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Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. Capítulo I. Matemáticas Financieras 1.1 Valor Tiempo del Dinero Supongamos que estamos en un mundo donde no existe inflación y se nos plantea la posibilidad de elegir $100 hoy versus $100 en un año más, ¿Qué preferiríamos? La respuesta es $100 hoy, ya que existe un interés que puede ser ganado sobre esos $100 durante un año, es decir, podríamos depositar esos $100 en el banco durante un año, al cabo del cual tendríamos $100 más el interés ganado. La tasa de interés ofrecida por el banco determina el costo alternativo o de oportunidad de los fondos. Supongamos que esta tasa es de 10% anual y los $100 son guardados en una caja fuerte. Al cabo de un año tendremos los mismos $100, pero si los hubiéramos depositado en el banco tendríamos $110. El valor futuro de esos $100 hoy, será menor si no son invertidos, o en otras palabras, hemos perdido $10, el uso alternativo de los fondos. $100 hoy no son lo mismo que $ 100 en un año más. Valor Futuro: es el valor alcanzado por un capital o principal invertido al final del período analizado. Es el valor en el futuro financieramente equivalente a una cantidad de dinero hoy. Financieramente equivalente se refiere al hecho que permite la misma cantidad de consumo intertemporal. Si definimos: r: Tasa de interés. P: Monto Invertido Hoy. Entonces, )1( rPrPPVFFuturoValor +=+== En este caso, si la tasa de interés r fuera anual, una persona estaría financieramente indiferente entre recibir P hoy o VF en un año más. Supongamos que tenemos una tasa de interés de 10% anual, entonces podemos definir la siguiente matriz de doble entrada: En un Año más Hoy En un Año más Hoy Quiere Consumir $100 $110 $100 $110 Figura 1.1: Cuenta con el Dinero Si tenemos la situación descrita en la Figura 1, debemos preguntarnos si una persona estaría indiferente entre estas situaciones, es decir, recibir $100 hoy o $110 en un año más. Para respondernos debemos determinar las posibilidades de consumo en una u otra 5 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. situación. Si existe una mayor posibilidad de consumo en una situación en particular concluiremos que estas cantidades no son de equilibrio. En nuestro análisis consideraremos que no existe inflación. En primer lugar, si comparamos el tener $100 hoy con $110 en un año más, claramente debemos concluir que en un año más podemos comprar más cosas que las que compraríamos hoy, pues tenemos más riqueza. El punto, sin embargo, es si en ambas situaciones tenemos las mismas posibilidades de gasto, tanto hoy como en un año más. Supongamos que tenemos $100 hoy y queremos gastarlo todo hoy, podemos gastar un máximo de $100. Si por el contrario, queremos gastar todo en un año más, pondríamos los $100 en el banco, donde ganarían 10% de interés, retirando en un año más $110, lo que representa el máximo gasto en un año más. Por otro lado, si en realidad no tenemos dinero hoy, pero sí tendremos $110 en un año más y queremos gastar todo hoy y nada en un año más, debemos pedir un préstamo por un máximo de $100, gastarlos hoy, y en un año más pagar el préstamo más los intereses de 10% con el flujo de $110 que recibiremos. Finalmente, si queremos gastar todo en un año más, debemos esperar un año y gastar $110 apenas recibamos el flujo. Como vemos, tenemos las mismas posibilidades de gasto tanto hoy como en un año más, independientemente si tenemos $100 hoy o $110 en un año más. Por esta razón, $100 hoy son financieramente equivalentes a $110 en un año más, a pesar que exista un crecimiento intertemporal de la riqueza. Por esta razón, $110 es el valor futuro (en un año más) de $100 hoy. ¿Qué sucede si deseamos calcular un valor futuro a más de un período? En ese caso debemos definir el tipo de interés que estamos hablando. 