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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Facultad de Ciencias Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria T E S I S QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: M A T E M Á T I C A S P R E S E N T A: REINA ENRIQUETA VELÁZQUEZ SOTO Directora de Tesis M en C. María de Lourdes Guerrero Zarco 2007 UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. Dedico este trabajo a mis amores y familiares A mis profesores, en especial al la M en C María del Lourdes Guerrero Zarco por su gran apoyo, por creer en mi trabajo, por fortalecer mi confianza y guiarme con su profecionalismo Agradezco a la UNAM, a la Facultad de Ciencias. A MI HIJO José Jenaro Vive... Vive con amor y en armonía; sé feliz, Dios te ama. Tú eres el responsable de tus actos y de tu vida... Dios te la dio para que la vivas con amor, sé apasionado... tú vida es maravillosa, es tu regalo, aprovéchalo, es tu única oportunidad... Dios te ama. Dios te dio esta única vida para que la ames, la disfrutes, la vivas con respeto y la cuides con amor... es la única oportunidad, no la pierdas. No hay más que ver... no mires el pasado, ni al futuro, solo vive intensamente. Vive con amor, vive con pasión, no esperes ser amado... ámate a ti mismo, usa tus virtudes para encontrar la esencia de la vida y tendrás la llave para entrar al Universo... sé felíz, Dios te ama. Datos del Jurado 1. Datos del alumno Velázquez Soto Reina Enriqueta 12 85 65 38 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Matemáticas 078287914 2. Datos del tutor M de C María del Lourdes Guerrero Zarco 3. Datos del sinodal 1 Mat. Luis Alberto Briseño Aguirre 4. Datos del sinodal 2 Mat. María Juana Linares Altamirano 5. Datos del sinodal 3 M en C José Luis Navarro Urrutia 6. Datos del sinodal 4 Mat. Esteban Rubén Hurtado Cruz 7. Datos del trabajo escrito Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria 350 p 2007 INDICE PÁGINA INTRODUCCIÓN................................................................................ 1 CAPÍTULO 1.- IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA 1.1 Propósito del estudio de las Matemáticas en la Educación Secundaria ....................................................................................... 11 1.2 Las Matemáticas en la vida diaria............................................... 18 CAPÍTULO 2.- ARITMÉTICA Y LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN 2.1 Números Naturales N................................................................. 26 2.1.1 Lectura y escritura de los Números Naturales................... 29 2.1.2 Operaciones elementales................................................... 31 2.1.3 Múltiplos y divisores........................................................... 35 2.1.4 Cuadrados y cubos............................................................. 43 2.2 Sistemas de numeración............................................................. 49 2.3 Números decimales 2.3.1 Concepto de número decimal............................................. 58 2.3.2 Lectura y escritura de números decimales......................... 59 2.3.3 Operaciones con números decimales.................................. 61 2.3.4 Truncamiento y redondeo de números decimales............... 66 2.4 Fracciones 2.4.1 Significado, noción y uso de las fracciones........................ 68 2.4.2 Operaciones elementales y sus algoritmos......................... 72 2.4.3 De fracción a decimal y viceversa........................................ 81 2.5 Aplicación de las fracciones: Proporciones.................................. 85 2.6 Números con signo 2,6,1 Introducción.......................................................................... 92 2.6.2 Números con signo.............................................................. 94 2.6.3 Aplicación de los números con signo................................... 96 CAPÍTULO.- 3 PREÁLGEBRA 3.1 Jerarquía de las operaciones elementales (+, - , x, ÷).................. 102 3.2 Lenguaje algebraico...................................................................... 105 3.3 Expresiones algebraicas............................................................... 107 3.4 Tabla de valores............................................................................ 113 3.5 Plano cartesiano........................................................................... 116 CAPÍTULO 4.- GEOMETRÍA 4.1 Dibujos y trazos geométricos 4.1.1 Origen de la geometría........................................................ 119 4.1.2 Vocabulario básico de geometría........................................ 124 4.1.3 Uso correcto de instrumentos de geometría........................ 129 4.1.4 Construcción y clasificación de figuras geométricas........... 131 4.2 Simetría......................................................................................... 145 4.3 Perímetros y áreas........................................................................ 156 4.4 Sólidos 4.4.1 Origen y características de los sólidos................................. 176 4.4.2 Área, volumen y capacidad de un poliedro.......................... 189 CAPÍTULO 5.- TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN 5.1 Probabilidad.................................................................................. 198 5.2 Presentación y tratamiento de la información............................... 211 CAPÍTULO 6.- FUNDAMENTOS PEDAGÓGICOS 6.1 Características psicológicas del adolescente............................... 224 6.2 Desarrollo cognoscitivo................................................................. 235 6.3 Pensamiento crítico....................................................................... 256 6.4 Herramientas para el proceso enseñanza-aprendizaje................ 271 CONCLUSIONES............................................................................... 294 ANEXO 1.- OPERACIONES MENTALES Y FUNCIONES COGNOSCITIVAS.............................................................................. 302 ANEXO 2.- PROGRAMA DE ESTUDIOS DE LA SEP..................... 315 ANEXO 3.- HERRAMIENTAS PARA LA EVALUACIÓN.................. 320 BIBIOGRAFÍA.................................................................................... 346 INTRODUCCIÓN Mi trabajo de tesis es una propuesta para impartir la Materia de Matemáticas 1 en al Educación Secundaria. El desarrollo de mí práctica docente a través de la “Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria” es la recopilación de evidencias durante los dos últimos años frente a grupo. Con la finalidad de desarrollar el potencial del alumno, mí propuesta se contextualiza bajo los siguientes puntos: El aprendizaje debe partir de las ideas y conocimientos previos que el alumno debe llevar al aula. Que el alumno desarrolle su conocimiento y habilidades a través del lenguaje.Promover un razonamiento lógico al momento de guiarlo. Que analice, evalúe y comparta sus conocimientos. Que mejore su calidad de vida a través de haberse apropiado del conocimiento. Crear personas pensantes, guiándolos hacia una nueva forma para adquirir su conocimiento. Crear adolescentes con un pensamiento crítico utilizando diferentes estrategias a través del constructivismo. Lo anterior se realiza a partir de que el alumno Aprenda a Aprender, es decir, cuyo significado trasciende a través de interpretar, evaluar, representar, analizar, clasificar y memorizar. Herramientas fundamentales para el proceso de Aprender a Enseñar y Enseñar a Aprender. El marco teórico que contextualiza ésta propuesta define el proceso de aprendizaje bajo el Constructivismo, basándose en la Teoría de Jean Piaget con su postura psicogenética; a Vigotsky, quien incorpora los 1 determinantes sociales en el desarrollo; a Ausubel, quien considera el aprendizaje significativo para el sujeto y a Reuven Feuerstein con la teoría de la Modificabilidad Cognoscitiva Estructural y la Experiencia del Aprendizaje Mediado [TAN05] Basándome en el contexto del párrafo anterior, limito mi búsqueda en los adolescentes que cursan su Educación Secundaria a partir del desarrollo psicogenético y la problemática que engloba su entorno social. La “Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria” es sólo una propuesta que quiero compartir con maestros que realizan su actividad en éste nivel, con la finalidad de enriquecer sus clases para que el aprendizaje de las matemáticas sea significativo en nuestros alumnos. Los invito a que brindemos a los alumnos espacios y experiencias donde vayan descubriendo procesos, permitirles que se integren a sus actividades cotidianas de trabajo; a que se vuelvan aprendices autónomos, independientes y autorregulados, capaces de Aprender a Aprender. Es importante mencionar que bajo este mismo contexto, la Secretaria de Educación Pública (SEP) estableció en educación básica el desarrollo de las “Competencias para la vida” las cuales se conciben como el conjunto de habilidades y actitudes que los sujetos desarrollan para poder integrarse a un mundo heterogéneo, incierto, cambiante, inestable