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DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 
“ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 
“ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ” 
 
 
 
 
 
Instrucciones Generales: Lee cuidadosa y detenidamente las siguientes 
cuestiones y resuélvelas mostrando la metodología o procedimiento a 
seguir, así como los cálculos realizados, en forma clara, ordenada y limpia. 
¡ Éxito !. 
 
I. Instrucciones.- Subrayar la respuesta correcta para cada una de 
las siguientes oraciones: 
 
1. Es una relación entre dos o más Variables, en donde al darle un 
 Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere uno 
 y solamente un valor. 
 
a) Dominio b) Variable c) Función d) Relación 
 
2. Es una dependencia entre Variables, en donde al darle un Valor a la 
 Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere más de un valor. 
 
a) Función b) Relación c) Constante d) Ámbito 
 
3. Son Símbolos Alfabéticos que se caracterizan porque pueden adquirir 
 diferentes valores. 
 
a) Constantes b) Variables c) Imagen d) 2,4,16,23 
 
4. Es el Conjunto de Números Reales para los cuales la expresión 
 matemática (función) existe o esta definida. 
 
a) Contradominio b) Función c) Constante d) Dominio 
 
5. Es el conjunto de Imágenes en una expresión matemática (función). 
 
a) Variable b) Dominio c) Contradominio d) Relación 
 
6. Es el Valor que adquiere una expresión matemática (función) al asignarle 
 un Valor a la Variable Independiente y al aplicar la Regla de 
Correspondencia. 
 
a) Ámbito b) Función c) Imagen d) Relación 
 
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II. Instrucciones.- Escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra 
de la expresión que indique la respuesta correcta en cada una de 
las siguientes cuestiones: 
 
a) 
 
 
7. ( ) Es una forma de denotar la Derivada. L) 3.5)(,5)( 22 −=−= nnZcccI 
8. ( ) Es el conjunto de todos los puntos 
),( yx , en el Plano Cartesiano, 
es decir, de todas las parejas 
ordenadas [ ])(, xfx . 
 
Q) 
dx
yd 
9. ( ) Son ejemplos de funciones trascendentes. N) Gráfica de una Expresión 
 Matemática 
10. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. Ñ) )3(cos)(,)6( +== xxRA x 
11. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. P) 
dx
d )( 
12. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. R) )(2)(,)( xxfmmS ±=±= 
13. ( ) Son ejemplos de RELACIONES. S) 35− 
14. ( ) Es una forma de denotar el 
Operador Diferencial. 
T) g (gravedad) 
 
 
 b) 
 
15. ( ) Es una forma de denotar la Derivada 
 de Orden Superior de una función. A) 
25
2 2
1,1)( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
−
= xY
m
mmA 
16. ( ) Se interpreta como la pendiente )(m 
 de la recta tangente a la curva )]([ xf 
 en un punto ),( yxP . 
 
B) [ ]2
2 )(
xd
xfd 
17. ( ) Son funciones Trascendentes. C) Interpretación Geométrica de 
 la Derivada 
18. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. 
D) )()(,
3
1 2hsenhKG =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
α
 
19. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. E) )(xD 
 
20. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. F) La derivada, su interpretación 
 como una tasa de variación. 
21. ( ) Se interpreta como la variación 
 del Volumen con respecto al tiempo, es 
 decir, [ ] ')( V
td
tVd
= . 
G) 
15
11
 
22. ( ) Es una forma de denotar el 
Operador Diferencial. H) 1q de 2
21)(
d
qqKdF = 
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III. Instrucciones.- Resuelve correctamente en forma clara y 
ordenada, mostrando el procedimiento: 
 
 
1) Determina el Dominio de Definición de las siguientes funciones: 
 
 
 
 
1. 2318)( xxxf −= 
 
 { }ℜ∈xx 
2. 
44
)( 23 +−−
−=
kkk
kkN 
 
{ }22,1, −≠≠≠ℜ∈ kykkkk
 
3. 
13
2)( 2 +
+
=
x
xxY
 
 
 