1.2 Interés Simple. El concepto de interés simple es aquél que no considera la reinversión de los intereses ganados en períodos intermedios. Por ejemplo, si deseamos calcular el valor futuro de $100 en dos años más, definiendo una tasa de interés anual de 10% (igual para cada período), obtenemos: Figura 1.2: 120$%)1021(100$100$%10100%10100 =×+=+×+×=VF } Interés Ganado Segundo Año } I terés Ganado P imer Año Inversión Inicial En el caso de la F no son reinvertido calculado para n p Ecuación 1.1: $ n r igura 2, obse s, es decir, es eríodos utiliz $ rvamos que los intereses recibidos durante el primer año como si fueran recibidos y gastados. Si el valor futuro es ando interés simple, entonces: )1( nrPVF += 6 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. Donde, VF: Valor Futuro P: Principal (valor invertido hoy) n: Número de períodos. r: Tasa de interés. 1.3 Interés Compuesto. En el caso de interés compuesto, se está suponiendo reinversión de los intereses obtenidos en períodos intermedios, por lo que para el ejemplo anterior obtendríamos: Figura 1.3: $10010%10%$10010%$10010%$100VF +××+×+×= Prin } } I terés Ganado D rante el Primer A } terés Ganado Durante el cipal Inicial $100(1+= La diferencia con derecho de la ec los intereses gan $121 - $120). Po Ecuación 1.2: Como vemos, la simple es notable tasa de interés y diferencias entre períodos largos d $100, @ 10%, 40 a $100, @ 5%, 40 añ $100, @ 15%, 40 a Pese a que es po es necesario reca adecuada para tr práctica es qu reinvirtiéndolos. 1 Muchas veces se le contable. Otra form n u ño por Principal 10%10%2 +× el caso de in uación, esto es ados por el pr r su parte, si e diferencia con , ya que en el en el segundo gadas por am e tiempo o bien Inte Ecua ños $100(1+ os $100(1+0 ños $100(1+0 sible encontrar lcar que finan abajar, pues s e al no reti Cuando un b llama al monto in a en la cual se le ll In Segundo Año Por Principal $100(110%) +=× terés simple vien , el interés ganad incipal durante e l valor futuro es c nrPVF )1( += el cálculo de v primer caso estam , de una función bos métodos pu tasas de interés rés Simple ción VF 0,1x40) $500 ,05x40) $300 ,15x40) $700 ejemplos de aplic cieramente es la upone la reinvers rar los interese anco presta diner vertido “capital”, lo q ama es “Principal”. In terés Ganado Durante el Segundo Año por Interés del Primer Año $121210%) = e dado por el tercer elemento del lado o durante el segundo año por reinvertir l primer año (10%x$100x10% = $ 1 = alculado para n períodos: alor futuro bajo el supuesto de interés os hablando de una función lineal de la exponencial. Por esta última razón, las eden ser enormes cuando compramos grandes. Por ejemplo Interés Compuesto Ecuación VF Diferencia $100(1+0,1)40 $4.525,93 9,05 Veces $100(1+0,05)40 $704,0 2.35 Veces $100(1+0,15)40 $26.786,35 38,27 Veces aciones para cálculos de interés simple, definición de interés compuesto la más ión de los intereses. Lo que ocurre en la s de un monto invertido1, estamos o y durante un período no son pagados ue obviamente es diferente al Capital pagado 7 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. los intereses, se crea una nueva deuda equivalente en monto a lo prestado originalmente más los intereses no pagados, la cual generará a su vez intereses por cada período futuro mientras no sea pagada. 1.4 Valor Presente. En este caso nos haremos la pregunta exactamente inversa: ¿Qué valor en dinero a recibir hoy es financieramente equivalente a un flujo que se recibirá en el próximo período? En esta ocasión el flujo se encuentra en el futuro y lo que buscamos es la cantidad de dinero financieramente equivalente hoy. Si definimos como F el flujo a recibir el próximo período y r como la tasa de interés para el período, entonces el Valor Presente de F es: Ecuación 1.3: )1(r FVP + = En este caso, una persona que espera recibir un flujo futuro de $110 en un año más, estaría financieramente indiferente si le ofrecen recibir $100 hoy, si la tasa de interés para este año es de 10%. Nuevamente, si buscamos el valor presente de una cantidad a recibirse en n períodos más, en circunstancias que la tasa de interés es de r por y para cada período, debemos definir de qué tipo de interés estamos hablando. Si es interés simple, el valor presente en cuestión debería ser calculado de la siguiente manera: Ecuación 1.4: )1( rn FVP + = Mientras que para el caso de interés compuesto, el valor presente sería calculado así: Ecuación 1.5: nr FVP )1( + = Los argumentos acerca de la conveniencia financiera de usar el supuesto de interés compuesto presentados en la discusión del valor futuro son igualmente aplicables al valor presente, por lo que en adelante trabajaremos con el supuesto de interés compuesto y se dejará en claro cuando se esté hablando de interés simple. Generalmente, en el cálculo de un valor presente no hablamos de ‘tasa de interés’ sino más bien de ‘tasa de descuento’ o ‘tasa exigida’, debido a que al flujo futuro se le ‘exige’ una tasa de interés por período o bien, se descuenta a una tasa de interés para ‘traerlo’ al presente. De la misma manera, un valor presente de un flujo F a recibirse en n períodos más puede ser descompuesto en la siguiente multiplicación: n n rFr FVP −+×= + ×= )1( )1( 1 8 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. Donde 1/(1+r)n o bien (1+r)-n es llamado ‘factor de descuento’ y corresponde al valor presente de un peso ($1) a recibir en n períodos más. En este sentido, F puede ser interpretado como la cantidad de dichos pesos que serán recibidos, por lo que el valor presente de F es la simple multiplicación de ambos. 1.5 Valor Presente de Varios Flujos. Si deseamos calcular el valor presente de un patrón de flujos (no sólo uno) simplemente debemos calcular el valor presente de cada flujo individual y luego sumarlos. De esta manera obtendremos un valor que es financieramente equivalente al patrón de flujos planteado, es decir, una persona debería estar indiferente entre recibir dicho valor presente o el patrón flujos. Por ejemplo, una persona desea calcular el valor presente del siguiente patrón de pagos utilizando una tasa de descuento de 5%: Período 1 Período 2 Período en 3 Período en 4 Flujo $100 $50 $200 $150 Valor Presente: = $100/(1+0,05) + $50/(1+0,05)2 + $200/(1+0,05)3 + $150/(1+0,05)4 Valor Presente: $436,76 Es decir este patrón de flujos es financieramente equivalente a un solo pago de $ 436,76, ya que si invierto ese monto en t = 0 al 5% y retiro $100, $50, $200 y $150, en el período 1, 2, 3, y 4 respectivamente, al final del cuarto período tendré $0. Figura 1.4: Hoy $436,76 Período 1 $458,6 -$100 $358,6 Período 2 $376,53 -$ 50 $326,53 Período 3 $342,86 -$ 200 $142,86 Período 4 $ 150 -$ 150 $0 x(1,05) x(1,05) x(1,05) x(1,05) ¿Qué sucede cuando debemos comparar patrones de flujos en distintos momentos del tiempo? Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente problema: Flujo en 1 Flujo en 2 Flujo en 3 Flujo en 4 Flujo en 5 VP @ 10% VP @ 15% A $100 $100 $100 $0 $0 $248,69 $228,32 B $0 $100 $200 $0 $0 $232,91 $207,12 C $100 $200 $0 $0 $0 $256,20 $238,19 D $70 $70 $70 $70 $70 $265,36 $234,65 9 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. Para el caso de los patrones de pagos A, B y C, basta con que exista una tasa de descuento positiva (distinta de cero) para que, sin calcular ningún valor presente, sepamos que el patrón C es más valioso (posee mayor valor presente). Sin embargo, si introducimos el patrón de flujos D, nos vemos en la necesidad de calcular el valor presente para determinar si C o D es más atractivo, ya que la suma lineal de los flujos (suponiendo tasa de descuento cero) no es igual. De esta manera, vemos que para una tasa de descuento de 10%, el patrón D posee mayor valor, mientras que para una tasa de descuento de 15%, el C pasa a ser más valioso. Como los flujos de C son recibidos más tempranamente, si son invertidos a la tasa de 15%, es posible, reinvirtiendo a dicha tasa replicar el patrón de pagos D, sobrando cierta cantidad de dinero.2 Resumiendo, podemos definir una fórmula bastante general para calcular el valor presente de un patrón de flujos: Ecuación 1.6: ∑ = = + = ni i i i r F 1 )1( Flujos los de PresenteValor Esta fórmula contiene sólo el supuesto que las tasas de descuento para todos los períodos serán iguales. Este supuesto, si bien razonable, no es siempre válido, pues en la práctica uno puede poseer la información necesaria como