y complejo. Competencias que a su vez son necesarias para poderse incorporar a diversos ámbitos como: la familia, la escuela, la comunidad o el trabajo. Durante el desarrollo de ésta tesis se podrá observar que la reforma educativa que implanta la SEP y mi propuesta en éste trabajo de tesis están vinculadas bajo los mismos objetivos pero desde posturas diferentes. Es pertinente dar a conocer que la entrada a la Escuela Secundaria lleva al adolescente a una serie de emociones contradictorias; alegría, curiosidad, 2 ilusión, nervios, junto con los cambios biológicos que presentan en ésta etapa, sin embargo en ésta etapa, el adolescente ha alcanzado a desarrollar ciertas habilidades de conocimientos y actitudes en el campo de las matemáticas. Durante mucho tiempo se creó la idea que el aprendizaje de las matemáticas radica en proporcionar definiciones y procedimientos de problemas modelo explicados por el profesor o tomados de libros de texto, haciendo que los estudiantes ejerciten en forma mecánica una y otra vez dichos procedimientos hasta lograr que los puedan repetir con un mínimo de errores. Bajo este esquema se cree que a la enseñanza del profesor le corresponde directamente el aprendizaje de los alumnos. Lo anterior ha convertido las matemáticas en una materia incomprensible, tediosa, aburrida, aislada de necesidades e intereses propios de la edad por la falta de un aprendizaje significativo que no puede reducirse a la memorización de los hechos, definiciones, teoremas, ni tampoco a la aplicación mecánica de ciertas técnicas y procedimientos que llevan al estudiante a interrogantes de la forma... ¿Y esto para que me sirve?... Los alumnos no deberán ser receptores pasivos de las explicaciones del profesor o solamente ejercitarse en la aplicación técnica y procedimientos convencionales, es necesario cederles el papel protagónico de la clase. A través de mi práctica docente en la escuela secundaria he revisado algunos libros de texto. En algunos casos se enfocan a un proceso mecánico, a la ejercitación repetitiva de una serie de ejercicios y pocas veces a una aplicación constructivista para lograr un proceso significativo. Esta propuesta es “Aprendizaje por competencia” Su objetivo principal radica en: 3 “Iniciar a los estudiantes en la utilidad, fuerza y belleza de la asignatura. El lenguaje de las matemáticas como medio para estructurar sucesos y situaciones, ayudarlos a comprender el mundo en que vivimos. Equipar al alumno con una base sólida de conocimientos, destrezas y actitudes que le permitan adaptarse a mediada que surjan sus necesidades”. Para cubrir estas necesidades se requiere una serie de conocimientos y comprensión de conceptos que les ayuden a tomar decisiones personales a través de un aprendizaje cognitivo, un pensamiento crítico, un conocimiento metacognitivo, y como ya mencione; un aprendizaje significativo. Motivada por la propuesta del Constructivismo y por la trayectoria docente que me respalda quiero compartir mi tesis para mostrarles esta corriente metodológica. Cabe mencionar que la metodología se sustenta en tres conceptos fundamentales: APRENDIZAJE HOLÍSTICO: donde el estudiante pueda aplicar tanto las matemáticas como las operaciones mentales en muchos aspectos de su vida y establecer vínculos con otras asignaturas. CONCIENCIA INTERCULTURAL: promueve una comprensión de cómo los factores culturales, sociales e históricos influyen en el pensamiento matemático y su evolución. COMUNICACIÓN: para adquirir conocimientos matemáticos; donde el alumno sea capaz de usar el lenguaje y los símbolos a través de una variedad de tecnología y medios de comunicación, que comprenda que este lenguaje es universal. 4 Para lograr ampliar la experiencia de los estudiantes, insertando el aprendizaje dentro del contexto; ayudarles a desarrollar actitudes y valores basados en su conocimiento previo y destrezas. Se propone que la asignatura utilice “Las áreas de interacción” para su aplicación: Áreas de Interacción: Aprender a Aprender: es el desarrollo eficaz de técnicas de estudio para formar un pensamiento crítico, coherente e independiente y la capacidad de resolver problemas y tomar decisiones. Servicio comunitario: ayuda a los estudiantes a aplicar y fomentar la participación responsable de sus conocimientos en la vida cotidiana. Salud y educación social: fomenta el respeto por el cuerpo y la mente, capacitando al individuo para tomar decisiones coherentes y responsables. Medio ambiente: a través de la investigación matemática y del análisis de datos, los estudiantes podrán examinar el impacto ambiental y sugerir medidas para solucionar algunos problemas. Homo faber: (temas interdisciplinarios a través de proyectos que buscan conexiones con otras materias, por ejemplo: la geometría y el arte) desarrolla la capacidad del ser humano para inventar, crear, transformar, disfrutar y mejorar la calidad de vida estudiando la historia y sus personajes, quienes han contribuido al desarrollo del pensamiento matemático en diferentes épocas. La interacción de estas áreas debe estar bien coordinada para evitar salir del contexto que la asignatura persigue. Como ya se mencionó el estudio de las matemáticas es fundamental en la formación de los estudiantes. Estas notas se restringen exclusivamente a aplicar la metodología al 1er. Año de Educación Secundaria, tomando 5 como parámetro el plan de estudio que realiza la Secretaria de Educación Pública (SEP), agrupado en cinco áreas: Aritmética, Álgebra,Geometría, Presentación y tratamiento de la información y Nociones de Probabilidad. Durante el desarrollo de cada capítulo se puntualiza el objetivo que debe alcanzar el proceso enseñanza y aprendizaje. Se describe el conocimiento declarativo y conocimiento procesal que se utiliza en cada tema incluyendo los recursos, técnicas y actividades. Se dan a conocer las herramientas que en su momento se utilizaron para un aprendizaje por competencias, así como los procesos para evaluar la unidad temática y la relación que tiene con la vida práctica. A continuación doy a conocer la introducción de cada uno de los capítulos que presento como parte de mi trabajo de tesis: “Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria”: CAPÍTULO 1. “IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA” Describe la importancia de las matemáticas en la Educación Secundaria. Generaliza la aplicación de la asignatura en las áreas de interacción a través del aprendizaje Holístico. Con el objetivo de despertar el interés de la asignatura el alumno conoce los propósitos formativos. 6 CAPÍTULO 2. “ARITMÉTICA Y LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN” A través de un bosquejo histórico de los sistemas de numeración, del desarrollo e invención de nuevas matemáticas que responden a la evolución de las necesidades del hombre, se introduce la historia de las matemáticas. Propone ejercicios sobre lectura y escritura de los números naturales para explorar los conocimientos adquiridos en años anteriores. Plantea actividades lúdicas que enriquecen los procesos de los algoritmos en las operaciones elementales y problemas de aplicación. Establece una relación entre los números decimales y los fraccionarios. Se plantean actividades para reafirmar las operaciones elementales bajo problemas de aplicación (porcentajes y proporcionalidad, descuentos, aumentos, impuestos etc.) CAPÍTULO 3.“PREÁLGEBRA” A través de actividades lúdicas el alumno conoce la forma como se operan los números con signo, jerarquía de las operaciones y la eliminación o reducción de paréntesis. Plantea la necesidad de utilizar un lenguaje algebraico para resolver problemas, se introduce la noción de ecuación a partir de la igualdad de expresiones algebraicas. Se esquematiza el proceso para resolver una ecuación lineal y su gráfica. CAPÍTULO 4. “GEOMETRÍA” Inicia con la historia de la geometría a través de las necesidades que debe cubrir el ser humano para su desarrollo. 7 Menciona los principales filósofos de la historia que aportaron gran parte de su conocimiento. Detalla el uso correcto de los instrumentos geométricos y la aplicación de la geometría en el mundo actual. Describe diversas actividades que conduce al alumno a construir sus conceptos partiendo del planteamiento de un problema o bien de lecturas previas que posteriormente organiza y aplica en problemas diversos. A través de actividades, herramientas y estrategias que se utilizan en clase, el alumno conoce la importancia de la “simetría”. Se conduce al alumno en diversos procesos para identificar las características de las figuras y los cuerpos geométricos, así como el cálculo de áreas, perímetros, volúmenes y capacidades respectivamente (unidades de medida y la conversión de una unidad a otra) Se resuelven problemas extraídos de diferentes fuentes aplicando los conocimientos adquiridos. En la última sección del capítulo se describen las herramientas y estrategias lúdicas utilizadas en el proceso enseñanza-aprendizaje que involucran a la aritmética y la preálgebra. CAPÍTULO 5. “TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN” En éste capítulo de mi tesis se compagina los temas: decimales, fracciones, proporciones, porcentajes y geometría en problemas de la vida diaria. Los juegos de azar como herramienta fundamental se utilizan para introducir el concepto de probabilidad y la forma de obtenerla. A partir de ejemplos, el alumno conoce el proceso para organizar la información de un evento y las representaciones gráficas correspondientes. 