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C.E.C. Y T. LAZARO CARDENAS DEL RIO Prof: Eduardo Becerril Espinosa México, Enero de 2016 CÁLCULO DIFERENCIAL 4 CONTENIDOS Pág. Prologo. Capítulo 1. Desigualdades. 9 Otras Definiciones Operaciones de conjuntos Algunas Propiedades de las Desigualdades Desigualdades Cuadráticas . Algunas aplicaciones de las Desigualdades Capítulo 2. Funciones 21 Secuencia Didáctica 1. Para la Noción de Función Secuencia Didáctica 2. Problemas Complementarios Sobre la Noción de Función Definición de Función Capítulo 3.Funcion composición 31 Capítulo 4.Funciones inversas 35 Ejemplos Capítulo 5. Límites 39 Límites con Tablas Numéricas Teoremas sobre Límites Límites de Cocientes Límites al Infinito Capítulo 6. Derivada de una función 51 Definición y la regla de los cuatro pasos 5 Capítulo 7. Fórmulas básicas 59 Ejemplos de derivadas Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 71 Ejemplos Capítulo 9. Funciones implícitas 75 Derivada de Funciones Implícitas Regla de la Cadena Capítulo 10.Derivadas de orden superior 79 Ejemplos Capítulo 11. Razón de cambio 81 Ejemplos Capítulo 12. Funciones Creciente y Decreciente 87 Función Creciente Función Decreciente Capítulo 13. Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos 91 Máximo y Mínimo Local Criterio de la Primera Derivada Para Hallar los Valores Máximo y Mínimo Aplicaciones de Máximos y Mínimos Capítulo 14. Concavidad 105 Ejemplos Capítulo 15. Criterio de la Segunda Derivada Para Máximos y Mínimos 111 Ejemplos Capítulo 16. Derivada Trigonométrica 119 Ejemplos 6 Capítulo 17. Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas 131 Ejemplos Capítulo 18. Derivada de las funciones inversas trigonométricas 143 Capítulo 19. Diferenciales y el método de Newton para resolver ecuaciones 145 Ejemplos Capítulo 20. Proyectos 159 Apéndice 169 Bibliografía 3 Examen diagnóstico 1.- Resuelve las siguientes operaciones: a) 3-2(8-1)+4(7+2(2-4))= b) 1 7 4 6 2 = 2.-Resuelve la ecuación: 4(8-3x)+2(11-4x)=5x-1 3.-Resuelve la siguiente ecuación: x xx 2 3 6 15 4.- Obtenga la gráfica de : 2(x+3)+5y=1 6.-Resuelve el sistema de ecuaciones: 2x+y=7 3x+y=5 7.-Grafica la función 1 6 2 x y 8.-Resuelve la ecuación: x 2 +3x-5=0 9.-Simplifica: )5025(32182 = 10.- Obtenga la gráfica de la función: y=5sen(2x)+3 Capítulo 1. Desigualdades 9 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Construcción con tijeras y papel Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora. La caja1. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito en cada esquina de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación. Capítulo 1. Desigualdades 10 La caja2. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito pero en esta ocasión en las esquinas y en la mitad de la hoja el cuadro será de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación. Capítulo 1. Desigualdades 11 DESIGUALDADES DEFINICIONES Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos con una o varias propiedades en común. Ejemplo 1: El conjunto e transportes = { } Ejemplo 2: El conjunto de instrumentos de laboratorio de química={ , , , , ,...} Ejemplo 3: El conjunto de las curvas = { } Ejemplo 4: El conjunto de deportistas. Ejemplo 5: El conjunto de los dígitos D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ejemplo 6: El conjunto de los números naturales N ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} Ejemplo 7: El conjunto de los números enteros Z= {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...} Elementos: Los objetos que forman un conjunto, reciben el nombre de elementos del conjunto, pueden ser números, seres humanos, cosas, animales, etc. Depende del conjunto que se este tratando. Ejemplo: A= Conjunto de alumnos de la vocacional 4, del grupo 5136. B= Conjunto de números enteros pares mayores de 8. J = Conjunto de números que cumplen con la ecuación x2 + x - 8 = 0 Generalmente para representar un conjunto se utilizan las letras mayúsculas A, B, C,... para representar sus elementos se utilizan letras minúsculas a, b, c,... Si un conjunto no tiene elementos, entonces este conjunto es el conjunto vacío se representa por la letra griega . Ejemplo: D= Conjunto de los múltiplos de 3, entre 16 y 40. El conjunto D se puede escribir con todos sus elementos, encerrados entre llaves como se indica a continuación: D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} En este ejemplo se muestra que un conjunto se puede definir por sus propiedades o por sus elementos, así se tiene dos métodos de definición. Definición por extensión (o tabular): se colocan todos los elementos encerrados entre llaves. Ejemplo: El conjunto de números pares = {2, 4, 6, 8, 10,…} Cuando se define un conjunto, colocar todos sus elementos puede ser poco práctico ya que el conjunto puede ser muy grande o muy complicado para hacer esto. Definición por comprensión (o constructiva): Se coloca entre llaves las propiedades que definen al conjunto o se dice con palabras las propiedades que lo definen. Ejemplo: El conjunto de números múltiplos de tres = {x/ x = 3p, p es entero}; el símbolo / ( I )se lee tal que. Ejemplo: Por comprensión F = {x/ x 2 =1} Indica que F consiste de todos los números reales, tales que elevados al cuadrado son igual a la unidad. Por Extensión se tiene que F = {-1,1} pues (-1)2 =1 y también (1)2 =1 Capítulo 1. Desigualdades 12 Para decir que un elemento esta en un conjunto se utiliza el símbolo que es el símbolo de pertenencia, así 24 D se lee 24 pertenece al conjunto D, mientras que el símbolo no pertenece es , así 5 D se lee 5 no pertenece al conjunto D o también 5 no esta contenido en D, donde D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}. Para destacar la importancia de ciertos conjuntos de números se les asigna una letra especial, por ejemplo el conjunto de números naturales se representa por la letra N, el conjunto de los números enteros por la letra Z, para el conjunto de números racionales se utiliza la letra Q, el conjunto de números irracionales se representa por la letra I, para el conjunto de números reales se utiliza la letra R, el conjunto de números complejos se representa por la letra C. OTRAS DEFINICIONES Conjunto Universo: Se representa por el símbolo U, es el conjunto de todos los resultados posibles que puede tener el fenómeno que se este estudiando. Conjunto Vacío: Se representa por el símbolo , como su nombre lo indica es el conjunto que no tiene elementos. Diagramas de Venn: los conjuntos se pueden representar gráficamente por medio de círculos, Elipses, Rectángulos, triángulos y curvas cerradas. OPERACIONES DE CONJUNTOS Consideremos el conjunto universal U. 1. Unión de dos conjuntos A B = {x/ x A o x B} Ejemplo: si U = conjunto de las letras del abecedario, tomemos A= {a, b, c, d, f}, B= {b, d, e} entonces AB = {a, b, c, d, e, f}. 