slides-clase13 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Derivadas de polinomios
Usando las propiedades de derivadas recién vistas, podemos
demostrar que la derivada de cualquier polinomio puede ser
calculada a partir de las derivadas de las funciones de la forma
xn con n ∈ N.
La derivada de xn es lim
h→0
(x+h)n−xn
h . Para calcular este límite
usamos el hecho de que
(x + h)n − xn
h
=
xn +
(n
1
)
xn−1h +
(n
2
)
xn−2h2 + · · ·+
( n
n−1
)
xhn−1 + hn − xn
h
=
(n
1
)
xn−1h +
(n
2
)
xn−2h2 + · · ·+
( n
n−1
)
xhn−1 + hn
h
= nxn−1+
((
n
2
)
xn−2h +
(
n
3
)
xn−3h2 + · · ·+
(
n
n−1
)
xhn−2 + hn−1
)
.
Como el límite cuando h→ 0 de cada término entre paréntesis
es 0 (¿por qué?), el límite de
(x + h)n − xn
h
es nxn−1. O sea, la
derivada de xn es nxn−1.
Derivada del cuociente de dos funciones
Teorema
Sean f y g dos funciones derivables en x0, tales que g(x0) 6= 0.
Entonces la función f/g también es derivable en x0, y su
derivada es (
f
g
)′
=
gf ′ − fg′
g2
.
Demostración
f (x + h)
g(x + h)
− f (x)
g(x)
h
=
f (x + h)g(x)− f (x)g(x + h)
g(x + h)g(x)h
=
f (x + h)g(x)− f (x)g(x + h)
h
g(x + h)g(x)
=
f (x + h)g(x)− f (x)g(x) + f (x)g(x)− f (x)g(x + h)
h
g(x + h)g(x)
=
g(x)
(
f (x + h)− f (x)
h
)
− f (x)
(
g(x + h)− g(x)
h
)
g(x + h)g(x)
.
Demostración (cont.)
Tenemos que
f (x + h)
g(x + h)
− f (x)
g(x)
h
=
g(x)
(
f (x + h)− f (x)
h
)
− f (x)
(
g(x + h)− g(x)
h
)
g(x + h)g(x)
.
Tomando lim
h→0
a ambos lados, obtenemos
(
f
g
)′
=
gf ′ − fg′
g2
.
como deseábamos.
Derivadas de funciones racionales
Una función racional es una función de la forma
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Usando la recién vista regla para la derivada del cuociente de
dos funciones derivables, vemos que en todo punto x donde
Q(x) 6= 0, podemos calcular f ′(x) como
f ′(x) =
P′(x)Q(x)− P(x)Q′(x)
Q(x)2
.
Derivadas de funciones trigonométricas
Calculemos la derivada de f (x) = sen x.
(sen x)′ = lim
h→0
sen(x + h)− sen x
h
= lim
h→0
sen x cos h + cos x sen h− sen x
h
= lim
h→0
sen x(cos h− 1) + cos x sen h
h
= sen x · lim
h→0
(cos h− 1)
h
+ cos x · lim
h→0
sen h
h
.
Como lim
h→0
(cos h−1)
h = 0 y limh→0
sen h
h = 1 (¿por qué?), tenemos
(sen x)′ = cos x.
Ejercicio
Demuestre que (cos x)′ = − sen x y que (tan x)′ = sec2 x.
La regla de la cadena
¿Cómo derivar una función como sen(x2)? La respuesta nos la
da la el siguiente
Teorema (regla de la cadena)
Si f es derivable en x0 y g es derivable en f (x0) entonces
(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) · f ′(x0).
Demostración de la regla de la cadena
Usando la definición de derivada, vemos que
(g ◦ f )′(x0) = lim
h→0
g(f (x0 + h))− g(f (x0))
h
= lim
h→0
g(f (x0 + h))− g(f (x0))
f (x0 + h)− f (x0)
· lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
.
Ya que f es derivable en x0, es continua en x0, por lo que, si
h→ 0, f (x0 + h)− f (x0)→ 0. Así, si hacemos u = f (x0) y
t = f (x0 + h)− f (x0), tenemos
(g◦f )′(x0) = lim
t→0
g(u + t)− g(u)
t
·f ′(x0) = g′(u)·f ′(x0) = g′(f (x0))·f ′(x0).
Ejemplos
I (sen(x2))′ = cos(x2) · (x2)′ = 2x cos(x2).
I (cos7 x)′ = ((cos x)7)′ = 7 cos6 x · (cos x)′ = 7 cos6 x · (− sen x).
I (sen3 x)′ = ((sen x)3)′ = 3 sen2 x · cos x.
La derivada de la función inversa
La regla de la cadena nos ayuda, en particular, a encontrar la
derivada de la función inversa de una función dada (si dicha
función inversa existe).
Así, si f es derivable en x0, y la función inversa de f (en algún
intervalo abierto I que contiene x0) es g, entonces la regla de la
cadena nos dice que la derivada de la composición g ◦ f en x0
es
(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) · f ′(x0).
Pero, ya que g es la inversa de f , g ◦ f es la función identidad :
g ◦ f (x) = x para todo x en el intervalo J = g(I). O sea,
(g ◦ f )(x) = x en todo dicho intervalo.
Pero entonces (g ◦ f )′ = 1, por lo que g′(f (x0)) · f ′(x0) = 1, de
donde g′(f (x0)) =
1
f ′(x0)
.
Ejemplo: las derivadas de
√
x y n
√
x
Sea f (x) =
√
x, y sea x un punto donde f (x) es derivable.
Como y =
√
x es la función inversa de x = y2, y la derivada de
x = y2 es 2y, vemos que la derivada de y =
√
x es
1
2y
=
1
2
√
x
.
Consideremos ahora la función y = n
√
x, con n ∈ N, n > 2.
Como la función inversa es x = yn, de manera análoga a la
anterior obtenemos
y′ =
1
nyn−1
=
1
n( n
√
x)n−1
=
1
n
· x−
n−1
n =
1
n
· x
1
n−1.
Ejercicios
1. Demuestre que (Arcsen x)′ =
1√
1− x2
.
2. Demuestre que (Arccos x)′ = − 1√
1− x2
.
3. Demuestre que (Arctan x)′ =
1
1 + x2
.
4. Demuestre que (Arccot x)′ = − 1
1 + x2
.
5. Demuestre que (Arcsec x)′ =
1
|x|
√
x2 − 1
.
6. Demuestre que (Arccosec x)′ = − 1
|x|
√
x2 − 1
.
Derivadas de orden superior
Si f es una función derivable en su dominio (o en parte de
éste), entonces tiene sentido preguntarnos si f ′ es continua o
no, derivable o no, etc. En los puntos en que f ′ es derivable,
diremos que su derivada es la segunda derivada de f , y la
denotaremos por f ′′.
Análogamente definimos la tercera derivada, la cuarta, y así
sucesivamente. Denotamos la tercera derivada de f por f ′′′, la
cuarta por f iv, etc.
Otras notaciones comunes para la “derivadas n-ésima” son f (n)
y
dnf
dxn
.
El teorema de Leibnitz
Sean f , g : [a, b]→ R dos funciones derivables n veces en
(a, b). Entonces su producto también es derivable n veces en
(a, b), y se tiene la siguiente fórmula:
(fg)(n) =
n∑
k=0
(
n
k
)
f (n−k)g(k).
Demostración.
Por inducción sobre n (ejercicio).