Control 3 2008 I - Cyntia Barrera Cevallos

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PONTIFICIAUNIVERSIDADCATOLICADECHILE
FACULTADDEMATEMATICAS
DEPARTAMENTODEMATEMATICA
PrimerSemestre2008
FilaA
MAT210E–Soluci ónControl3
1.Sesabequelafunci´on f(x)esderivableentodo R yque
∀n ∈ N
(
f(n)=
n
2
+1 ∧ f ′(n)= n
2
− 2
)
Si g(x)=( f ◦ f ◦ f ◦ f)(x),encuentrelaecuaci´ondelarectatangentealacurva y = g(x)enel
punto
(
34,g (34)
)
.
Solución: Laecuaci´ondelarectatangentealacurva y = g(x)enelpunto
(
34,g (34)
)
es
y − g(34)= g′(34)(x− 34)
Pero
g(34)=
(
f ◦ f ◦ f ◦ f
)
(34)= f
(
f
(
f
(
f(34)
)))
= f
(
f
(
f
(
18
)))
= f
(
f(10)
)
= f(6)=4
y,usandoregladelacadena,
g′(x)= f ′
((
f ◦ f ◦ f
)
(x)
)
· f ′
((
f ◦ f
)
(x)
)
· f ′
(
f(x)
)
· f ′(x)
luego
g′(34)= f ′
(
f
(
f(f(34)︸ ︷︷ ︸
18
)
︸ ︷︷ ︸
10
)
︸ ︷︷ ︸
6
)
· f ′
(
f(f(34)︸ ︷︷ ︸
18
)
︸ ︷︷ ︸
10
)
· f ′
(
f(34)︸ ︷︷ ︸
18
)
· f ′(34)
= f ′(6) · f ′(10) · f ′(18) · f ′(34)
=1 · 3 · 7 · 15=45 · 7=315
As´ı,laecuaci´ondelarectabuscadaes
y − 4=315( x− 34)
2.Laecuaci´on
x2 − 4cos( xy2)=2 xy
defineimpl´ıcitamentea y comofunci´onde x.
Determine
d2y
dx2
enelpuntoconabscisapositivaenquelacurvaintersectaaleje X.
Solución: Sederivaimpl´ıcitamentelaecuaci´on
x2 − 4cos( xy2)=2 xy
recordandoque y = y(x):
x2 − 4cos( xy2)=2 xy
∖ d
dx
2x +4sen( xy2)
(
y2 +2 xy
dy
dx
)
=2 y +2 x
dy
dx(
8xy sen(xy2)− 2x
) dy
dx
=2 y − 2x− 4y2 sen(xy2)
De donde, es directo que
dy
dx
=
2y − 2x− 4y2 sen(xy2)
8xy sen(xy2)− 2x
.
Derivando nuevamente esta expresión con respecto a x (tomando en cuenta que y = y(x)), obtenemos
que
d2y
dx2
=
d(2y−2x−4y2 sen(xy2))
dx (8xy sen(xy
2)− 2x)− (2y − 2x− 4y2 sen(xy2))d(8xy sen(xy
2)−2x)
dx
(8xy sen(xy2)− 2x)2
,
donde
d
(
2y − 2x− 4y2 sen(xy2)
)
dx
= 2
dy
dx
− 2− 8y dy
dx
sen(xy2)− 4y2 cos(xy2)
(
y2 + 2xy
dy
dx
)
y
d
(
8xy sen(xy2)− 2x
)
dx
= 8y sen(xy2) + 8x
dy
dx
sen(xy2) + 8xy cos(xy2)
(
y2 + 2xy
dy
dx
)
− 2
Para determinar el punto en que deben ser evaluadas estas expresiones, debemos usar la ecuación
original para obtener las intersecciones de la curva con el eje X. Para esto, reemplazamos en la
ecuación y por 0. De aqúı se obtiene que
x2 − 4 = 0 −→ x2 = 4 −→ (x = 2 ∨ x = −2)
Como debemos considerar el punto con abscisa positiva, tenemos que el punto buscado es (2, 0).