2. Intersección de dos conjuntos A B = {x/ x A y x B} Ejemplo: Si U=Conjunto de las letras del abecedario, tomemos B= {a, b, c, d, e, f, g}, C = {b, c, f, h, i, j} entonces el conjunto intersección B C = {b, c, f}. 3. Complemento de un conjunto Ac = x / x U y x A} Ejemplo: si U = conjunto de los dígitos, tomemos A= {1, 2, 3, 4, 7, 9}, así se tiene que: Ac= {0, 5, 6, 8}. Nuestro interés es trabajar con un tipo particular de conjuntos llamados intervalos. Tenemos loas siguientes símbolos > mayor que, mayor o igual que, <menor que, menor o igual que. Tomemos el conjunto de números menores de 7, podemos escribir: {x / x<7}. Representémoslo en la recta numérica: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ) Podemos escribir este conjunto en forma abreviada como: (- , 7) Capítulo 1. Desigualdades 13 Tomemos el conjunto de números mayores o iguales a 2 y menores de 5= {x / 2 x<5}, representémoslo en la recta numérica: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )[ Este conjunto lo podemos escribir como : [2, 5) Estos conjuntos se llaman intervalos, veamos la siguiente tabla. Ejemplo. Resolver 3x-7<0 Solución: Tenemos: 3x-7<0, sumando 7 en ambos lados de la desigualdad: 3x-7+7<0+7 Así: 3x<7 Dividiendo entre 3, tenemos: x<7/3 y el conjunto solución es: {x/x<7/}= (- ,7/3) Ejemplo. Resolver 5x+8<1 Solución: Tenemos: 5x+8<1, restando 8 en ambos lados de la desigualdad: 5x+8-8<1-8 Así: 5x<1-8, es decir: 5x<-7 Dividiendo entre 5, tenemos: x<-7/5 y el conjunto solución es: {x/x<-7/5}= (- ,-7/5) Ejemplo. Resolver 5x-72 Solución: Tenemos: 5x2+7, simplificando: 5x9 Dividiendo entre 5, tenemos: x9/5 y el conjunto solución es: {x/x9/5}= [9/5, ) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades, tomando como base los ejemplos anteriores: a)8x-11<4 INTERVALO ABIERTO a, b INTERVALO CERRADO a, b INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA IZQUIERDA a, b INTERVALO SEMI ABIERTO POR LA DERECHA a, b NUMEROS REALES R Símbolo a<x<b a xb a<x b a x<b x ( a, b) ba, ba, ba, ( - , ) Gráfica ( ) a b a [ ] b a ] b ( a b )[ ( )- Tarea. Ejemplifica en las filas de abajo lo descrito en las filas de arriba, en el entendido de que a y b son números reales. Capítulo 1. Desigualdades 14 b)6+7x21 c) 33>6x+22 Algunas propiedades de las desigualdades Una propiedad muy importante de las desigualdades, es cuando se multiplica o se divide por un número negativo es que el sentido de la desigualdad se invierte, como podemos observar en los siguientes ejemplos. Ejemplo. Resolver: -3x>1 Solución: Dividimos entre -3 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x<-1/3, el conjunto solución es: (- ,-1/3) Ejemplo. Resolver: -5x-9<1 Solución: Sumando 9 en ambos lados de la desigualdad: -5x<8 Dividimos entre -5 y como éste valor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad x>-8/5, el conjunto solución es: (-8/5, ) Ejemplo. Resolver: 3x+1<5x-4 Solución: 3x-5x<-4-1 -2x<-5 Dividiendo entre –2; tenemos x> 5/2 y el conjunto solución es [ 5/2, + ) Ejemplo. Resolver: -6<2x-4<2 Solución: En este caso podemos resolver la desigualdad por dos métodos Metodo1: Consiste en separar en dos desigualdades: Capítulo 1. Desigualdades 15 Tenemos: -6<2x-4 y también: 2x-4<2 Así: -2<2x 2x<6 De donde: -1<x x<6/2 Así tenemos –1<x, x<3 Graficamos estos conjuntos tenemos: Así la solución es el intervalo (–1, 3) Método 2: Consiste en trabajar la desigualdad sin separarla: Tenemos: -6<2x-4<2 Luego: -4<2x<6 Dividiendo entre 2: -2<x<3 y tenemos que el conjunto solución es: (-1,3) Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores: a) -3x+411 b) 1115 3 x c) 9<15-6x d) x x 41135 5 e)-2x-3>-4x+3 f) )1(742 5 3 x x h) )1 2 (11)12(813 x xx i)4<2x-6<6 Capítulo 1. Desigualdades 16 j) 2 1 4 35 2 x f) 33 6 74 15 x DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes, con .0a : .02;02;02;02 cbxaxcbxaxcbxaxcbxax Algunos ejemplos de este tipo de desigualdades se muestran a continuación. Ejemplo: Resolver x2-7x+10>0 Solución: factorizando la expresión x2-7x+10, tenemos: x2-7x+10 =(x-2)(x-5) Tomemos x=2, x=5, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes: Tenemos los intervalos: (- ,2), (2,5), (5, ) Podemos tomar el valor k=0 en el primer intervalo k=3 en el segundo intervalo y k=6 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-2)(x-5) SIGNO DE LA EXPRESION (- ,2) 1 (1-2)(1-5)=(-1)(-4)=4 + Capítulo 1. Desigualdades 17 (2,5) 3 (3-2)(3-5)=(1)(-2)=-2 - (5, ) 6 (6-2)(6-5)=(4)(1)=4 + Observemos que la solución de x2-7x+10>0 son los intervalos en donde se halla el signo positivo, estos intervalos son: (- ,2) y (5, ) Por lo tanto la solución es: (- ,2) (5, ) Ejemplo: Resolver x2-x-6<0 Solución: factorizando la expresión x2-x-6, tenemos: x2-x-6=(x-3)(x+2) Tomemos x=-2, x=3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes: Tenemos los intervalos: (- ,-2), (-2,3), (3, ) Podemos tomar el valor k=-3 en el primer intervalo k=0 en el segundo intervalo y k=5 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION (x-3)(x+2) SIGNO DE LA EXPRESION (- ,-2) -3 (-3-3)(-3+2)=(-6)(-1)=6 + (-2,3) 0 (0-3)(0+2)=(-3)(2)=-6 - (3, ) 5 (5-3)(5+2)=(2)(7)=14 + Observemos que la solución de x2-x-6<0 son los intervalos en donde se halla el signo negativo, estos intervalos son: (-2,3) Por lo tanto la solución es: (-2,3) Ejemplo: Resolver 0 3 5 x x Solución: En este caso tomemos: x=-5, x=-3, esto nos permite dividir a la recta numérica en tres partes: Tenemos los intervalos: (- ,-5), (-5,-3), (-3, ) Podemos tomar el valor k=-6 en el primer intervalo k=-4 en el segundo intervalo y k=-2 en el último intervalo. Esta información coloquémosla en una tabla: INTERVALO VALOR K EXPRESION 3 5 x x SIGNO DE LA EXPRESION (- ,-5) -6 3 1 3 1 36 56 + Capítulo 1. Desigualdades 18 (-5,-3) -4 1 1 1 34 54 - (-3, ) -2 3 1 3 32 52 + Observemos que la solución de 0 3 5 x x son los intervalos en donde se halla el signo positivo, estos intervalos son: (- ,-5) y (-3, ) Por lo tanto la solución es: (- ,-5) (-3, ) Ejercicio Resolver las siguientes desigualdades tomando como base los ejemplos anteriores. a) x2 4x-3 b) x2 -24>1 c) 0 5 9 x x d) 0 16 7 2 x x Capítulo 1. Desigualdades 19 e) 6x2 +2x-20<0 ALGUNAS APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES 1) Rafael un conserje debe mover un gran cargamento de libros del primero al quinto piso. El letrero del elevador dice peso máximo. 