para descontar los flujos en distintos momentos del tiempo a diferentes tasas. Supongamos que tenemos el siguiente patrón de flujos y queremos calcular su valor presente: Período 1 Período 2 Período 3 Flujo $100 $50 $70 Tasa por Período 10% 11% 9% 46,184$ %)91%)(111%)(101( 70$ %)111%)(101( 50$ %)101( 100$PresenteValor = +++ + ++ + + = La equivalencia financiera del valor presente y el patrón de flujos sólo se logra considerando las tasas que se esperan serán las relevantes en cada período, ya que serán ésas las tasas de interés que se espera ganar por la inversión que se mantenga durante dichos períodos. Figura 1.5: Hoy $184,46 Período 1 $202,90 -$100 $102,90 Período 2 $114,22 -$ 50 $64,22 Período 3 $70 -$70 $0 x(1,11) x(1,09) x(1,1) 2 La cantidad que sobra es exactamente $7,12, el valor futuro en el período 5 de $3,54 (la diferencia de valores presente). 10 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. Si consideramos el caso en que las tasas de descuento no son las mismas para distintos períodos, definiríamos la siguiente fórmula de valor presente, que correspondería a la versión más general: Ecuación 1.7: ∑ ∏ = = = = − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ni í ij j jj i r F 1 1 1 )1( PresenteValor Por simplicidad, en el resto del apunte supondremos que las tasas de descuento por período son iguales, a menos que explícitamente se diga lo contrario. 1.6 Caso Especiales: Perpetuidades y Anualidades. Supongamos que queremos calcular un valor presente de un patrón de flujos en que un mismo pago periódico “F” se extiende hasta infinito. En este caso, estaríamos hablando de un flujo perpetuo o una “perpetuidad”. La ecuación 1.6 no es útil pues dentro de la sumatoria deberíamos incluir infinitos términos. Debemos llegar a una fórmula especial: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ∞→ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + = + − + + + ++ + + + + + = + + ∞= + + + ++ + + + + + = + = + + + − = = ∑ r rx r FVP n cuando límite Aplicando rr F r rVP Donde r F r F r VPVP (2), - (1) Restando r F r F r F r F r F r VP obtenemos, r)(1 1 por (1) ndoMultiplica n Con r F r F r F r F r F r F VP n n nn nn ni i i i )1( )1( 1 )1( 1 )1( 1 )1( , )1()1()1( (2) )1()1( ... )1()1()1()1( (1) )1()1( ... )1()1()1()1( 1 1 1432 132 1 Por lo que el cálculo del valor presente queda reducido a: Ecuación 1.8: r FVP = 11 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. Por ejemplo, ¿Cuál es el valor presente de recibir $50 anuales para siempre si la tasa de descuento anual es de 10%? 500$ 1,0 50$ ==VP La intuición para interpretar la ecuación 1.8 y el resultado anterior es preguntarse ¿de qué manera puedo yo obtener $50 cada año y “para siempre” si la tasa de interés es de 10% anual? Deposito $500 y cada año retiro sólo los intereses. De esa manera la inversión siempre comenzará cada año con un valor de $500 y ganará $50 por año. Este flujo perpetuovale hoy necesariamente $500. Por otro lado, ¿qué sucedería si deseamos calcular el valor presente de un flujo idéntico cada año, pero que no se extiende a infinito sino durante muchos años, digamos, por ejemplo 35? En este caso estamos hablando de una “anualidad” y el cálculo del valor presente podría hacerse utilizando la ecuación 1.6, pero claramente sería un cálculo largo y tedioso (aunque con las planillas de cálculo que hoy existen, corto y simple). El problema puede ser resuelto de la siguiente manera: Figura 1.6 0 1 2 3 4 34 35 36 infinito … … F F F F F F F F F (2) F r F r (1) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −= + −=−=− 3535351 )1( 11 )1( 1)2()1( rr F r x r F r FVPVPVP Como se observa en la figura 1.6, el valor presente de la anualidad ‘F’ desde el año 1 al 35 puede ser obtenido mediante la resta de dos perpetuidades: la primera desde 1 a infinito y la segunda desde el año 36 a infinito. Ambas son idénticas a F/r, pero la diferencia es que la primera entrega su valor presente en el año cero y la segunda entrega el valor presente en el año 35, por lo que para restar ambos valores presentes es necesario descontar la segunda perpetuidad