 
 { }ℜ∈xx 
4. 
2
1)(
−
=
m
mR 
 
 
 { }2, ≠ℜ∈ mmm 
5. 
3
12
)(
−
=
u
uuP 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ >ℜ∈ 6
1, uuu 
6. 
23
13
3
5
8)(
+
−
=
i
iQ 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −≠ℜ∈ 115
39, iii 
7. 
( )( )12
2
+−
=
xx
xY 
 
 { }12, −≠≠ℜ∈ xyxxx 
 
8. ttS 7100)( +−= π 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −≥ℜ∈ 7
100, ttt 
9. 
3108
)( 2 −+
+
=
gg
wzgO 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −≠≠ℜ∈ 2
3
4
1, gyggg 
10. 
3+
=
y
yX 
 { }3, −≠ℜ∈ yyy 
11. 33
9
7)( bbbE += 
 { }ℜ∈bb 
 
12. 
w
w
wA −=)( 
 { }0, ≠ℜ∈ www 
13. 
⎩
⎨
⎧
>
<+
=
0,1
0,2
)(
msi
msim
mK 
 
 { }0, ≠ℜ∈ mmm 
 
 
 
14. exY −=)( 
 
 
 { }ℜ∈xx 
15. 
11
112
−
−+
=
x
xy 
 
 { }11, >ℜ∈ xxx 
16. 
11
1)(
2
2
−+
+
=
x
xxf 
 
 { }0, ≠ℜ∈ xxx 
17. 20)10(1)( −=ñP 
 
 
{ }ℜ∈ññ 
18. 0)( =ny 
 
 
{ }ℜ∈nn 
 
 
 
 
 
 
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2. Determina el Dominio y Contradominio de las siguientes 
funciones: 
 
19. 102 −= xY 
 
 { }ℜ∈xx
 
 
{ }10, −≥ℜ∈ yyy 
20. 
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
0,9
0,
)(
ksi
ksim
kM 
 
 { }ℜ∈kk 
{ }90, =≤ℜ∈ MyMMM
 
21. 29)( yyX −= 
 
{ }33, ≤≤−ℜ∈ yyy 
{ }30, ≤≤ℜ∈ XXX 
 
22. qqP =)( 
 
 { }
{ }ℜ
ℜ
∈
∈
PP
qq 
 
23. 2)( ttR = 
 
 { }ℜ∈tt 
{ }0, ≥ℜ∈ RRR
 
24. 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>+
≤≤−
−<−
=
5,5
55,
5,5
)(
nsi
nsin
nsi
nP 
 { }ℜ∈nn 
 { }55, ≤≤−ℜ∈ PPP 
 
25. 
2
1)( =mA 
 
 
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ =ℜ
ℜ
∈
∈
2
1, AAA
mm
 
 
26. 937)( −+= rrT 
 
 { }3, ≥ℜ∈ rrr 
 { }7, ≥ℜ∈ TTT 
27. 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
<≤−
<≤−
<≤
=
43,3
32,2
21,1
10,
)(
xsix
xsix
xsix
xsix
xY 
 
 { }40, ≤≤ℜ∈ xxx 
 { }10, ≤≤ℜ∈ YYY 
28. 
y
yyN =)( 
 
 
29. 
⎩
⎨
⎧
≥+
<−
=
0,1
0,1
)(
esi
esi
eB 
 
 
{ }
{ }11,
,
−==ℜ
ℜ
∈
∈
ByBBB
ee
 
30. 
⎩
⎨
⎧
<−
≥−
=
1,1
1,1)(
ssis
ssissf 
 
{ }ℜ∈ss 
{ }0, ≥ℜ∈ fff 
 
31. xxF += 2)( 
 
{ }0, ≥ℜ∈ xxx 
{ }2, ≥ℜ∈ FFF 
32. 
j
jC 1)( = 
 
 { }0, ≠ℜ∈ jjj 
{ }0, >ℜ∈ CCC 
33. uy = 
 
 { }0, ≥ℜ∈ uuu 
{ }0, ≥ℜ∈ yyy 
 
 
34. 
z
zP 1)( = 
 
{ }
{ }0)(,)()(
0,
>ℜ
≠ℜ
∈
∈
zPzPzP
zzz 
35. xy 88−= 
 
 
 