900 libras. si cada caja de libros pesa 80 libras, encuentra el número máximo de cajas que puede colocar en el elevador 2) La relación entre la escala de temperatura Fahrenheit1 y Celsius está dada por )32( 9 5 FC . Si 80 9 60 F , exprese el intervalo correspondiente de C en términos de una desigualdad. 1 Gabriel Fahrenheit nació en Prusia en 1686. Se le conoce principalmente por haber inventado una escala para medición de las temperaturas. Antes de él, los termómetros empleaban alcohol. En vez de ello, puso mercurio (Hg) dentro del tubo. El mercurio se solidifica a unas temperaturas muy bajas , y para que hierva, se requiere unas temperaturas muy altas. Por ello, el mercurio puede medir una extensión mayor de temperaturas que el alcohol. En la escala Fahrenheit el número 32 indica el punto de congelación del agua. Esta escala es distinta de la de Celsius que también utiliza mercurio Capítulo 1. Desigualdades 20 3) De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F(en libras) que se requiere para estirar un resorte x pulgadas más de su longitud natural está dada por: F=4.5x . Si 10<F<18. ¿Cuál es el intervalo de x? 4) Según una teoría, el efecto más benéfico de un ejercicio como trotar, se obtiene cuando el ritmo pulsa torio se mantiene dentro de cierto intervalo. Los extremos del mismo de obtienen multiplicando el número (220-edad) por 0.70 y 0.80. Determine el intervalo del ritmo cardiaco para dos personas de 30 y 40 años, respectivamente. x Capítulo 2. Gráficas de Funciones 21 CAPÍTULO 2. FUNCIONES Definición de función Función: Una función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A exactamente un único elemento de un conjunto B. Notación: la función f se representa por f:A B, f es función del conjunto A al conjunto B. En este caso la función f asigna al elemento a el elemento b, esto lo escribimos como f(a)=b. Notación: f(x) se lee “ f evaluada en x” o también “f en x” o también “f de x” y es el valor que toma la función en x. Cuando tenemos f(x) , x se llama variable independiente y se dice que f es función de variable x. Ejemplo: x xf 2 3 )( Calculemos f(1) Para obtener este valor sustituimos 1 en el lugar de la variable x, así tenemos: 1 3 3 12 3 )1( f Calculemos f(2) Para obtener este valor sustituimos 2 en el lugar de la variable x, así tenemos: 4 3 22 3 )2( f Calcula f(4) calcula f(-7) Podemos tomar a x como el valor de entrada y a y=f(x) como valor de salida. Ejemplo: y=f(x)=2x3 Entonces: si x=-1 (valor de entrada) Se tiene: y=f(-1)=2(-1)3 =-2 (valor de salida) Así mismo: y=f(0)=0 y=f(1)=2 y=f(2)=16 x se conoce como variable independiente, y=f(x) se conoce como variable dependiente. Ejemplo: y=2x+4 Se tiene que “x” es la variable independiente y “y” la variable dependiente, sin embargo podemos cambiar las literales por ejemplo en lugar de “x” pongamos t y en lugar de “y” pongamos z, tenemos: z=2t +4 que es la misma función. Las funciones aparecen con mucha frecuencia, por ejemplo: a) A cada alumno le corresponde exactamente un único número de boleta; hay una función entre los alumnos y los números de boleta. b) La distancia necesaria para frenar un auto hasta detenerlo es función de la velocidad que lleva dicho auto. c) El número de conejos en un bosque es función del número de zorros. d) El salario de un oficinista es función del número de faltas que tiene al mes. e) f(x)=2x , esta función le asigna a cada número x el doble de su valor. Capítulo 2. Gráficas de Funciones 22 Obtenga la gráfica de y=x3/2 5. Grafica la función f(x)=|x| 6.Grafica la función y=|x2- 5| Utiliza winplot y observa las gráficas de estas funciones a) y= x4- 3x2+ 2 b) y=xsenx c)y=x/x-2 d)y=2/x2 e)y=(x-3)/(x2-4) Capítulo 2. Gráficas de Funciones 23 El método de tabulación nos da una idea de cómo son las funciones, sin embargo las funciones pueden ser más delicadas por lo que este método no resulta eficaz, así más adelante se verán técnicas para graficar. Sin embargo también hay funciones donde puede darse una traslación vertical, por ejemplo tomando como base la gráfica de la función y=x2, representa una parábola con vértice en el origen. Al graficar y=x2+1, observamos que las expresiones son casi iguales, pero la segunda función se le está sumando la unidad. Quiere decir que el resultado de sustituir los valores de x serán iguales que antes pero todos aumentados en una unidad. El efecto que causara que obtendremos una grafica trasladada una unidad sobre el eje y. Un efecto similar se obtiene para y=x2+2 y y=x2-2, esta última trasladada dos unidades hacia abajo. Ejercicio 1) Obtenga la grafica de las siguientes funciones. a) y=-x2 b) y=-x2 +1 c) y= x2 +3 d) y=-x2 +5 e) y= x2 -2 2) Obtenga la grafica de las siguientes funciones. a) y=-x3 b) y=-x3 +1 c) y= x3 +3 d) y= x3 - 5 e) y=-x3 -2 Capítulo 2. Gráficas de Funciones 24 3) Obtenga la grafica de las siguientes funciones. a) y=(x-3)2 b) y=(x-3)2 +1 c) y=(x-5)2 +4 Ejercicio: Determina si la gráfica representa una función x. a) b c) Capítulo 2. Gráficas de Funciones 25 MÁS APLICACIONES DE LAS FUNCIONES PROYECTOS 1) EL TANQUE DE GAS: Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano, el tanque tiene forma de cilindro circular recto de altura 10 pies, con una semiesfera fija en cada extremo. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de la superficie del tanque como función del radio. Solución: La figura muestra el tanque de gas. Si desarmamos el tanque tenemos un cilindro y una esfera 10 Si desdoblamos el cilindro tenemos un rectángulo de lado 2 r y altura 10, como se muestra en la figura: El área de la esfera es Ae=4 r2 Por lo tanto el área del tanque es Área del rectángulo + Área de la esfera At= Ar+ Ae=20 r+4 r2 , es decir At=20 r+4 r2 Calcula el área del tanque si el radio vale 5pies Calcula el área del tanque si el radio vale 2pies Obtenga la gráfica de la función At. 2) EL BOTE DE LECHE: Se desea construir un bote de latón para almacenar leche, el bote tiene forma de cilindro circular recto de altura 17 cm. El radio debe determinarse aún. Exprese el área de la superficie del bote como función del radio. 