8 Describe las actividades, herramientas y estrategias que me ayudaron a la comprensión del tema y su aplicación en problemas de rutina. CAPÍTULO 6. “FUNDAMENTOS PEDAGÓGICOS” Éste capítulo de “Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria” doy a conocer las características de la personalidad de mis alumnos y el sustento pedagógico de los adolescentes basado en la teoría de Jean Piaget y seguidores en la actualidad. Describe la importancia del “Modelo Constructivista” que hoy en día se ha reestructurado para darle mejor enfoque al aprendizaje, con la finalidad que crear alumnos con pensamiento crítico y analítico. Describe las diferentes herramientas y estrategias para el proceso de “enseñanza-aprendizaje” que sustentan la base pedagógica. Describe el enfoque pedagógico de las Matemáticas en el Constructivismo. Con éste trabajo de tesis, invito al lector a que conozca la trayectoria y el desarrollo de la “Aplicación del Modelo Constructivista en Matemáticas 1 de la Educación Secundaria”: Que realice observaciones sobre la aplicación de herramientas y estrategias del Constructivismo; conozca los obstáculos a los que me enfrente en su momento con la finalidad de enriquecer mi trabajo frente a grupo en cursos futuros. 9 CAPÍTULO 1 IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA 10 1.1 PROPÓSITO DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICASEN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA Al inicio del ciclo escolar se experimentan nuevas experiencia, distintas entre cada grupo debido a las características particulares. Al presentarme por primera vez con los alumnos es importante platicarles un poco sobre mi trayectoria como profesora de la asignatura, con la finalidad de que conozcan el perfil de la persona que estará con ellos durante todo un curso escolar, sobre todo, porque la comunicación es importante en el aprendizaje. Antes de que el estudiante conozca el plan de estudio necesita saber la importancia de las Matemáticas en la Educación Secundaria para poder responder a la pregunta... ¿Cuál es el propósito del estudio de las Matemáticas en la Educación Secundaria?... La respuesta podría restringirse... Es fundamental para tu formación... Esta respuesta tan breve los conduce a otra pregunta... ¿Y porqué es importante para mi formación?... Con el propósito de no llegar hasta esta interrogante, despertar el interés, motivarlos y conducirlos hacia una nueva expectativa de la asignatura inicio con una pregunta Arrancador [VER FIGURA 6.4.6] -¿Para qué sirven las matemáticas?- les pregunté. Estas son algunas de las respuestas más comunes que dieron mis alumnos: Para contar, medir, sumar, resolver problemas, hacer figuras, para reprobar... etc. 11 Las respuestas me reflejaron un panorama donde el alumno desconoce que las Matemáticas son parte de su formación y que persigue propósitos esencialmente formativos que consisten en: Desarrollar habilidades Promover actitudes positivas Adquirir conocimientos matemáticos Estos propósitos no se desarrollan en forma jerárquica, sino forman un todo en relación dialéctica. La asignatura pretende que los estudiantes desarrollen habilidades operatorias, de comunicación y descubrimiento en forma permanente e independiente para adquirir la agilidad de resolver problemas y en un futuro puedan utilizarlas en forma consciente e inconsciente. Promueve actitudes positivas que posteriormente lo manifiesten de alguna manera espontánea en su conducta. Que adquieran conocimientos matemáticos a fin de lograr una cultura significativa y funcional que pueda aplicar en la vida cotidiana. Para consolidarla información y crear desde su inicio un panorama claro sobre la asignatura, preparé una exposición (documentándome en el “Libro para el maestro” que edita la SEP) sobre la importancia de las Matemáticas en la Educación Secundaria, posteriormente elaboré en clase los siguientes organizadores gráficos con el objetivo de conducirlos desde el inicio a un aprendizaje constructivista. Partiendo de una lectura previa en mi exposición sobre el tema y las aportaciones de mis alumnos, se estructura la información más relevante sobre la importancia de las Matemáticas en la Educación Secundaria representada en la siguiente Figura 1.1.1 cono resultado de la actividad. 12 Figura 1.1.1. - Mapa Conceptual “IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA” Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Secundaria ¿Por qué es fundamental? Porque persigue propósitos formativos. El retroceso en uno de ellos repercute de alguna manera en el otro. PROMUEVE ACTITUDES POSITIVAS ADQUIERE CONOCIMIENTOS Á DESARROLLA HABILIDADES Las habilidades parten de las capacidades generales de cada individuo. Se desarrollan por medio del uso consciente o inconsciente en forma automática. Las actitudes son los valores que expresa el ser humano a través de lo que siente, piensa y ha adquirido en la vida. A través de las ramas de Matemáticas se pretende que el estudiante consolid procesos de formación básica con el fin de lograr una Cultura Matemática significativa y funcional. las e La siguiente Figura 1.1.2 es el resultado de las intervenciones de los alumnos durante mi exposición y muestra la organización del desarrollo de habilidades que se estimulan en la materia de Matemáticas. 13 Figura 1.1.2 Mapa Mental “DESARROLLO DE HABILIDADES” DESARROLLO DE HABILIDADES Calcular Formular Generalizar Estimar Imaginar Inferir Medir Comunicar Posibilidad de establecer relación entre datos explícitos e implícitos que aparecen en un texto o figura. Utiliza la simbología y los conceptos para interpretar o trasmitir información cualitativa y cuantitativa Relación entre magnitudes para calcular longitudes, superficies, áreas, volúmenes, masas, etc. Trabajo mental de idear trazos, formas y transformaciones geométricas planas y espaciales Resultados aproximados de ciertas medidas, operaciones y ecuaciones. Descubrir regularidades, reconocer patrones, formular procedimientos y resultados. A = b x h 2 Establecer hipótesis, encadenar razonamientos y demostrar fórmulas 4x + 2 = -2 4x = -2 -2 4x = - 4 ⇒ x = -1 Propiedad 1 x 0 =1 A=bxa a b ¿Trapecio? П = 3.14159 Estimado = 3.14 h Resultados aproximados de ciertas operaciones, ecuaciones, etc. a La suma de dos números consecutivos n + (n + 1) c b b 14 15 Posteriormente explique las actitudes positivas e importancia que promueve la enseñanza de las Matemáticas para su desarrollo, sin embargo la mayoría de las ideas provinieron de mis alumnos, aunque no fue el mismo impacto en todos los grupos, en uno de ellos fue difícil despertar el interés debido a las características e inmadures del grupo. En ese instante desconocía las características de mis alumnos y la relación entre ellos; lo que sí pude observar era la apatía hacia la materia. Continué con la exposición y utilizando Arrancadores [VER FIGURA 6.4.6] los fui guiando a lo que necesitaba que respondieran, entonces fue más fácil desarrollar la actividad y poder alcanzar mi objetivo que culminó con la elaboración de la Figura 1.1.3 que presento a continuación. 16 Figura 1.1.3. - Mapa Mental PROMOVER ACTITUDES POSITIVAS PROMOVER ACTITUDES POSITIVAS Colaboración Respeto Investigación Perseverancia Autonomía Sana autoestima Responsabilidad de trabajo en equipo Reconocer el valor del trabajo propio para fortificar la seguridad personal y la confianza a sí mismo Expresar ideas y escuchar a los demás Buscar y verificar diferentes estrategias para resolver problemas Llevar a buen término el trabajo, aún cuando los resultados no sean muy óptimos Asumir responsabilidad de la validez de los procedimientos y resultados adquiridos ¿ Qué?Yo explico Comenzaré de nuevo ¡Lo logré! ¿Qué hice mal? Pongámonos de acuerdo Tengo una idea!!! La siguiente Figura 1.1.4 muestra las generalidades curriculares de los conocimientos que debe adquirir el alumno durante su educación Secundaria en la matería de Matemáticas. Los datos de éste organizador gráfico fueron tomados de la estructura curricular del programa que marca la SEP. Figura 1.1.4 Mapa Mental “CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS” CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS ARITMÉTICA GEOMETRÍA ÁLGEBRA PROBABILIDA PRESENTACIÓN Y TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Ejercitación del cálculo mental, operaciones elementales, reglas de los signos y propiedades de los números Explora regularidades y patrones para que aprenda a expresarlos simbólicamente. Obtenga información que pueda representar en tablas y gráficas. Conocerá las formas geométricas que utilizó el hombre en la antigüe como contribuyó en el desarrollo de la geomet dad y ría Aplicará las matemáticas en diversas áreas del conocimiento y actividades humanas Calculará, estimará y, desarrollará procedimientos en situaciones al azar ¿7 + 3- 5 =? J = 2T¿La edad de Juan es 2 veces la edad de Tania? • • 85% 17 La figura anterior [1.1.4] la utilicé como herramienta para dar a conocer al alumno los temas principales en los que se involucraría durante el ciclo escolar y la conexión con las diferentes ramas de las Matemáticas. En el transcurso de éste tema, la recopilación de datos relevantes sobre los propósitos formativos que las Matemáticas persiguen se facilitó gracias a la estructura que presntan los organizadores gráficos, que en su momento fueron de gran utilidad. Sin embargo no quiero dejar de mencionar la participación activa del estudiante gracias a los conocimientos previos e investigaciones que realizaron. Para su evaluación se consideraron las investigaciones y sus aportaciónes durante la exposición del tema. Para concluir la introducción sobre la Importancia de las Matemáticas en la Educación Secundaria solo resta por responder a la siguiente interrogante: ¿Cuál es la utilidad de las Matemáticas en la vida diaria? La respuesta se encuentra involucrada en el desarrollo de la siguiente sección de éste capítulo. 