),0[
]1,(
∞+
∞− 
36. 
⎩
⎨
⎧
<
>−
=
0,10
0,10
xsi
xsi
y 
 
( )
]10[]10[
),0(0,
y−
∞+∪∞− 
 
 
 
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3. Determina la imagen de las siguientes funciones: 
 
 
 
24)( 3 +−= xxxf para: 
 
37. )1(f 38. )2(−f 39. )(af40. 
3
1
21
)1()( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
q
qqqP si 0=q 
2
1)( 2 +
−
=
x
xxf para: 
 41. )0(f 42 )1(−f 43. )2( af 44. )1(
x
f 
 
45. 652 )3()1()( xxxF ++= si 
1−=x 
 
46. 3)( 3 −++= xxxxA si 1=x 47. 
3
5
2
1
1)( ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
h
hhM si 2=h 
 
 
 
4. Dada las funciones: 
 
a) 7)( 2 += wwK 
 
b) 25)( zzR += 
 
c) 2
3
5)( vvY += 
 
 
 Determina y/o indica, además realiza: 
 
 
 1) El Dominio de definición. 
 
 2) El Contradominio. 
 
 3) La Variable independiente. 
 
 4) La Variable dependiente 
 
 5) La imagen si: a) 
2
1
=w
 
b)
 3
1
=z
 
c) 
5
3
−=v
 
 
 
6) El Gráfico de la función para: a) 43 ≤≤− w , en donde w es entero. 
 
 b) 53 ≤≤− z , en donde z es entero. 
 
 c) 44 ≤≤− v , en donde v es entero. 
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5. Realiza las OPERACIONES MATEMÁTICAS o 
DEMOSTRACIONES indicadas para las funciones: 
 
a) Demuestra que si 42)()( −= yayA , entonces 
)42()2()2( 2 +=+⋅− xAxAxA 
b) Obtén ( ) )4(fg ,es decir, ( ))4(fg , si 
5
4)( −= xxf y 34)( −= xxg 
 
c) Obtén ( ) )5(gf  , es decir, ( ))5(gf , si 
5
10)(
−
=
x
xf y 43)( −= xxg 
 
d) Si 12)( += mmA , determina el valor de 
[ ]1)1(23
)3()()2( 2
++
++
mm
mAmAmA 
 
 
e) Si aaM 21)( += , determina el valor de [ ]
)()2()3(
32)1(1
2 aMaMaM
aa
++
++ 
 
f) Sea ( )xx aaxf −+=
2
1)( y ( )xx aaxg −−=
2
1)( , demuestra que: 
)()()()()( ygxgyfxfyxf +=+ 
 
g) Si xxf 2)( = , demuestra que: )4(
)1(
)3( f
xf
xf
=
−
+ 
 
h) Si 
z
zR 1)( = , demuestra que: 
zzz
zzRzzR
Δ−
Δ
=−Δ− 2)()( 
 
 
 
6. Resuelve los siguientes cuestionamientos relacionados con el límite de 
una función: 
 
1. El alcohol es eliminado del organismo por los pulmones, por los riñones y 
mediante procesos químicos en el hígado. A niveles de concentración 
moderados el hígado efectúa la mayor parte del trabajo de eliminación del 
alcohol, mientras que pulmones y riñones eliminan menos del 5%. El hígado 
procesa el alcohol de la corriente sanguínea en una proporción r relacionada 
con la concentración x de alcohol en la sangre según la función racional 
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β
α
+
=
x
xxr )( en donde α y β son constantes positivas. Este es un caso 
especial de la llamada Ley de Michaelis-Menten. Determina el 
∞→
+
x
x
xLim
β
α
 
