Control 1 2008 I - Cyntia Barrera Cevallos

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2008
FILA A
MAT 210 - E ∗ PAUTA CONTROL 1
1. Considere la función:
f(x) = −√1− x
a) Grafique f .
b) Determine Dom(f) y Rec(f).
c) Decida a partir de la gráfica, si f(x) es una función par o impar en su dominio.
d) Obtenga la gráfica de la función:
g(x) =
∣∣∣ 1−
√
1− (x− 2)
∣∣∣
(Ayuda: Use el gráfico de f)
Solución
a) La gráfica de f es:
Y
f(x)
1
-1
X
b) Dom(f) = {x ∈ R / f(x) ∈ R} = {x ∈ R / − √1− x ∈ R} = {x ∈ R / 1− x ≥ 0}
=⇒ Dom(f) =] −∞ , 1 ]
Rec(f) = { y ∈ R /∃x ∈ Dom(f) ∧ f(x) = y } =
{
y ∈ R /∃x ∈] −∞ , 1 ] ∧ −
√
(1− x) = y
}
Para x ≤ 1 =⇒
√
(1− x) ≥ 0 =⇒ −
√
(1− x) ≤ 0 =⇒ y ≤ 0
=⇒ Rec(f) =] −∞ , 0 ]
c) Claramente f no es una función par ni impar, pues el gráfico de f , no es simétrico ni con respecto
al eje Y , ni con respecto al origen.
d) Considerando el que g(x) = | 1 + f(x− 2) | se tiene que la gráfica de g(x) está dada por:
32
-1
g(x)
Y
X
2. Determine a ∈ ] 0 , 1 [ de modo que la solución de la inecuación:
√
x2 − 1 (a x2 − x)
−x2 + 3x− 5 ≥ 0 (∗)
sea S = [ 1 , 3 ]
Solución
La parábola −x2 + 3x− 5 tiene discriminante ∆ = −11 < 0 y se abre hacia abajo, luego
−x2 + 3x− 5 < 0 , ∀x ∈ R
Como la solución debe ser [ 1, 3 ] , entonces x ≥ 1 =⇒ x2 ≥ 1 =⇒ x2 − 1 ≥ 0. Aśı √x2 − 1
está bien definida en R y
√
x2 − 1 ≥ 0
Por lo tanto (∗) es equivalente a que
a x2 − x ≤ 0 =⇒ x (a x− 1) ≤ 0 (∗∗)
Además como a > 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba y puesto que a < 1 , entonces
1
a
> 1
Se tiene:
1/a0 1
La solución de la inecuación (∗∗) es
[
0 ,
1
a
]
. Pero como
√
x2 − 1 ∈ R , entonces la solución de
(∗) es
[
1 ,
1
a
]
.
Por otra parte la solución de (∗) debe ser S = [ 1 , 3 ], entonces necesariamente
1
a
= 3 =⇒ a = 1
3
∈ ] 0 , 1 [
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2008
FILA B
MAT 210 - E ∗ PAUTA CONTROL 1
1. Considere la función:
f(x) =
√
4− x
a) Grafique f .
b) Determine Dom(f) y Rec(f).
c) Decida a partir de la gráfica, si f(x) es una función par o impar en su dominio.
d) Obtenga la gráfica de la función:
g(x) =
∣∣∣ 2−
√
4− (x + 2)
∣∣∣
(Ayuda: Use el gráfico de f)
Solución
a) La gráfica de f es:
Y
f(x)
X4
2
b) Dom(f) = {x ∈ R / f(x) ∈ R} = {x ∈ R /√4− x ∈ R} = {x ∈ R / 4− x ≥ 0}
=⇒ Dom(f) =] −∞ , 4 ]
Rec(f) = { y ∈ R /∃x ∈ Dom(f) ∧ f(x) = y } =
{
y ∈ R /∃x ∈] −∞ , 4 ] ∧
√
(4− x) = y
}
Para x ≤ 4 =⇒ (4− x) ≥ 0 =⇒
√
(4− x) ≥ 0 =⇒ y ≥ 0
=⇒ Rec(f) = [ 0 , +∞ ]
c) Claramente f no es una función par ni impar, pues el gráfico de f , no es simétrico ni con respecto
al eje Y , ni con respecto al origen.
d) Considerando el que g(x) = | 2− f(x + 2) | se tiene que la gráfica de g(x) está dada por:
Y
-2 X
g(x)
2
2. Determine a ∈] − 2 , 0 [ de modo que la solución de la inecuación:
(2x2 + 3x + 5) (x− a x2)√
1− x ≤ 0 (∗)
sea S = [−1, 0]
Solución
La parábola 2x2 + 3x + 5 tiene discriminante ∆ = −31 < 0 y se abre hacia arriba, luego
2x2 + 3x + 5 > 0 , ∀x ∈ R
Como la solución debe ser [−1, 0 ] , entonces x ≤ 0 =⇒ −x ≥ 0 =⇒ 1− x ≥ 1. Aśı √1− x
está bien definida en R y
√
1− x > 0
Por lo tanto (∗) es equivalente a que
x− a x2 ≤ 0 =⇒ x (1− a x) ≤ 0 (∗∗)
Además como a < 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba y puesto además
1
a
< 0 ,
entonces se tiene
01/a
Como la solución de la inecuación (∗∗) es
[
1
a
, 0
]
y la solución de (∗) debe ser S = [−1 , 0 ],
entonces necesariamente
1
a
= −1 =⇒ a = −1 ∈] − 2 , 0 [