por 1/(1+r)35. En general, es posible definir el valor presente de una anualidad de valor F por n años, don de n es menor que infinito, como: Ecuación 1.9: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −= nrr FVP )1( 11 12 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. ¿Qué sucedería si el pago perpetuo no fuera constante, pero creciera a una tasa constante? Si definimos como ‘g’ dicha tasa de crecimiento, es posible demostrar que el valor presente de dicha perpetuidad es igual a: Ecuación 1.10: rg Donde gr FVP < − = Demuéstrelo! (Ayuda: utilice la demostración de la ecuación 1.8). Finalmente, si el flujo creciente es en realidad una anualidad desde el período 1 hasta n, donde n es menor que infinito, entonces utilizando la metodología presentada para obtener la ecuación 1.9, es posible demostrar que el valor presente de dicha anualidad es igual a: Ecuación 1.11: ∞<⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − = n Donde r g gr FVP n 1 11 1.7 Tasas de Descuento y Flujos Intermedios. Si por alguna razón nos encontramos en la situación en que un flujo se encuentra al interior de un período para el cual se ha definido la tasa de descuento, debemos calcular la tasa para el subperíodo antes de proceder a calcular un valor presente. Para esto, nuevamente debemos definir si estamos bajo los supuestos de interés simple o interés compuesto. En el caso de interés simple, si tenemos una tasa anual de 12%, pero un flujo en seis meses más, la tasa de descuento para esos seis meses resulta de la simple división por dos de la tasa anual y en general (6%), cuando tenemos una tasa simple y queremos calcular la tasa para un subperíodo, definimos: subperíodo anual subperíodoanual r n r nrr = = Donde n es el número de subperíodos contenidos en un año (pues un año en este caso es el período definido por la tasa de interés). En el caso de interés compuesto, la solución al mismo problema es levemente más compleja, pues debemos encontrar una tasa semestral que al componerla anualmente sea exactamente igual a 12%, es decir: 13 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. %83,51%)121( 1)1( 1)1( 2 1 2 1 2 =−+ =−+ −+= semestralanual semestralanual rr rr En general, si n es la cantidad de subperíodos contenidos en un año, se define: subperíodo n anual rr =−+ 1)1( 1 Por último es necesario recalcar que en otros países las tasas de interés suelen presentarse con distintas convenciones de cálculo. En el caso de Estados Unidos lo relevante para una tasa de interés o de descuento es cuántas veces al año se compone o capitaliza. Por ejemplo, una tasa de ‘12% anual compuesta trimestralmente’ significa que se está trabajando con una tasa de interés de 3% trimestral compuesto, o bien una tasa ‘efectiva anual’ de 12,55% ( = (1+3%)4 – 1). En general, cuando en el extranjero nos enfrentamos a una tasa de interés anual, pero que es compuesta m veces en el año, la tasa que efectivamente se está pagando se calcula como: 11Anual Efectiva Tasa −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +== m anual efectiva m r r Note que si estamos frente a este tipo de tasas y el flujo intermedio coincide con el subperíodo sobre el cual se compone la tasa, la tasa para el subperíodo es la simple división de la tasa anual. Por ejemplo, si la tasa es de 10% anual compuesta semestralmente y el flujo es a seis meses, entonces la tasa que se debe utilizar para descontarlo es de 5%. 14 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. EJERCICIOS 1. Recientemente, el grupo controlador de la empresa REVERSIS S.A. acordó la venta de sus acciones a la empresa española NILE S.A. en $1.000.000.00…. (mucha plata). Además de estas acciones adquiridas, NILE S.A. está interesada en comprar el resto de las acciones en circulación. NILE S.A. ha ofrecido comprar cada acción en $ 1.000 al contado o mediante cualquiera de las siguientes modalidades de pago: a) $500 al contado, el resto pagadero en 4 cuotas trimestrales de $60 (a partir de tres meses más) y tres cuotas anuales $100 (la primera de ellas en dos años a partir de hoy). b) A partir de fines