10 2 r El área del rectángulo es base x altura Es decir Ar=2 r x 10 O sea Ar=20 r r r r Capítulo 2. Gráficas de Funciones 26 3) EL ZOOLOGICO: Para construir 4 jaulas en un zoológico se necesitan 1000 pies de tela de alambre. El diseño de las jaulas se muestra en la figura. a) Exprese el ancho “y” como función de la longitud “x”. b) Exprese el área total A limitada por el enrejado como función de x. c) Si x=2pies calcule “y”, así como también el valor del área. 4) LA PECERA: Se desea que una pecera de altura 1.5 pies tenga un volumen de 6 pies3. Como se muestra en la figura. a)Exprese y como función de x. b)Si la pecera no tiene tapa. Obtenga como función de x el número total de pies cuadrados de vidrio que se requieren para la construcción. Capítulo 2. Gráficas de Funciones 27 5) EL CICLISMO: Una pista de ciclismo es rectangular con dos semicírculos en cada extremo. Si el radio de cada semicírculo es r y la longitud total de la pista mide 400m. Obtenga el Área del terreno encerrada por la pista como función de r. 6) EL CLINDRO INSCRITO: Un cilindro circular recto de radio r y altura h, esta inscrito en un cono de altura 12cm. Y radio de base 4cm. Como se muestra en la figura. a) Exprese h como función de r (sugerencia: use triángulos semejantes) b) Exprese el volumen V del cilindro como función de r. Solución: La figura Para obtener el volumen del cilindro tenemos V=Area de la base x altura Así: V= r2 h Sustituyendo h: V= r2 (12 -3r) Multiplicando: V= 12 r2 -3 r3 Calcula el volumen del cilindro si r=1cm Calcula el volumen del cilindro si r=3cm Cuál el valor más grande que puede tomar r y Cuál el más pequeño?¿Porque? Obtenga la gráfica de la función volumen V. a) Tomemos la relación de semejanza tomando los triángulos como en la figura: 12- h = r 12 4 Despejemos h: 12-h=12(r/4) Tenemos: 12-h=3r Por lo que tenemos: h=12-3r Capítulo 2. Gráficas de Funciones 28 7) LA CAFETERA: El agua contenida en un filtro cónico de papel gotea a una taza.Como se muestra en la figura. Suponga que se vacia 5pulgadas cubicas. De agua en el filtro. Sea “ x ” la atura del agua en el filtro, “ y ” la altura del agua en la taza. a) Exprese el radio r como función de x (sugerencia: use triángulos semejantes) b) Exprese la altura “y” del agua en la taza como función de x.(sugerencia: ¿Cuál es la suma de los dos volúmenes que se muestran en la figura? Solución: a) Utilicemos semejanza de triángulos, para esto veamos la siguiente figura: b)Tenemos que el volumen total es 5=Vol. En el Cono + Vol. En el cilindro 5=1/3 Área de la base*altura+ Area de la base*altura Es decir: yRxr 22 3 1 5 Sustituyendo: 2 x r , R=2, tenemos: yx yx x 4 12 1 5 2 23 1 5 3 2 2 Despejando y: 48 60 4 12 1 5 12 1 54 3 3 3 x y x y xy Calcula el valor de y, sí x=2, x=1, x=0.5, x=0. a)Tenemos: 24 rx , despejando r, tenemos: 2 x r Capítulo 2. Gráficas de Funciones 29 8) En la figura, el triangulo rectángulo ABE es semejante al triángulo ACD; CD=8 y BC=10; h y x son las medidas de la altura y de la base del triangulo ABE. Exprese h en función de x. 9) EL AGUA: Un depósito de agua tiene forma de un cono circular recto con 30m de altura y 8m de radio. El depósito está lleno hasta una profundidad de h metros. Sea x el radio del círculo en la parte superior del nivel del agua. Escriba h en función de x, y utilice este resultado para expresar el volumen del agua en función de x. Capítulo 2. Gráficas de Funciones 30 Funciones Racionales Investiga la gráfica de la función: a) x y 3 43 12 ) x x yb 16 57 ) x x yc 342 1 ) 2 xx yd 15 1 ) 2 xx ye f) 4 1 2 2 x x y Capítulo 3 Regla de la cadena 31 CAPÍTULO 3 Función compuesta Función Composición A B C g f Definimos la función g compuesta con f como: f0g=f(g) , también podemos decir la función composición g seguida de f. Definición: Sean f y g funciones con el rango de g contenido en el dominio de f. Para cada x en el dominio de g, la función composición f0g esta definida como : (f0g)(x)=f(g(x)). g(x)=3x-10 4 2 f(x)=4x +1 9 Aquí tenemos g(x)=3x-10, f(x)=4x+1, formamos (f0g)(x), para calcular: (h0g)(4)=9 Ejemplo: si f=u2 , h=v+1 Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 en la función h=v+1, es decir: h0f=h(f)=( u2)+1=u2+1 Ejemplo: si f=u2 +3, 1 vh Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= u2 +3 en la función 1 vh , es decir: h0f=h(f)= 2131)3( 222 uuu Ejemplo: si f=z-5, 1 1 2 u u h Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f=z-5 en la función 1 1 2 u u h , es decir: h0f=h(f)= 2610 4 12510 15 1)5( 1)5( 222 zz z zz z z z Capítulo 3 Regla de la cadena 32 Ejemplo: si f=2s-11, h=u2 +4u-1 Entonces para obtener h0f=h(f) sustituimos la función f= 2s-11 en la función h= u2 +4u-1, es decir: h0f=h(f)= (2s-11)2 +4(2s-11)-1=4s2-44s+121+8s-44=4s2-36s+77 Ejemplo: si u=3x-7, 42 tv Entonces para obtener v0u=v(u) sustituimos la función u=3x-7 en la función 42 tv , es decir: v0u=v(u)= 18641464)73(2 xxx Ejercicio: obtenga: v0u=v(u) a) si u=5x+4, v=u10 b) u=4x-2, v=3u2+12u-1 c)si u=2x-1, u 7senv d)u=4x-x2 , v=tan u Ahora procedamos de la siguiente manera, vamos a dar una función y la vamos a descomponer en dos funciones una la llamaremos u y a la otra v, de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original Ejemplo: si 122 xy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original Tomemos u=2x+12 , v= x Entonces v0u=v(u)= 122 x Capítulo 3 Regla de la cadena 33 Ejemplo: si 68 11 x y , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original Tomemos u=8x+6 , v= w 11 Entonces v0u=v(u)= 68 11 x Ejemplo: si 3 2 1 xxy , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original Tomemos u=x2+x-1 , v= 3 z Entonces v0u=v(u)= 3 2 1 xx Ejercicio: si 24 3 x y , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original Ejercicio: si 95 2 x y , descomponer la función en dos funciones u y v de tal manera que al efectuar la composición v0u=v(u) obtengamos la función original Capítulo 3 Regla de la cadena 34 Ejercicio: Considere las siguientes funciones: f(x)=x+3, g(x)=x3, obtenga: g0f y f0g. Ejercicio: Considere las siguientes funciones: f(x)=2x-3, g(x)=|x| , obtenga: (g0f)(4) , (g0f)(-5), ( f0g)(-7), ( f0g)(1/3), ( f0g)(0) . Capítulo 4. Funciones Inversas 35 CAPÍTULO 4. FUNCIONES INVERSAS Cuando tenemos una función y=f(x) , si tenemos el valor de x y queremos conocer el valor de y debemos sustituir el valor de x. Así si tenemos y= 4x-1 y tenemos x=5, entonces para obtener el valor de “y” , sustituimos en la función: y=4(5)-1=20-1=19. Ahora queremos hacer lo contrario : es decir, si tenemos el valor de “y” ¿Cómo encontrar el valor de x? Por ejemplo si y= 9x+7 , y si tenemos y=10 ¿Qué valor es el correspondiente de x? Tenemos: 10=9x+7 , despejando x=(10-7)/9=3/9=1/3. Ejemplo: y=4x-11 , encontrar los valores de x; despejando tenemos x=(y+11)/4 Ejemplo: y=x3+2, encontrar los valores de x; despejando tenemos 3 2 yx Ejemplo: y=x2, encontrar los valores de x; despejando tenemos yx , pero en este caso hay dos valores para cada x hay dos