1.2 LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA DIARIA Ésta sección del capítulo describe el proceso que desarrollé durante la explicación del tema, incluye: las actividades en clase; la participación de los alumnos y las herramientas utilizadas para su evaluación. OBJETIVO: Que el alumno indague en forma general la aplicación de las Matemáticas en la vida diaria, así como su desarrollo e impacto durante la historia. Una vez los estudiantes obtuvieron una idea más clara sobre los propósitos formativos que persiguen las Matemáticas, utilicé el siguiente Arrancador con la finalidad de conectar ambos temas: 18 -¿Dónde se utilizan las matemáticas?- Para dar respuesta a la interrogante construimos en clase un S.Q.A (Lo que SÉ; Lo que QUIERO saber; Lo que APRENDÍ) [VER FIGURA 6.4.8] La herramienta del S.Q.A se puede estructurar de tal forma que MATEMÁTICAS pueda ser un objeto o alguien a quien se le puede cuestionar, sin embargo no se pudo realizar el ejercicio como lo había programado. Surgieron más preguntas que ampliaban el tema y me concreté a restringirlo a las MATEMÁTICAS como asignatura. La primerafase de la estrategia S.Q.A. la inicié a través de una nueva pregunta: ¿Qué sabes de las matemáticas? Las respuestas más comunes fueron: Se usan en la biología Se usan para medir y calcular Son muy complicadas Se usan en la arquitectura Se usan en la vida diaria Porque son importantes Cuando observé las respuestas anteriores, me di cuenta que los alumnos tienen idea de la aplicación de las matemáticas, pero desconocen a ciencia cierta muchas de sus aplicaciones, por ejemplo: la relación con la música, el deporte, la historia etc. Antes de dar respuesta a la pregunta anterior programé la siguiente actividad: ésta consistió en proyectarles la película de “Donald y el mundo de las matemáticas”, de Disney con el objetivo de que mis alumnos visualizaran en forma creativa y divertida el inicio de las Matemáticas, su aplicación en la antigüedad y repercusión en la vida actual. 19 “La película relata la influencia de Pitágoras en el inicio de las matemáticas y su aplicación en la música e instrumentos musicales. La relación entre las fracciones y notas musicales que pusieron la base en la música actual. Describe el emblema pitagórico como base fundamental de la geometría. El rectángulo como la sección de oro, su importancia y aplicación en la arquitectura antigua y su influencia en la actual. Identifica figuras geométricas en los diseños de las canchas de los deportes de beis-ball, baske-ball, foot-ball americano. Señala una serie de estrategias y habilidades matemáticas a partir de operaciones con fracciones para el juego del ajedrez. Describe algunas estrategias y habilidades que utilizan los jugadores de billar a partir de la suma y resta de fracciones propias. Utiliza el círculo y el triángulo en revolución a través de los cuales realiza una serie de cortes dando origen a otras figuras y a la aplicación de estas en la tecnología que hoy en día utilizamos. La película concluye con un pensamiento de Pitágoras: ”Todo está regido por formas y números”. Para su evaluación los alumnos elaboraran cinco preguntas sobre la película, posteriormente escogimos en grupo las más relevantes y tomándolas como base redactaron un escrito (resumen o sinopsis) sobre la película. Los trabajos que presentaron contenían información de mucha calidad y por cuestiones de espacio en lo que respecta al trabajo sobre mi práctica docente no me fue posible integrarlos, sin embargo fueron de gran ayuda como fuente de información para mis alumnos. La experiencia fue positiva, ayudó a los alumnos a ampliar sus conocimientos y poder responder a las siguientes preguntas en forma clara y concisa. Así, las respuestas que arrojaron después de haber visto la película como parte de su investigación fueron: 20 ¿Dónde nacieron las matemáticas? En la antigüedad, cuando aparece el hombre, en el momento que comienza a cubrir sus necesidades de sobrevivencia. ¿Cómo surgieron? En el momento que el hombre comienza a cubrir sus primeras necesidades (la caza, medir territorios, trueque, música, juegos, etc.) ¿Quién inventó las Matemáticas? El hombre, al utilizar su capacidad de crear, su necesidad de evolucionar y trascender. ¿Cómo funcionan las Matemáticas? Utilizando la lógica, el razonamiento y la mente a partir de conocimientos previos. ¿Para qué las necesitamos? Para crear, sobrevivir y hacer más fácil la vida cotidiana ordenando el pensamiento. ¿Por qué son tan complicadas? Porque carecemos de un pensamiento lógico constructivista para facilitarlas. ¿Dónde más se utilizan? Biología.- para medir experimentos Química.- en fórmulas, reacciones químicas, medidas, etc. Física.- en medidas y resolución de ecuaciones. Bancos.- valor del dólar, pagarés, préstamos hipotecarios, tarjetas de crédito, porcentajes, intereses, etc. Tiendas.- para impuestos, descuentos, recargos, pagos al contado y a plazos. Fábricas y talleres.- en la manufactura, maquinaria, producción de artículos, etc. Hospitales.- Rayos X, quirófano y todos los aparatos que se utilizan deben de llevar una exactitud matemática para su funcionamiento. Escuelas y prestadores de servicio.- en los programas de estudio, la administración, la organización, etc. 21 Comunicación.- en radio, televisión, satélites, Internet, teléfonos, etc. Deporte.- en pelotas de diferentes tamaños y formas; equipo para los deportes (raquetas, bat, etc.) En la figura, forma y tamaño que se utiliza para el diseño de las canchas deportivas, etc. Música.- en el diseño de las notas musicales; en la construcción de instrumentos y aparatos para emitir diferentes sonidos, etc. La tercera fase de la actividad consiste en recopilar la información más relevante a partir de la investigación y de las respuestas obtenidas en la fase anterior del S.Q.A. y llenar la última columna bajo la pregunta: ¿QUE APRENDÍ? Las Matemáticas surgen en la antigüedad, a partir de que el hombre utiliza su razonamiento lógico para cubrir sus necesidades. Las Matemáticas antiguas se fueron estructurando a través del tiempo y son la base fundamental de las Matemáticas modernas y gracias a ellas el hombre ha trascendido a través del tiempo. Las conclusiones que obtuvimos como parte de ésta fase son: Están relacionadas con nuestra vida diaria, son parte de nuestro entorno, crecimiento y desarrollo Son parte de nuestra capacidad creativa, de nuestra necesidad de evolucionar. Son un medio para trascender en la vida. Nos ayudan a pensar y ejercitar la mete. Es una herramienta útil en otra materia e indispensable para cualquier carrera. Hoy en día se puede hacer música con las matemáticas. 22 Importante para el deporte de alta resistencia. Las Matemáticas han evolucionado en cualquier época. Son indispensables en cualquier juego, incluyendo los juegos de mesa. Son fundamentales para la evolución de la tecnología. La última parte del ejercicio se realizó con la participación activa del grupo: estructuramos la información y obtuvimos como resultado la siguiente Figura 1.2.1. que describe algunas aplicaciones de las Matemáticas en la actualidad. Herramienta fundamental para el desarrollo de las disciplinas científicas y técnica Desarrollo de la capacidad creativa y la necesidad de evolucionar y trascender. s. INDUSTRIA Empresas Casa de Bolsa Fábricas Talleres PRESTADORES DE SERVICIO Bancos, Comercio Hospitales, Escuelas Aeropuertos MEDIOS DE COMUNICACIÓN Televisión Radio Internet Teléfono Satélite DEPORTES DE ALTA RESISTENCIA Competencias Canchas Equipo deportivo MÚSICA Y ARTE Notas musicales Pintura Arquitectura Figura 1.2.1.- Mapa Conceptual “LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA DIARIA” MATEMÁTICAS Para evaluar ésta actividad se tomaron en cuenta los siguientes aspectos: lecturas previas, escritos sobre la película y la participación activa del alumno durante la construcción de los organizadores gráficos. 