del segundo año, se pagarán $200 cada dos años por 30 años. c) Primer año de gracia (donde no se recibe pago alguno). A partir de fines del segundo año, se recibirá un pago anual que crecerá a una tasa constante de 5% anual durante 15 años. El primer pago a recibir será de $100. d) Cuatro pagos semestrales de $200 (el primer pago se recibirá en exactamente dos años más) y cuatro pagos semestrales de $200 (donde el primer pago se recibirá en exactamente 6 años y medio más). e) Una perpetuidad que se recibirá con una periodicidad de 1,5 años y que crecerá a una tasa anual de 3%. El primer pago se recibirá en exactamente 18 meses más y alcanzará a $108. SE PIDE: Suponga que Ud. posee 1.000 acciones de REVERSIS S.A. y ha decidido vendérselas a NILE S.A. Si la tasa de interés es y permanecerá siempre a un nivel de 10% anual, ¿Vendería las acciones al contado o mediante alguna modalidad de pago en particular? Fundamente numéricamente su respuesta. 2. El Dr. Orozco ha permitido que Leo Rodríguez, última contratación del cuadro azul, lleve una publicidad distinta a la de Chilectra. Entre de las distintas empresas que han presentado propuestas, el futbolista ha seleccionado las siguientes: a) Diadora: Un Bono de UF 1.000 hoy, más UF 500 trimestrales hasta la eternidad (el primer flujo lo recibiría en 9 meses más). Además, le pagaría un Bono de UF 3.000 al final del quinto año de contrato. b) Sofría: interesada en consolidarse como ¨la hamburguesa de los futbolistas¨ le ofrece UF 2.500 al final de cada año, por los próximos ocho años, más UF 1.000 anual por diez años a partir del término del año 9, y UF 500 anual a partir del término del año 20 hasta la eternidad. En este caso Leo debería filmar un spot en que aparecería diciendo: ¨Cuando voy a Argentina, siempre llevo Hamburguesas Sofría...¨ c) Reebok: le ofrece un pago cada tres años de UF 4.150 por quince años (el primer pago es al final del tercer año). A partir de entonces, recibiría un flujo anual de UF 800, cada dos años durante 6 años y posteriormente, UF 200 cada semestre hasta la eternidad. 15 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. SE PIDE: Ayude a Leo a elegir la alternativa más conveniente. Suponga que no existe riesgo y que la tasa de interés real es de 10% anual. 3. Marcelo "Chino" Ríos tras los excelentes resultados que ha obtenido a nivel mundial, ha recibido ofertas de varios auspiciadores interesados en que él acepte sus contratos. Hoy 31/12/94, se le han presentado las siguientes alternativas: a) Javier Flores le ofrece a Marcelopagarle $ 15.000.000 por usar las poleras marca "Flores & Gildemesiter" que se pagarán en cinco cuotas anuales de $3.000.000 siendo la primera el 1/1/95. Las cuatro siguientes se pagarán el 31/12/95, 31/12/96, 31/12/97, 31/12/98. b) Nike, que sufrió una baja del 36% en sus ventas el año pasado, vio en Marcelo la posibilidad de aumentarlas, por lo que ofreció pagarle la inscripción a los abiertos del ATP tour de 1996, la cual cuesta $ 4.000.000. Este pago se hará el 31/12/95. Además, le ofrece un sueldo de por vida de $824.000 anuales, (que se pagará a fines de cada año, recibiendo el primero de ellos 31/12/95). c) Dunlop muy interesado en firmar un contrato con Marcelo ofreció pagarle los próximos diez años un sueldo fijo anual de $ 1.240.000 y $ 824.000 durante los doce siguientes (es decir del año 11 al 22). Todos los sueldos se pagarán el 31/12 de cada año, siendo el primero de ellos el 31/12/95. d) Yonex, también muy interesado en firmar un contrato, le ofrece al Chino la siguiente oferta: Un sueldo por tres años de $1.400.000 (que se paga a fines de cada año, siendo el primero el 31/12/95), un bono al final del tercer año por $4.000.000, y un sueldo de por vida de $188.211,12 por año a partir del cuarto año. e) Wella, pensando que la cabellera del Chino puede ser un "gancho" comercial interesante, ofrece pagarle $2.000.000 cada dos años por durante los próximos 20 años. El primer pago lo recibiría el 31/12/96. SE PIDE: Usted como alumno de Contabilidad II deberá ayudarlo a tomar la decisión correcta. Específicamente, Ud. debe analizar cada una de las alternativas, dejando claramente especificados los cálculos realizados que lo lleven a determinar la mejor opción. Tasa de interés apropiada: 8% anual. 