α 
 
 
Obtén, Evalua o Determina: 
 
 
a) 
∞→
−−+
−+−
y
yyy
yyyLim
2434254.2
45338
910
210
 b) 
0
65
23
3
2
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
x
xx
xxLim 
 
c) 
3
5
53
12527)()(
3
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
g
g
ggMsigMLim
 d) 0
54
24
35
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
y
yy
yyLim
 
e) 
5
5
43
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+−
x
x
xLim 
f) 
3
2
23
49 2
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
x
x
xLim
 
g) 
5
3
925
310
2
2
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
m
m
mmLim
 
h) 
1
1
432
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−+
x
x
xxLim 
i) 
∞→
−−+
−+−
m
mmm
mmmLim
734244.91
457711
910
210
 j) 
2
82
4
2
2
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−
x
xx
xLim 
k) ( )[ ]
0
1 33
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
h
xhx
h
Lim l) 
0
39
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
s
s
sLim 
m) 
5
34
5
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−
y
y
yLim
 n) 
0
11
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−+
k
k
kkLim 
o) 
∞→
−++
+−+
a
aaa
aaa
Lim
1243548.30
54997
2
3
895
329
 p) 
2
1100
25
2
2
→
−
++
x
x
xxLim 
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q) 
0
)(
)(cos1
→
−
x
xsen
xLim
 
 
0 
r) 
 0
1)(cos
→
−
α
α
αLim
 
 
0
 
s) 
0
)(tan
→x
x
xLim
 
 
1
 
t) 
0
)(
)(cos1
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
θ
θθ
θ
sen
Lim
 
 
2
1
 
u) 
v) 
( )
+∞→
−+−
x
xxxLim 652
 
 
2
5
−
 
w) 
0
cos1
2
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
x
x
xLim
 
 
2
1
 
x) 
0
tan
3
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
x
x
xsenxLim
 
 
2
1
 
y) 
 ( )
+∞→
−+
x
xaxxLim )(
 
 
2
a 
z) 
∞→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
x
x
xxLim
38
12
 
 
8
1
 
aa) 0
11
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
x
x
xLim
 
 
2
 
bb) ax
ax
axaxLim
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
++−
33
2 )1(
 
 
23
1
a
a −
 
cc) 8
2
8
3
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
x
x
xLim
 
 
12
 
dd) 
0
33
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
h
h
xhxLim
 
 
3 23
1
x
 ee) 
0
11
→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −−+
x
x
xsenxsen
Lim
 
1
 
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ff) 
( )
∞→
−++
x
xxxLim 132
 
 
2
3
 
gg) 
0
11
525
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+
v
v
vLim
 
hh) 
5
1
 ( )
2
)(
→x
xfLim
si 
⎩
⎨
⎧
>+−
<
=
26
2
)(
2
xparax
xparax
xf
 
 
4
 
( )
5
)(
→z
zQLim
si 
⎩
⎨
⎧
>+−
≤+
=
510
52
)(
zparaz
zparaz
zQ
 
 
existeNo
 
 
 
7. Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la 
CONTINUIDAD de una función: 
 
 
I. Determina la Continuidad o Discontinuidad de las siguientes 
funciones: 
 
 
a) 1,
1
1)(
3
≠
−
−
= x
x
xxf 
 
Discontinua en 1=x
 
Continua para cualquier número diferente de 1 
 
b) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>+−
=
<
=
2,6
2,5
2,
)(
2
xx
x
xx
xf 
 
 
Discontinua en 2=x
 
 
c) 
2
2)(
2
−
−−
=
k
kkkf 
 
Discontinua en 2=k
 
Continua para cualquier número diferente de 2 
 
d) 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
0,1
0,1
)( 2
m
m
mmP 
 
 
No es continua en 0=m
 
 
e) 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
−
−−
=
2,1
2,
2
2
)(
2
q
q
q
qq
qA 
 
 
Discontinua en 2=q
 
 
f) 
21
1)(
x
xf
−
= 
 
Discontinua en el intervalo [ ]1,1−
 
Continua en el intervalo )1,1(− 
 
g) ( )2
1
1)( −= ttS 
 
Continua en el intervalo [ ]1,1− 
 
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8. Obtén la derivada de: 
 
