiene 7 decenas + 9 unidades = 7 x 1 0 + 9 = 70+ 9
y 113 tiene 1 centena + 1 decena + 3 unidades
esto es: 113 = 1x100 + 1 x 1 0 + 3 -100+ 10 + 3
Asimismo se puede decir que:
113-11 decenas + 3 unidades = 1 1 x 1 0 + 3 = 110 + 3
Si los números a comparar son del mismo orden, como
612 y 489, se procede a comparar en primer lugar los dígitos del
mayor orden; en este caso 6 y 4 que son los de las centenas, y
como se tiene que 6 > 4, se concluye que 612 > 489.
Si los dígitos del mayor orden son iguales, como en los
números 518 y 542, se procede a comparar los dígitos del orden
inmediato inferior al mayor. En este caso, los de las decenas que
son 1 y 4; como 1 < 4 se tiene que 518 < 542.
Si los números tienen iguales los dígitos de las centenas y
de las decenas, se procede a comprar los de las unidades y será
mayor el que tenga mayor el dígito de las unidades.
Para adquirir destrezas en la comparación de números del
orden de las decenas, las centenas o unidades de mil, se sugiere
el uso del juego Comparemos.
Al trabajar, con los niños de primer grado, la formación de
númerosde dos dígitos se les enseña también a compararlos y a
ordenarlos. Para la práctica del orden se sugiere el uso del juego
Escolero,
A lo largo de todo el trabajo con los números de cualquier
orden, el docente debe cuidar del aprendizaje de la escritura
correcta de ías cantidades representadas por los símbolos.
Para la formación, comparación, escritura y lectura de
números de órdenes mayores que la centena se sugiere el uso
del juego Posición.
Sistema de numeración decima!
^
Operaciones con números naturales )
Las operaciones básicas entre dos dígitos y el concepto
de valor de posición son habilidades de cálculo necesarias para
trabajar con los algoritmos. Un algoritmo es un conjunto de reglas
para resolver un problema, una secuencia paso a paso, un
método que continuamente se repite en procesos básicos y que
siempre da un resultado esperado.
En este capítulo se plantearán los algoritmos para las
cuatro operaciones básicas con números de más de un dígito.
Adición de números naturales
Si se tienen dos conjuntos, uno con 4 elementos y otro con
5 elementos y se determina que el total de elementos es 9,
entonces los números 4 y 5 se denominan sumandos y el número
9 es la suma.
Esto lo representamos como 4 + 5 = 9 y se lee "cuatro
más cinco Igual nueve". El signo se lee "igual" e indica que la
cantidad a la izquierda (4+5) es Igual a la cantidad a la
derecha (9).
El signo se lee "más" e Indica que con los dos números
se está efectuando la operación de adición.
Efectuar una adición significa sumar, y sumar es sinónimo
de unir, agrupar, determinar la cantidad total de objetos en varios
conjuntos.
Las cantidades que se agrupan se llaman Sumandos y la
cantidad total agrupada es la Sumo,
Operaciones con numere» naturales
Por ejemplo, se tiene un conjunto de cuatro unidades °° y
oíroconjunto de cinco unidades °=a , todas tomadas del
Banco Decimal.
Fig. 4.1 DD an
nnaD a
Veremos que esta agrupación tiene nueve unidades.
Si bien es muy importante que el alumno entienda el
significado de la adición tal como se señaló en el capítulo 2, no
menos importante es el que memorice las sumas básicas (sumas
entre dos dígitos) aprender las tablas de sumar, Para tal fin se
sugieren actividades que no sean rutinarias como la práctica con
los juegos Bongo y Carrera de Sumas.
Veamos otro ejemplo:
Tengo ocho chocolates y me regalan seis chocolates
¿Cuántos tengo?
Se forma un conjunto de ocho (8) unidades £ £ ° ° y otro de
seis (6) unidades ̂ tomadas del Banco Decimal.
Estas unidades se reúnen o agrupan y se obtiene:
Fig. 4.2
GD aaan
nnaDDa
na
Al obtener más de nueve unidades, se cambian en el
Banco Decimal, 10 unidades por 1 decena.
Flg. 4.3
a
DD
Luego tendremos o 1 decena y 4 unidades. Se ha
formado el número 14 y se puede expresar como:
8 + 6= 14
Por lo tanto puedo decir que tengo 14 chocolates
Operaciones con numero* naturales
Veamos otro ejemplo:
Para determinar la suma de 23 + 45
Se forman, con el Banco Decimal, el número 23 D y el número
45 D . Se reúnen ni , se cuentan, y se obtienen 6
decenas y 8 unidades que forman el número sesenta y ocho (68)
Rg. 4.4 n „ „ ¡_ _
on
DD
DO
n a
Representación Gráfica
(forma semiconcreta)
Fig. 4.5
u D
a
D
D
a
a
a
D
n
D D
a n
n D
GD
Representación Simbólica
(forma abstracta)
23
+ 45
68
Veamos otro ejemplo: para efectuar 17+26
Se forma el número 17
i ü
n D D
1 D a D
¡ a n a
o y se forma el número 26 D , se
reúnen H H 8 n a D y como se obtienen trece unidades, se cambian
en el Banco Decimal 10 unidades por 1 decena.
Rg. 4,6
Luego se tienen | | ° 4 decenas y 3 unidades que
representan la suma y forman el número 43.