4. Suponga que Ud. tiene los siguientes patrones de flujos de $x: 13 12 11 7 8 9 10 3 4 5 6 0 1 2 … a) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 … b) 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Finc) 0 1 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 … d) 0 1 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 16 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. Se Pide: Exprese el valor presente de cada uno de los patrones de flujos presentados suponiendo que la tasa de descuento es 10% por período. 5. Suponga que la tasa de descuento es de 1% mensual compuesta y que se tienen los siguientes patrones de flujos mensuales (un flujo 0 significa que no hay flujo; un flujo 1 significa un flujo de 1 peso). Calcule el Valor Presente al mes 0 de los siguientes patrones de flujos (letras (a) hasta la (e)). Asuma que los flujos se reciben a fines de cada período. Meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... infinito a) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ... infinito b) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 (fin) c) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ... infinito d) Calcule el valor futuro de los flujos a) y b) al mes 10 e) Cómo cambia su respuesta en b) si Ud. supone que el patrón de flujos continúa hasta infinito? No existe inflación. 6. Suponga que Ud. tiene los siguientes activos: Activo Valor Presente de los Flujos Flujo Período 1 Flujo Período 2 A $ 1.946,33 $ 1.000 $ 1.200 B $ 1.162,65 $ 800 $ 500 Se Pide: Si Ud. sabe que las tasas de descuento para cada período son diferentes, y que el valor presente de cada activo está bien calculado, presente la tasa que se usó para descontar los flujos del período 1 y la que se usó para descontar los flujos del período 2. 17 Apuntes de Contabilidad II Prof. Gustavo Maturana R. 7. Suponga que Ud. está eligiendo qué AFP administrará su fondo de pensiones. Ud. sabe que mientras más alta la rentabilidad que le ofrezca la AFP más alta será la cantidad de dinero que tendrá disponible al momento de jubilar. Por otro lado, la AFP cobra comisiones por los servicios de administrar su dinero hasta que jubile. Estas comisiones están compuestas por una porción fija y otra variable. La porción variable depende del monto que Ud. cotice (es decir depende de la cantidad de dinero que Ud. le entregue mensualmente a la AFP). Ud. acaba de empezar a trabajar y su primer sueldo lo recibirá en exactamente un mes más y será de $100.000 brutos. El monto que Ud. entregará a la AFP es el 10% de su sueldo (es decir, a fines de mes recibirá líquido sólo $90.000, ya que el 10% de su sueldo bruto será entregado a la AFP que Ud. elija). Ud. está decidiendo qué AFP administrará su fondo de pensiones y debido a que independientemente de cuál AFP elija deberá entregarle el 10% de su sueldo, lo relevante es cuál va a ser el monto que va a disponer en el futuro para jubilar. Ud. sabe que va a jubilar en exactamente 30 años más y que su sueldo crecerá a una tasa de 0,2% mensual. Además dispone de la siguiente información respecto a las dos AFP que está analizando: AFP Dinero entregado a AFP (Cotización) Comisión Variable Cobrada por AFP Comisión Fija Cobrada por AFP Rentabilidad Ofrecida por la AFP RESSTA 10% del sueldo 2,0% de lo cotizado $300 mensuales 0,5% mensual CONTRAVIDA 10% del sueldo 1,0% de lo cotizado No cobra 0,48% mensual ¿Cuál AFP elegiría Ud? Fundamente numéricamente su respuesta. Suponga que no existe inflación. Referencias. 1. Brealey, R. y Myers S., Fundamentos de Financiación Empresarial, Capítulo 3, Quinta Edición, 1999, McGraw Hill. 2. Bilbao, J. Y Pérez, F., Valoración de Proyectos y Empresas, Capítulo 1, Documento Docente Escuela de Administración PUC. 3. Davidson, Stickney y Weil, Intermediate Accounting, Cuarta Edición, Capítulo 5. 18 VF Diferencia 2. 3. 6. Activo
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