 
1. 231
2
1
3
1
4
1)( 234 +−+−= xxxxxf 2. ( )35
3
8)( kkM π= 
3. ( ) 433 1025)( −= xxy 4. 3 51215 )2()3()( ++= xxqP 
5. 3 28 )537()( −+= wwwH 6. 23 22 )10()( qhxqZ ++= 
7. 
( )23
)5(
)(
−
+
=
q
qq
qD 8. 7
113
7
1
5
1
3
1)( 753 ++−+= xxxxxf 
9. 7)()()( 2 +−= yCotyyR y 10. 23 22 )10()( qhxqZ +++= 
11. [ ])()()( 3 xTgxSecLnxA = 12. ( ) ( ) ( ) 2110 )()( yArcCoteyP yArcSec += + 
13. ( ) 344 912)( −= xxy 
14. )9()()7()( 35 +−−= + nTanArcnLognJ n 
15. 5 37 )456()( +−= zzzP 16. ( )mSecmLnmH )1()( 2 += 
17. 
1003 )1(
300
1
−= xy 
 9932' )1( −= xxy 
18. 
435 )1()12( +−+= xxxy 
 
)39617()1()12(2 23334' +−++−+= xxxxxxy
 
19. 
9
12
2)( ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
t
ttg 
 
10
8
'
)12(
)2(45)(
+
−
=
t
ttg 
20. 
3 2 1
1)(
++
=
xx
xf 
 
3
4)1(3
12)( 2
'
+++
−=
xx
xxf
 
21. )(tan)10()( wwT w π= 
 [ ])(tan)10(ln)(sec)10()( 2' wwwT w πππ += 
22. )tan(log)( xxR = 
 
)10(ln)(tan2
)(sec)(
2
'
x
xxR = 
23. [ ]xx xsenexA =)( 
 [ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
= )(ln)cos()(' xsene
xsene
xsenxexxsenexA xx
x
xx 
24. xsenxxxsenxy 2cos22 −+= 
 xxy cos2' = 
25. Demuestra que la derivada de 
)2(tan
2
1 xsenxy = es igual a )2( xsen . 
26. Obtén 
dx
dy
 si 
)(cos21
)(
2
2
x
xseny
−
= 
 [ ]
( )22
2
)(cos21
2)(cos2
x
xx
dx
dy
−
−
=
 
27. Diferenciar o Derivar 
34cos 2 +++−= xxxxxseny y 
demostrar que 42' ++= xxsenxy 
28. 
)(log
)3(
8
log
x
y
x
= 
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 { }
)(log
18lnlog
8ln2
)3(
2
8
8
log
'
8
x
x
xy
x
−
=
 
29. 
xxsen
xxseny
cos
cos
−
+
= 
2
'
)cos(
2
xxsen
y
−
−
= 
30. 
5
cos23)( zzsenzK −= 
 
zzsen
zsenzzK
cos10152
2cos3)('
−
+
=
 
31. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+−−=
a
axsenarcaxxaaxxY 222)()(
 
 2' 22)( xxaxY −= 
32. yaya
yaya
ee
eeyH −
−
+
−
=)( 
 
 
2
'
)(
4)( yaya ee
ayH −+
=
 
33. x
x
arcxxy 2
2
1tan4)4(ln 2 −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++= 
 )4(ln 2' xy += 
34. { })(lncos)ln( xxsenxy −= 
 
 )ln(2' xseny = 
 
 
 
9) Obtén 
dx
dy
 de las siguientes expresiones implícitas: 
 
 
a) ( ) xyxyxx 788831 +=+−+ b) 5
2
2 =+ x
y
y
x 
c) ( ) 33622 yxyx −=+ d) 123663 +=⋅+⋅ −− xxyxy 
e) ( ) ( )yxsenyx +=cos f) π+=+ 22 zxyx 
g) 222 2
2
yxyyeex xx =++− 
 
yxye
yexyxey
x
xx
42
)(2)12(
2
22
'
−+
−−−
=
− 
h) 13 323 =+− ycyxbxa 
 
xbyc
xayby 22
22
'
−
−
=
 
i) Obtén 
dz
dy de 48.308.9 736 =−+ zyyzzα 
63
725
78.9
4.296
yzz
yzyz
dz
dy
−
+−−
=
α 
j) ysenxy 3.0−= 
 
ydx
dy
cos310
10
−
=
 
k) byxa =+ )(cos2 1' −=y l) yxy =tan 
yx
yyy 2
2
'
cos1
cos
−
=
 
 
 