valores uno positivo y uno negativo, pero para que tengamos una función debe haber un solo valor como resultado, en este caso tenemos dos por lo que no es una función. Cuando se tenga un solo valor tendremos la función inversa, si tenemos dos o más valores no tenemos función inversa. Función uno a uno: Una función y=f(x) se dice que es uno a uno si cada valor de y en el rango de f le corresponde precisamente un solo valor de x en el dominio de f ; esto es para cualesquiera números a y b en el dominio de f, f(a)=f(b) implica a=b. Ejemplo:Determine si f(x)= 9x+11 en uno a uno. Ejemplo: Determine si y=x2+8x-10 es uno a uno. Ejemplo: Determine si la función f es uno a uno. a)y=9-5x b)y=4-x3/7 c)y=x2+3 d)y=(x-5)/(x+2) Capítulo 4. Funciones Inversas 36 Criterio de la recta horizontal: Cuando tenemos la gráfica de la función f, y si podemos trazar una recta horizontal que intersecte a la gráfica de dicha función f más de una vez, entonces la función f es uno a uno. Ejercicio: determine si la grafica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la grafica de la función inversa f -1 Función inversa: Si una función es uno a uno, entonces existe una única función f -1 , llamada la función inversa de f, tal que:a) (f -1 ° f )(x)=x para todo x en el dominio de f b)(f ° f -1)(x)=x para todo x en el dominio de f -1 Ejemplo La función y=9-5x es uno a uno. Encuentre la función inversa. Tenemos x=(y-9)/-5=(9-y)/5, así tenemos: x=(9-y)/5 Intercambiamos x por y, tenemos: y=(9-x)/5 , como esta función es la función inversa de y=9-5x, podemos escribir f -1(x)= (9-x)/5 Comprobemos: a) (f -1 ° f )(x)= f -1 ( f (x))= (9-(9-5x))/5=(9-9+5x)/5=5x/5=x b) f ( f -1 (x))=9-5((9-x)/5)=9-(9-x)=9-9+x=x Así: f -1(x)= (9-x)/5 es la función inversa de f(x)= 9-5x. Ejemplo: La función f(x)=x3-7 es uno a uno. Encuentre su función inversa, f -1(x) Escribimos: y= x3-7, así tenemos: 3 7 yx , esta función es la inversa de f(x), Así , reescribiendo: f -1(x)= 3 7x Ejemplo: la función 3 7 )( 5 x xf , es uno a uno obtenga la función inversa. Tenemos 3 75 x y , de donde 3y-7=x5, así tenemos: 5 73 yx Reescribiendo: f -1(x)= 5 73 x . Ej. Si f(x)=4x+12 compruebe que es uno a uno y obtenga la función inversa. Esta función tiene un punto para x y un punto para y. Tiene función uno a uno Esta función tiene para cada volor de y ,dos valores de x. No es uno a uno. Capítulo 4. Funciones Inversas 37 Resumen para obtener la función inversa: a) Verifique que y=f(x) sea uno a uno. b) Resuelva para x en términos de y. c) Intercambie x y y , reemplace y con f -1(x) . d) Verifique que el dominio de f(x) sea el rango de f -1(x) y que el dominio de f -1(x), sea el rango de f(x). Ejemplo: La función y= x3-9 es uno a uno. Obtenga su función inversa. Propiedad grafica de f y f -1 Las gráficas de f y f -1 son reflexiones una de la otra a través de la recta y=x. Ejercicio: determine si la gráfica representa una función f de x uno a uno, si lo hace, dibuje la gráfica de la función inversa f -1 a) b) c) d) e) Capítulo 4. Funciones Inversas 38 Ej. Determine si la función f es uno a uno. a)y=7-6x. b)y=x3-5 c)y=x2+4x-12 d)y=(x-2)/(x+7) Ej. La función f es uno a uno en el intervalo indicado. Encuentre una ecuación para la función inversa y especifique el dominio y rango de f -1. a)y=6-2x, 31 x b) xxy 7- ,7 c)y=x2, 40 x d)y=7+4x, 12 x e) 4 x,4 xy f) 3 x0,)1(8 3 xy Capítulo 5. Límites 39 CAPÍTULO 5 LÍMITES Consideremos la función: x xx xf 02 0, )( 2 , Analicemos su comportamiento a medida que nos acercamos a x=0, con valores negativos, pero cada vez más cercanos a x=0, vemos que los valores de la función se hacen mas y más pequeños, es decir las alturas disminuyen, estas se representan en la grafica con las rectas de trazo uniforme. Por lo que si nos acercamos por la izquierda de x=0 la función también se acerca al valor cero, es decir el límite de la función es igual a cero, cuando x tomando valores más pequeños que x=0, decimos que nos acercamos a cero por la izquierda. Mientras que por la izquierda es cero: 0)( 0 x xLimf Como los límites son distintos, decimos que para esta función el límite cuando x tiende a cero no existe. Veamos otro ejemplo: Analicemos la función: 21 2, 2 4 )( 2 x x x x xf , Vemos que a medida que nos acercamos a 2x , por la izquierda, pero cada vez más cercanos a 2x , vemos que los valores de la función se acercan más y más al valor –4, es decir 4)( 2 x xLimf Ejercicio 1) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite 3 )( x xLimf existe y su valor. 3, 2.1 3, )( 2 x xx xf Pero si nos acercamos a x=0 con valores mayores a cero pero cada vez más cercanos a este, es decir por la derecha la función toma en cada punto el valor de 2. Es decir: 2)( 0 x xLimf Si nos acercamos a 2x con valores mayores a -2 pero cada vez más cercanos a este, es decir por la derecha la función toma valores cercanos a -4 es decir: 4)( 2 x xLimf En este caso 2 )( x xLimf = 4)( 2 x xLimf Por lo que el limite de la función si existe y tenemos que 4)( 2 x xLimf Aún siendo f(-2)=1 Capítulo 5. Límites 40 2) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite 0 )( x xLimf existe y su valor. 0 0, xx xx x , 3) Analice la grafica de la siguiente función y diga si el límite 2 )( x xLimf existe y su valor. 2 2,2 )( 2 xx xx xf , LÍMITES CON TABLAS NUMÉRICAS Investiga el siguiente límite para la función 12 xy : )1( 2 1 xLim x Para esto calcula los valores de y a partir de los valores de x . x 12 xy Con la tabla, obtén el valor del límite: )1( 2 1 xLim x = Capítulo 5. Límites 41 1.-Investiga el siguiente límite x x xsen Lím 0 existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada 2.-Investiga el siguiente límite 1x 1-x 1-x Lím 1000 existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada 3.