23 Al concluir ésta actividad pude observar que el objetivo se había cumplido; es decir, él alumno pudo comprender que: Nuestros antepasados nos abrieron el camino para trascender. Desperté el interés del alumno sobre la materia Amplié sus conocimientos sobre la aplicación de las Matemáticas. Su aplicación e importancia en la vida cotidiana. La relación de las Matemáticas con otras ciencias. La importancia para su formación. Gracias a que mis alumnos tenían una información clara sobre lo que persigue la materia y el objetivo general de la misma, en particular la línea que yo, como maestra frente a grupo seguiría durante el ciclo escolar, fue más fácil para mí comenzar con el plan de estudio [VER CAPÍTULO 2, 3, 4 Y 5] 24 CAPÍTULO 2 ARITMÉTICA LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN25 CAPÍTULO 2.- ARITMÉTICA Y LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN El objetivo del capítulo es describir en forma general las estrategias, métodos, técnicas y herramientas [VER CAPÍTULO 6.4] que se aplican durante mi práctica docente a través del Modelo Constructivista [VER CAPÍTULO 6.2] con la finalidad de crear un pensador crítico [VER CAPÍTULO 6.3] como lo propone. Asimismo, compartir con el lector los obstáculos y dificultades que se presentan durante la trayectoria de mi práctica docente en el Tema “Aritmética y Los Sistemas de Numeración”. 2.1 NÚMEROS NATURALES OBJETIVO GENERAL: El alumno definirá el concepto de número, características, estructura y los símbolos para su representación, asimismo la lectura y escritura de números grandes. Posteriormente ejercitará las operaciones elementales en forma mental y escrita para números mayores. Concluirá con algoritmos que lo conduzcan a resolver las operaciones elementales. Antes de dar inicio a este tema me percate de que el alumno tuviera claro el concepto de “número”, fue entonces cuando recurrí al los Arrancadores [VER FIGURA 6.4.6] como herramienta para obtener la información que a continuación presento: ¿Qué es número? o bien ¿Qué entiendes por número? R= Es un símbolo que representa cantidad. R=Es un ente, no existe en materia pero sirve para enumerar. R= Es la representación simbólica de objetos o cosas que se contaron. R= Expresa una cantidad con relación a una unidad. R= Es la forma de escribir cierta cantidad. 26 ¿Qué es un número Natural? R= Son los números con los cuales contamos. R= Se utilizan los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 para su representación. R= Se leen de izquierda a derecha. R= Se escriben de izquierda a derecha. R= Sé grafican en la recta numérica. R= Se denotan con la letra N R= Van de menor a mayor. Al observar las respuestas continué escribiendo en el pizarrón algunas de las características de los números Naturales, posteriormente ordenamos en grupo la información para elaborar un organizador gráfico que nos condujo a un Mapa Semántico [Figura 2.1.1] Este Mapa es el resultado del conocimiento previo y de la participación activa del grupo en general, así como de mis aportaciones sobre el tema y coordinación para la construcción del mismo: 27 Una vez que construimos nuestro Mapa Semántico (Figura 2.1.1) el siguiente paso fue el desarrollo de los números, cuyas estrategias y herramientas para su aprendizaje se describen en la siguiente sección de éste capítulo. NÚMEROS NATURALES Asignan un orden ⇒ ordinal 1o,2º, 3º, 4º, 5º... Se construyen sumando la unidad 0 + 1 = 1 1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4... Todos tienen un sucesor Todos tienen un antecesor excepto el 0 Van de menor a mayor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ∞ Se denotan con la letra N Conjunto de números que nos sirven para contar Sé grafican en la recta numérica .___. ___. ___. ___. ___. ___. ___. ____ ... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 2.1.1 Mapa Semántico “NÚMEROS NATURALES” 28 2.1.1 LECTURA Y ESCRITURA DE LOS NÚMEROS NATURALES El desarrollo de los números inicia desde su lectura, escritura, valor relativo, valor absoluto, notación desarrollada y notación científica. Para iniciar el tema, recurrí a exponer ante el grupo varios ejemplos. Donde el alumno pudiera identificar cada uno de los conceptos a estudiar y partiendo de los ejercicios continué con la estructuración del siguiente organizador gráfico como resultado de la actividad. Figura 2.1.2 Mapa Semántico “SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL” SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Se lee de izquierda a derecha según su posición Es el que actualmente utilizamos Es de base 10 Se forma con los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Llamado también VALOR RELATIVO: es el valor que ocupa el número en la tabla llamado también valor posicional. Valor relativo de 9 es: 9 000 Valor relativo de 6 es: 6000 000 000 VALOR ABSOLUTO: es el valor real o numérico que tiene el número Valor absoluto de la decena de millar: 1 Valor absoluto de la centena de mil lón: 8 NOTACIÓN DESARROLLADA: representación de un número como la suma de los valores relativos 200 000 000 000 + 40 000 000 000 + 6 000 000 000 + 800 000 000 + 30 000 000 + 5 000 000 + 10 000 + 9 000 + 700 NOTACIÓN CIENTÍFICA: es la expresión de un número en potencias de 10 2x 1011 + 4x 1010 + 6x 109 + 8x 108 + 3 x 107 + 5 x 106 + 1 x 10 4 + 9 x 103 + 7 x 10 2 Millares de Billones Billones Millares de Millones Millones Millares Unidades BILL0 NES MILLO NES UNID ADES C D U C D U C D U C D U C D U C D U 2 4 6 8 3 5 0 1 9 7 0 0 29 La ejercitación del tema se llevó a cabo con el siguiente juego: Objetivo: Ejercitación de la lectura y escritura de números Naturales en cantidades grandes Cada alumno elaborara diez cartas de 5cm X 5cm c/u con los dígitos del 0 al 9. Se forman equipos de 5 personas. Se dictan cantidades para que entre ellos acomoden los números en el orden correspondiente [Figura 2.1.3] Figura 2.1.3 “JUEGO DE LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS” ACOMODO DE TARJETAS LECTURA Y ESCRITURA DEL NÚMERO Veinte millones ciento setenta y cinco mil cuatrocientos noventa y tres Diecisiete millones doscientos cinco mil trescientos cuarenta y nueve Noventa y tres millones quinientos diecisiete mil veinticuatro Cincuenta y un mil millones un mil doscientos seis 0 0 1 5 2 2 1 0 6 4 0 7 9 0 1 7 5 4 3 1 5 3 5 0 2 3 7 1 4 2 9 9 Una vez que los alumnos ejercitaron la lectura y escritura de los números a través del juego, observé que sirvió para que reafirmaran el tema e interactuaran entre ellos. La evaluación se realizó desde sus aportaciones en la construcción del Mapa Semántico y la participación durante el juego. El dominio de éste tema es primordial en las operaciones con números naturales, cuyo desarrollo describo en la siguiente sección del capítulo. 30 2.1.2- OPERACIONES ELEMENTALES Al comenzar a desarrollar el tema, observé que los alumnos contaban con un conocimiento previo sobre las operaciones elementales, lo cual facilitó mi tarea frente a grupo. Gracias a sus aportaciones y la participación activa de mis alumnos pudimos recabar la información que posteriormente organizamos a través de un Mapa Conceptual [Figura 2.1.4] que describe las opresiones elementales en los Números Naturales. Figura 2.1.4 Mapa Conceptual “OPERACIONES ELEMENTALES DE LOS NÚMEROS NATURALES” OPERACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN Símbolo + Símbolo - Símbolos X, ( ) , • Símbolos /, ÷ Sumando +Sumando Sumando Suma total Minuendo Sustraendo Resta Factor X Factor Producto Cociente Divisor Dividendo Residuo Son Sus elementos son Sus elementos sonSus elementos sonSus elementos son Para reafirmar conocimientos y ejercitar el proceso en cada una de las operaciones anteriores, los alumnos realizan diferentes ejercicios en clase. Con el objetivo de intercambiar ideas, la dinámica se lleva a cabo en 31 equipo de dos y tres alumnos cada uno, esto les ayuda a rectificar errores y modificar su aprendizaje. Posteriormente revisamos los ejercicios en la clase para que detecten y corrijan sus errores. A continuación presento algunos de los ejercicios que ayudaron a los alumnos a reafirmar estos algoritmos. Para su elaboración el alumno utiliza las Operaciones Mentales (la comparación; el análisis y síntesis; la representación mental; razonamiento hipotético, entre otras)Figura 2.1.5 “EJERCICIOS DE OPERACIONES ELEMENTALES (+, –, x, ÷)“ Problemas y aplicaciones diversas Práctica del cálculo mental y estimación de resultados Revisión de algoritmos ii) Analiza con tus compañeros estrategias para llenar los espacios vacíos con los números adecuados y completa el siguiente cuadro: 90 - 50 = 40 + - + 10 30+ - = 20 = 100 = 40 = = 80 i) CUADRADO MÁGICO Llena la siguiente tabla con los números del 2 al 10 de tal forma que la suma de las filas, columnas y las diagonales sean, cada una, igual a 18: 9 5 4 10 8 6 3 7 2 32 iii) Instrucciones: Coloca dentro del cuadro el dígito correspondiente, verifica los resultados haciendo la comprobación: 3 7 5 1 6 1 8 0 9 0 0 5 0 + 2 3 4 X 2 1 5 7 2 8 3 1 6 0 9 8 0 9 0 0 1 7 2 1 9 1 6 1 8 0 3 2 3 6 0 3 4 7 8 7 0 0 2 6 2 2 8 7 3 4 5 1 7 4 0 6 5 0 9 iv) EL PROBLEMA DE LOS CUATRO CUATROS En uno de sus viajes, Beremiz, el hombre que calculaba, entró a una tienda en donde todos los artículos eran vendidos en cuatro dinares (tipo de moneda) En la puerta había un vistoso letrero que decía: “LOS CUATRO CUATROS”. La descripción de ese cartel le recordó una de las maravillas de la aritmética: “empleando cuatro cuatros podemos formar un número cualquiera” ¿Podrías demostrar, utilizando las cuatro operaciones fundamentales, que para el caso de los dígitos se cumple la aseveración de Beremiz? Dígito Procedimiento 0 4x4 - 4 4 1 4 + 4 − 4 4 2 4 x 4 4 + 4 3 4 + 4 + 4 4 4 4 ( 4 – 4 ) + 4 5 4 x 4 + 4 4 [SAN03] 33 v) TABLA MÁGICA.