 
10) Obtén la derivada sucesiva de las siguientes expresiones matemáticas: 
 
 
a) Si 85.32
1432)( 3468 −+−++= xxxxxxf 
Obtén ( )xf V 
b) Si ( )
1
1
−
+
=
x
xxf , Obtén 2
2
xd
yd 
c) Si 3223 8632 yyxx −=+− , Obtén 2
2
xd
yd d) Si xSenxy 43 2= , Obtén 2
2
xd
yd 
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e) Si xSeny 2= , Obtén 3
3
xd
yd f) Si ( )( ) 2
1
2+= xseny , Obtén ''y 
 
 
 
 
11) Resuelve los siguientes cuestionamientos de 
OPTIMIZACIÓN(Maximización/Minimización): 
 
a) La Potencia eléctrica (Volts) en un circuito de corriente continua con 2 
resistencias 1R y 2R , conectados en serie, es 2
21
21
)( RR
RRVP
+
= , donde V 
es el voltaje. Si V y 1R se mantienen constantes, ¿qué resistencia 2R 
produce la MÁXIMA potencia? 
21 RR = 
 
 
b) Al estornudar, la tráquea se contrae, lo cual afecta a la velocidad v del aire 
que pasa por ella. Supongamos que la velocidad del aire durante un 
estornudo es: RrrrRKv <≤−= 0),()( 2 , donde K es una constante, 
R el radio normal de la tráquea y r el radio durante el estornudo. ¿Qué 
radio produce la MÁXIMA velocidad del aire? 
Rr
3
2
= 
 
c) A partir de 2108 in de lámina, se desea construir una caja sin tapa de base 
cuadrada, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtener un 
volumen MÁXIMO? 
.3
.6
inh
inl
=
= 
d) Sea 2001.010)( xxxI −= el Ingreso Total y 50002)( += xxC el Costo 
Total de manufacturar x artículos. La Utilidad Total se define como 
)()()( xCxIxU −= . Demuestra que en el valor de x que MAXIMIZA 
la Utilidad, el Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal. 
 
e) Un granjero planea cercar un pastizal adyacente al río. El pastizal debe tener 
200080 m para que proporcione alimento suficiente para el rebaño. ¿Qué 
dimensiones requerirá la MENOR cantidad de cerca, si esta no se necesita a 
lo largo del río? 
.200
.400
ma
ml
=
= 
 
f) Determina las dimensiones del cuadrilátero de área MÁXIMA que se pueda 
inscribir en un círculo de radio r . 
rl
rl
2
2
=
= 
 
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g) Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de un cartón cuya 
forma es cuadrada y tiene 12 pulgadas de lado y si se doblan sus 4 lados, se 
obtiene una caja sin tapa. ¿Cuál debería ser el tamaño de los cuadrados que 
se cortan para obtener una caja de volumen máximo? 
.2
.2
inl
inl
=
= 
 
h) De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 
3100in , ¿cuál de ellos requiere la menor cantidad de material? 
3
3
50
502
π
π
=
=
r
h
 
 
i) Una caja rectangular sin tapa con base cuadrada tiene un volumen de 
3500cm . Determina las dimensiones que minimizan el área total de su base 
y sus 4 lados. 
cmy
cmx
5
10
=
= 
 
j) Un granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 21800 ft y 
utilizar algo de cerca para construir 2 cercas internas de división, ambas 
paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud 
mínima total de cerca que se requiere? 
.240 ftP = 
 
 
12) Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la Derivada y 
sus Interpretaciones: 
 
 
 
1) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN como una TASA DE 
VARIACIÓN: 
 
 
a) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t 
se modela por: ( ) 2
3
3
+=
ttD . Obtén [ ]
dt
tDd )( cuando 
4=t segundos. 
s
mD 16)4´( = 
 
b) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t 
se modela por: ( ) 974 23 +−= tttD . Obtén la velocidad cuando 
5=t segundos. 
s
mtD 230)(' = 
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c) Un tanque cilíndrico, con eje vertical, está al principio lleno con 200,000 
galones de agua. El tanque tarda 50 min. en vaciarse después de que se abre 
el desagüe en el fondo. Una consecuencia de la ley de Torricelli es que el 
volumen de agua que queda en el tanque después de ‘’t’’ minutos esta dado 
por la función: ( )
2
50
1000200 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
ttV en donde: [ ]galonesV = y 
[ ] utost min= . Determina la razón de cambio instantánea a la que fluye 
hacia afuera el agua del tanque cuando 30=t . 
 
NOTA: Suponer que el desagüe se abre en el tiempo 0=t . 
uto
galonestV
min
3200)(' −= 
 
d) Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 m/seg., su altura en 
metros después de ‘’t’’ segundos se expresa por 21640 tty −= . Obtén la 
velocidad instantánea cuando .2 segt = 
s
mv 24−= 
e) Una partícula se mueve en una órbita descrita por el modelo matemático 
122 =+ yx . Cuando pasa por el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + 3
2
1
2
1P su ordenada disminuye 
a razón de 
segundo
unidades3 , ¿con qué rapidez varía su abscisa? 
s
u
dt
dx 33= 
 
f) El peso W en gr. de un tumor maligno en el momento ‘’t’’ es 
( ) tttW 09.02.0 2 −= , en donde ’’t’’ se mide en semanas. Encuentra el 
índice de crecimiento del tumor, es decir, la variación de peso del tumor con 
respecto al tiempo, cuando 10=t . 
semana
gtW 91.3)(' = 
 
g) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de 
uto
cm
min
2 , con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 cm. 
uto
cm
dt
dV
min
3185.628
3
= 
 
h) La altura h sobre el suelo, de un proyectil en el tiempo t está dada por 
( ) SoVotgth ++−= 2
2
1 , en donde SoyVog , son constantes. 
Encuentra la razón de cambio instantánea de h con respecto a t en 
.4 segt = 
0
' 4)( Vgth +−= 
 
 
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i) El costo de producir x artículos lo da la función ( ) xxC 1025000+= . 
Obtén la función de costo marginal. 
x
xC 5)(' = 
 
j) La Utilidad obtenida al producir y vender x artículos se indica como 
22200)( xxxP −= . Determina: 
a) la Utilidad Marginal 
b) ¿cuándo es igual a 0 la Utilidad Marginal? 
 
artículosx
xxP
50
4200)('
=
−= 
 
k) La velocidad de un automóvil que arranca del reposo viene dada por 
( )
152
100
+
=
t
ttV en donde ( ) [ ]
s
mtV = . Determina la aceleración al cabo 
de 5 seg. 
s
ma 4.2= 
 
l) El lado a de un triángulo equilátero aumenta 
h
cm40 y su área aumenta 
h
cm2800 . Calcula el valor numérico del lado del triángulo. 
.09.23 cma = 
 
m) El radio de una circunferencia aumenta 
s
cm5 , ¿con qué rapidez varía la 
longitud de la circunferencia? 
s
cm
dt
dP
π10= 
 
n) El periodo P (segundos) de oscilación de un péndulo simple de longitud L 
(pies) está dado por 
g
LP π2= , donde 232 s
ftg = . Determina la tasa de 
variación de P cuando 2=L . 
ft
s
dL
dP 3926.0= 
 
o) Un tanque cónico recibe agua a una tasa de variación constante de 
.min
2
3ft . 
¿Con qué rapidez se eleva el nivel cuando el agua tiene una profundidad de 
6 ft.? 
Nota: hrVcono
2
3
1
π= 
.min36
8 ft
dt
dh
π
= 
 
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p) En una cisterna cónica fluye agua a una tasa de variación de 
.min
8
3ft . Si la 
altura de la cisterna es de 12 ft. y el radio de su base circular es de 6 ft., 
¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 ft. de 
profundidad? 
 
