Control 3 2007 I - Cyntia Barrera Cevallos

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2007
FILA A
MAT 210 - E ∗ CONTROL 3
Tiempo: 1 Hora. Son dos preguntas en total.
No se permite el uso de calculadora.
Sin consultas.
Nombre ................................................................. sección .................................
1. Use derivadas para probar
arc sen
(√
x− 1
x + 1
)
= arc cos
(√
2
x + 1
)
para todo x > 1
Respuesta:
Derivando a ambos lados:
d
dx
(arc sen)
(√
x− 1
x + 1
)
=
1√
1−
(√
x− 1
x + 1
)2 ·
1
2
√
x− 1
x + 1
· 2
(x + 1)2
=
=
√
x + 1√
2
·
√
x + 1√
x− 1 ·
1
(x + 1)2
=
1√
2
√
x− 1(x + 1)
d
dx
(arc cos)
(√
2
x + 1
)
=
−1√
1−
(√
2
x + 1
)2 ·
1
2
√
2
x + 1
· −2
(x + 1)2
=(arc sen)
1√
2
√
x− 1(x + 1)
Luego
d
dx
(arc sen)
(√
x− 1
x + 1
)
=
d
dx
(arc cos)
(√
2
x + 1
)
, y por Corola-
rio al Teorema de Rolle:
(arc sen)
(√
x− 1
x + 1
)
= (arc cos)
(√
2
x + 1
)
+ C, C ∈ R constante.
Verifico ahora un valor cualquiera, como x = 3, para determinar C:
(arc sen)
(√
1
2
)
= π
4
= (arc cos)
(√
1
2
)
. Luego C = 0, lo que prueba
la identidad.
2. Sea f(x) =
√
x2 − x1/3.
a) Determine el máximo dominio para f en R.
Respuesta:
Dom(f) ={x ∈ R /
√
x2 − x1/3} = {x ∈ R / x2 − x1/3 ≥ 0} =
={x ∈ R / x1/3(x5/3 − 1) ≥ 0}
={x ∈ R / x1/3 ≥ 0 ∧ (x5/3 − 1) ≥ 0} ∪ {x ∈ R / x1/3 ≤ 0 ∧ (x5/3 − 1) ≤ 0}
={x ∈ R / x ≥ 0 ∧ x ≥ 1} ∪ {x ∈ R / x ≤ 0 ∧ x ≤ 1}
={x ∈ R / x ≤ 0 ∨ 1 ≤ x} =]−∞, 0] ∪ [1,∞[
b) Determine usando derivadas los máximos intervalos en que f es creciente y
en que es decreciente. Respuesta:
f ′(x) =(x2 − x1/3)′ =
2x− 1
3
3√
x2√
x2 − x1/3 > 0
⇔ 1
3
3
√
x2
(6
3
√
x5 − 1) > 0
⇔ (6 3
√
x5 − 1) > 0
⇔ 3
√
x5 >
1
6
⇔ x5 > 1
63
⇔ x > 1
5
√
63
Luego f creciente en
]
1
5
√
63
,∞
[ ⋂ (
]−∞, 0] ∪ [1,∞[) = [1,∞[
y decreciente en
]
−∞, 1
5
√
63
[ ⋂ (
]−∞, 0] ∪ [1,∞[) = [−∞, 0[
c) Analice los extremos locales de la función.Respuesta:
f ′(x) =(x2 − x1/3)′ =
2x− 1
3
3√
x2√
x2 − x1/3 = 0
⇔ 1
3
3
√
x2
(6
3
√
x5 − 1) = 0
⇔ (6 3
√
x5 − 1) = 0
⇔ 3
√
x5 =
1
6
⇔ x5 = 1
63
⇔ x = 1
5
√
63
/∈ Dom(f)
En los bordes de Dom(f) se tiene f(0) = f(1) = 0. Como f ′(x) < 0
para x < 0 y f ′(x) > 0 para x > 1, entonces f no tiene puntos
extremos en su dominio.
d) Determine los intervalos en que f ′ es creciente y en que es decreciente.
Respuesta:
f ′ decrece en [−∞, 0] y decrece en [1,∞[