-Investiga el siguiente límite x Lím 90 tan x existe y obtenga su valor. Complete la tabla indicada x 70 0 800 890 89.50 89.90 89.990 89.9990 Tan x TEOREMAS SOBRE LÍMITES T1. Límite de la función constante Si f(x)=c Entonces axax ccLimxLimf )( T2. Limite de la suma de dos funciones, Si axax BgLimAxLimf (x) ,)( Entonces BAxLimfxLimfxgfLim axaxax )()())(( T3. Limite del producto de dos funciones, Si axax BgLimAxLimf (x) ,)( x .1 .01 .001 .0001 0.00001 x xsen x 3 2 1.5 1.1 1.01 1.001 1-x 1-x1000 Capítulo 5. Límites 42 Entonces ABxLimfxLimfxfgLim axaxax )()())(( T4. Limite del producto de una constante k por una función, Si AxLimf ax )( Entonces kAxLimfkxLimkf axax )()( T5. Limite de la identidad f(x)=x Entonces axLim ax )( T6. Limite de la función potencia f(x)=x n Entonces nn ax axLim )( T7. Limite de la función raíz enésima n ax n axLim T8. Limite de un cociente de funciones Si existen axax gLimAxLimf 0B(x) ,)( Entonces B A gLim fLim x g f Lim x x ax (x) (x) )( a a Ejemplos 1)Hallar 5 7 x xLim , Solución: Tenemos 35)5(7 77 55 xx xLimxLim 2)Hallar 3 1 8 x xLim , Solución: Tenemos 8)1(888 33 1 3 1 xx LimxxLim 3)Hallar )73 4 ( 2 2 x x Lim x , Solución: Tenemos 147617)2(3)2( 4 1 )73 4 1 )73 4 ( 2 2 2 2 2 2 2 xxxx LimxLimxLimx x Lim Ejercicio 1) Hallar )32( 3 3 xxLim x 2) Hallar )1 4 3( 24 2 - x xxLim x 3) Hallar )543( 35 1 xxxLim x Capítulo 5. Límites 43 4) Hallar )3538( 23 0 xxxLim x 5) Hallar )77( 3 5 xxLim x 6) Hallar )9( 53 1 xxxLim x 7) Hallar )x25(( 3 2 4 xLim x 8) )14( 11 xLim x 9) )229)35(( 2 xxLim x 10) )26x3( 5 11- x Lim LÍMITES DE COCIENTES T8 Limite de un cociente de funciones Si existen axax gLimAxLimf 0B(x) ,)( Entonces B A gLim fLim x g f Lim x x ax (x) (x) )( a a 1) Ejemplo: Calcular ) 1 3 ( 2 2 x x Lim x Solución: Apliquemos el T8., tenemos: 7 1 7 12 34 1)2( 3)2( )1( )3( ) 1 3 ( 2 2 2 2 2 2 x x x xLim xLim x x Lim Capítulo 5. Límites 44 2) Ejemplo: Calcular ) 42 16 ( 3 2 5 xx xx Lim x Solución: Apliquemos el T8., tenemos: 119 56 410125 13025 4)5(2)5( 1)5(6)5( )42( )16( ) 42 16 ( 3 2 3 5 2 5 3 2 5 xxLim xxLim xx xx Lim x x x 3) Ejemplo: Calcular ) 1 1 ( 2 1 x x Lim x Solución: Apliquemos el T8., tenemos: 0 0 11 1)1( )4( )1( ) 1 1 ( 2 1 2 1 2 1 xLim xLim x x Lim x x x Por lo que debemos de resolver este ejercicio, tratando de evitar la dificultad de que nos quede una división entre cero, esto es tratar de evitar la singularidad. Factor icemos el numerador, tomando en cuenta que se tiene una diferencia de cuadrados, es decir: A2-B2 = (A-B)(A+B), tenemos entonces: 211)1() 1 )1)(1( () 1 1 ( 1 1 2 1 xLim x xx Lim x x Lim xxx 4) Ejemplo: Calcular ) 12 4 ( 24 xx x Lim x Solución: En este caso también debemos factor izar, en este caso .34122 xxxx Tenemos: 7 1 ) 3 1 () )4)(3( 4 () 12 4 ( 4 4 24 x Lim xx x Lim xx x Lim xxx Ejercicio 1) Hallar ) 2 9 ( 2 4 x x Lim x 2) Hallar ) 25425 114 ( 23 2 7 xxx xx Lim x 3) Hallar ) 33 19 ( 4 2 1 x x Lim x Capítulo 5. Límites 45 4) Hallar ) 65 4 ( 2 2 2 xx x Lim x 5) Hallar ) 87 8 ( 28 xx x Lim x 6) Hallar ) 5 54 ( 2 5 x xx Lim x 7) ) 12 65 ( 2 2 5 xx xx Lim x 8) ) 94 32 ( 22/1 x x Lim x 9) ) 19 13 ( 23/1 x x Lim x 10) ) 43 45 ( 2 2 4 xx xx Lim x Capítulo 5. Límites 46 11) Hallar ) 2 2 ( 2 2 x x Lim x 12) Hallar ) 4 2 ( 4 h h Lim h 9) Hallar ) 1 1 ( 1 x x Lim x 10) Hallar ) 22 ( 0 x x Lim x 11) Hallar ) 1 25 ( 1 h h Lim h Capítulo 5. Límites 47 13) Hallar ) 6 22 ( 6 x x Lim x 14) ) 11 ( 0 h h Lim h 15) Hallar ) 4 352 ( 22 x x Lim x 16) ) 39 ( 2 2 0 t t Lim t 17)Hallar ) 554 ( 2 0 h hh Lim h Capítulo 5. Límites 48 18) Hallar ) 22 25 ( 1 x x Lim x LÍMITES AL INFINITO Cuando la variable x crece arbitrariamente, tomando valores positivos se dice que tiende a más infinito + , podemos pensar en número N>0 muy grande, como la variable x toma valores mayores cada vez, llegara un momento en que x será mayor que N, es decir x>N, para todo número N. Esto se puede representar así: x y se lee x tiende a más infinito. Analicemos la función y= x 1 , cuando x tiende a más infinito. Es decir veamos el siguiente límite: ) 1 ( x Lim x Tomemos la siguiente tabla: También observemos la gráfica: Esto nos da un método para tratar con algunos límites, como se muestra a continuación. Pero antes resuelva lo siguiente: Al aumentar los valores de la variable x, se observa que los valores de la función y = x 1 disminuyen, de tal manera que se acerca al valor cero, es decir: ) 1 ( x Lim x =0 Podemos pensar en que tenemos un pastel y que el número de invitados que llegan a la fiesta aumenta y aumenta, entonces de que tamaño es la rebanada que les va a tocar. Capítulo 5. Límites 49 Ejercicio Obtenga una tabla y una gráfica para estudiar el límite ) 1 ( x Lim x 1) Ejemplo: Calcular ) 54 34 ( x x Lim x Solución: Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso simplemente entre x: 1 4 4 ) 04 04 () 5 4 3 4 () 54 34 () 54 34 () 54 34 ( xxxxx Lim x xLim xx x xx x Lim x x x x Lim x x Lim 2) Ejemplo: Calcular ) 36 12 ( 2 2 xx x Lim x Solución: Vamos a dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor en la que aparece x, en este caso simplemente entre x 2 : 3 2 ) 300 02 () 3 16 1 2 ( ) 36 12 () 36 12 () 36 12 ( 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 xx xxx Lim xx xLim x x x x x xx x Lim x xx x x Lim xx x Lim Ejercicio 1) Calcular ) 174 35 ( 3 23 xx xx Lim x 2) Calcular ) 639 110 ( 24 34 xx xxx Lim x Capítulo 5. Límites 50 3) Calcular ) 127161 16115 ( 2285 229 xxx xx Lim x 4) Calcular ) 75 72 ( 23 3 xxx x Lim x Capítulo 6. Derivada de una Función 51 CAPÍTULO 6 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Derivada de una Función en una Variable: La derivada de una función es un límite especial, veamos la siguiente definición. La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de una función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Matemáticamente se expresa de la siguiente forma. x xfxxf Lím x y Lim xx )()( 00 Cuando existe este límite se dice que la función es derivable. La derivada de una función se puede representar por los símbolos: )(' xf , )( . xf , )(xfDx , dx xdf )( , dx df Por todo esto si )(xfy es derivable, entonces la derivada es: x xfxxf Lím x y Lím dx dy xx )()( 00 Veamos algunos ejemplos de cómo aplicar la definición, esto lo haremos siguiendo cuatro pasos (llamada también regla de los cuatro pasos) importantes, como se muestra: Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy 4 . Solución: Primer paso: valor final )(4)( xxxxfy f Segundo paso: incremento de la función x xx xxxxfxxfyyy if 4 444x 4)(4)()( Tercer paso: cociente: x y , tenemos : 4 4 x x x y Cuarto paso: Aplicar el límite x y Lim x 0 Así tenemos la derivada: 44 00 xx Lim x y Lim dx dy Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función 106 2 xy . Solución: Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior: Capítulo 6. Derivada de una Función 52 Primer paso: valor final 10)(6)( 2 xxxxfy f Segundo paso: incremento de la función 2 2 22 612 )(-)2(6 10)(6-10)(6)()( xxx xxx xxxxfxxfyyy if 1010x 2 26x Tercer paso: cociente: x y x x x x xx x xxx x y 6 12x 612612 22 Cuarto paso: Aplicar el límite x y Lim x 0 Así tenemos la derivada: xxLim x y Lim dx dy xx 12)6 12x ( 00 Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función .352 2xxy Solución: Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior: Primer paso : valor final 2 x)3(x - x)5(x 2)( xxfy f Segundo paso: incremento de la función 