Operaciones con números naturolei
Forma semi-concreta
Flg. 4.7
mi l i rrT-p *---,
Forma abstracta (o simbólica)
+ I
GG
GD
GD
G
GG
tíP
GG
1
17
+ 26
G
D
D
43
La operación de adición en los números naturales se
inicia siempre por el lugar de las unidades.
Veamos otro ejemplo:
Vamos a efectuar 157+296
Fig. 4.8
•*-.. i i
157
+ 296
453
Operaciones con números naturales
Para ejercitar la adición con más de dos sumandos
simples (De un dígito cada uno), sumas acumuladas hasta el 20
y simultáneamente, toma de decisiones; se recomiendan juegos
como Tres Iguales, Disparo a Repetir, Cuatro por Cuatro,
Arriésgate III y Justo a 20.
Vamos a resolver los siguientes ejercicios:
1.- Miguel tiene tres juegos de vídeo, si en su cumpleaños le
regalan cuatro ¿Cuántos juegos tendrá? R: i
2.- En el jardín de una escuela los alumnos de 1° grado
sembraron ocho arPolitos, si los alumnos de 2° grado sembraron
seis, ¿cuántos arbolitos sembraron en total? R: 14
3.- En una piñala se colocaran once juguetes, si antes de
tumbarla se le agregan quince juguetes más ¿cuántos juguetes
deberían caer al piso al tumbar la piñata? R: 20
4.- Si un padre tiene cuarenta y dos años ¿cuántos tendrá dentro
de veinte años? R-. 02
5.- Rafael tiene sesenta y cinco metras, si se gana noventa más
¿cuántas metras tendrá? R:i55
6.- ¿Qué alteración sufre una suma si uno de los sumandos se
aumenta en doce y otro en nueve? R;2i
7.- Rosa compró un cuaderno en Bs.930 y un lápiz en Bs.70
¿cuánto gastó? R:Bs. i .000
8.- Si un vagón del Metra de Caracas puede transportar 3.700
pasajeros sentados en un día, ¿cuántos podrá transportar en las
mismas condiciones en dos días? R7.400
9.- En una escuela hay 540 alumnos, si se construyen salones
para 490 alumnos más ¿cuál podrá ser la nueva matrícula de
esa escuela? R:i.oso
10,- A una fiesta asistieron 39 niños y 27 niñas, si llegaron luego 4
niños y 5 niñas más ¿cuál fue el total de niños y niñas que
asistieron? ¿Cuántos cotillones debieron repartirse? R: 43 niños y 32
niñas. Se repartieron 75 cotillones.
Actividad Sugerida
Operación»'
Sustracción de números naturales
Sustraer es quitar, disminuir, determinar le diferencia entre
dos cantidades.
Los términos de una sustracción se denominan minuendo,
susfroendo y diferencia
En los números naturales la sustracción sólo es posible
cuando el minuendo es mayor que el sustraendo.
Si tengo 8 y me quitan 3 se puede decir que 8 es el
minuendo, 3 el sustraendo y 5 la diferencia. Esto lo
representamos como 8 - 3 = 5. La operación de sustracción se
representa por el signo "-", que se lee "menos",
Es conveniente hacerle notar a los alumnos que la
diferencia es la cantidad que hay que agregar al sustraendo
para que sea igual al minuendo.
Es decir, 8 - 3 - 5 porque 8 = 5 + 3.
Veamos un ejemplo:
Tengo 8 caramelos y le di 3 a mi hermano ¿cuántos
caramelos me quedaron?
Representamos el número 8 S" D D c (tomados del Banco
Decimal). Quitemos a las 8 unidades las 3 que entregué q mi
hermano. ,
Fig-4.9 2§—::2
LJ tx I_J
D D
Luego me quedarán a D U D O 5 unidades,
Otro ejemplo:
Necesito 9 paletas y tengo 5 ¿cuántas más debo reunir?
El planteamiento debe ser 9-5. El número 9 es el minuendo
y el número 5 el sustraendo. Es conveniente hacerles notar que 9
es mayor que 5. Entonces, representamos el número 9 n ° I
Quitamos una unidad del minuendo por cada una de las
unidades del sustraendo.
rT~í""r"¡ *• a D a D
HQ. 4.10 JZÍJEÍJZÍJZÍ JZl
GD G D
Operación^
F
me quedarán 4 unidades, por consiguiente 9 - 5 - 4 .
El número 4 es la diferencia, por lo tanto me debo reunir 4
paletas más.
Veamos otro ejemplo:
Fui a la cantina con 35 bolívares y pagué 14 bolívares.
¿Cuántos bolívares me quedan?
El número 35 es el minuendo y el número 14 es el
susíraendo, como 35 es mayor que 14.
Representamos el número 35 y quitamos las
unidades y decenas del minuendo, que se correspondan
con las del sustraendo.
Rg. 4.11 D
•*• n
•-* D
-*• n
Luego me quedarán I ¡"2 decenas y 1 unidad que
forman el número veintiuno 21, por consiguiente 35 -14 = 21
El número 21 representa la diferencia, que es la cantidad
de dinero que me quedó.
En abstracto: 35 -
14
21
Veamos otro ejemplo:
Si tengo 52 metras y pierdo 27 ¿cuántas me quedan?
El número 52 es el minuendo y número 27 es el
sustraendo, notemos que 52 es mayor que 27.
Es importante resaltar que en este ejercicio