.min
2 ft
dt
dh
π
= 
 
q) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial 
igual a 
s
ft96 , describiendo su posición el modelo matemático 
ttth 9616)( 2 +−= . Si t es el tiempo transcurrido en segundos desde el 
momento en que el proyectil fue lanzado y que h es la distancia vertical 
desde el punto de lanzamiento al nivel del suelo, determina: 
 
a) El tiempo que le toma al proyectil alcanzar su altura 
máxima. 
.3st = 
b) La altura máxima del proyectil. 
.144)( ftth = 
c) El tiempo que tarda el proyectil en retornar a la tierra. 
st 6= 
d) La velocidad instantánea del proyectil al impactarse con el 
suelo. 
s
ftv .96−= 
 
 
13) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: 
 
 
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 
12
2
3 32 +−= xxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero. 
 
b) Determina la ecuación de la recta tangente y normal a 
la curva 723)( 23 ++−= xxxxY , en el punto ),( yxP , cuya abscisa 
es igual a 1. 
 
c) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 
974 23 −+−= xxxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a 
cero. 
. 
d) Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva, cuya función es 
( ) xxxf += , en el punto cuya abscisa es igual a 1. 
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e) La función 21 x
xy
+
= recibe el nombre de “La Serpentina”. Deduce una 
ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es 
igual a 3. 
027504 =−+ yx 
f) La función 21
1
x
y
+
= recibe el nombre de “La Bruja de Agnesi”. 
Deduce una ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya 
abscisa es igual a -1. 
022 =+− yx 
g) Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva ( ) xxxf 23−= 
en el punto cuya abscisa es igual a -3. 
 
h) Encuentra las ecuaciones de la recta normal y tangente a la curva 
yxxy 64 44 += en el punto ( )2,1P . 
 
i) Determina las longitudes de la Subtangente, Subnormal, la Tangente 
y la Normal a las curvas: 
 
1. 32 )1( −= xy en )8,5(P 
 
2. 234
13 2 ++−= xxxy en )3,1(P 
 
3. 
2−
=
x
xy en )3,3(P 
 
 
 
 
1. Subtangente 3/8= 
Subnormal 24= 
Tangente 43.8= 
Normal 2.25= 
 
2. Subtangente 3= 
Subnormal 4/41= 
Tangente 73
41
15
=
 
Normal 73
4
5
=
 
 
3. Subtangente
2
3
−=
 
Subnormal 6−= 
Tangente 5
2
3
=
 
Normal 53= 
 
 
 
j) Obtén los ángulos de intersección de las curvas xy 42 = y 
yx 5122 2 −= . 
 
'546
'4083
°=
°=
θ
θ

 
 
k) Determina las ecuaciones de las rectas tangente a la curva 
23)( 2 +−= tttR en los puntos cuya ordenada es igual a cero. 
01
02
=−+
=+−
tR
tR 
 
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l) Obtén la ecuación de la recta normal a la curva 4
1
23
2
3)( xxxxf +−=
−
 
en el punto cuya abscisa es igual a 1. 
 
0897712 =+− yx 
 
o) Determina la ecuación de la tangente a la curva 0255 =−+ yxyx en el 
punto )1,1(P . 
02 =−+ yx 
 
 
14) Realiza el ANÁLISIS de las siguientes funciones a través de 
concepto, la definición e interpretación de la derivada: 
 
 
a) ( ) 21232 23 +−−= xxxxf 
 
 
b) 232 23 +−+= xxxy 
 
 
c) ( ) xxxxf 634 23 −+= 
 
 
d) 693 23 +−+= xxxy 
 
 
e) ( ) 23 3xxxf += 
 
 
f) ( ) 32 23 +++= xxxxf 
 
 
g) ( ) 23 23 +−= xxxf 
 
 
h) ( ) 22
2
5 23 +−−= xxxxf