2 2 22 365 )-()2(3)(5 )3x -5x (2- x)3(x - x)5(x 2)()( xxxx xxxx xfxxfyyy if 22 x5x2xx2 3 Tercer paso: cociente: x y x x x x xx x x x xxxx x y 3-6x -5 365365 22 Cuarto paso: Aplicar el límite x y Lim x 0 Así tenemos la derivada: 6x -5 )3-6x -5( 00 xLim x y Lim dx dy xx Ejercicios Calcula las siguientes derivadas utilizando la definición: Capítulo 6. Derivada de una Función 53 1) a) 8y b) y=1000 2) a) xy 9 b) y=32x 3) 64 xy 4) 27xy Capítulo 6. Derivada de una Función 54 5) 742 xxy 6) 3xy Capítulo 6. Derivada de una Función 55 7) 133 xxy Veamos otros ejemplos en donde también utilizamos la regla de los cuatro pasos: Capítulo 6. Derivada de una Función 56 Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función 3x b y Solución: Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores: Primer paso: valor final 3)x( )( x b xxfy f Segundo paso: incremento de la función 33 322 33 32233 33 33 33 )x( xx3bx3 )x( )x3x x3( )x( )x( )x( )()( xx bxbx y xx xxxbbx xx xbbx y x b x b xfxxfyyy if - Tercer paso: cociente: x y 33 22 33 22 33 32233 322 )x( xx3b3 )x(x xxx3b3 )x(x xx3bx3)x( xx3bx3 xx bxbx xx bxbx xx bxbx y x xx bxbx x y )(- )(-- - Cuarto paso: Aplicar el límite x y Lim x 0 4 33 2 33 2 33 22 00 3 )( 3 )0( 003 ) )x( xx3b3 ( x b xx bx xx bx xx bxbx Lim x y Lim dx dy xx - - )(- )(- Así tenemos la derivada: 4 3 x b dx dy - Ejemplo: Obtén la derivada de la siguiente función xy Solución: Capítulo 6. Derivada de una Función 57 Apliquemos los cuatro pasos como en los ejemplos anteriores: Primer paso: valor final x)( xxxfy f Segundo paso: incremento de la función xxxfxxfyyy if x)()( Tercer paso: cociente: x y x xx x y x En este caso multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador, a continuación de esto aplicaremos el producto notable (a-b)(a+b)=a2-b2, y a continuación simplificamos la expresión, como sigue: )x( 1 )x( x )x( x-x )x( )()x( ) x x )( x ( 22 xx xxx xxx x xxx xx xx xx x xx x y Cuarto paso: Aplicar el límite x y Lim x 0 x xx xx xx Lim x y Lim dx dy xx 2 1 )( 1 )0( 1 ) )x( 1 ( 00 Así tenemos la derivada: xdx dy 2 1 Capítulo 6. Derivada de una Función 58 Ejercicios Obtenga la derivada de la constante, producto, cociente. Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 59 FÓRMULAS BÁSICAS PARA OBTENER LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 7 Estas fórmulas se deducen aplicando la definición. 1. 0 dx cd 2. 1 dx xd 3. dx df c dx fcd 4. dx dh dx dg dx df dx hgfd 5. 1 n n nx dx xd 6. dx du un dx ud n n 1 7. dx du v dx dv u dx vud 8. 2 / v dx dv u dx du v dx vud Algunos ejemplos de estas reglas se dan a continuación en la tabla siguiente. Apliquemos la fórmula uno: 0 dx cd La derivada de una función constante siempre es igual a cero. Ejemplo. Si tenemos la función constante y=8 , entonces aplicando la fórmula: 0 dx cd y tenemos: 0 8 dx d dx dy o Simplemente: 0 dx dy Similarmente: 0 10 dx d , 0 33 dx d , 0 1000 dx d , 0 )2/1( dx d , 0 )15( dx d Veamos la fórmula dos: 1 dx xd Ejemplo: 1 dt dt , 1 du du , 1 dz dz , 1 dw dw Veamos la fórmula tres: dx df c dx fcd Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 60 Ejemplo: Hallar dx dy , si y=12x Sol. 10) 1(1010 x10 dx dx dx d dx dy Ejemplo: Si tenemos h=10x , Hallar dx dy Solución: Aplicando la formula tres: 12) 1(1212 x12 dx dx dx d dx dh Ejemplo: Obtenga la derivada de la función indicada con respecto de la variable independiente. a) h=10x Solución: Aplicando la formula tres: 12) 1(1212 x12 dx dx dx d dx dh b) 4 t y Solución: Aplicando la formula tres: 4 1 4 14 dt dt dt t d dt dy c) 3 7u h Solución: Aplicando la formula tres: 3 7 3 73 7 du du dt u d du dh Veamos la fórmula cuatro: dx dh dx dg dx df dx hgfd Ejemplo1: Hallar dx dy , si y=3x+2 Solución: Aplicando la formula cuatro: 3 03 2323 dx dx dx d dx xd dx xd dx dy Así 3 dx dy Ejemplo2: Si h=8t -2 , Hallar dt dh , Solución: Aplicando la formula cuatro: 8 08 2828 dt dt dt d dt td dt td dt dh Así 8 dt dh Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 61 Ejemplo3: Si 6 2 t y , Hallar dt dy , Solución: Aplicando la formula cuatro: 2 1 0 2 1 62 6 2 dt td dx d dt t d dt t d dt dy Así 2 1 dt dy Ejercicios 1 Obtenga la derivada de la función: a) y=15 b) h=4x c) y=3x + 1 d) y= 7 u – 2 e) y=12z + 9 f) y= 52 1 g) y=2- 4 t h) 3 5 7 xy i) h=6u+ 2 1 j) f =5w+ 2 1 k) g=40 l) h= -10+ 7 3u Veamos la fórmula cinco: 1 n n nx dx xd , n es una constante Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 62 Ejemplo1:Hallar dx dy , si y=x5 Solución: Aplicando la fórmula cinco: 4 15 5 5 5 x x dx xd dx dy Así 45x dx dy Ejemplo2:Hallar dx dy , si y=x2 Solución: Aplicando la fórmula cinco: 1 12 2 2 2 x x dx xd dx dy , Así la derivada es: x dx dy 2 Ejemplo3:Hallar dx dy , si xy Solución: Aplicando la fórmula cinco: x x x dx xd dx xd dx dy 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 , Así la derivada es: xdx dy 2 1 Si queremos obtener la derivada de una raíz cubica aplicamos la fórmula cinco Ejemplo4:Hallar dx dy , si 3 xy Solución: Aplicando la fórmula cinco: 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 x x x dx xd dx xd dx dy Así 3 23 1 xdx dy Ejemplo5: Si y=x11+ x4+9 , Hallar dx dy , Solución: Aplicando la formula cuatro: 0411 99 310 411411 xx dx d dx xd dx xd dx xxd dx dy Así 310 411 xx dx dy Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 63 Ejemplo6: Si h=4t6 -2t3+7t+9 , Hallar dt dh , Solución: Aplicando la formula cuatro: 7624 0)1(7)3(2)6(4 9 724 97249724 25 25 36 3636 tt tt dt d dt dt dt dt dt dt dt d dt td dt td dt td dt tttd dt dh ,Así tenemos: 7624 25 tt dt dh Ejercicios 2 Obtenga la derivada de la función: a) y=x4 b) h=x22 c) y=x7 d) y= 5 u2 e) y=5z3 f) y=4t2+1 g) 5 xy h) 3 xxy i) h= u2+ 6u+1 j) f =5w3+w k) g=3-t5+4t6 l) h= 117 3 x m) h=z3+ 11 7 5 2 u n) 5 2 x y Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 64 Ejercicios 3 Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión. 1. 47y 2. xy 3 3. 912 xy 4. 2/1 7 11 x y 5. 4xy 6. 8 3 x y 7. 103715 24 xxxy 8. 3 7 2 2 5 xx y 9. xy 10. 3 7 x y 11. 5 x y 12. 5 xxy 13. 4 3 5 x x y 14. t r 2 1 15. 2 3 x y 16. 321 xxy 17. 32 6 x x y 18. 2 6 87 x xx w 19. 232ttz 20. 