Entonces,
dy
dx
(2, 0) =
−4
−4
= 1,
d
(
2y − 2x− 4y2 sen(xy2)
)
dx
(2, 0) = 2− 2 = 0,
d
(
8xy sen(xy2)− 2x
)
dx
(2, 0) = −2
y, finalmente,
d2y
dx2
(2, 0) =
0 · (−4)− (−4) · (−2)
(−4)2
= − 8
16
= −1
2
Fila B
1. Se sabe que la función f(x) es derivable en todo R y que
∀n ∈ N
(
f(n) = 2n ∧ f ′(n) = n
4
+ 1
)
Si g(x) = (f ◦ f ◦ f ◦ f)(x), encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = g(x) en el
punto
(
2, g(2)
)
.
Solución: La ecuación de la recta tangente a la curva y = g(x) en el punto
(
2, g(2)
)
es
y − g(2) = g′(2)(x− 2)
Pero
g(2) =
(
f ◦ f ◦ f ◦ f
)
(2) = f
(
f
(
f
(
f(2)
)))
= f
(
f
(
f
(
4
)))
= f
(
f(8)
)
= f(16) = 32
y, usando regla de la cadena,
g′(x) = f ′
((
f ◦ f ◦ f
)
(x)
)
· f ′
((
f ◦ f
)
(x)
)
· f ′
(
f(x)
)
· f ′(x)
luego
g′(2) = f ′
(
f
(
f(f(2)︸︷︷︸
4
)
︸ ︷︷ ︸
8
)
︸ ︷︷ ︸
16
)
· f ′
(
f(f(2)︸︷︷︸
4
)
︸ ︷︷ ︸
8
)
· f ′
(
f(2)︸︷︷︸
4
)
· f ′(2)
= f ′(16) · f ′(8) · f ′(4) · f ′(2)
= 5 · 3 · 2 · 3
2
= 45
Aśı, la ecuación de la recta buscada es
y − 32 = 45(x− 2)
2. La ecuación
cos(xy2) + 8 = y2 + 2xy
define impĺıcitamente a y como función de x.
Determine
d2y
dx2
en el punto con ordenada positiva en que la curva intersecta al eje Y .
Solución: Se deriva impĺıcitamente la ecuación
cos(xy2) + 8 = y2 + 2xy
recordando que y = y(x):
cos(xy2) + 8 = y2 + 2xy
∖ d
dx
− sen(xy2)
(
y2 + 2xy
dy
dx
)
= 2y
dy
dx
+ 2y + 2x
dy
dx(
−2xy sen(xy2)− 2y − 2x
) dy
dx
= 2y + y2 sen(xy2)
De donde, es directo que
dy
dx
=
2y + y2 sen(xy2)
−2xy sen(xy2)− 2y − 2x
.
Derivando nuevamente esta expresión con respecto a x (tomando en cuenta que y = y(x)), obtenemos
que
d2y
dx2
=
d(2y+y2 sen(xy2))
dx (−2xy sen(xy
2)− 2y − 2x)− (2y + y2 sen(xy2))d(−2xy sen(xy
2)−2y−2x)
dx
(−2xy sen(xy2)− 2y − 2x)2
,
donde
d
(
2y + y2 sen(xy2)
)
dx
= 2
dy
dx
+ 2y
dy
dx
sen(xy2) + y2 cos(xy2)
(
y2 + 2xy
dy
dx
)
y
d
`
−2xy sen(xy2)− 2y − 2x
´
dx
= −2y sen(xy2)− 2x
dy
dx
sen(xy2)− 2xy cos(xy2)
„
y2 + 2xy
dy
dx
«
− 2
dy
dx
− 2
Para determinar el punto en que deben ser evaluadas estas expresiones, debemos usar la ecuación
original para obtener las intersecciones de la curva con el eje Y . Para esto, reemplazamos en la
ecuación x por 0. De aqúı se obtiene que
1 + 8 = y2 −→ y2 = 9 −→ (y = 3 ∨ y = −3)
Como debemos considerar el punto con ordenada positiva, tenemos que el punto buscado es (0, 3).
Entonces,
dy
dx
(0, 3) =
6
−6
= −1,
d
(
2y + y2 sen(xy2)
)
dx
(0, 3) = −2 + 9 · 1 · 9 = 79,
d
(
−2xy sen(xy2)− 2y − 2x
)
dx
(0, 3) = 2− 2 = 0
y, finalmente,
d2y
dx2
(0, 3) =
79 · (−6)− (6) · 0
(6)2
= −79 · 6
36
= −79
6