- Lo que vas hacer: 1. Sobre la celda sombreada de esta tabla escribe cualquier número. 2. Sobre la más obscura, escribe lo doble del primero. 3. Después de cada uno de ellos, aplica las operaciones propuestas. Operaciones Multiplica por 25 1 125 2 250 Suma al resultado anterior 33 1 158 2 283 Resta al resultado anterior 19 1 129 2 254 Multiplica el resultado anterior por 19 21 451 42 826 Resta al resultado anterior 2 667 18 784 40 159 Multiplica el resultado anterior por 10 R 1 = 187 840 R 2 = 401 590 4. Del resultado 2 resta el resultado 1: R2 – R1 =_213 750 5. A lo que resulte de la resta, divídelo entre 4 750: 45 6. El resultado que verás será el número que elegiste originalmente. 45 90 Los ejercicios de la Figura 2.1.5 ayudaron a los alumnos a reafirmar los algoritmos de las operaciones elementales, sin embargo quiero reconocer que al principio se les dificultó, me refiero a la construcción del Cuadrado Mágico (i), debido a que no contaban con la habilidad para acomodar los números. Una vez que deducimos la estrategia a través de un ejemplo que les expuse en clase, fue más fácil para ellos construir otros Cuadrados Mágicos con números más grandes. En las operaciones del ejercicio (iii) no hubo dificultad alguna, pero el que sí les costó trabajo fue el ejercicio (iv) “Los Cuatro Cuatros”, al inicio no tenían ni la más remota idea de lo que tenían que hacer, a través de un ejemplo que les expuse durante el desarrollo de la actividad fue más fácil para ellos comprender y dar otros procesos diferentes entre sí, pero que llegaban al mismo resultado. El 34 ejercicio (v) fue divertido debido a que no pudieron encontrar cuál era la “magia” para adivinar o llegar al mismo número. Quiero compartir con el lector la gran satisfacción que sentí como maestra, al observar que mis grupos durante ésta actividad mostraban entusiasmo, dinamismo y motivación en la materia. Al aplicar este tipo de ejercicios el alumno ejercita de forma divertida y a manera de juego las operaciones elementales en los Números Naturales [VER CAPÍTULO 6.2] asimismo, estimula, reafirma y modifica su aprendizaje como lo señala el Modelo Cognoscitivo [VER CAPÍTULO 6.3] Al observar el desarrollo de la actividad y los resultados de la misma, me sentí satisfecha por el logro alcanzado de mis alumnos. 2.1.3 MÚLTIPLOS Y DIVISORES Una vez que los alumnos reafirmaron los algoritmos de las operaciones elementales, el siguiente paso fue inducirlos al tema de esta sección: Múltiplos y Divisores. Para ello, fue necesario que mis alumnos realizaran previamente la lectura de las páginas 72 y 73 del libro de Texto[LIM03] Posteriormente a partir de la lectura, elaboraron individualmente en su libreta de apuntes, 10 preguntas Circunstanciales [VER FIGURA 6.4.6] con su respectiva respuesta, con el fin de que construyan su propio conocimiento. Las preguntas que obtuvieron variaron de un alumno a otro, algunos no se enfocaron al tema y obtuvieron preguntas sin relevancia alguna. Concluida la tarea, el siguiente paso consiste en elaborar durante la clase una tabla descriptiva tomando como base las preguntas del cuestionario. La construcción de la tabla descriptiva se inicia con la “lluvia de ideas” partiendo de las preguntas: ¿Qué es un múltiplo? ¿Qué es un divisor? 35 A partir de estas preguntas se desata una polémica acerca del tema y los alumnos se involucran en su totalidad, en algunos casos corrigen sus errores y en otros reafirman su conocimiento. La siguiente Figura 2.1.6 es una forma clara de estructurar la información más relevante del tema. Figura 2.1.6 Tabla Descriptiva “MÚLTIPLOS Y DIVISORES” MÚLTIPLO DIVISOR D E F. Número natural que resulta de multiplicarlo por cualquier número otro número Natural Número Natural que divide a otro en forma exacta, es decir Residuo = 0 P R O P IE D A D E S El cero es múltiplo de cualquier número Natural Todo número natural es múltiplo de sí mismo Todo número natural diferente de cero tiene un número infinito de múltiplos. El cero no es divisor de número natural alguno porque la división entre cero no está definida. El uno es divisor de todos los números naturales. Todo número natural tiene un número finito de divisores. Todo número natural diferente de cero es divisor de sí mismo. El número 12 es múltiplo de 1, 2, 3, 4,6 y 12 1, 2,3, 4, 6 y 12 son divisores del 12, debido a que cada uno de ellos lo dividen en un número exacto. E JE M P LO 1 x 12 = 12 2 x 6 = 12 12 ÷ 6 = 2 12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 12 = 1 3 x 4 = 12 Después de haber obtenido el concepto, propiedades y las diferencias entre Múltiplos y Divisores, recurrimos a completar durante la clase una tabla comparativa para identificar cada uno de los criterios de Divisibilidad, como lo presenta la siguiente figura. 36 Figura 2.1.7 “PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD” Ejercicio # 1 En la siguiente tabla están las series del 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 incompletas. Complétalas y analiza las reglas de Divisibilidad: se ri Regla de divisibilidad 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Cualquier número par 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 26 39 42 45 Si la suma de sus cifras da un múltiplo de 3 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 Si las dos últimas cifras son múltiplo de 4 o bien termina en 00 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 7075 Si termina en 5 ó 0 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 Si es múltiplo de 2 y de 3 al mismo tiempo 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 Si sus dos o tres últimas cifras son múltiplo de 8 o doble cero 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 Si las suma de sus cifras son múltiplo de 9 108 117 126 135 [GON00] A través de la tabla anterior [VER FIGURA 2.1.7] mis alumnos pudieron obtener el concepto de Divisibilidad a partir de las propiedades de cada una de las series numéricas, es decir, los alumnos comprendieron la definición de Divisibilidad que les proporcioné una vez que completaron la tabla. Posteriormente juntos respondimos a la siguiente pregunta: ¿Qué es Divisibilidad? Es la característica de los números de ser divisibles en forma exacta, sin residuo. Para reafirmar las características (almacenamiento) que se describen en la Tabla de la Figura 2.1.7 se realizaron en clase los siguientes ejercicios. 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Ejercicio #1 “CRIBA DE ERATÓSTENES” Colorea el 1 de la lista Encierra el 2 en un círculo y colorea todos los múltiplos de 2 Encierra el 3 en un círculo y colorea todos los múltiplos de 3 Encierra el número 5 y colorea todos sus múltiplos Continúa con el 7 y así sucesivamente y contesta ¿ Qué obtuviste? Los números menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, y 97. Figura 2.1.8 “EJERCICIOS DE DIVISIBILIDAD” Ejercicio #2 En A están los divisibles entre 2 En B están los divisibles entre 5 En C están los divisibles entre 4 En D están los divisibles entre 3 Instrucciones: Observa el siguiente diagrama y colorea el conjunto A de verde, el conjunto B de morado, C de color azul y D de color naranja y después responde a las siguientes preguntas: ¿Por qué el 20 está en B, en C y en A? Porque es divisible entre 2, 4 y 5 ¿Por qué el 2, 14, 22 y 26 no están incluidos en otros cuadros? porque solo son divisibles entre 2 ¿Por qué crees que el 7, 11, 13, 23, 29 y 31 están fuera de todas las figuras? Porque no son divisibles entre 2, 3, 4 y 5. ¿Sabes cómo se llaman los números que no aceptan divisores diferentes al 1 y a él mismo? Números primos 13 7 31 29 11 23 3 9 33 21 27 3 D B 5 25 35 15 A 2 14 10 26 22 18 30 6 C 4 16 20 8 28 32 24 12 38 El ejercicio # 1 tuvo como finalidad el de obtener la definición de números primos. El ejercicio # 2 corrobora la definición de los números primos y el ejercicio # 3 comprueba el criterio de divisibilidad para los múltiplos de 6. Los ejercicios anteriores ayudaron a los alumnos a reafirmar el conocimiento y desarrollar habilidades en los criterios de divisibilidad, asimismo, para adquirir herramientas y contexto para estructurar la siguiente tabla (Figura 2.1.9) que representa un Cuadro Descriptivo de los Criterios de Divisibilidad. Su elaboración se realizó con las participaciones de los alumnos, apoyados en los ejercicios que resolvieron anteriormente [VER FIGURA 2.1.8] El cuadro se considera como la conclusión generalizada de las actividades. Ejercicio # 3 Coloca dentro de los círculos los números menores de 100 según sus múltiplos. Colorea de azul los múltiplos de 2 Colorea de amarillo los múltiplos de 3 ¿Qué color obtuviste? Los números que se encuentran en el centro son los múltiplos de 6. ¿Cuál es tu conclusión? Todos los números que son múltiplos de 2 y de 3 también son múltiplos de 6. 