2 2 x xy Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 65 Veamos la fórmula seis. Fórmula dx du un dx ud n n 1 Ejemplo1: Si f=(x+1)2 , Hallar dx df Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=2, u=x+1: )1(2 )1()1(2 )01()1(2 ) 1 ()1(2 1 )1(2 1 1 1 12 x x x dx d dx dx x dx xd x dx df Así )1(2 x dx df Ejemplo 2: Hallar ds dy , Si y=(2s+8)3 , Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=3, u=2s+8: 2 2 2 2 13 )82(6 )2()82(3 )02()82(3 ) 82 ()82(3 82 )82(3 s s ds sd s ds d ds sd s ds sd s ds dy Así 2)82(6 s ds dy Ejemplo 3: Hallar dx dy , Si 1 xy , Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=x+1: 12 1 )1(2 1 )1()1( 2 1 1 )1( 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 x x x ds xd x ds xd ds dy Así 12 1 xdx dy Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 66 Ejemplo 4: Hallar dx dy , Si xxy 23 , Solución: Aplicando la formula seis, n es el exponente, así n=1/2 , u=3x2+x: xx x xx x xxx ds xd ds xd xx ds xxd xx ds xxd ds dy 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 32 16 )3(2 16 )16()3( 2 1 ) 3 ()3( 2 1 3 )3( 2 1 3 Así xx x dx dy 232 16 Ejercicios 4 Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión. 1. 925 xy 2. 33 52 xy 3. 5 42 xy 4. 42 )1( 5 x y 5. 2)118( xy 6. 7 15 4 x y 7. 32 )( 16 xx y 8. 115 1924 xy Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 67 Veamos la fórmula del producto de dos funciones Formula dx du v dx dv u dx vud Ejemplo : Hallar dx dy , Si 1 xxy , Solución: Aplicando la fórmula del producto dx du v dx dv u dx vud , aquí: u=x ,: 2/1)1(1 xxv Así tenemos: 1 12 )1( )1(2 )1()1()1( 2 1 )1()1( 1 )1( 2 1 )1( 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x xxx x ds xd xx ds xd x ds xd x ds xdx ds dy Así 1 12 x x x dx dy Ejercicios 5 1. 3 xxy 2. )13)(12( xxy 3. ))(( 26 bxaxy 4. xxy 452 Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 68 Fórmula del cociente: 2 / v dx dv u dx du v dx vud Ejemplo : Hallar dx dy , Si 15 3 x x y , Solución: Aplicando la fórmula del cociente: 2 / v dx dv u dx du v dx vud , aquí: u=3x ,v=5x-1 Así tenemos: 2)15( )15( 3 )3( )15( 15 3 x dx xd x dx xd x dx x x d dx dy Tenemos: 2)15( )5(3)3)(15( x xx dx dy Así: 22 )15( 3 )15( 15315 xx xx dx dy La derivada de y es: 2)15( 3 xdx dy Ejercicios 6 1. 3 2 x x y 2. 4 1 x x y 3. 104 7 z z y 4. 225 1 w w y 5. xa xa y 6. 22 22 xa xa y 7. 16 2 3 w w z 8. 2 2 2 2 x x z Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 69 9. xa xa y 10. bxa x y 11. xa xa y Obtenga la derivada de la función: 45. 1 xy 46. 3 52 xy 47. x y 2 4 48. x x y 8 Capítulo 7 Fórmulas básicas de la derivada 70 49. 5 3 x y 50. 5 17 18 x y Deducción de la fórmula de la derivada de la potencia, de la multiplicación, del cociente Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 71 8 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA En geometría se interpreta la derivada como la pendiente de la recta tangente. Veamos la siguiente explicación. Consideremos una recta que pasa por el punto P, como se muestra en la figura. En términos de incrementos, podemos observar la siguiente figura. Veamos la definición de la derivada x xfxxf Lím x y Lim xx )()( 00 Así la derivada de una función nos da como resultado la pendiente de la recta tangente. La ecuación de la recta es: y-y0=dy/dx (x-x0) Cuando el incremento de x se hace cada vez más pequeño entonces la recta tangente se acerca a la recta tangente t x m x y Lim 0 =dy/dx Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 72 Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y=x 2 +5, en el punto P(1,6) Solución. Hallemos la derivada de y=x 2 +5 Tenemos dy/dx= dx 2 /dx+d5/dx dy/dx= 2xdx/dx Así: dy/dx= 2x En el punto P(1,6), se tiene que x=1, y=6, sustituyendo en la derivada: dy/dx= 2x, x=1 dy/dx= 2(1) dy/dx= 2 Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=6, dy/dx=2 y-6=2 (x-1) es decir y=2(x-1)+6 o también 2x-y+4=0 Ejemplo. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la grafica de y= x 3 +x 2 -x+3, en el punto P(1,4) Solución. Hallemos la derivada de y= x 3 +x 2 -x+3 Tenemos dy/dx= dx 3 /dx+dx 2 /dx-dx/dx+d3/dx Así: dy/dx= 3x 2 +2x-1 En el punto P(1,4), se tiene que x=1, y=4, sustituyendo en la derivada: dy/dx= 3x 2 +2x-1, x=1 dy/dx= 3(1) 2 +2(1)-1 dy/dx= 4 Así la ecuación de la recta tangente es: y-y0=dy/dx (x-x0), x=1, y=4, dy/dx=4 y-4=4 (x-1) es decir y=4(x-1)+4 o también 4x-y=0 La ecuación de la recta tangente en el punto P(1,6) y=2(x-1)+6 La ecuación de la recta tangente en el punto P(1,6) y=2(x-1)+6 La ecuación de la recta tangente en el punto P(1,4) a la curva es: y=4x Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 73 En winplot se puede observar la recta tangente. Una vez que se tiene la grafica de la ecuación, en este caso tenemos y=x*x. que es la ecuación de la parábola y=x 2 . Podemos ir al menú y tomar la opción Una y a continuación Traza como se ve en la siguiente figura. A continuación indicamos en el cuadro que tenemos la opción tangente, la figura se observa indicada, el cuadro gris podemos moverlo y observar la recta tangente. Utiliza winplot y observa las rectas tangentes de a)y=.5 x3+x2-x+4, b)y=xsenx, c) y=lsen xl. Capítulo 8. Interpretación geométrica de la derivada 74 Ejercicios Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado. a) y = 2x – x 3 ; P(-1,-1) b) y = x 8 ; P(2,4) c) y = 3x 2 – 12x + 8 ; P(2,-4) d) y = x ; P(2, 2 ) e) y = 3 1 x ; P(4,1) f) y = x 3 – 2x 2 -3 ; P(2,-3) Capítulo 9. Funciones Implícitas 75 CAPÍTULO 9 Derivada de una función implícita 1. FUNCIONES IMPLÍCITAS Funciones Implícitas Veamos la siguiente pregunta: ¿Una ecuación siempre representa una función? Observemos que a cada valor x le corresponden dos Valores de y por lo tanto no es una función. Sin embargo despejemos "" y tenemos: 24 xy lo que da origen a dos funciones las cuales son: 24 xy y 24 xy tenemos dos funciones una es la parte superior de la circunferencia y la otra la parte inferior 24 xy 24 xy También podemos definir otras funciones por ejemplo: 24 x , -2x<0 )(xy 24 x , 0x2 la grafica se muestra a continuación: Es una función pues para cada valor de x le corresponde un único valor de "" y . Es una función pues para cada valor de x le corresponde un único valor de "" y . Ejemplo: La ecuación de la circunferencia de radio 2r y centro el origen. 422 yx . Capítulo 9. Funciones Implícitas 76 En este caso también tenemos una función. En resumen una ecuación puede representar una función o puede no representar una función o a partir de ella podemos definir una función o mas funciones, de las cuales algunas serán derivables y otras no. Supondremos que siempre existen funciones derivables FUNCIONES EXPLICITAS Cuando se tiene una ecuación en donde esta despejada una de las variables, diremos que tenemos una función en forma explícita. Ejemplo: y=x2+3 , u=t3+ 1/t - 2, v=u5/(u-1) FUNCION IMPLÍCITA: Cuando se tiene una ecuación en donde no esta despejada ninguna de las variables, diremos que tenemos funciones en forma implícita. Ejemplo: x2 +y2 =4 7xy=3y-10
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