2 4 8 10 14 16 20 22 26 28 32 34 38 40 44 46 50 52 56 58 62 64 68 70 74 76 80 82 86 88 92 94 98 6 3 9 12 18 15 21 27 24 30 33 45 51 36 42 48 57 54 60 66 63 69 75 72 78 84 81 87 93 90 96 99 [GONOO] Págs. 20 y 21 39 Figura 2.1.9 “TABLA DESCRIPTIVA DE LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD” CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 2 3 4 5 8 9 Si el número termina en 0 Si el número termina en 00 Si el número termina en 2, 4, 6, 8 u 0 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3 Si las dos últimas cifras son un múltiplo de 4 Si el número termina en 5 o 0 Si el número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8 6 Si el númer o es divisib le entre 2 y 3 a la vez Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 Si las tres últimas cifras son 000 Para que el alumno reafirmara sus conocimientos sobre los criterios de divisibilidad se construyó una tabla similar a la de la Figura 2.1.9, colocando números en el lugar de los criterios, de esa manera, sin efectuar la descomposición en factores primos (como se verá más adelante) pudieran identificar los factores que dividen al número utilizando la tabla de la Figura 2.1.9 como herramienta. A través de la actividad observé que contaban con la habilidad de identificar y aplicar cada uno de los criterios. Sin embargo reconozco que la tarea no fue fácil, algunos alumnos se confundieron por la falta de representación mental [OM] a la tabla y tuve que repetir en tres ocasiones este tipo de ejercicio hasta lograr su comprensión. Inclusive el mismo formato fue utilizado en el examen bimestral para su evaluación. A continuación presento una tabla que se trabajaron durante la clase: 40 Figura 2.1.10 “EJERCICIOS SOBRE LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD I Indicaciones: Coloca dentro de cada cuadro una si el número cumple el criterio de divisibilidad según sea el caso, utiliza la tabla que elaboramos en clase sobre Los Criterios de Divisibilidad. Una vez que los alumnos identificaron y ejercitaron cada uno de los criterios, el siguiente paso consistió en realizar una serie de ejercicios sobre la descomposición de los números en factores primos utilizando del mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD) en la forma tradicional de la cual ya tenían conocimiento, facilitándome la tarea durante la exposición en clase y la elaboración de la siguiente tabla que presento en la Figura 2.1.11. Figura 2.1.11 “MÚLTIPLOS Y DIVISORES” MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) de fin ic ió n Es el mayor de los divisores de dos o más números Es el menor de los múltiplos que corresponden a los números que intervienen en el cálculo pr oc es o 20, 50, 40 2 10 25 20 2 5 25 10 2 5 25 5 5 1 5 1 5 1 MCD = 2 x 5 = 10 20, 50 , 40 2 10 25 20 2 5 25 10 2 5 25 5 5 1 5 1 5 1 MCD= 2 x 2 x 2 x 5 x 5 = 200 Divisibilidad Cifra 2 3 4 5 6 8 9 11 701985 340 999 999 000 988 000 706 123 457 788 576 328 937 877 783 240 678 4 095 41 El siguiente ejercicio [FIGURA 2.1.12] es uno de mis favoritos, porque representa la aplicación de todos los conceptos que se manejan en ésta sección. El desarrollo y la solución se realizaron sin ningún contratiempo, considerando que se evalúa la habilidad, estrategia e intuición de los alumnos. Estos ejercicios también forman parte del examen Bimestral y final del curso escolar. Figura 2.1.12 “EJERCICIO DE EXAMEN” Ejercicio para examen Bimestral A 24 B 20 3 4 C Instrucciones: Resuelve el siguiente cuadrado mágico sustituyendo las letras por números. 25 D 16 Todas las columnas y filas suman lo mismo: E 5 F 21 G 10 18 H 14 22 I A) Primer número primo de dos cifras 6 19 2 J 11 24 7 20 3 4 12 25 24 16 17 5 B) MCD (14, 21, 35) C) MCM (6, 4, 3) D) MCM de (D, 3) = 24 E) Número primo menor que 20, tal que la suma de sus cifras sea 8 13 21 9 10 18 15 14 22 23 6 19 2 15 SO LUCIÓ N F) Número primo anterior a E G) Número cuyos divisores son. 1, 3 y 9 H) MCD de 2 números primos entre sí I) Número primo comprendido entre 20 y 25 J) MCM (3, 5, 15) NOTA: Para resolver éste ejercicio el alumno utilizó las propiedades de los números primos, la tabla que se elaboró en clase sobre los criterios de divisibilidad y la tabla de MCM y MCD respectivamente. [GON00] Página 30 El siguiente tema a desarrollar se encuentra dentro de la estructura curricular del programa, tiene como objetivo familiarizar al alumno en las potencias, es decir, en la multiplicación de un número por sí mismo y poder definir a la RAÍZ CUADRADA como una operación inversa a la potencia de un número. 42 2.1.4 CUADRADOS Y CUBOS Para introducir el concepto de raíz cuadrada recurrí al área de un cuadrado utilizando la siguiente estructura: 2 2 √4=2 3 √9= 3 4 4 √16=4 3 Sin embargo la pregunta que surgió fue: ¿Qué pasa para números dónde la raíz no es exacta?... Utilizando la misma estructura proseguí... el proceso es el mismo... –observa como se obtiene √3, √5, √6, √10,√20,√32 Con esta misma estructura se resolvieron varios ejemplos hasta aumentar el grado de dificultad y llegar a generalizar el proceso para raíces con tres dígitos como se observa en el siguiente ejemplo al calcular √537: El objetivo es que el alumno compara los dos procesos y que se justifiquen cada uno de los pasos que se realizan en el algoritmo a partir del área del cuadrado y del rectángulo. Que comprenda que la raíz (origen) cuadrada 1 1 1 < √3 < 2 ⇒ 1 <12/3< 2 2 < √5 < 3 ⇒ 2 < 2 1/6 < 3 1 de 6 partes que se anexan para completar el cuadrado 2 2 400 60 537 - 400 √ 537 23 (20X20) 137 - 120 (2x60) 17 - 9 (3x3) 8 -400 137 43 -129 8 3 9 60 3 20 20 43 consiste en buscar el número o bien las dimensiones del cuadrado y así generalizar el proceso. Para continuar con el tema de esta sección los alumnos leyeron las páginas 17, 18 y 20 de su libro de texto[LIM03] Posteriormente elaboraron preguntas Circunstanciales [VER CAPÍTULO 6.4.6] que a la vez tuvieran las siguientes palabras como respuesta, con la finalidad de que construyan su propio conocimiento: Potencia Exponente Base Factor Cuadrado Cubo Raíz Cuadrada Radical Radicando Siglo XVII William Oughtred Multiplicación Una vez elaboradas las preguntas Circunstanciales, el siguiente paso de la sistematización del proceso aprendizaje es estructurar la información a través de un organizador gráfico [VER FUIGURA 2.1.13] el cual se realizó con la participación activa de los alumnos y mi coordinación. Este proceso de aprendizaje ayuda al alumno a reafirmar y modificar conceptos previos; a motivarlos a través de la dinámica que se desarrolla durante y después de la actividad y lo más importante: que sean los protagonistas de la clase. 23 = 8 BASE: Número que se multiplica por sí mismo según el valor del exponente EXPONENTE: Número de veces que se multiplica por sí mismo la base POTENCIA: Resultado del número que se multiplica por sí mismo según el exponente Figura 2.1.13 Mapa Conceptual “POTENCIA y EXPONENTE” 44 Una vez estructurado el Mapa Conceptual de la Figura 2.1.13 los alumnos realizaron ejercicios en clase y como tarea para reafirmar los conceptos, utilizando el mismo modelo. Posteriormente les hablé sobre las operaciones y sus inversas, recordando que la resta es la operación inversa a la suma; la división es la operación inversa a la multiplicación y cuestionándolos bajo la siguiente pregunta: ¿Cuál será la operación inversa a la potencia? “La raíz cuadrada”, respondieron. Continué con el desarrollo del tema y apoyada de las aportaciones sobre el mismo, construimos conjuntamente durante la clase el siguiente Mapa Conceptual (Figura 2.1.14) que representa la estructura y las partes de la raíz cuadrada, sin antes definir la Raíz Cuadrada como la operación inversa a la potencia de un número o bien cuál es el origen (raíz) del número que al multiplicarlo por sí mismo nos da el valor (radicando) Figura 2.1.14 Mapa Conceptual “RAÍZ CUADRADA” Los alumnos realizaron ejercicios obteniendo la raíz exacta de números perfectos y la aproximación de raíces inexactas utilizando el mismo patrón (área del cuadrado y rectángulo) Después de haber ejercitado el proceso estructuramos un algoritmo para obtener la raíz cuadrada de cualquier número de más de tres cifras, pero √9 3 RADICAL: Signo que representa la operación inversa a la potencia RADICANDO: Número del que obtenemos la raíz cuadrada RAÍZ: Número que al multiplicarlo por sí mismo es igual o se aproxime al valor del radicando 45 debido a su corta edad y a la falta de madurez en la materia, solo me concreté a números pequeños de no más de cuatro cifras, organizando el proceso a través del siguiente algoritmo (Figura 2.1.15) para calcular la raíz de cualquier número. Cabe mencionar que antes de elaborar el algoritmo fue necesario realizar conjuntamente ejercicios previos a la estructura del mismo, con el objetivo de que al elaborarlo aportaran sus conocimientos y reafirmaran el proceso en forma mecánica, pero con el conocimiento de la operación que se registra en cada uno de los pasos del proceso. El siguiente algoritmo o procedimiento, funciona para calcular la raíz cuadrada de cualquier número y se realizó obteniendo la raíz cuadrada de 6 784 46 47 Se coloca el número dentro del símbolo de la raíz y se separa en grupos de dos (periodo), de derecha a izquierda. Es posible que el último grupo de la izquierda conste de un solo dígito. √67,84 Se trabaja con el primer grupo comenzando p la izquierda. Se busca la raíz entera que má se aproxime a ese periodo, y se anota en línea de la derecha √67,84 8 or s la Debajo de la línea de la raíz se escribe el do de ésta. Se baja el siguiente periodo. √67,84 8 3 84 16 ble Se multiplica el número escrito debajo de línea de la raíz por el cociente anterior y se resta este producto al número que se obtuvo a bajar el periodo (el producto debe ser men que este número; si no lo es se hace con el número anterior) √67,84 8 3 84 162 60 la l or Se separa la última cifra del periodo que se bajó al grupo de la izquierda (38) se le divide entre el doble de la raíz (16) El cociente se anota a continuación del número que está debajo de la línea de la raíz (sí el cociente tiene más de dos cifras se escribe 9) √67,84 8 3 84 162 El cuadradode esta raíz se anota o bien se resta en forma directa al primer periodo. √67,84 8 3 Puesto que 82 = entonces √67 = 8 a 64 proximado El cociente de 38 entre 16 es 2 Si el producto 162 X 2 hubiera sido mayor qu 384, entonces se tendría que hacer con el producto 161 X 1 e El cociente que se haya usado en el paso anterior se sube a la línea de la raíz. √ 67,84 82 3 84 162 60 Si hay más grupos se siguen bajando terminar con el último periodo. Como el re es menor que 82, entonces se ha concluid raíz con residuo = 60 √6784 = 82 aproximadamente puesto que 822 = 6 724 y 6 784 – 6 724 = 60 hasta siduo o la [BOS02] Figura 2.1.15 “ALGORITMO PARA EL CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA” Durante esta sección, como mencioné, los alumnos reafirmaron las operaciones elementales de los Números Naturales, ejercitaron y estructuraron algoritmos con el objetivo de lograr la habilidad, destreza y estrategia para el cálculo de cualquiera de sus operaciones, alcanzando el objetivo del tema. Durante el desarrollo del tema, se sugiere en la mayor parte, la construcción del conocimiento propio a través del planteamiento de un problema o investigaciones de acuerdo a los intereses de cada uno de los alumnos pero sin descuidar la guía que sugieren las herramientas o estrategias del Modelo Constructivista. Posteriormente recabar la información más relevante y representarla en un Organizador Gráfico. Por último aplicar el conocimiento a través de ejercicios que le ayuden a pensar, crear y desarrollar habilidades involucradas en las Operaciones Mentales [OM] La siguiente sección es una aplicación general de cada una de las operaciones elementales en los números naturales a través de los sistemas de numeración, es aquí donde podremos realizar la aplicación directa en el momento que se construye un sistema de numeración. 48 2.2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN OBJETIVO GENERAL: Que el alumno conozca los primeros indicios que llevaron al hombre a la necesidad de construir un sistema de numeración, así como su estructura, aplicación y repercusión en la vida actual. Para dar inicio a éste tema preparé un bosquejo histórico sobre los sistemas de numeración. Les hable del hombre como el principal protagonista, bajo la necesidad de contar y medir, utilizaba símbolos para representar cantidades. Es así como se inician los primeros sistemas de numeración. Durante mi exposición algunos alumnos me interrumpían a través de sus aportaciones, observé que contaban con un conocimiento previo sobre el tema y la clase se convirtió en una plática sobre las necesidades del hombre para subsistir y de esa manera trascender. Tal motivo me condujo a llevar a cabo la técnica del S.Q.A. [VER FIGURA 6.4.7] para obtener una visión más clara del punto de partida y posteriormente enriquecer el tema. El Arrancador que utilicé para iniciar la técnica del S.Q.A. fue: ¿Qué sabes de los Sistemas de Numeración?... A partir de la pregunta, surgieron aportaciones muy valiosas, tomé nota en el pizarrón de cada una de ellas y posteriormente las organizamos en grupo [VER FIGURA 2.2.1 "¿QUÉ SÉ?" ] Considerando únicamente la información más relevante. Una vez que obtuvimos ésta parte de la estrategia, el siguiente paso fue conducirlos hacia lo que queríamos saber a partir de preguntas concretas para delimitar la información a investigar. Estas preguntas se organizaron jerárquicamente [VER FIGURA 2.1.1 “¿QUÉ QUIERO SABER?”] y fue el punto de partida para la investigación que mis alumnos realizarían en casa. Durante su investigación mis alumnos pueden recurrir a cualquier fuente: libro de texto, libros de Matemáticas, Internet, etc. 49 Figura 2.2.1 S.Q.A “SISTEMAS DE NUMERACIÓN” ¿QUÉ SÉ? ¿QUÉ QUIERO SABER? ¿QUÉ APRENDÍ? Hay diferentes sistemas Se usan diferentes métodos entre ellos No todos son decimales Comienzan cuando el hombre tiene necesidades de contar Que algunos sistemas carecen de números Unos sistemas son más complicados que otros ¿Qué es un sistema de numeración? ¿Quién creó los sistemas de numeración? ¿Para qué los crearon? ¿Cuántos sistemas de numeración hay? ¿Para qué nos sirven? ¿Por qué hay que aprenderlos? ¿Cómo funcionan? ¿En qué época se iniciaron? ¿Dónde surgieron los primeros indicios? Para responder a la sección ¿QUÉ APRENDÍ? mis alumnos tomaron la lectura del su libro de texto [LIM03] de la página 24 a la 27, en grupo de 4 personas cada uno. Después de la lectura surgieron más preguntas que pudieron responder gracias a la información que recabaron de diversas fuentes. Estas respuestas fueron organizadas en grupo durante la clase y utilizando el formato que nos señala la estrategia del S.Q.A [VER FIGURA 6.4.8] obtuvimos la siguiente FIGURA 2.2.1 50 Continuación... Figura 2.2.1. ¿QUE APRENDÍ? Son símbolos con propiedades, reglas y orden para expresar cantidades. Fueron creados por el hombre hace más de 4000 años, para poder contar, agrupar e ir cubriendo sus necesidades. Existen varios sistemas de numeración que surgieron paralelamente y que se fueron modificando a través del tiempo por el mismo hombre para facilitarse el trabajo. Hay muchos pero solo estudiaremos los más relevantes: el babilónico, que surge en Mesopotamia y es el más antiguo; el egipcio en Egipto; el romano en Roma; el maya en México y el decimal que es el que actualmente usamos y que proviene de los Árabes. Es importante su estudio ya que debemos saber como surgió el sistema que actualmente utilizamos. Actualmente usamos el sistema de numeración Arábigo o bien Decimal, en la tecnología (computación) el sistema Binario cuya estructura está basada en la de los sistemas antiguos. Una vez convencidos y motivados por el tema proseguimos a estructurar toda nuestra información a través de un ORGANIZADOR GRÁFICO [VER CAPÍTULO 6.4] El Mapa Conceptual lo elaboramos durante la clase, con la participación activa del grupo y sus respectivas aportaciones, obteniendo como resultado la Figura 2.2.2 que presento a continuación. 51 Figura 2.2.2 Mapa Conceptual “ SISTEMAS DE NUMERACIÓN Después de haber estructurado la información más relevante, proseguí a explicar con ejemplos cada uno de los sistemas de numeración. La exposición me llevó varios días y transcurrió describiendo: la base, características, construcción, propiedades y símbolos de cada sistema. Posteriormente se realizaron ejercicios en el pizarrón, en forma grupal e individual, de cada uno de los sistemas que se estudiaba en ese momento. Estos ejercicios fueron sencillos: la fecha de su nacimiento, la fecha del día y algunas efemérides que han acontecido en la historia de las ciencias. Una vez detallado cada uno de los sistemas de numeración con sus respectivos ejemplos, aún existía confusión entre ellos, fue entonces cuando recurrí a estructurar de nuevo la información que teníamos. Esta Conjunto de símbolos con propiedades, reglas y orden para expresar cantidades Cubrir las necesidades del hombre y hacer más fácil su vida Hace 4000 años en Mesopotamia y culturas contemporáneas Simplifica el conteo a través de la agrupación de símbolos Mesopotámia los números babilónicos Egipto los números egipcios México los números mayas Roma los números romanos Arabia los números arábigos Son surgen utilidad para en 52 53 vez utilizando otra estrategia, y me refiero al CUADRO COMPARATIVO [VER FIGURA 6.3.6] La elaboración de éste CUADRO COMPARATIVO [VER FIGURA 2.1.3] transcurrió con la participación activa del grupo, apoyándose en los apuntes que habían tomado en clases anteriores acerca de cada uno de los sistemas. A través de la actividad hicieron comparaciones,
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